TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27498" 【題型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】 PAGEREF _Tc27498 \h 2
\l "_Tc9883" 【題型2 根據(jù)定義直接求角的正弦、余弦、正切值】 PAGEREF _Tc9883 \h 2
\l "_Tc3209" 【題型3 根據(jù)正弦、余弦、正切的定義求邊長】 PAGEREF _Tc3209 \h 3
\l "_Tc3825" 【題型4 特殊角的三角函數(shù)值的混合運算】 PAGEREF _Tc3825 \h 4
\l "_Tc15121" 【題型5 構造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】 PAGEREF _Tc15121 \h 5
\l "_Tc27870" 【題型6 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】 PAGEREF _Tc27870 \h 6
\l "_Tc1120" 【題型7 已知角度比較三角函數(shù)值的大小】 PAGEREF _Tc1120 \h 6
\l "_Tc2256" 【題型8 根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】 PAGEREF _Tc2256 \h 7
\l "_Tc25997" 【題型9 利用同角三角函數(shù)關系求值】 PAGEREF _Tc25997 \h 7
\l "_Tc28763" 【題型10 三角函數(shù)的綜合運用】 PAGEREF _Tc28763 \h 8
【知識點 銳角三角函數(shù)】
在Rt△ABC中，∠C=90°，則的三角函數(shù)如下表：
特殊角的三角函數(shù)值
【題型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】
【例1】（2023秋·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于csB的是（ ）
A．CDACB．BDCBC．CDCBD．CBAB
【變式1-1】（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）已知Rt△ABC中，∠C=90°,b為∠B的對邊，a為∠A的對邊，若b與∠A已知，則下列各式正確的是（ ）
A．a(chǎn)=bsin∠AB．a(chǎn)=bcs∠AC．a(chǎn)=btan∠AD．a(chǎn)=b÷tan∠A
【變式1-2】（2023秋·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三邊都縮小5倍，則sinA的值（ ）
A．放大5倍B．縮小5倍C．不變D．無法確定
【變式1-3】（2023秋·吉林長春·九年級?？计谥校┤鐖D是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，AD垂直地面，垂足為點D，BC⊥AD，垂足為點C．設∠ABC=α，下列關系式正確的是（ ）
A．sinα=ABBCB．sinα=BCABC．sinα=ABACD．sinα=ACAB
【題型2 根據(jù)定義直接求角的正弦、余弦、正切值】
【例2】（2023秋·重慶萬州·九年級統(tǒng)考期末）直角三角形紙片ABC，兩直角邊BC=4，AC=8，現(xiàn)將△ABC紙片按如圖那樣折疊，使A與電B重合，折痕為DE，則tan∠CBE的值是（ ）
A．12B．34C．1D．43
【變式2-1】（2023·內(nèi)蒙古·二模）如圖，在?ABCD中，AD>AB，按如下步驟作圖：①以點A為圓心，以AB的長為半徑作弧，交AD于點E，②分別以點B，E為圓心，以大于號12BE的長為半徑在BE右側(cè)作弧，兩弧交于點G，③射線AG交BC于點F．若AB=5，BE=6，則cs∠AFB的值為( )

A．34B．43C．35D．45
【變式2-2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預測）已知正方形ABCD中，AB=3，點E為直線BC上一點，BE=2EC，連接AE．則sin∠DAE的值為 ．
【變式2-3】（2023·福建龍巖·九年級統(tǒng)考自主招生）如圖，在△ABC中，點F為其重心，連接AF、BF并延長分別交BC、AC于點D、E，且AB=AC=13，CD=5，則cs∠EBC= ．
【題型3 根據(jù)正弦、余弦、正切的定義求邊長】
【例3】（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，四邊形ABCD是邊長為8的正方形，E是邊CB延長線上的一點，BE=6．點F在該正方形的邊上運動，當CF=AE時，設直線CF與直線EA相交于點H，則FH的長為 ．

【變式3-1】（2023秋·福建泉州·九年級福建省泉州第一中學?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，點G為△ABC的重心，若AC=6，tan∠ABG=13，那么BC的長等于 ．

【變式3-2】（2023春·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=3，BE=4，DE=5．

(1)求證：BE⊥CD；
(2)求sin∠DAE．
【變式3-3】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，過點A作AE∥BC，且AE=DC，連接CE．
(1)求證：四邊形ADCE是矩形：
(2)若AB=5，csB=35，求CE的長．
【題型4 特殊角的三角函數(shù)值的混合運算】
【例4】（2023·四川遂寧·射洪中學校考一模）計算：?32+π?20220?2cs45°?2+?12?1．
【變式4-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）先化簡，再求代數(shù)式2a?2?1a+2÷a+6a+2的值，其中a=tan60°+2tan45°．
【變式4-2】（2023春·福建龍巖·九年級?？茧A段練習）計算：
(1)2sin45°+tan60°?2cs30°；
(2)tan60°?tan45°1+tan60°?tan45°+2sin60°+6tan230°．
【變式4-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習）先化簡，再求代數(shù)式2a?2ba÷a?2ab?b2a的值，其中a=3tan30°+1；b=2sin45°．
【題型5 構造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】
【例5】（2023秋·九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點D，將△ ACD沿直線CD折疊，點A在AB邊上的點E處，已知AC=5,DE=3，則sin∠BCE的值為（ ）

A．725B．35C．45D．2425
【變式5-1】（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE．若∠ADB=30°，則cs∠DEC的值為（ ）

A．32B．33C．277D．72
【變式5-2】（2023春·湖南永州·九年級?？奸_學考試）如圖，在2×4的方格中，兩條線段的夾角（銳角）為∠1，則tan∠1= ．

【變式5-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）在△ABC中，∠ABC=60°，點D是直線BC上一點，若AB=16，BD=10BC>BD，sin∠BAD的值為
【題型6 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】
【例6】（2023·湖南衡陽·?？寄M預測）在△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且tanB?3+2csA?32=0，則△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【變式6-1】（2023秋·上海青浦·九年級?？计谥校┰凇鰽BC中，若AB=AC=2，BC=23，則∠A= 度．
【變式6-2】（2023秋·云南昆明·九年級云大附中校考期末）若菱形的周長為82，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（ ）
A．6：1B．5：1C．4：1D．3：1
【變式6-3】（2023春·浙江杭州·九年級專題練習）在△ABC中，AB=6，∠B為銳角且csB=12，tanC=33．
(1)求∠B的度數(shù)．
(2)求BC的長．
(3)求△ABC的面積．
【題型7 已知角度比較三角函數(shù)值的大小】
【例7】（2023秋·湖南衡陽·九年級湖南省衡南縣第一中學?？茧A段練習）三角函數(shù)sin40°、cs16°、tan50°之間的大小關系是（ ）
A．tan50°>cs16°>sin40°B．cs16°>sin40°>tan50°
C．cs16°>tan50°>sin40°D．tan50°>sin40°>cs16°
【變式7-1】（2023春·九年級課時練習）已知∠B是△ABC中最小的內(nèi)角，則tanB的取值范圍是 ．
【變式7-2】（2023春·九年級單元測試）在Rt△ABC中，如果一條直角邊和斜邊的長度都縮小至原來的15，那么銳角A的各個三角函數(shù)值（ ）
A．都縮小15B．都不變C．都擴大5倍D．無法確定
【變式7-3】（2023·上海靜安·?？家荒＃┤绻?°cs70°>tan70°B．tan70°>cs70°>sin70°
C．tan70°>sin70°>cs70°D．cs70°>tan70°>sin70°
【變式9-2】（2023春·全國·九年級專題練習）求證：若α為銳角，則sin2α+cs2α=1．要求：
(1)如圖，銳角α和線段m，用尺規(guī)作出一個以線段m為直角邊，α為內(nèi)角，∠ACB為90°的Rt△ABC（保留作圖痕跡，不寫作法）．
(2)根據(jù)（1）中所畫圖形證明該命題．
【變式9-3】（2023春·九年級單元測試）已知：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：

如圖1：sin2∠A1+sin2∠B1=
如圖2：sin2∠A2+sin2∠B2=
如圖3：sin2∠A3+sin2∠B3=
①觀察上述等式，猜想：如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2∠A+sin2∠B= ；
②如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想；
③已知：∠A+∠B=90°，且sin∠A=0.7，求sin∠B．
【題型10 三角函數(shù)綜合運用】
【例10】（2023秋·上海浦東新·九年級校考階段練習）如圖，已知在△ABC中，AD是邊BC上的高，E是邊AC的中點，BC=AD=20，csB=35．求：

(1)線段BD的長；
(2)∠EDC的余切值．
【變式10-1】（2023秋·福建泉州·九年級校考階段練習）如圖，在平直角坐標系中，OB=10，cs∠AOB=45，點A的坐標為20,0．

(1)求點B的坐標；
(2)求sin∠OAB的值．
【變式10-2】（2023·福建莆田·?？寄M預測）如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，E是AB上靠近點A的三等分點，連接DE，延長EA至點F，使得AF=AE，連接CF．

(1)試判斷DE與CF的位置關系，并說明理由；
(2)CE與AD交于點G，若∠CED=90°，求證：G是AD的中點；
(3)在（2）的條件下，連接BG，求sin∠CBGsin∠ABG的取值范圍．
【變式10-3】（2023·山東濱州·九年級統(tǒng)考自主招生）在學習完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個這樣的問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α（用含sinα，csα的式子表示）．聰明的小雯同學是這樣考慮的：如圖2，取AB的中點O，連接OC，過點C作CD⊥AB于點D，則∠COB=2α，然后利用銳角三角函數(shù)在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，則可以求出
sin2α=CDOC=sinα?AC12=sinα?csα12=2sinα?csα．

閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1．
(1)如圖3，∠ACB=90°，AB=1，若BC=12，則sinα=______，sin2α=______；
(2)請你參考閱讀材料中的推導思路，求出tan2α的表達式（用含sinα，csα的式子表示）．
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定 義
表達式
取值范圍
關 系
正弦
(∠A為銳角)
余弦
(∠A為銳角)
正切
(∠A為銳角)
三角函數(shù)
30°
45°
60°
1

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