一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（ ）
A. 2B. 1C. D. 4
2. 已知P為空間中任意一點，A、B、C、D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且，則實數(shù)x的值為（ ）
A. B. C. D.
3. 若定義在 上的函數(shù) 的圖象如圖所示，則函數(shù) 的增區(qū)間為（ ）
A. B.
C D.
4. 若函數(shù)在處有極小值，則（ ）
A. B. C. 或D.
5. 在四面體中，M點在線段上，且，G是的重心，已知，，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
6. 若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（）
A. B. C. D.
7. 函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8. 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)恒有，則（ ）
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．
9. 在正方體中，下列命題是真命題的是（ ）
A.
B.
C.
D. 正方體的體積為
10. 下列說法中正確的是（ ）
A.
B.
C. 設(shè)函數(shù)，若，則
D. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則
11. 已知直線與函數(shù)，的圖象分別相交于兩點.設(shè)為曲線在點處切線的斜率，為曲線在點處切線的斜率，則的可能取值為（ ）
A. B. C. eD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知空間三點，，，在直線OA上有一點H滿足，則點H的坐標為________.
13. 若函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的最小值是______．
14. 如圖，正方形與正方形的中心重合，邊長分別為3和1，，，，分別為，，，的中點，把陰影部分剪掉后，將四個三角形分別沿，，，折起，使，，，重合于P點，則四棱錐的高為________，若直四棱柱內(nèi)接于該四棱錐，其上底面四個頂點在四棱錐側(cè)棱上，下底面四個頂點在面內(nèi)，則該直四棱柱體積的最大值為________．

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知向量，，.
（Ⅰ）當(dāng)時，若向量與垂直，求實數(shù)和的值；
（Ⅱ）若向量與向量，共面，求實數(shù)的值.
16. 已知函數(shù).
（1）求曲線過點處的切線；
（2）若曲線在點處的切線與曲線在處的切線平行，求的值.
17. 如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且.

（1）求證：共面；
（2）當(dāng)為何值時，；
（3）若，且，求的長.
18 已知函數(shù)．
（1）若是函數(shù)的極值點，求的值，并求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在處取得極大值，求取值范圍.
19 已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上最小值；
（3）若函數(shù)有兩個不同的零點.
①求實數(shù)a的取值范圍；
②證明：.
常州市聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期階段調(diào)研
高二年級數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（ ）
A. 2B. 1C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的極限定義計算可得.
【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可知，.
故選：D.
2. 已知P為空間中任意一點，A、B、C、D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且，則實數(shù)x的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】，
又∵P是空間任意一點，A、B、C、D四點滿足任三點均不共線，但四點共面，
∴，
解得 x=，
故選A．
點睛：設(shè)是平面上任一點，是平面上的三點，（不共線），則三點共線，把此結(jié)論類比到空間上就是：不共面，若，則四點共面．
3. 若定義在 上的函數(shù) 的圖象如圖所示，則函數(shù) 的增區(qū)間為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖象可得的正負可判斷的單調(diào)性從而得到答案.
【詳解】由圖象可得，
當(dāng)時，由得，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，由得，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，由得，上單調(diào)遞減，
綜上，函數(shù) 的增區(qū)間為.
故選：B.
4. 若函數(shù)在處有極小值，則（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)求得c，然后驗證即可.
【詳解】，
因為在處有極小值，
所以，解得或，
當(dāng)時，令，解得或，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
此時，在處有極大值，不滿足題意.
當(dāng)時，令，解得或，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
此時，在處有極小值，滿足題意.
故選：A
5. 在四面體中，M點在線段上，且，G是的重心，已知，，，則等于（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合重心的性質(zhì)以及空間向量的線性運算求解.
【詳解】因為G是的重心，
則，
由，得，
所以.
故選：C.
6. 若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為在上有解問題，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值，從而得解.
【詳解】因為存在單調(diào)遞減區(qū)間，
所以在上有解，即在上有解，
令，則，令，解得(負值舍去)，
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
所以，故，
故選：A.
7. 函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，然后作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖形可解.
【詳解】令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
所以，當(dāng)時，取得極小值，
再結(jié)合二次函數(shù)圖象，作出的圖象如下圖：
因為函數(shù)有3個零點，
所以函數(shù)的圖象與直線有3個交點，
由圖可知，，即的取值范圍為.
故選：C
8. 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)恒有，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先構(gòu)造函數(shù)， 根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合選項，依次判斷.
【詳解】設(shè)，則，
由條件可知，，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，故A錯誤；
由函數(shù)的單調(diào)性可知，，得，故B正確；
由，得，故C錯誤；
由，得，故D錯誤.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，從而可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷選項.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．
9. 在正方體中，下列命題是真命題的是（ ）
A.
B.
C.
D. 正方體的體積為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量運算、夾角、體積等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】設(shè)正方體的棱長為，
A選項，
，A選項正確；
B選項，
，B選項正確；
C選項，由于三角形等邊三角形，所以，C選項正確；
D選項，，所以D選項錯誤.
故選：ABC
10. 下列說法中正確的是（ ）
A.
B.
C. 設(shè)函數(shù)，若，則
D. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運算法則求解即可.
【詳解】對于選項A:結(jié)合題意可得：,故選項A錯誤；
對于選項B:結(jié)合題意可得：,故選項B正確；
對于選項C: ,由，
，解得，故選項C正確；
對于選項D:結(jié)合題意可得：,，
解得，故選項D正確.
故選：BCD.
11. 已知直線與函數(shù)，的圖象分別相交于兩點.設(shè)為曲線在點處切線的斜率，為曲線在點處切線的斜率，則的可能取值為（ ）
A. B. C. eD.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，從而求得.
【詳解】由于，所以，
由得，，即，
由得，，即，
所以，則，B選項錯誤.
設(shè)，，
所以在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
所以，
所以AD選項正確，C選項錯誤.
故選：AD
【點睛】利用導(dǎo)數(shù)求切線的方程，關(guān)鍵點在于切點和斜率，利用函數(shù)的解析式可以求得切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)可以求得切線的斜率.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，先求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值和區(qū)間端點的函數(shù)值來求得函數(shù)的值域.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知空間三點，，，在直線OA上有一點H滿足，則點H的坐標為________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示列方程組求解可得.
【詳解】設(shè)，
則，
因為共線，故存在實數(shù)使得，即
所以，解得，
所以點H的坐標為.
故答案為：
13. 若函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的最小值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】對于 求導(dǎo)得在 上只有一個零點，轉(zhuǎn)化為在 上只有一個零點，令在上，求解的范圍，確定的最小值.
【詳解】由在上有且僅有一個極值點，定義域為，
所以，在 上只有一個零點，則
，即在 上只有一個零點，令，，
則，，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，
所以，
所以，在 上只有一個變號的零點，
即函數(shù)在 上有且僅有一個極值點.
故答案為：
14. 如圖，正方形與正方形的中心重合，邊長分別為3和1，，，，分別為，，，的中點，把陰影部分剪掉后，將四個三角形分別沿，，，折起，使，，，重合于P點，則四棱錐的高為________，若直四棱柱內(nèi)接于該四棱錐，其上底面四個頂點在四棱錐側(cè)棱上，下底面四個頂點在面內(nèi)，則該直四棱柱體積的最大值為________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】作出圖形，可知四棱錐為正四棱錐，取的中點，連接、交于點，連接、、，則四棱錐的高為，直四棱柱內(nèi)接于該四棱錐，則底面為正方形，作出截面的平面圖，設(shè)，計算得出四棱柱體積的函數(shù)關(guān)系式，運用導(dǎo)數(shù)研究可得其體積最大值.
【詳解】由題意可知，四棱錐為正四棱錐，邊上的高為，如下圖所示：

取的中點，連接、交于點，連接、、，
則為、的中點，由正四棱錐的幾何性質(zhì)可知，平面，
因為、分別為、的中點，則且，
因為平面，則，所以，，
在中，得,
作出四棱柱內(nèi)接于該四棱錐在平面上的平面圖如圖所示：

設(shè),，則，
因為，所以，解得，
所以直四棱柱的體積,
所以，
當(dāng)時，當(dāng)時，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時體積最大，最大為.
故答案為：，.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知向量，，.
（Ⅰ）當(dāng)時，若向量與垂直，求實數(shù)和的值；
（Ⅱ）若向量與向量，共面，求實數(shù)的值.
【答案】（Ⅰ）實數(shù)和的值分別為和.（Ⅱ）
【解析】
【分析】(Ⅰ)根據(jù)可求得,再根據(jù)垂直的數(shù)量積為0求解即可.
(Ⅱ)根據(jù)共面有,再求解對應(yīng)的系數(shù)相等關(guān)系求解即可.
【詳解】解：(Ⅰ)因為,所以.
且.
因為向量與垂直,
所以
即.
所以實數(shù)和的值分別為和.
(Ⅱ)因為向量與向量，共面,所以設(shè)（）.
因為,
所以
所以實數(shù)的值為.
【點睛】本題主要考查了空間向量基本求解方法,包括模長的運算以及垂直的數(shù)量積表達與共面向量的關(guān)系等.屬于基礎(chǔ)題.
16. 已知函數(shù).
（1）求曲線過點處的切線；
（2）若曲線在點處的切線與曲線在處的切線平行，求的值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求過一點的切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，由切線平行列方程求參數(shù)值.
【小問1詳解】
由導(dǎo)數(shù)公式得，
設(shè)切點坐標為，設(shè)切線方程為：
由題意可得： ，
所以或，
從而切線方程為或.
【小問2詳解】
由(1)可得：曲線在點處的切線方程為,
由，可得曲線在處的切線斜率為，
由題意可得， 從而，
此時切點坐標為，曲線在處的切線方程為，
即，故符合題意，所以.
17. 如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且.

（1）求證：共面；
（2）當(dāng)為何值時，；
（3）若，且，求的長.
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用向量證明，然后可證；
（2）以為基底表示出，然后根據(jù)求解可得；
（3）利用基底表示出，然后平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.
【小問1詳解】
在平行六面體中，連接，
因為，
所以，
，
所以，即且，
所以四邊形為平行四邊形，即共面.
【小問2詳解】
當(dāng)時，，理由如下，
設(shè)，且與、與、與的夾角均為，
因為底面為菱形，所以，
， ，
若，則，
即，
即，
解得或舍去，
所以時，
【小問3詳解】
，
，
，

所以 ，所以的長為
18. 已知函數(shù)．
（1）若是函數(shù)的極值點，求的值，并求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在處取得極大值，求的取值范圍.
【答案】（1），極大值為，極小值為.
（2）
【解析】
【分析】（1）由求得，進而求得的極值.
（2）先求得，然后對進行分類討論，根據(jù)在處取得極大值進行分類討論，由此求得的取值范圍.
【小問1詳解】
定義域為，，
因為是函數(shù)的極值點，所以.故有，所以.
當(dāng)時，，所以，
若，則或，
所以函數(shù)的極大值為，極小值為.
【小問2詳解】
定義域為，，
①當(dāng)時，，令得，
所以：單調(diào)遞增區(qū)間為；
令得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為；
所以在取極大值，符合題意.
②當(dāng)時，由，得：，，
所以：在處取得極大值，所以：符合題意．
③當(dāng)時，由，得：，，
（i）當(dāng)即時，，變化情況如下表：
所以：在處取得極小值，不合題意．
（ⅱ）當(dāng)即時，在上恒成立，
所以：在上單調(diào)遞增，無極值點．
（iii）當(dāng)，即時，，變化情況如下表：
所以：在處取得極大值，所以：合題意．
綜上可得：的取值范圍是．
【點睛】思路點睛：求解函數(shù)在閉區(qū)間上的極值的步驟（1）確定的定義域；（2）計算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內(nèi)的符號，進而確定的單調(diào)區(qū)間；（5）根據(jù)單調(diào)區(qū)間確定極值點，從而求得極值.
19. 已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（3）若函數(shù)有兩個不同的零點.
①求實數(shù)a的取值范圍；
②證明：.
【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為
（2）
（3）①；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，由單調(diào)性求最小值；
（3）由函數(shù)有兩個不同的零點，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的最值，結(jié)合函數(shù)圖像求實數(shù)a的取值范圍；把零點代入函數(shù)解析式，證明轉(zhuǎn)化為證明，通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法證明.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，定義域為，
若，則；若，則；
所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為
【小問2詳解】
函數(shù)的定義域是，
．
當(dāng)時，令則或(舍)．
當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞減，
在上的最小值是，
當(dāng)，即時，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
在上的最小值是，
當(dāng)，即時，，，在上單調(diào)遞增，
在上的最小值是．
綜上，．
【小問3詳解】
①有兩個不同的零點即有兩個不同實根，
得，令，，令，得，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
時，取得最大值，且，當(dāng)時，
得的大致圖像如圖所示：
，所以實數(shù)a的取值范圍為．
②當(dāng)時，有兩個不同的零點．
兩根滿足，，
兩式相加得：，兩式相減得：，
上述兩式相除得，不妨設(shè)，要證：，
只需證：，即證，
設(shè)，令，則，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且．
，即，．
【點睛】方法點睛：
導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．不等式問題，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
1
＋
0
－
0
＋
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
0
－
0
+
0
－
減
極小值
增
極大值
減
0
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0
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增
極大值
減
極小值
增
+
－
+
增
極大值
減
極小值
增

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這是一份河南省新高中創(chuàng)新聯(lián)盟TOP二十名校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期2月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），文件包含河南省新高中創(chuàng)新聯(lián)盟TOP二十名校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期2月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題docx、高二數(shù)學(xué)答題卡pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共15頁， 歡迎下載使用。

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