一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知向量，且，則x＝（ ）
A. 9B. 6
C. 5D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由，利用公式求解.
【詳解】解：因為向量，且，
所以，
解得x＝6.
故選：B
2. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由誘導(dǎo)公式和逆用正弦和角公式求出答案.
【詳解】由誘導(dǎo)公式得到：，
故.
故選：A
3. 已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量與的夾角為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的減法法則畫出，得到一個等腰直角三角形，求其結(jié)果即可.
【詳解】如圖，，，則，
設(shè)最小的小正方形網(wǎng)格長度為1，則，，
所以，
所以三角形是等腰直角三角形，，
向量與的夾角為的補(bǔ)角.
故選：D.
4. 密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短線，如7密位寫成“0－07”，478密位寫成“4－78”．如果一個半徑為4的扇形，其圓心角用密位制表示為6－25，則該扇形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意中給定義可知該扇形的圓心角為，結(jié)合扇形的面積公式計算即可.
【詳解】依題意，該扇形的圓心角為，
故所求扇形的面積為．
故選：C.
5. 已知A（，0），B（0，2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，，且∠AOC=，設(shè)（），則的值為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由∠AOC=，從而設(shè)，則，利用向量相等的坐標(biāo)表示可得．
【詳解】根據(jù)已知條件得：.
設(shè)，則，
∵，∴，∴∴.
故選：D.
6. 在平面直角坐標(biāo)系中，為第四象限角，角的終邊與單位圓O交于點(diǎn)，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)定義和同角的基本關(guān)系及兩角差的正弦公式即可求出答案.
【詳解】因為為第四象限角，所以，
，
由，可得在第三象限，
所以，

故選：C.
7. 已知A是函數(shù)的最大值，若存在實數(shù)、使得對任意實數(shù)總有成立，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，即可求出函數(shù)的最小正周期與，則的最小值為，即可得解.
【詳解】因為
，
所以，函數(shù)的最小正周期，
因為存在實數(shù)、使得對任意實數(shù)總有成立，
所以的最小值為，
故的最小值為．
故選：B．
8. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. ；B. 若a＝7，b＝8，則只有一解；
C. ，則a的最大值為1；D. ，則為直角三角形.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函數(shù)恒等變換化簡題中式子得，求得，可判斷A；由可判斷B；由三角形兩邊之和大于第三邊可判斷C；由代入中得：，求得，進(jìn)而可得，由勾股定理可判斷D.
【詳解】，
而,故A錯誤；
若a＝7，b＝8，，則，所以有兩解，故B錯誤；
由三角形兩邊之和大于第三邊，可知，故C錯誤；
由得將其代入中得：,
進(jìn)而得,，,故,進(jìn)而可得:
,所以滿足,故為直角三角形,故D正確.
故選：D.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 與的終邊相同；
B. 若為鈍角三角形，則；
C. 函數(shù)是偶函數(shù)；
D. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)終邊相同的角的關(guān)系判斷選項A；利用余弦定理判斷鈍角三角形識別選項B；根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡得到的結(jié)果判斷選項C；把所給對稱軸代入驗證是否為對稱軸判斷選項D.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，為鈍角三角形，若為鈍角，則，則，故B錯誤；
對于C，偶函數(shù)，故C正確；
對于D，當(dāng)時，，，不關(guān)于直線對稱，故D錯誤.
故選：AC.
10. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若角的終邊上有一點(diǎn)，則；
B. ；
C. 若，則與的夾角θ的范圍是；
D. 已知，則向量在方向上投影向量的長度為4.
【答案】BCD
【解析】
【分析】用三角函數(shù)的定義判斷選項A；逆用兩角和的正切公式判斷選項B；用向量的數(shù)量積公式判斷選項C；根據(jù)向量在方向上的投影公式判斷選項D.
【詳解】對于A，角的終邊上有一點(diǎn)，則，當(dāng)時，，故A錯誤；
對于B，由得，故B正確；
對于C，由得，則與的夾角θ的范圍是，故C正確；
對于D，向量在方向上的投影向量的長度為，故D正確.
故選：BCD.
11. 在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，下列關(guān)系式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由得，結(jié)合正弦定理可判斷A；由二倍角公式得計算可判斷B；由余弦定理化角為邊可判斷C；由兩角和的正切公式化簡可判斷D.
【詳解】，則，結(jié)合正弦定理得，故A正確；
，故B正確；
，故C正確；
，故D錯誤.
故選：ABC.
12. 已知函數(shù)，說法正確的是（ ）
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增；
B. 的對稱軸是；
C. 若，則；
D. 方程在的解為，且.
【答案】AD
【解析】
【分析】先根據(jù)的取值范圍去掉絕對值得出分段函數(shù)，的周期，
結(jié)合函數(shù)的圖象逐一判斷各選項.
【詳解】當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
函數(shù)的周期.
如下圖，
對于A，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；
對于B， 不是的對稱軸，故B錯誤；
對于C，令，；令，.
滿足，，不滿足，故C錯誤；
對于D，方程在的解為.
如下圖，
關(guān)于直線對稱，則；關(guān)于直線對稱，則，所以，故D正確.
故選：AD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 寫出一個同時滿足下列三個性質(zhì)的函數(shù)：___________.
①為偶函數(shù)； ②為奇函數(shù)； ③在上的最大值為2.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由為偶函數(shù)，可考慮余弦型函數(shù)，故可設(shè)，然后通過余弦函數(shù)的性質(zhì)求得即可.
【詳解】從三角函數(shù)入手，由于為偶函數(shù)，可考慮余弦型函數(shù)，故可設(shè)，
由為奇函數(shù)，且是向左平移個單位長度得到，所以是的對稱中心，
則，即，不妨令，則，
由在上的最大值為2，可得，所以.
故答案為：（答案不唯一）.
14. 已知、是互相垂直的兩個單位向量，若向量與向量的夾角是鈍角，則實數(shù)t的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量與向量的夾角是鈍角得到它們的數(shù)量積小于0，并且注意當(dāng)向量的夾角為時數(shù)量積也小于0要排除．
【詳解】解：向量與向量的夾角是鈍角，，且
由，且，得
令，則，于是
故，，且，即實數(shù)t的取值范圍是.
故答案為：.
15. 計算：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)恒等式、二倍角公式直接求解．
【詳解】
．
故答案為：.
16. 窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形ABCDEFGH中，若，則的值為________ ；若正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動點(diǎn)，則的最小值為______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由，列出方程組，求得，從而得到；設(shè)，則，由即可求得的最小值.
【詳解】
，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
正八邊形內(nèi)角和為，則，
所以，,
,
因為，則，
所以，解得，
所以；
設(shè)，則，
，則，
所以，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，取最小值.
故答案為：，.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知，且α是第________象限角．
從① 一，② 二，③ 三，④ 四，這四個選項中選擇一個你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)倪x項填在上面的橫線上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問題：
（1）求的值；
（2）化簡求值：.
注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，確定α是第二或第四象限角，故選②或④．根據(jù)二倍角公式及正、余弦齊次式的求值方法求解；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可.
【小問1詳解】
因為，所以α是第二或第四象限角，故選②或④.
選②或④，分別解答（1）（2）兩個問題時，所得結(jié)果相同.
，
【小問2詳解】
原式＝
.
18. 已知，
（1）若，求；
（2）若向量在向量上的投影向量為，求與的夾角θ；
（3）在（2）的條件下，若，求m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）若，則與的夾角為0或，然后根據(jù)數(shù)量積的定義求解即可；
（2）由題意可得，進(jìn)而求得；
（3）由題意可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算可得關(guān)于的方程，求解即可.
【小問1詳解】
∵，∴與的夾角為0或.
當(dāng)與的夾角為0時，；
與的夾角為時，.
∴.
【小問2詳解】
由題意知，，
∴，由于，∴.
【小問3詳解】
∵，∴
∴即：
∴，∴.
19. （1）已知α，β均為銳角，，求α－β的值；
（2）已知函數(shù)，若，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由已知條件求得，結(jié)合角的范圍得出結(jié)果；
（2）利用三角恒等變換化簡，由題意可求得，結(jié)合角的范圍求得，然后由求得結(jié)果．
【詳解】（1）因為α，β為銳角且，，
所以＝，＝，
所以，
由0＜α＜，0＜β＜，得＜α－β＜，
所以α＋β＝－．
（2）
，
∴．
20. 如圖,已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.
（1）求B；
（2）若AC邊上中線，且，求的周長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理及向量數(shù)量積的定義列出方程即可求解；
（2）由，在與中結(jié)合余弦定理求解即可.
【小問1詳解】
∵，
由余弦定理可得，
∴，
∴，由，
∴.
【小問2詳解】
如圖，
由（1）得，，①
由余弦定理知，即，②
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因為，所以③
由①②③，得，
所以，
所以的周長．
21. 已知梯形中，，，，E為的中點(diǎn)，連接AE.
（1）若，求證：B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線；
（2）求與所成角的余弦值；
（3）若P為以B為圓心、BA為半徑的圓?。ò珹，C）上的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓?。ò珹，C）上運(yùn)動時，求的最小值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由題意可得，，從而，即可證得結(jié)論；
（2）結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求得，，進(jìn)而得，然后向量夾角公式求解即可；
（3）設(shè)，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算和三角變換求得，由三角函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.
【小問1詳解】
如圖1，∵
∴，∴B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線.
【小問2詳解】
如圖1，∵
∴
∵
∴
∴
.
【小問3詳解】
如圖2，∵，
∴
設(shè)，則，
∵，，
∴當(dāng)，即時，取最小值.
22. 已知向量，．設(shè)函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)，若方程在上有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍，并求的值.
（3）若將的圖像上的所有點(diǎn)向左平移個單位，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像．當(dāng)（其中）時，記函數(shù)的最大值與最小值分別為與，設(shè)，求函數(shù)的解析式.
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式化簡得出，再求其單調(diào)增區(qū)間即可；
（2）當(dāng)時，方程有兩個不同的解x1，x2.，結(jié)合函數(shù)圖象得出實數(shù)的取值范圍
（3）根據(jù)圖象變化得出函數(shù)，在給定區(qū)間上求出函數(shù)的最大值與最小值，得到函數(shù)即可.
小問1詳解】
由題意可知
，.
由，可得，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；
【小問2詳解】
∵，
∵，，得，，
∴在區(qū)間()上單調(diào)遞增，
同理可求得在區(qū)間()上單調(diào)遞減，
且的圖象關(guān)于直線，對稱，
方程即，
∴當(dāng)時，方程有兩個不同的解x1，x2.，
由單調(diào)性知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
且，，，
∴當(dāng)時，方程有兩個不同的解x1，x2.，
∴，實數(shù)的取值范圍是.
又∵的圖象關(guān)于直線對稱，∴，即，
∴.
【小問3詳解】
將的圖像上的所有的點(diǎn)向左平移個單位，
可得函數(shù)，
再把所得圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)，
∴，
∵∴
①若，，，
此時；
②若，，，
此時；
③若，，，
此時；
④若，，，
此時．
∴綜上
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
直線與三角函數(shù)在給定區(qū)間的交點(diǎn)問題，先求出函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性，得出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合討論直線與的交點(diǎn)個數(shù).根據(jù)具體的交點(diǎn)個數(shù)得出相應(yīng)的參數(shù)范圍.

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