TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27498" 【題型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】 PAGEREF _Tc27498 \h 2
\l "_Tc9883" 【題型2 根據(jù)定義直接求角的正弦、余弦、正切值】 PAGEREF _Tc9883 \h 4
\l "_Tc3209" 【題型3 根據(jù)正弦、余弦、正切的定義求邊長】 PAGEREF _Tc3209 \h 8
\l "_Tc3825" 【題型4 特殊角的三角函數(shù)值的混合運算】 PAGEREF _Tc3825 \h 13
\l "_Tc15121" 【題型5 構(gòu)造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】 PAGEREF _Tc15121 \h 15
\l "_Tc27870" 【題型6 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】 PAGEREF _Tc27870 \h 20
\l "_Tc1120" 【題型7 已知角度比較三角函數(shù)值的大小】 PAGEREF _Tc1120 \h 24
\l "_Tc2256" 【題型8 根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】 PAGEREF _Tc2256 \h 26
\l "_Tc25997" 【題型9 利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值】 PAGEREF _Tc25997 \h 27
\l "_Tc28763" 【題型10 三角函數(shù)的綜合運用】 PAGEREF _Tc28763 \h 30
【知識點 銳角三角函數(shù)】
在Rt△ABC中，∠C=90°，則的三角函數(shù)如下表：
特殊角的三角函數(shù)值
【題型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】
【例1】（2023秋·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于csB的是（ ）
A．CDACB．BDCBC．CDCBD．CBAB
【答案】C
【分析】根據(jù)已知可得∠B=∠ACD，然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
在Rt△ACD中，cs∠ACD=CDAC，
∴csB=CDAC，
故A不符合題意；
B．在Rt△DBC中，csB=BDCB，故B不符合題意；
C．在Rt△DBC中，cs∠BCD=CDCB，
∵∠A≠45°，
∴∠B≠45°，
∴∠B≠∠BCD，
∴csB≠CDCB，
故C符合題意；
D．在Rt△ABC中，csB=CBAB，故D不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關(guān)與角度位置無關(guān)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）已知Rt△ABC中，∠C=90°,b為∠B的對邊，a為∠A的對邊，若b與∠A已知，則下列各式正確的是（ ）
A．a(chǎn)=bsin∠AB．a(chǎn)=bcs∠AC．a(chǎn)=btan∠AD．a(chǎn)=b÷tan∠A
【答案】C
【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義列出算式，然后變形計算即可．
【詳解】解：如圖所示：tanA=ab，
則a=btan∠A．
故選：C．
【點睛】此題考查銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023秋·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三邊都縮小5倍，則sinA的值（ ）
A．放大5倍B．縮小5倍C．不變D．無法確定
【答案】C
【分析】直接利用銳角的正弦的定義求解．
【詳解】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的對邊與斜邊的比，
∵△ABC的三邊都縮小5倍，
∴∠A的對邊與斜邊的比不變，
∴sinA的值不變．
故選：C．
【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°．銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．
【變式1-3】（2023秋·吉林長春·九年級?？计谥校┤鐖D是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，AD垂直地面，垂足為點D，BC⊥AD，垂足為點C．設(shè)∠ABC=α，下列關(guān)系式正確的是（ ）
A．sinα=ABBCB．sinα=BCABC．sinα=ABACD．sinα=ACAB
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴sinα=ACAB，
故選：D．
【點睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
【題型2 根據(jù)定義直接求角的正弦、余弦、正切值】
【例2】（2023秋·重慶萬州·九年級統(tǒng)考期末）直角三角形紙片ABC，兩直角邊BC=4，AC=8，現(xiàn)將△ABC紙片按如圖那樣折疊，使A與電B重合，折痕為DE，則tan∠CBE的值是（ ）
A．12B．34C．1D．43
【答案】B
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出BE=AE，設(shè)CE=x，則BE=AE=8?x，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得出BC2+CE2=BE2，列出方程求出x的值，最后根據(jù)正切的定義，即可解答．
【詳解】解：∵△ADE沿DE折疊得到△BDE，
∴BE=AE，
設(shè)CE=x，則BE=AE=8?x，
在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理可得：BC2+CE2=BE2，
即42+x2=8?x2，解得：x=3，
∴tan∠CBE=CEBC=34，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，正切的定義，解題的關(guān)鍵是掌握折疊前后對應(yīng)邊相等．
【變式2-1】（2023·內(nèi)蒙古·二模）如圖，在?ABCD中，AD>AB，按如下步驟作圖：①以點A為圓心，以AB的長為半徑作弧，交AD于點E，②分別以點B，E為圓心，以大于號12BE的長為半徑在BE右側(cè)作弧，兩弧交于點G，③射線AG交BC于點F．若AB=5，BE=6，則cs∠AFB的值為( )

A．34B．43C．35D．45
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，證明?ABFE是菱形，再根據(jù)勾股定理可得OF=BF2?BO2=4，即可解得．
【詳解】∵以點A為圓心，以AB的長為半徑作弧，交AD于點E，
∴AB=AE，
∵分別以點B，E為圓心，以大于號12BE的長為半徑在BE右側(cè)作弧，兩弧交于點G，
∴∠EAF=∠BAF，
∵AE∥BF，
∴∠EAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴?ABFE是菱形，
∴AF⊥BE，即∠BOF=90°，
∵BE=6，
∴BO=12BE=3，
根據(jù)勾股定理可得，
OF=BF2?BO2=4
∴cs∠AFB=45，
故選：D．

【點睛】此題考查了基本作圖-作角平分線、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形的性質(zhì)．
【變式2-2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方形ABCD中，AB=3，點E為直線BC上一點，BE=2EC，連接AE．則sin∠DAE的值為 ．
【答案】55或31313
【分析】由正方形性質(zhì)， BC=AB=3，AD∥BC，得∠DAE=∠AEB；分情況討論：若點E在線段BC上，可求BE1=2，AE1=13，于是sin∠DAE1=sin∠BE1A=31313；若點E在線段BC延長線上，可求E2C=BC=3，BE2=6，AE2=35，于是sin∠DAE2=sin∠AE2B=55．
【詳解】解：正方形ABCD中，BC=AB=3，AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB.
若點E在線段BC上，則BE1+E1C=32BE1=3
∴BE1=2.
∴AE1=AB2+BE12=32+22=13.
∴sin∠DAE1=sin∠BE1A=ABAE1=313=31313；
若點E在線段BC延長線上，則BE2?E2C=E2C=BC=3，
∴BE2=6.
∴AE2=AB2+BE22=32+62=35.
∴sin∠DAE2=sin∠AE2B=ABAE2=335=55．
∴sin∠DAE的值為55或31313．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，正弦的定義；根據(jù)正方形性質(zhì)求解相關(guān)線段是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023·福建龍巖·九年級統(tǒng)考自主招生）如圖，在△ABC中，點F為其重心，連接AF、BF并延長分別交BC、AC于點D、E，且AB=AC=13，CD=5，則cs∠EBC= ．
【答案】54141/54141
【分析】先根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得到AD為△ABC的中線，AF=2DF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，BD=CD=5，則利用勾股定理得到AD=12，所以DF=4，接著計算出BF，然后根據(jù)余弦的定義求解．
【詳解】解：∵點F為△ABC的重心，
∴AD為△ABC的中線，AF=2DF，
∵AB=AC=13，CD=5，
∴AD⊥BC，BD=CD=5，
在Rt△ABD中， AD=AB2?BD2=132?52=12，
∴DF=13AD=4，
在Rt△BDF中，BF＝BF=BD2+DF2=52+42=41，
∴cs∠FBD=BDBF=541=54141．
故答案為：54141．
【點睛】本題考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形．
【題型3 根據(jù)正弦、余弦、正切的定義求邊長】
【例3】（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是邊長為8的正方形，E是邊CB延長線上的一點，BE=6．點F在該正方形的邊上運動，當(dāng)CF=AE時，設(shè)直線CF與直線EA相交于點H，則FH的長為 ．

【答案】53或65
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC=8，∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=82+62=10，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sin∠EAB=BEAE=35．由CF=AE，點F在該正方形的邊上可知點F在邊AB和AD上，①當(dāng)點F在邊AB上時，如圖，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠BCF，BE=BF=6，求得AF=8?6=2，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到FH=65；②當(dāng)點F在邊AD上時，如圖，同理可證Rt△ABE≌Rt△CBFHL，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=DF=6，求得AF=8?6=2，∠CFD=∠E，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=∠HAF，求得AH=FH，過點H作HG⊥AF于G，得到AG=FG=1，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到FG=53．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是邊長為8的正方形，
∴AB=BC=8，∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=82+62=10，
∴sin∠EAB=BEAE=610=35．
由CF=AE，點F在該正方形的邊上可知點F在邊AB和AD上，
當(dāng)點F在邊AB上時，如圖，

在Rt△ABE和Rt△CBF中，
AE＝CFAB＝CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBFHL，
∴∠BAE=∠BCF，BE=BF=6，
∴AF=8?6=2，
∵∠AFH=∠BFC，∠FAH+∠AFH+∠AHF=∠BCF+∠BFC+∠CBF=180°，
∴∠AHF=∠CBF=90°，
∴sin∠FAH=FHAF=FH2=35，
∴FH=65；
當(dāng)點F在邊AD上時，如圖，

同理可證Rt△ABE≌Rt△CDFHL，
∴BE=DF=6，
∴AF=AD?DF=8?6=2，∠CFD=∠E，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥EC，
∴∠E=∠HAF，
∵∠CFD=∠AFH，
∴∠HAF=∠AFH，
∴AH=FH，
∴△AFH是等腰三角形，
過點H作HG⊥AF于G，則AG=FG=12AF=1，
在Rt△AFG中，cs∠GFH=FGFH=1FH=cs∠E=BEAE=35，
∴FG=53；
綜上所述：FH的長為：53或65．
故答案為：53或65．
【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023秋·福建泉州·九年級福建省泉州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，點G為△ABC的重心，若AC=6，tan∠ABG=13，那么BC的長等于 ．

【答案】313
【分析】點G為△ABC的重心，就是三角形的三條中線交點，因此延長BG交AC于點D，利用中線的定義求出AD，利用正切的定義求出AB，最后利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：延長BG交AC于點D，

∵點G為△ABC的重心，
∴BD是中線，
∴AD=12AC=3，
∵tan∠ABG=13
∴ADAB=13，
∴AB=9，
∴BC=AB2+AC2=313，
故答案為：313．
【點睛】本題考查了重心概念、正切的定義以及勾股定理等知識，根據(jù)重心概念添加合適輔助線，構(gòu)造直角三角形求解是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=3，BE=4，DE=5．

(1)求證：BE⊥CD；
(2)求sin∠DAE．
【答案】(1)見解析
(2)55
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC=AB，AD=CB，DC∥AB，推出∠DEA=∠EAB，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得出∠DAE=∠DEA，推出AD=DE=5，得出AB=CD=8，由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；
（2）由平行線得出∠ABE=∠BEC=90°，由勾股定理求出AE=45，最后利用銳角三角函數(shù)解答即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC=AB，AD=BC，DC∥AB，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE=5，
∴BC=5，AB=CD=DE+CE=8，
∵CE2+BE2=32+42=25=BC2，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC=90°，
∴BE⊥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC=90°，
∴AE=AB2+BE2=82+42=45，
∴sin∠DAE=sin∠EAB=BEAE=445=55．
【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定、三角函數(shù)等知識點，證明AD=DE是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，過點A作AE∥BC，且AE=DC，連接CE．
(1)求證：四邊形ADCE是矩形：
(2)若AB=5，csB=35，求CE的長．
【答案】(1)見解析
(2)4
【分析】（1）根據(jù)題意可得四邊形ADCE是平行四邊形，根據(jù)三線合一得出AD⊥BC，可得∠ADC=90°，即可得證；
（2）根據(jù)csB=35=BDAB得出BD=35AB=3，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得出AD=4，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵ AE∥BC，且AE=DC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵ AB=AC，D是BC的中點，
∴ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°，
∴平行四邊形ADCE是矩形；
（2）解：∵ ∠ADC=90°，AB=5，csB=35=BDAB，
∴ BD=35AB=3，
在Rt△ABD中，
根據(jù)勾股定理得：AD=AB2?BD2=52?32=4，
由（1）可知，四邊形ADCE是矩形，
∴ CE=AD=4，即CE的長為4．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，三線合一，已知余弦求邊長，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【題型4 特殊角的三角函數(shù)值的混合運算】
【例4】（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？家荒＃┯嬎悖?32+π?20220?2cs45°?2+?12?1．
【答案】2
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值運算及負整數(shù)指數(shù)冪分別求解，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．
【詳解】解：原式=3+1?2×22?2+?2
=4?2?2?2
=4?2+2?2
=2
【點睛】本題考查實數(shù)的運算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．
【變式4-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習(xí)）先化簡，再求代數(shù)式2a?2?1a+2÷a+6a+2的值，其中a=tan60°+2tan45°．
【答案】1a?2，33
【分析】先將分子分母因式分解，除法改寫為乘法，括號里面通分計算，再根據(jù)分式混合運算的運算法則和運算順序進行化簡，然后根據(jù)特殊角度的銳角三角函數(shù)值混合運算，求出a的值，最后將a的值代入計算即可．
【詳解】解：2a?2?1a+2÷a+6a+2
=2a+4a?2a+2?a?2a+2a?2×a+2a+6
=a+6a?2a+2×a+2a+6
=1a?2；
∵a=tan60°+2tan45°=3+2×1=2+3，
∴原式=1a?2=12+3?2=33．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算順序和法則，熟記各個特殊角度的銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）計算：
(1)2sin45°+tan60°?2cs30°；
(2)tan60°?tan45°1+tan60°?tan45°+2sin60°+6tan230°．
【答案】(1)1
(2)4
【分析】（1）先將各個特殊角度的銳角三家函數(shù)值化簡，再進行計算即可；
（2）先將各個特殊角度的銳角三家函數(shù)值化簡，再進行計算即可．
【詳解】（1）解：2sin45°+tan60°?2cs30°
=2×22+3?2×32
=1+3?3
=1；
（2）解：tan60°?tan45°1+tan60°?tan45°+2sin60°+6tan230°
=3?11+3×1+2×32+6×332
=3?11+3+3+6×13
=3?121+33?1+3+2
=4?232+3+2
=2?3+3+2
=4．
【點睛】本題主要考查了特殊角度的銳角三角函數(shù)值的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟記各個特殊角度的銳角三角函數(shù)值．
【變式4-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求代數(shù)式2a?2ba÷a?2ab?b2a的值，其中a=3tan30°+1；b=2sin45°．
【答案】2a?b；233
【分析】分別化簡代數(shù)式和字母的值，再代入計算．
【詳解】原式=2a?ba÷a2?2ab+b2a
=2a?ba?aa?b2
=2a?b，
∵a=3tan30°+1=3×33+1=3+1；b=2sin45°=2×22=1，
∴原式=2a?b=23+1?1=233．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，分母有理化，特殊角三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是先化簡，然后把給定的值代入求解．
【題型5 構(gòu)造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】
【例5】（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點D，將△ ACD沿直線CD折疊，點A在AB邊上的點E處，已知AC=5,DE=3，則sin∠BCE的值為（ ）

A．725B．35C．45D．2425
【答案】A
【分析】作EF⊥BC于點F，先這么∠ACD=∠B，再根據(jù)折疊的性質(zhì)、勾股定理得到∠DCE=∠B,CD=4，由余弦定義得到CDCE=BFBE=45，由正弦定義得到sin∠B=ACAB=EFBE，據(jù)此設(shè)BF=4x,BE=5x，EF=3x，解出x=715，從而得到EF=75，最后根據(jù)正弦定義解答即可．
【詳解】解：如圖，作EF⊥BC于點F，

在Rt△ABC中，
∵AC⊥BC
∴AC∥EF
∴∠A=∠BEF
∵CD⊥AB,∠A+∠ACD=∠BEF+∠B=90°
∴∠ACD=∠B
∵折疊
∴AC=CE=5,DE=AD=3 ,∠ACD=∠DCE
∴∠DCE=∠B,CD=52?32=4
∴cs∠DCE=cs∠B
∴CDCE=BFBE=45
設(shè)BF=4x,BE=5x
∴EF=3x
∴sin∠B=ACAB=EFBE
∴56+5x=3x5x
∴x=715
∴EF=3x=75
sin∠BCE=EFCE=755=725
故選：A．
【點睛】本題考查正弦、余弦、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE．若∠ADB=30°，則cs∠DEC的值為（ ）

A．32B．33C．277D．72
【答案】C
【分析】過C作CF⊥BD于F，設(shè)AB=x，根據(jù)矩形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得BE=12x，DF=12x，CF=32x，在Rt△CFE中，利用勾股定理求得CE=72x，然后根據(jù)余弦定義求解即可．
【詳解】解：過C作CF⊥BD于F，則∠AEB=∠CFD=∠CFB=90°，設(shè)AB=x，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=x，∠BAD=∠ADC=90°，
∵∠ADB=30°，
∴BD=2AB=2x，∠DAE=∠CDE=60°，
∴∠BAE=∠DCF=30°，
∴BE=12AB=12x，DF=12CD=12x，
則CF=CD2?DF2=x2?12x2=32x，
在Rt△CFE中，EF=BD?BE?DF=x，
∴CE=CF2+EF2=32x2+x2=72x，
∴cs∠DEC=EFCE=x72x=277，
故選：C．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及余弦定義，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·湖南永州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在2×4的方格中，兩條線段的夾角（銳角）為∠1，則tan∠1= ．

【答案】1
【分析】由勾股定理的逆定理可得∠CED=90°，可得∠EDC=∠ECD=45°，由平行線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求解．
【詳解】解：如圖，取格點E，連接CE,DE，則CE∥AB，

∵CE=5，DE=5，CD=10，
∴DE=CE，CE2+DE2=10=CD2，
∴∠CED=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
∵CE∥AB，
∴∠1=∠DCE=45°，
∴tan∠1=1，
故答案為：1．
【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理的逆定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習(xí)）在△ABC中，∠ABC=60°，點D是直線BC上一點，若AB=16，BD=10BC>BD，sin∠BAD的值為
【答案】5314或54386
【分析】分兩種情況：點D在線段BC上，點D在線段BC的反向延長線上，分別畫出圖形，進行求解即可．
【詳解】解：如圖1，點D在線段BC上，過點A作AE⊥BC于點E，過點B作BF⊥AD于點F，
在△ABE中，∠ABC=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=16，
∴BE=12AB=8，
∴AE=AB2?BE2=162?82=83，
∵BD=10，
∴DE=BD?BE=10?8=2，
∴AD=AE2+DE2=832+22=14，
∵S△ABD=12AD?BF=12BD?AE，
∴BF=BD?AEAD=10×8314=4037，
∴sin∠BAD=BFAB=403716=5314；
如圖2，點D在線段BC的反向延長線上，過點A作AE⊥BC于點E，過點B作BF⊥AD于點F，
在△ABE中，∠ABC=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=16，
∴BE=12AB=8，
∴AE=AB2?BE2=162?82=83，
∵BD=10，
∴DE=BD+BE=10+8=18，
∴AD=AE2+DE2=832+182=2129，
∵S△ABD=12AD?BF=12BD?AE，
∴BF=BD?AEAD=10×832129=404343，
∴sin∠BAD=BFAB=40434316=54386；
綜上可知，sin∠BAD的值為5314或54386．
故答案為：5314或54386
【點睛】此題考查了求銳角三角函數(shù)、勾股定理、含30°角的直角三角形等知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．
【題型6 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】
【例6】（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測）在△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且tanB?3+2csA?32=0，則△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出tanB與csA的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、∠B的值即可．
【詳解】解：∵tanB?3+2csA?32＝0，
∴tanB?3=0，2csA?32=0，
∴tanB=3，2csA?3=0，
∴∠B=60°，csA=32，∠A=30°，
在△ABC中，∠C=180°?60°?30°=90°，且∠A≠∠B，
∴△ABC是直角三角形．
故選：C．
【點睛】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，并充分利用非負數(shù)的性質(zhì)．
【變式6-1】（2023秋·上海青浦·九年級校考期中）在△ABC中，若AB=AC=2，BC=23，則∠A= 度．
【答案】120°
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求得12∠A=60°，即可求得∠A=120°
【詳解】∵在△ABC中，AB=AC=2，BC=23
∴△ABC是等腰三角形，
過點A作AD⊥BC，
∴BD=12BC=3，∠BAD=12∠A
∴sin∠BAD=BDAB=32，
∴∠BAD=60°，
∴∠A=120°，
故答案為：120°
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，能夠結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解銳角三角函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵
【變式6-2】（2023秋·云南昆明·九年級云大附中?？计谀┤袅庑蔚闹荛L為82，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（ ）
A．6：1B．5：1C．4：1D．3：1
【答案】D
【分析】如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2，利用菱形的性質(zhì)得到AB=22，利用正弦的定義得到∠B=45°，則∠C=135°，從而得到∠C:∠B的比值．
【詳解】解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2，
∵菱形的周長為82，
∴AB=22，
在RtΔABH中，sinB=AHAB=222=22，
∴∠B=45°，
∵AB//CD，
∴∠C=135°，
∴∠C:∠B=3:1．
故選：D．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．
【變式6-3】（2023春·浙江杭州·九年級專題練習(xí)）在△ABC中，AB=6，∠B為銳角且csB=12，tanC=33．
(1)求∠B的度數(shù)．
(2)求BC的長．
(3)求△ABC的面積．
【答案】(1)∠B=60°
(2)BC=4
(3)△ABC的面積為63
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)值直接得到∠B的度數(shù)．
（2）過點A作AH⊥BC于H，根據(jù)csB=12求出BH=3，利用勾股定理求出AH，再利用tanC=33求出CH=1，進而求出BC的長；
（3）根據(jù)面積公式直接計算可得．
【詳解】（1）∵∠B為銳角且csB=12，
∴∠B=60°；
（2）過點A作AH⊥BC于H，
∵csB=12，
∴BHAB=12，
∵AB=6，
∴BH=3，
在Rt△ABH中，AH=AB2?BH2=62?32=33，
∵tanC=33，
∴AHCH=33，
即33CH=33，
解得CH=1，
∴BC=BH+CH=3+1=4；
（3）S△ABC=12BC?AH=12×4×33=63．
【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握各銳角的三角函數(shù)值及各銳角三角函數(shù)的計算公式是解題的關(guān)鍵．
【題型7 已知角度比較三角函數(shù)值的大小】
【例7】（2023秋·湖南衡陽·九年級湖南省衡南縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三角函數(shù)sin40°、cs16°、tan50°之間的大小關(guān)系是（ ）
A．tan50°>cs16°>sin40°B．cs16°>sin40°>tan50°
C．cs16°>tan50°>sin40°D．tan50°>sin40°>cs16°
【答案】A
【分析】首先把sin40°、cs16°轉(zhuǎn)換成相同的銳角三角函數(shù)；再根據(jù)正弦值是隨著角的增大而增大，進行分析，可以知道1＞sin74°＞sin40°，又根據(jù)正切值隨著角度增大而增大，因此tan50°＞tan45°=1，即可得出正確選項．
【詳解】解：∵sinα=cs90°?α（0≤α≤90°），
∴cs16°=sin90°?16°=sin74°，sin90°=1
∴1＞sin74°＞sin40°，
∵tan50°＞tan45°=1，
∴tan50°>sin74°>sin40°，
∴tan50°>cs16°>sin40°，
故選：A．
【點睛】本題考查三角函數(shù)值的大小比較，掌握正余弦的轉(zhuǎn)換方法：一個角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的變化規(guī)律是本題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·九年級課時練習(xí)）已知∠B是△ABC中最小的內(nèi)角，則tanB的取值范圍是 ．
【答案】0＜tanB≤3
【分析】在三角形中，最小的內(nèi)角應(yīng)不大于60度，找到相應(yīng)的正切值即可，再根據(jù)tan60°=3和一個銳角的正弦值隨著角的增大而增大，進行分析．
【詳解】解：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，易知三角形的最小內(nèi)角不大于60°．
根據(jù)題意，知：
0°＜∠B≤60°．
又tan60°=3，
∴0＜tanB≤3．
故答案為: 0＜tanB≤3
【點睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、特殊角的銳角三角函數(shù)值和銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律，得出0°＜∠B≤60°是解題關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春·九年級單元測試）在Rt△ABC中，如果一條直角邊和斜邊的長度都縮小至原來的15，那么銳角A的各個三角函數(shù)值（ ）
A．都縮小15B．都不變C．都擴大5倍D．無法確定
【答案】B
【分析】在Rt△ABC中，如果一條直角邊和斜邊的長度都縮小至原來的15，根據(jù)勾股定理可知，另一條直角邊也縮小至原來的15，再根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似，可知這兩個直角三角形相似，由相似三角形的對應(yīng)角相等，可知銳角A的大小不變，所以銳角A的各個三角函數(shù)值也都不變．
【詳解】解：在Rt△ABC中，設(shè)∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，則b=c2?a2．
如果在△A′B′C′中，B′C′=15a，A′B′=15c，即一條直角邊a和斜邊c的長度都縮小至原來的15．
那么由勾股定理，可知A′C′=（15c）2?（15a）2=15b．
∵15a：a=15b：b=15c：c，∴△A′B′C′∽△ABC，∴∠A′=∠A，∴銳角A的各個三角函數(shù)值都不變．
故選B．
【點睛】根據(jù)已知條件得出∠A的大小不變，是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023·上海靜安·?？家荒＃┤绻?°

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