TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22993" 【題型1 求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)】 PAGEREF _Tc22993 \h 1
\l "_Tc1410" 【題型2 根據(jù)平均數(shù)求參數(shù)的值】 PAGEREF _Tc1410 \h 3
\l "_Tc14241" 【題型3 求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)】 PAGEREF _Tc14241 \h 5
\l "_Tc25563" 【題型4 根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)求參數(shù)的值】 PAGEREF _Tc25563 \h 7
\l "_Tc12502" 【題型5 根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題】 PAGEREF _Tc12502 \h 9
\l "_Tc18586" 【題型6 根據(jù)方差求值】 PAGEREF _Tc18586 \h 12
\l "_Tc27169" 【題型7 根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性】 PAGEREF _Tc27169 \h 14
\l "_Tc23622" 【題型8 四種統(tǒng)計(jì)量的選擇】 PAGEREF _Tc23622 \h 17
\l "_Tc3612" 【題型9 利用已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)求相關(guān)數(shù)據(jù)的平均數(shù)】 PAGEREF _Tc3612 \h 19
\l "_Tc31350" 【題型10 統(tǒng)計(jì)量的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc31350 \h 21
\l "_Tc8135" 【題型11 從統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度】 PAGEREF _Tc8135 \h 27
【知識(shí)點(diǎn)1 平均數(shù)】
算術(shù)平均數(shù)：
加權(quán)平均數(shù)：（、…的權(quán)分別是、…）
新數(shù)據(jù)的平均數(shù)：當(dāng)所給數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的上下波動(dòng)時(shí)，一般選用簡(jiǎn)化公式：。
其中，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較“整”的數(shù)，，，…，。是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)（通常把叫做原數(shù)據(jù)，叫做新數(shù)據(jù)）。
【題型1 求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)】
【例1】（2023春·河北衡水·八年級(jí)?？计谥校┠承＝M織學(xué)生進(jìn)行繪畫(huà)比賽，對(duì)參賽作品按A，B，C，D四個(gè)等級(jí)進(jìn)行評(píng)定，四個(gè)等級(jí)的分?jǐn)?shù)分別為A級(jí)5分，B級(jí)4分，C級(jí)2分，D級(jí)1分．現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生繪畫(huà)作品的評(píng)定結(jié)果進(jìn)行分析，并根據(jù)各等級(jí)的人數(shù)繪制了如圖所示的條形圖和不完整的扇形圖，條形圖不小心被撕掉了一塊，則被調(diào)查學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為（ ）

A．3分B．3.1分C．3.2分D．3.3分
【答案】D
【分析】先根據(jù)A， D等級(jí)的人數(shù)和，及圓心角的度數(shù)和求出總?cè)藬?shù)，再根據(jù)各級(jí)的度數(shù)和總?cè)藬?shù)分別求出B 級(jí)、C 級(jí)的人數(shù)，最后根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求出答案．
【詳解】解：A， D等級(jí)的人數(shù)和為4+2=6人，圓心角的度數(shù)和為360°?144°?108°=108°，
被調(diào)查學(xué)生的總?cè)藬?shù)為6÷108360=20人，
B等級(jí)的人數(shù)20×144360=8人，
C等級(jí)的人數(shù)20×108360=6人，
則被調(diào)查學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為5×4+8×4+6×2+2×120=3.3分，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)A， D等級(jí)的人數(shù)和，及圓心角的度數(shù)和求出總?cè)藬?shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023秋·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某校健美操隊(duì)共有10名隊(duì)員，統(tǒng)計(jì)隊(duì)員的年齡情況，結(jié)果如下：13歲3人，14歲5人，15歲2人．該健美操隊(duì)隊(duì)員的平均年齡為 ．
【答案】13.9 歲
【分析】根據(jù)平均數(shù)的求法可直接進(jìn)行求解．
【詳解】解：健美操隊(duì)隊(duì)員的平均年齡為13×3+14×5+15×210=13.9（歲），
故答案為：13.9歲．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)，熟練掌握求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在2，4，6，8中再添加一個(gè)數(shù)，使得添加前、后兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則添加的數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)平均數(shù)的公式求出數(shù)據(jù)2，4，6，8的平均數(shù)，根據(jù)題意可知添加的一個(gè)數(shù)據(jù)是平均數(shù)，從而求解．
【詳解】解：∵2+4+6+84=5，
∴添加的數(shù)為5，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了算術(shù)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo)．
【變式1-3】（2023秋·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某學(xué)校規(guī)定，學(xué)生的學(xué)期學(xué)業(yè)成績(jī)由三部分組成：平時(shí)成績(jī)占10%，期中成績(jī)占30%，期末成績(jī)占60%，李明的平時(shí)、期中、期末成績(jī)分別為90分，90分，80分，則李明本學(xué)期的學(xué)業(yè)成績(jī)?yōu)椋? ）
A．90分B．88分C．86分D．84分
【答案】D
【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可．
【詳解】解：李明本學(xué)期的學(xué)業(yè)成績(jī)?yōu)椋?br>90×10%+90×30%+80×60%=84，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【題型2 根據(jù)平均數(shù)求參數(shù)的值】
【例2】（2023春·湖北宜昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2022年6月10日公布了2022年1至5月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)上漲為1.5%，其中城市上漲1.6%，農(nóng)村上漲1.2%，請(qǐng)問(wèn)在全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)構(gòu)成中，城市的權(quán)重為 ．（百分比）
【答案】75％
【分析】根據(jù)城市上漲1.6%，農(nóng)村上漲1.2%可得相應(yīng)方程，列式計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)城市的權(quán)重為x，
根據(jù)題意得：1.6%+1.2%1?x=1.5%
故答案為：75％．
【點(diǎn)睛】本題考查權(quán)重的意義，根據(jù)權(quán)重的意義列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若n個(gè)數(shù)的平均數(shù)是2n，則這n個(gè)數(shù)的總和為 ．
【答案】2n2
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)總和=平均數(shù)×數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，即可求解．
【詳解】解：若n個(gè)數(shù)的平均數(shù)是2n，則這n個(gè)數(shù)的總和為2n×n=2n2；
故答案為：2n2．
【點(diǎn)睛】此題考查了平均數(shù)，關(guān)鍵是要掌握平均數(shù)的計(jì)算方法．
【變式2-2】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)校考期末）已知一組數(shù)據(jù)0，2，x，3，5的平均數(shù)是x?1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ．
【答案】114
【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義可得關(guān)于x的方程，解方程求出x即得答案．
【詳解】解：∵數(shù)據(jù)0，2，x，3，5的平均數(shù)是x?1，
∴0+2+x+3+55=x?1，
解得：x=154，
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為154?1=114；
故答案為：114．
【點(diǎn)睛】本題考查了求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，熟練掌握平均數(shù)的計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·湖南懷化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知A組的數(shù)據(jù)2，3，0，x，y的平均數(shù)為0，B組數(shù)據(jù)1，2，?y，2x，0的平均數(shù)為1，現(xiàn)將A、B兩組數(shù)據(jù)合成一組數(shù)據(jù)C，求C組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差．
【答案】C組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為12，方差為5.225
【分析】計(jì)算A組數(shù)據(jù)和B組數(shù)據(jù)的和，再除以10，即可求出C組數(shù)據(jù)的平均數(shù)； 根據(jù)平均數(shù)的定義，求出x和y的值，最后根據(jù)方差的定義 ，即可求出C組數(shù)據(jù)的方差．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：
C組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：0×5+1×510=12，
∴2+3+0+x+y+1+2?y+2x+010=8+3x10=12，
解得：x=?1，
∵A組數(shù)據(jù)平均數(shù)為0，
∴2+3+0+x+y5=4+y5=0，
解得：y=?4，
∴C組數(shù)據(jù)的方差=1102?122+3?122+0?122+?1?122+?4?122+1?122+2?122+4?122+?2?122+0?122
=5.225．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平均數(shù)和方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平均數(shù)和方差的定義以及求法．
【知識(shí)點(diǎn)2 眾數(shù)與中位數(shù)】
眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。
中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按由小到大(或由大到小)的順序排列。如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則稱(chēng)處于中間位置的數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則稱(chēng)中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。
【題型3 求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)】
【例3】（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）某小組6名同學(xué)積極參加班級(jí)組織的為災(zāi)區(qū)捐款活動(dòng)，他們捐款的數(shù)額分別是（單位：元）：50，30，50，50，40，70．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A．40，50B．45，50C．50，50D．50，70
【答案】C
【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：30，40，50，50，50，70，
最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是(50+50)÷2=50，
則中位數(shù)是50；
50出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是50；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)的定義，熟練掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，在中間的一個(gè)數(shù)字(或者兩個(gè)數(shù)字的平均值)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．
【變式3-1】（2023春·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某市五月連續(xù)10天的最高氣溫統(tǒng)計(jì)如下：
則最高氣溫的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）．
A．28°C，29°CB．29°C，28°CC．28.5°C，28°CD．29°C，29°C
【答案】D
【分析】中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，由此即可得到答案．
【詳解】解：由表格可得：
29°C出現(xiàn)的次數(shù)最多，有4次，故最高氣溫的中位數(shù)是29°C，
將10個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列為：27°C、27°C、28°C、28°C、29°C、29°C、29°C、29°C、30°C、31°C，
處在最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)為29°C、29°C，
故中位數(shù)為：29°C+29°C2=29°C，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)的定義，熟練掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谀┮淮螆F(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽，某小組6名同學(xué)的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖（有三個(gè)數(shù)據(jù)被遮蓋），則眾數(shù)與中位數(shù)是（ ）
A．81，81B．80，81C．81，80.5D．80，81.5
【答案】C
【分析】根據(jù)平均數(shù)的意義求出C的得分，再根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義求解即可．
【詳解】解：C的得分為：80×6?77?81?80?82?79=81，
這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是81，共出現(xiàn)2次，因此眾數(shù)是81，
將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，中位數(shù)的第3、第4個(gè)數(shù)的平均數(shù)，
則中位數(shù)是80+812=80.5；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，理解平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的意義，掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·湖南懷化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）兩組數(shù)據(jù)：3，a，2b，5與a，6，b的平均數(shù)都是6，若將這兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)，那么構(gòu)成的這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)是（ ）
A．6，8B．8，6C．6，6D．8，7
【答案】B
【分析】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式可得∶a+2b=32?3?5，a+b=24?6，解方程組可得a=8b=4，根據(jù)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)按照大小順序排列后，最中間的數(shù)或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵兩組數(shù)據(jù)：3，a，2b，5與a，6，b的平均數(shù)都是6，
∴a+2b=24?3?5a+b=18?6，
解得∶a=8b=4，
若將這兩組數(shù)據(jù)合并一組數(shù)據(jù)，按從小到大的順序排列為3，4，5，6，8，8，8，
一共7個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)是6，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，
8出現(xiàn)了3次，最多，即眾數(shù)為8．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算公式和眾數(shù)，中位數(shù)的概念，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平均數(shù)的計(jì)算公式和眾數(shù)，中位數(shù)的概念．
【題型4 根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)求參數(shù)的值】
【例4】（2023春·河北衡水·八年級(jí)?？计谥校┢呙瑢W(xué)某月閱讀課外書(shū)的數(shù)量分別是6，3，3，4，5，4，3（單位：本），小明該月閱讀了x本課外書(shū)，將x添加到前面這組數(shù)據(jù)后，這列數(shù)的中位數(shù)不變，則x可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)中位數(shù)的意義求解即可．
【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：3，3，3，4，4，5，6，則中位數(shù)為4，
∵增加一個(gè)數(shù)x后，這列數(shù)的中位數(shù)仍不變，
則這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：3，3，3，4，x，4，5，6，或3，3，3，x，4，4，5，6，
∴ 4+ x2=4，
解得x=4．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)，理解中位數(shù)的意義是正確解答的前提，將一組數(shù)據(jù)從小到大排序找出中間位置的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）五名同學(xué)進(jìn)行投籃練習(xí)，規(guī)定每人投20次，統(tǒng)計(jì)他們每人投中的次數(shù)，得到5個(gè)數(shù)據(jù)，若這5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，唯一眾數(shù)是7.設(shè)另外兩個(gè)數(shù)據(jù)分別是a，b，則a+b的值不可能是（ ）
A．1B．5C．9D．10
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，a，b一定是小于6的非負(fù)整數(shù)，且不相等，由此判斷即可．
【詳解】解：∵中位數(shù)是6，唯一眾數(shù)是7，
∴兩個(gè)較小的數(shù)一定是小于6的非負(fù)整數(shù)，且不相等，
∴兩個(gè)較小的數(shù)最大為4和5，
∴a+b的值不可能是10．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查利用中位數(shù)和眾數(shù)求未知數(shù)據(jù)，掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023秋·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┯幸粋€(gè)數(shù)據(jù)樣本為：3，4，5，5，a，b，c，已知這個(gè)樣本的眾數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義可知a，b，c中有2個(gè)4，或3個(gè)都為4，不能是5，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：眾數(shù)的定義可知a，b，c中有2個(gè)4，或3個(gè)都為4，
設(shè)a=b=4，c≠5，
則c≤4或c>5，
∴這組數(shù)據(jù)為3，c，a，b，4，5，5，或3，a，b，4，5，5，c，
則中位數(shù)為4．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)的定義，中位數(shù)的定義，掌握中位數(shù)與眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023秋·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）當(dāng)五個(gè)整數(shù)從小到大排列，中位數(shù)為8，若這組數(shù)中的唯一眾數(shù)為10，則這5個(gè)整數(shù)的和最大可能是（ ）
A．39B．40C．41D．42
【答案】C
【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分析可得答案．
【詳解】解：因?yàn)槲鍌€(gè)整數(shù)從小到大排列后，其中位數(shù)是8，這組數(shù)據(jù)的唯一眾數(shù)是10．
所以這5個(gè)數(shù)據(jù)分別是x，y，8，10，10，且xy，
∴x≥8，
當(dāng)x=8時(shí)，y=7，中位數(shù)是第19、20兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，都為60分，則中位數(shù)為60分，符合題意；
當(dāng)x=9時(shí)，y=6，中位數(shù)是第19、20兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，則中位數(shù)為（50+60）÷2=55分，不符合題意；
同理當(dāng)x=10，11，12，13，14，15時(shí)，中位數(shù)都不等于60分，不符合題意．
∴x=8，y=7．
∴x2-y=64-7=57．
故答案為57．
【點(diǎn)睛】本題結(jié)合代數(shù)式求值考查了眾數(shù)與中位數(shù)的意義．眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個(gè)；中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．本題的關(guān)鍵是確定x、y之值．
【變式5-2】（2023春·福建莆田·八年級(jí)莆田第二十五中學(xué)?？计谀┬∶鹘y(tǒng)計(jì)了某校八年級(jí)（3）班五位同學(xué)每周課外閱讀的平均時(shí)間，其中四位同學(xué)每周課外閱讀時(shí)間分別是5小時(shí)、8小時(shí)、10小時(shí)、4小時(shí)，第五位同學(xué)每周的課外閱讀時(shí)間既是這五位同學(xué)每周課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)，又是眾數(shù)，則第五位同學(xué)每周課外閱讀時(shí)間是（ ）
A．5小時(shí)B．8小時(shí)C．5或8小時(shí)D．5或8或10小時(shí)
【答案】C
【分析】利用眾數(shù)及中位數(shù)的定義解答即可．
【詳解】解：當(dāng)?shù)谖逦煌瑢W(xué)的課外閱讀時(shí)間為4小時(shí)時(shí)，此時(shí)五個(gè)數(shù)據(jù)為4,4,5,8,10，眾數(shù)為4，中位數(shù)為5，不合題意；
當(dāng)?shù)谖逦煌瑢W(xué)的課外閱讀時(shí)間為5小時(shí)時(shí)，此時(shí)五個(gè)數(shù)據(jù)為4,5,5,8,10，眾數(shù)為5，中位數(shù)為5，符合題意；
當(dāng)?shù)谖逦煌瑢W(xué)的課外閱讀時(shí)間為8小時(shí)時(shí)，此時(shí)五個(gè)數(shù)據(jù)為4,5,8,8,10，眾數(shù)為8，中位數(shù)為8，符合題意；
當(dāng)?shù)谖逦煌瑢W(xué)的課外閱讀時(shí)間為10小時(shí)時(shí)，此時(shí)五個(gè)數(shù)據(jù)為4,5,8,10,10，眾數(shù)為10，中位數(shù)為8，不合題意；故第五位同學(xué)的每周課外閱讀時(shí)間為5或8小時(shí)．故答案為C．
【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)及中位數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是根申請(qǐng)題意，并結(jié)合題意分類(lèi)討論解答．
【變式5-3】（2023·江西萍鄉(xiāng)·萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）為了弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化，八年級(jí)（1）班12月份開(kāi)展誦讀經(jīng)典名著活動(dòng)．全班27名學(xué)生該月閱讀經(jīng)典名著數(shù)量的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，但被撕了一塊兒．已知該月閱讀經(jīng)典名著數(shù)量的中位數(shù)是4本，則下列哪一選項(xiàng)中的人數(shù)是無(wú)法確定的？（ ）
A．3本以下B．4本以下C．5本以下D．6本以下
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得閱讀經(jīng)典名著3本以下的人數(shù)為7，再由中位數(shù)為4本，可得閱讀經(jīng)典名著4本以下的人數(shù)，從而得到閱讀經(jīng)典名著6本以下的人數(shù)，即可求解．
【詳解】解：閱讀經(jīng)典名著3本以下的人數(shù)為3+4=7．
∵中位數(shù)為4本，該班共有27人，
∴將閱讀經(jīng)典名著的數(shù)量按從小到大的順序排列后，第14個(gè)數(shù)據(jù)為4本，
結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖得：閱讀經(jīng)典名著4本以下的人數(shù)為3+4+6=13．
∴閱讀經(jīng)典名著6本以下的人數(shù)為27?2=25．
閱讀經(jīng)典名著5本以下的人數(shù)無(wú)法確定，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)的意義，明確題意，準(zhǔn)確從統(tǒng)計(jì)圖獲取信息是解題的關(guān)鍵．
【知識(shí)點(diǎn)3 方差】
方差：
方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小。
【題型6 根據(jù)方差求值】
【例6】（2023春·河北滄州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若一組數(shù)據(jù)2，3，4，5，x的方差與另一組數(shù)據(jù)25，26，27，28，29的方差相等，則x的值為( )
A．1B．6C．1或6D．5或6
【答案】C
【分析】先求出數(shù)據(jù)25，26，27，28，29的方差，再求出數(shù)據(jù)2，3，4，5，x的方差，可得到關(guān)于x的方程，即可求解．
【詳解】解：數(shù)據(jù)25，26，27，28，29的平均數(shù)為：1525+26+27+28+29=27，
∴該組數(shù)據(jù)的方差為1525?272+26?272+27?272+28?272+29?272=2，
數(shù)據(jù)2，3，4，5，x的平均數(shù)為152+3+4+5+x=14+x5，
∴該組數(shù)據(jù)的方差為152?14+x52+3?14+x52+4?14+x52+5?14+x52+x?14+x52，
∵兩組數(shù)據(jù)的方差相同，
∴152?14+x52+3?14+x52+4?14+x52+5?14+x52+x?14+x52=2，
解得：x=1或6．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方差，熟練掌握方差的求法是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023秋·河北張家口·八年級(jí)張家口市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）在對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，小華列出了方差的計(jì)算公式s2=2?x2+(3?x)2+(3?x)2+(4?x)2n，由公式提供的信息，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．樣本的容量是4B．樣本的中位數(shù)是3C．樣本的眾數(shù)是3D．樣本的平均數(shù)是3.5
【答案】D
【分析】先根據(jù)方差的計(jì)算公式得出樣本數(shù)據(jù)，從而可得樣本的容量，再根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)的定義、平均數(shù)的計(jì)算公式逐項(xiàng)判斷即可得．
【詳解】由方差的計(jì)算公式得：這組樣本數(shù)據(jù)為2,3,3,4
則樣本的容量是4，選項(xiàng)A正確
樣本的中位數(shù)是3+32=3，選項(xiàng)B正確
樣本的眾數(shù)是3，選項(xiàng)C正確
樣本的平均數(shù)是2+3+3+44=3，選項(xiàng)D錯(cuò)誤
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)與眾數(shù)的定義、平均數(shù)與方差的計(jì)算公式等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)方差的計(jì)算公式正確得出樣本數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）兩組數(shù)據(jù)：3，a，2b，5與a，6，b的平均數(shù)都是6，則a= ，若將這兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的方差為 ．
【答案】 8 267
【分析】首先根據(jù)平均數(shù)的定義列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，再解方程組求得a、b的值，然后根據(jù)方差公式即可求出結(jié)果．
【詳解】解：∵兩組數(shù)據(jù)：3，a，2b，5與a，6，b的平均數(shù)都是6，
∴ a+2b=24?3?5a+b=18?6，
解得a=8，b=4，
則新數(shù)據(jù)3，8，8，5，8，6，4，
∴方差為17×[3?62+3×8?62+5?62+6?62+4?62]=267．
故答案為：8，267．
【點(diǎn)睛】此題考查了平均數(shù)和方差，掌握方差公式和平均數(shù)公式是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023春·北京門(mén)頭溝·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小天收集了五種不同品牌手機(jī)的快速充電和普通充電的充電時(shí)長(zhǎng)數(shù)據(jù)如下表：

已知這五種手機(jī)的普通充電時(shí)長(zhǎng)的方差與快速充電時(shí)長(zhǎng)的方差相等，則x＝ ．
【答案】46或56
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同這個(gè)結(jié)論即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：∵這五種手機(jī)的普通充電時(shí)長(zhǎng)的方差與快速充電時(shí)長(zhǎng)的方差相等，
∴數(shù)據(jù)174，176，178，180，182都減去128后為：46，48，50，52，54，
數(shù)據(jù)174，176，178，180，182都減去126后為：48，50，52，54，56，
即這組數(shù)據(jù)可能是46，48，50，52，54或48，50，52，54，56，
∴x=46或56，
故答案為：46或56．
【點(diǎn)睛】本題考查方差、平均數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵利用結(jié)論：數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
【題型7 根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性】
【例7】（2023春·浙江衢州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是我市某天早上和晚上各四個(gè)整點(diǎn)時(shí)的氣溫折線統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖判斷該天早上和晚上的氣溫更穩(wěn)定的是 ．（填“早上”“晚上”）
【答案】晚上
【分析】方差就是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)，根據(jù)方差公式計(jì)算即可，所以計(jì)算方差前要先算出平均數(shù)，然后再利用方差公式計(jì)算．
【詳解】解：x早上＝（18+19+21+22）÷4＝20，
x晚上＝（22+20+20+18）÷4＝20，
S早上2＝[（18﹣20）2+（19﹣20）2+（21﹣20）2+（22﹣20）2]÷4＝2.5，
S晚上2＝[（22﹣20）2+（20﹣20）2+（20﹣20）2+（18﹣20）2]÷4＝2，
∵S早上2＞S晚上2，
∴晚上的氣溫更穩(wěn)定．
故答案為：晚上．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方差的計(jì)算方法，方差是各變量值與其平均值的差平方的平均數(shù)，它是測(cè)算數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的最重要的方法．
【變式7-1】（2023春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是甲，乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的10次射擊訓(xùn)練成績(jī)的折線統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知甲，乙平均成績(jī)均為8.5環(huán)，則甲，乙的10次射擊成績(jī)的方差S甲2，S乙2的大小關(guān)系是 ．

【答案】S甲2>S乙2
【分析】從折線圖中得出甲乙的射擊成績(jī)，再利用方差公式計(jì)算即可．
【詳解】解：由圖可知，
甲的成績(jī)?yōu)?、9、7、8、10、7、9、10、7、10，
乙的成績(jī)?yōu)?、7、8、9、8、9、10、9、9、9
S甲2=1103×7?8.52+2×8?8.52+2×9?8.52+3×10?8.52=1.45，
S乙2=1102×7?8.52+2×8?8.52+5×9?8.52+10?8.52=0.45，
∴S甲2>S乙2，
故填：S甲2>S乙2．
【點(diǎn)睛】本題考查方差的計(jì)算，熟練掌握平均數(shù)和方差的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春·北京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）2023年4月，北京市每日最高氣溫的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，有下列三個(gè)結(jié)論：①若按每日最高氣溫由高到低排序，4月4日排在第30位；②4月7日到4月8日氣溫上升幅度最大；③若記4月上旬（1日至10日）的最高氣溫的方差為s12，中旬(11日至20日)的最高氣溫的方差為s22，下旬（21日至30日）的最高氣溫的方差為s32，則s2286.6，
∴乙的平均成績(jī)最高，
∴學(xué)校將錄用乙．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了加權(quán)平均數(shù)的含義和求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：數(shù)據(jù)的權(quán)能夠反映數(shù)據(jù)的相對(duì)“重要程度”，要突出某個(gè)數(shù)據(jù)，只需要給它較大的“權(quán)”，權(quán)的差異對(duì)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生直接的影響．
【變式8-3】（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立一百周年的校園歌唱比賽中，7名同學(xué)的成績(jī)各不相同．按照成績(jī)?nèi)∏?名進(jìn)入決賽，如果小明知道了自己的比賽成績(jī)，要判斷能否進(jìn)入決賽，小明需要知道這7名同學(xué)成績(jī)的（ ）
A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．眾數(shù)D．方差
【答案】B
【分析】由于比賽取前3名參加決賽，共有7名選手參加，根據(jù)中位數(shù)的意義分析即可．
【詳解】解：7個(gè)不同的成績(jī)按從小到大排序后，中位數(shù)之后的共有3個(gè)數(shù)，故只要知道自己的成績(jī)和中位數(shù)就可以知道是否進(jìn)入決賽了，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查中位數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是正確的求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
【題型9 利用已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)求相關(guān)數(shù)據(jù)的平均數(shù)】
【例9】（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)是2，方差是3，則2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1的平均數(shù)和方差分別是 ， ．
【答案】 5 12
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式分別求解即可得到答案．
【詳解】解：∵數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)是2，方差是3，
∴x=15x1+x2+x3+x4+x5=2；s2=15x1?x2+x2?x2+x3?x2+x4?x2+x5?x2
=15x1?22+x2?22+x3?22+x4?22+x5?22=3，
∴ 2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1的平均數(shù)為152x1+1+2x2+1+2x3+1+2x4+1+2x5+1
=152x1+x2+x3+x4+x5+5
=2×15x1+x2+x3+x4+x5+15×5
=5；
2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1的方差為152x1+1?52+2x2+1?52+2x3+1?52+2x4+1?52+2x5+1?52
=152x1?42+2x2?42+2x3?42+2x4?42+2x5?42
=154x1?22+4x2?22+4x3?22+4x4?22+4x5?22
=4×15x1?22+x2?22+x3?22+x4?22+x5?22
=4×3
=12，
故答案為：5；12．
【點(diǎn)睛】本題考查求平均數(shù)與方差，熟記求平均數(shù)與方差的公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）將一組數(shù)據(jù)中的每一數(shù)減去40后，所得新的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，則原來(lái)那組數(shù)據(jù)的平均數(shù) ．
【答案】42
【分析】根據(jù)所有數(shù)據(jù)均減去40后平均數(shù)也減去40，從而得出答案．
【詳解】解：一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)減去40后的平均數(shù)是2，則原數(shù)據(jù)的平均數(shù)是42；
故答案為：42．
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是牢記“一組數(shù)據(jù)減去同一個(gè)數(shù)后，平均數(shù)也減去這個(gè)數(shù)”．
【變式9-2】（2023春·廣西玉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：x1，x2，的平均數(shù)是a,x11，x12，的平均數(shù)是b,則x1，x2，的平均數(shù)是（ ）
A．a(chǎn)＋bB．a(chǎn)+b2C．10a+50b60D．10a+40b50
【答案】D
【分析】根據(jù)平均數(shù)及加權(quán)平均數(shù)的定義解答即可.
【詳解】∵x1，x2，的平均數(shù)是a，x11，x12，的平均數(shù)是b,
∴x1，x2，的平均數(shù)是：10a+40b10+40=10a+40b50.
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)及加權(quán)平均數(shù)的求法，熟練運(yùn)用平均數(shù)及加權(quán)平均數(shù)的定義求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谀┮阎獢?shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)為m，方差為s2，則數(shù)據(jù)kx1+b，kx2+b，?，kxn+b的平均數(shù)為 ，方差為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ．
【答案】 km+b k2s2 ks
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義列式計(jì)算即可．
【詳解】∵數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)為m，方差為s2，
∴x1+x2+...+xnn=m，s2=1n[(x1?m)2+(x2?m)2+...+(xn?m)2]，
∵kx1+b+kx2+b+...+kxn+bn=k(x1+x2+...+xn)n+nbn=km+b，
∴數(shù)據(jù)kx1+b，kx2+b，?，kxn+b的平均數(shù)為km+b，
∵1n[(kx1+b?km?b)2+(kx2+b?km?b)2+...+(kxn+b?km?b)2]
=1n[(kx1?km)2+(kx2?km)2+...+(kxn?km)2]
=1n[k2(x1?m)2+k2(x2?m)2+...+k2(xn?m)2]
=k2s2
∴數(shù)據(jù)kx1+b，kx2+b，?，kxn+b的方差為k2s2，標(biāo)準(zhǔn)差為k2s2=ks．
故答案為km+b；k2s2；ks．
【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差，熟記平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義是解題的關(guān)鍵
【題型10 統(tǒng)計(jì)量的綜合應(yīng)用】
【例10】（2023秋·陜西西安·八年級(jí)交大附中分校校考期末）五一放假前，我市某中學(xué)舉行了“喜迎二十大，筑夢(mèng)向未來(lái)”知識(shí)競(jìng)賽，數(shù)學(xué)王老師從七．八年級(jí)各隨機(jī)抽取了10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（百分制），進(jìn)行整理．描述和分析如下：成績(jī)得分用x表示（x為整數(shù)），共分成四組：
A.80≤x

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