考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共50題，其中選擇題15題，填空題15題，解答題20題. 題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了解直角三角形的中考?？碱}的綜合問題的所有類型！
一、選擇題（共15題）
1．（2022·湖北武漢·中考真題）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O=60°，則tan∠ABC=（ ）
A．13B．12C．33D．32
【答案】C
【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．
【詳解】解：連接AD，如圖：
∵網(wǎng)格是有一個角60°為菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=33．
故選：C．
【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于點D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，則△DBC的面積是（ ）
A．3314B．9314C．337D．637
【答案】A
【分析】過點C作CE⊥AB的延長線于點E，由等高三角形的面積性質(zhì)得到S△DBC:S△ABC=3:7，再證明△ADB～△ACE，解得ABAE=47，分別求得AE、CE長，最后根據(jù)△ACE的面積公式解題．
【詳解】解：過點C作CE⊥AB的延長線于點E，
∵△DBC與△ADB是等高三角形，
S△ADB:S△DBC=AD:DC=47AC:37AC=4:3
∴S△DBC:S△ABC=3:7
∵BD⊥AB
∴ △ADB～△ACE
∴S△ADBS△ACE=(ADAC)2=(47ACAC)2=1649
∴ABAE=47
∵AB=2
∴AE=72
∴BE=72?2=32
∵∠ABC=150°,
∴∠CBE=180°?150°=30°
∴CE=tan30°?BE=32
設(shè)S△ADB=4x,S△DBC=3x
∴S△ACE=494x
∴ ∴494x=12×72×32
∴x=314
∴3x=3314，
故選：A．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
3．（2022·浙江寧波·中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于點D，BD=3．若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則EF的長為（ ）
A．33B．32C．1D．62
【答案】C
【分析】根據(jù)條件可知△ABD為等腰直角三角形，則BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC長，再根據(jù)中位線定理可知EF=AC2。
【詳解】解：因為AD垂直BC，
則△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因為∠B=45°,∠C=60°,
所以AD=BD=3，
因為sin∠C=ADAC=32，
所以AC=2，
因為EF為△ABC的中位線，
所以EF=AC2=1，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識，根據(jù)條件分析利用定理推導(dǎo)，是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2022·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E在BC的延長線上，連接DE，點F是DE的中點，連接OF交CD于點G，連接CF，若CE=4，OF=6．則下列結(jié)論：①GF=2；②OD=2OG；③tan∠CDE=12；④∠ODF=∠OCF=90°；⑤點D到CF的距離為855．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤
【答案】C
【分析】由題意易得BC=CD,BO=OD=OA=OC,∠BDC=45°,∠BCD=∠DCE=90°，①由三角形中位線可進(jìn)行判斷；②由△DOC是等腰直角三角形可進(jìn)行判斷；③根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解；④根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；⑤過點D作DH⊥CF，交CF的延長線于點H，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD,BO=OD=OA=OC,∠BDC=45°,∠BCD=∠DCE=90°，AC⊥BD，
∵點F是DE的中點，
∴OF=12BE,OF//BE，
∵OF=6，CE=4，
∴BE=12，則CD=BC=8，
∵OF∥BE，
∴△DGF∽△DCE，
∴DGCD=GFCE=12，
∴GF=2，故①正確；
∴點G是CD的中點，
∴OG⊥CD，
∵∠ODC=45°，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴OD=2OG，故②正確；
∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，
∴tan∠CDE=CECD=12，故③正確；
∵tan∠CDE=12≠1，
∴∠CDE≠45°，
∴∠ODF≠90°，故④錯誤；
過點D作DH⊥CF，交CF的延長線于點H，如圖所示：
∵點F是CD的中點，
∴CF=DF，
∴∠CDE=∠DCF，
∴tan∠CDE=tan∠DCF=12，
設(shè)DH=x，則CH=2x，
在Rt△DHC中，x2+4x2=64，
解得：x=±855，
∴DH=855，故⑤正確；
∴正確的結(jié)論是①②③⑤；
故選C．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，在△ABC中，點O是角平分線AD、BE的交點，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（ ）

A．12B．2C．63D．64
【答案】A
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AD⊥BC，BD=12BC=6，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角的面積公式得ABBD=AOOD=106，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：AB＝AC＝10，BC＝12， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=12BC=6，
∴AD=102?62=8，
過點O作OF⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴OF=OD，
∵S△AOBS△DOB=AOOD=12AB?OF12BD?OD=ABBD

∴ABBD=AOOD=106，即：8?ODOD=106，解得：OD=3，
∴tan∠OBD=ODBD=36=12，
故選A．
【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，推出ABBD=AOOD，是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC:BC=1:2，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P1,1，則tan∠OAP的值是（ ）
A．33B．22C．13D．3
【答案】C
【分析】由P1,1可知，OP與x軸的夾角為45°，又因為OP∥AB，則△OAB為等腰直角形，設(shè)OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他線段進(jìn)而求解．
【詳解】∵P點坐標(biāo)為（1，1），
則OP與x軸正方向的夾角為45°，
又∵OP∥AB，
則∠BAO=45°，△OAB為等腰直角形，
∴OA=OB，
設(shè)OC=x，則OB=2OC=2x，
則OB=OA=3x，
∴tan∠OAP=OCOA=x3x=13．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點坐標(biāo)推出特殊角是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點D是AC上一點，連接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=13，則CD的長為（ ）
A．25B．3C．5D．2
【答案】C
【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出AC=25，再由勾股定理求出AB=5,過點D作DE⊥AB于點E，依據(jù)三角函數(shù)值可得DE=12AE,DE=13BE,從而得BE=32AE，再由AE+BE=5得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=5，從而可求出CD．
【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，
∴tan∠A=BCAC=12
∴AC=2BC=25,
由勾股定理得,AB=AC2+BC2=(25)2+(5)2=5
過點D作DE⊥AB于點E，如圖，
∵tan∠A=12，tan∠ABD=13，
∴DEAE=12,DEBE=13,
∴DE=12AE,DE=13BE,
∴12AE=13BE
∴BE=32AE
∵AE+BE=5,
∴AE+32AE=5
∴AE=2,
∴DE=1,
在RtΔADE中,AD2=AE2+DE2
∴AD=AE2+DE2=22+12=5
∵AD+CD=AC=25,
∴CD=AC?AD=25?5=5,
故選：C
【點睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則cs∠BAC的值是（ ）
A．55B．105C．255D．45
【答案】C
【分析】過點C作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：過點C作AB的垂線交AB于一點D，如圖所示，
∵每個小正方形的邊長為1，
∴AC=5,BC=10,AB=5，
設(shè)AD=x，則BD=5?x，
在Rt△ACD中，DC2=AC2?AD2,
在Rt△BCD中，DC2=BC2?BD2,
∴10?(5?x)2=5?x2，
解得x=2，
∴cs∠BAC=ADAC=25=255，
故選：C．
【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形．
9．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在△ABC中，sinB=13， tanC=2，AB=3，則AC的長為（ ）
A．2B．52C．5D．2
【答案】B
【分析】過A點作AH⊥BC于H點，先由sin∠B及AB=3算出AH的長，再由tan∠C算出CH的長，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的長．
【詳解】解：過A點作AH⊥BC于H點，如下圖所示：
由sin∠B=AHAB=13，且AB=3可知，AH=1，
由tan∠C=AHCH=2，且AH=1可知，CH=12，
∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=AH2+CH2=12+(12)2=52．
故選：B．
【點睛】本題考查了解直角三角形及勾股定理等知識，如果圖形中無直角三角形時，可以通過作垂線構(gòu)造直角三角形進(jìn)而求解．
10．（2022·四川綿陽·中考真題）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則sinθ?csθ2=( )
A．15B．55C．355D．95
【答案】A
【分析】根據(jù)正方形的面積公式可得大正方形的邊長為55，小正方形的邊長為5，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系列式即可求解．
【詳解】解：∵大正方形的面積是125，小正方形面積是25，
∴大正方形的邊長為55，小正方形的邊長為5，
∴55csθ?55sinθ=5，
∴csθ?sinθ=55，
∴sinθ?csθ2=15．
故選A．
【點睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形的面積，難度適中，解題的關(guān)鍵是正確得出csθ?sinθ=55．
11．（2022·貴州遵義·中考真題）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計算tan15°時，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=12+3=2?32+32?3=2?3．類比這種方法，計算tan22.5°的值為（ ）
A．2+1B．2﹣1C．2D．12
【答案】B
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，根據(jù)構(gòu)造的直角三角形，設(shè)AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【詳解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，設(shè)AC＝x，則：BC＝x，AB＝2x，CD＝(1+2)x，
tan22.5°=tan∠D=ACCD=x(1+2)x=2?1
故選：B.
【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀構(gòu)造含45°的直角三角形，再作輔助線得到22.5°的直角三角形.
12．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，csB=14，點D是邊BC的中點，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，連結(jié)CE，則CEAD的值為（ ）
A．32B．3C．152D．2
【答案】D
【分析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得出AD=BD=CD=12BC，在結(jié)合題意可得∠BAD=∠B=∠ADE，即證明AB//DE，從而得出∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，即易證△ADE?△CDE(SAS)，得出AE=CE．再由等腰三角形的性質(zhì)可知AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，即證明△ABD～△ADE，從而可間接推出CEAD=BDAB．最后由csB=ABBC=14，即可求出BDAB的值，即CEAD的值．
【詳解】∵在Rt△ABC中，點D是邊BC的中點，
∴AD=BD=CD=12BC，
∴∠BAD=∠B=∠ADE，
∴AB//DE．
∴∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，
∴在△ADE和△CDE中，AD=CD∠ADE=∠CDEDE=DE，
∴△ADE?△CDE(SAS)，
∴AE=CE，
∵△ADE為等腰三角形，
∴AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，
∴△ABD～△ADE，
∴DEBD=ADAB，即CEAD=BDAB．
∵csB=ABBC=14，
∴ABBD=12，
∴CEAD=BDAB=2．
故選D．
【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握各知識點并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．
13．（2022·山東淄博·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CE是斜邊AB上的中線，過點E作EF⊥AB交AC于點F．若BC=4,△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（ ）
A．35B．55C．45D．255
【答案】A
【分析】由題意易得△AEF∽△ACB，設(shè)CE=BE=AE=x，則有AB=2x，則有AC=4x2?16，EF=10x，然后可得410x=4x2?16x，過點C作CH⊥AB于點H，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可求解問題．
【詳解】解：∵EF⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠AEF=∠ACB=90°，
∴△AEF∽△ACB，
∵CE是斜邊AB上的中線，
∴CE=BE=AE=12AB，
設(shè)CE=BE=AE=x，則有AB=2x，
∵BC=4，
∴由勾股定理可得AC=AB2?BC2=4x2?16，
∵△AEF的面積為5，
∴EF=10x，
∵△AEF∽△ACB，
∴BCEF=ACAE，即410x=4x2?16x，化簡得：x4?25x2+100=0，
解得：x2=5或x2=20，
當(dāng)x2=5時，則AC=2，與題意矛盾，舍去；
∴當(dāng)x2=20時，即x=25，過點C作CH⊥AB于點H，如圖所示：
∴AB=45,AC=8，CE=25，EF//CH，
∴∠CEF=∠ECH，sin∠B=ACAB=255，
∴CH=BC?sin∠B=855，
∴HE=CE2?CH2=655，
∴sin∠CEF=sin∠ECH=HECE=35；
故選A．
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·四川巴中·中考真題）如圖，點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點上，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．sinB=13B．sinC=255
C．tanB=12D．sin2B+sin2C＝1
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而解答即可．
【詳解】解：由勾股定理得：AB=22+22=22,AC=12+12=2,BC=12+32=10,
∴BC2=AB2+AC2,
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴sinB=ACBC=210=55，sinC=ABBC=2210=255，tanB=ACAB=222=12，sin2B+sin2C=(55)2+(255)2=1，只有A錯誤．
故選擇題：A．
【點睛】此題考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長解答．
15．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，AF平分∠EAD交CD于點F， FG∥AD 交AE于點G，若csB=14，則FG的長是（ ）
A．3B．83C．2153D．52
【答案】B
【分析】過點A作AH垂直BC于點H，延長FG交AB于點P，由題干所給條件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cs∠AGP=14，即可得到FG的長；
【詳解】過點A作AH垂直BC于點H，延長FG交AB于點P，
由題意可知，AB=BC=4，E是BC的中點，
∴BE=2，
又∵csB=14，
∴BH=1，即H是BE的中點，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分線，F(xiàn)G∥AD，
∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，
又∵PF∥AD，AP∥DF，
∴PF=AD=4，
設(shè)FG=x，則AG=x，EG=PG=4-x，
∵PF∥BC，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cs∠AGP=12PGAG=2?x2x=14，
解得x=83；
故選B．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題（共15題）
16．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE．若∠ADB=30°，則如tan∠DEC的值為_____．
【答案】32
【分析】過C向BD作垂線，可以構(gòu)造出一個30°直角三角△CDF，進(jìn)而求出△AEB≌△CFD，設(shè)直角△CDF最小邊DF=a,并用a的代數(shù)式表示出其他邊，即可求出答案．
【詳解】解：過C作CF⊥BD，垂足為F點
∵矩形ABCD, ∠ADB=30°
∴AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90°,∠DBC=∠ADB=30°, AB=CD
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠DBC=90°, ∠FBC+∠FCB=∠FCB+∠FCD=90°,
∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30°
設(shè)DF=a,則CF=3a，CD=2a，BD=4a，
∵AE⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°
∴△AEB≌△CFD，
∴EB=DF=a
∴EF=4a-a-a=2a
∴tan∠DEC=CFEF=32
故答案是32．
【點睛】本題主要考察了矩形的性質(zhì)和解直角三角形知識點，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題關(guān)鍵．
17．（2022·廣東深圳·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=12,BOOD=43，則S△ABDS△CBD=___．
【答案】332
【分析】過B點作BE//AD交AC于點E，證明△ADO∽△EBO，得到AO=3OE,再證明∠ABE=∠ACB,利用tan∠ACB=BECE=tan∠ABE=AEBE=12,設(shè)OE=a,利用三角形的面積公式可得答案．
【詳解】解：過B點作BE//AD交AC于點E，∠DAC=90°,
∴ BE⊥AD，
∴△ADO∽△EBO，
∴AOEO=DOBO,
∵BOOD=43
∴AOEO=DOBO=34,
∴AO=34OE,
由tan∠ACB=12，
∴BECE=12,
∴CE=2BE,
∵∠ABC=90°,BE⊥AC,
∴∠ABE+∠CBE=90°=∠CBE+∠ACB,
∴∠ABE=∠ACB,
∴tan∠ACB=tan∠ABE=AEBE=12,
∴BE=2AE,
∴CE=2BE=4AE,
∴SΔABDSΔCBD=S△OAB+S△OADS△OCB+S△OCD
=12AO?AD+12AO?BE12OC?AD+12OC?BE=AOAD+BEOCAD+BE=AOOC
設(shè)OE=a, 則AO=34a,
∴AE=AO+OE=74a, CE=7a, OC=OE+CE=8a.
SΔABDSΔCBD=AOOC=34a8a=332.
故答案為：332
18．（2022·廣東·中考真題）如圖，在?ABCD中，AD=5,AB=12,sinA=45．過點D作DE⊥AB，垂足為E，則sin∠BCE=______．
【答案】91050
【分析】首先根據(jù)題目中的sinA，求出ED的長度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長，即可求出sin∠BCE．
【詳解】∵DE⊥AB，
∴△ADE為直角三角形，
又∵AD=5,sinA=45，
∴sinA=45=DEAD=DE5 ,
解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE=AD2?DE2=52?42=3,
又∵AB=12,
∴BE=AB?AE=12?3=9 ,
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
EC=CD2+DE2=122+42=410,
過點B作BF⊥CE，垂足為F,如圖
在△EBC中：
S△EBC=12·EB·DE=12×9×4=18 ;
又∵S△EBC=12·CE·BF=12×410·BF=210BF
∴210BF=18 ,
解得BF=91010,
在Rt△BFC中，
sin∠BCF=BFBC=91010÷5=91050,
故填：91050．
【點睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計算和等面積法求一邊上的高．
19．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=12，則tan∠DEC的值是________．
【答案】23
【分析】過點C作CF⊥BD于點F，易證ΔABE?ΔCDF(AAS)，從而可求出AE=CF，BE=FD，設(shè)AB＝a，則AD＝2a，根據(jù)三角形的面積可求出AE，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
【詳解】解：如圖，過點C作CF⊥BD于點F，設(shè)CD=2a，
在ΔABE與ΔCDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴ΔABE?ΔCDF(AAS)，
∴AE=CF，BE=FD，
∵AE⊥BD，tan∠ADB＝ABAD＝12，
設(shè)AB＝a，則AD＝2a，
∴BD＝5a，
∵S△ABD＝12BD?AE＝12AB?AD，
∴AE＝CF＝255a，
∴BE＝FD＝55a，
∴EF＝BD﹣2BE＝5a﹣255a＝355a，
∴tan∠DEC＝CFEF＝23，
故答案為：23．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·山東濱州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2．若點P是△ABC內(nèi)一點，則PA+PB+PC的最小值為____________．
【答案】7
【分析】根據(jù)題意，首先以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根據(jù)兩點之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．
【詳解】解：以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，CB′，如圖所示，
則∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，
∴△APP′是等邊三角形，
∴AP=PP′，
∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB=AB′=2，
∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB?cs∠BAC=2×cs30°=2×32=3，
∴CB′=AC2+AB′2=7，
故答案為：7．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合的思想．
21．（2022·山東德州·中考真題）如圖．在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點.ΔABC的頂點都在格點上,則∠BAC的正弦值是__________．
【答案】55
【詳解】分析：先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．
詳解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，則sin∠BAC=BCAB=55．
故答案為55．
點睛：本題考查的是勾股定理以及銳角三角函數(shù)，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．
22．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B對應(yīng)點B′落在BA的延長線上．若sin∠B′AC=910，則AC=_____．
【答案】2529
【分析】如圖，作CD⊥BB′于D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BCB′為等腰直角三角形，從而可求得CD的長，在Rt△ACD中，根據(jù)sin∠DAC=CDAC=910，即可求得AC的長.
【詳解】如圖，過點C作CD⊥BB′于D
∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B對應(yīng)點B′落在BA的延長線上
∴CB=CB′=5，∠BCB′=90°
∴△BCB′為等腰直角三角形
∴BB′=2BC=52
∵CD⊥BB′
∴CD=12BB′=522
在Rt△ACD中，sin∠DAC=CDAC=910
∴AC=522×109=2529
故答案為：2529
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
23．（2022·上海·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=32，如果將△ABC沿直線l翻折后，點B落在邊AC的中點處，直線l與邊BC交于點D，那么BD的長為________．
【答案】154
【詳解】試題分析：如圖，將△ABC沿直線l翻折后，點B落在邊AC的中點E處，過點E作AH⊥BC于點H，EF⊥BC于F，則EF是△ACH的中位線
∵AB=AC，BC=8，∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得HC=BH=4.
∵tanC=32，即tanC=AHHC=32.
∴AH=6.∴EF=3，F(xiàn)C=2.
設(shè)BD=x，則根據(jù)翻折的性質(zhì)，DE="BD=" x，
又DF=BC-BD-FC=8-x-2=6-x.
在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得x2=(6-x)2+32，解得x=154，即BD=154.
24．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在△ABC中，BC=6+2，∠C=45°，AB=2AC，則AC的長為________．
【答案】2
【分析】過A點作BC的垂線，則得到兩個直角三角形，根據(jù)勾股定理和正余弦公式，求AC的長.
【詳解】過A作AD⊥BC于D點，設(shè)AC=2x，則AB=2x，因為∠C=45°，所以AD=CD=x，則由勾股定理得BD=AB2?AD2=3x，因為BC=6+2，所以BC=3x+x=6+2，則x=2．則AC=2．
【點睛】本題考查勾股定理和正余弦公式的運用，要學(xué)會通過作輔助線得到特殊三角形，以便求解.
25．（2022·四川·中考真題）如圖，由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β 如圖所示，則csα+β=______.
【答案】217.
【分析】給圖中各點標(biāo)上字母，連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出∠α=30°，同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°結(jié)合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=3a，利用勾股定理可得出AD的長，再結(jié)合余弦的定義即可求出cs（α+β）的值．
【詳解】給圖中各點標(biāo)上字母，連接DE，如圖所示．
在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°．
同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=2×sin60°?a=3a，
∴AD=AE2+DE2=7a，
∴cs（α+β）=DEAD=217．
故答案為217．
【點睛】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及規(guī)律型：圖形的變化類，構(gòu)造出含一個銳角等于∠α+∠β的直角三角形是解題的關(guān)鍵．
26．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中點，將ΔCBH沿CH折疊，點B落在矩形內(nèi)點P處，連接AP，則tan∠HAP=__．
【答案】43
【分析】連接PB，交CH于E，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到CH垂直平分BP，∠APB=90°，即可得到AP∥HE，進(jìn)而得出∠BAP=∠BHE，依據(jù)RtΔBCH中，tan∠BHC=BCBH=43，即可得出tan∠HAP=43．
【詳解】如圖，連接PB，交CH于E，
由折疊可得，CH垂直平分BP，BH=PH，
又∵H為AB的中點，
∴AH=BH，
∴AH=PH=BH，
∴∠HAP=∠HPA，∠HBP=∠HPB，
又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB=180°，
∴∠APB=90°，
∴∠APB=∠HEB=90°，
∴AP∥HE，
∴∠BAP=∠BHE，
又∵RtΔBCH中，tan∠BHC=BCBH=43，
∴tan∠HAP=43，
故答案為43．
【點睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
27．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E為CD邊上一點，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內(nèi)點F的位置，連接AF，若tan∠BAF＝12，則CE＝_____．
【答案】5?52
【分析】已知tan∠BAF=12，可作輔助線構(gòu)造直角三角形，設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理可求出FM、BM，進(jìn)而求出FN，再利用三角形相似和折疊的性質(zhì)求出EC．
【詳解】過點F作MN∥AD，交AB、CD分別于點M、N，則MN⊥AB，MN⊥CD，
由折疊得：EC＝EF，BC＝BF＝5，∠C＝∠BFE＝90°，
∵tan∠BAF＝12＝FMAM，設(shè)FM＝x，則AM＝2x，BM＝4﹣2x，
在Rt△BFM中，由勾股定理得：
x2+（4﹣2x）2＝（5）2，
解得：x1＝1，x2＝115＞2舍去，
∴FM＝1，AM＝BM＝2，
∴FN＝5﹣1，
易證△BMF∽△FNE，
∴BFEF=BMFN，即：5EF=25?1，
解得：EF＝5?52＝EC．
故答案為5?52．
【點睛】考查矩形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、軸對稱的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)等知識，作合適的輔助線，恰當(dāng)?shù)睦妙}目中的已知條件，是解決問題的關(guān)鍵．
28．（2022·山東濰坊·中考真題）如圖，矩形ABCD中，點G，E分別在邊BC,DC上，連接AG,EG,AE，將△ABG和△ECG分別沿AG,EG折疊，使點B，C恰好落在AE上的同一點，記為點F．若CE=3,CG=4，則sin∠DAE=_______．
【答案】725
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得GE=5，BC=AD=8，證得Rt△EGF~Rt△EAG，求得EA=253，再利用勾股定理得到DE的長，即可求解．
【詳解】矩形ABCD中，GC=4，CE =3，∠C=90°，
∴GE=GC2+CE2=42+32=5，
根據(jù)折疊的性質(zhì)：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90°，
∴BG=GF=GC=4，
∴BC=AD=8，
∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180°，
∴∠AGE=90°，
∴Rt△EGF~Rt△EAG，
∴EGEA=EFEG，即5EA=35，
∴EA=253，
∴DE=AE2?AD2=(253)2?82=73，
∴sin∠DAE=DEAE=73253=725，
故答案為：725．
【點睛】本考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的知識等，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求線段的長度是本題的關(guān)鍵．
29．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，點C在線段AB上，且AC=2BC，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG，連接EC、EG，則tan∠CEG=_________．
【答案】12
【分析】設(shè)BC=a，則AC=2a，然后利用正方形的性質(zhì)求得CE、CG的長、∠GCD=ECD=45°，進(jìn)而說明△ECG為直角三角形，最后運用正切的定義即可解答．
【詳解】解：設(shè)BC=a，則AC=2a
∵正方形ACDE
∴EC=2a2+2a2=22a，∠ECD=12∠ACD=45°
同理：CG=2a,∠GCD=12∠BCD=45°
∴tan∠CEG=CGCE=2a22a=12．
故答案為12．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和正切的定義，根據(jù)正方形的性質(zhì)說明△ECG是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
30．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=3,BC=4，點D、E分別在CA、CB上，點F在△ABC內(nèi)．若四邊形CDFE是邊長為1的正方形，則sin∠FBA=________．
【答案】1010
【分析】連接AF，CF，過點F作FM⊥AB，由S△ABC=S△ACF+S△BCF+S△ABF，可得FM=1，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】解：連接AF，CF，過點F作FM⊥AB，
∵四邊形CDFE是邊長為1的正方形，
∴∠C=90°，
∴AB=32+42=5，
∵S△ABC=S△ACF+S△BCF+S△ABF，
∴12×3×4=12×3×1+12×4×1+12×5×FM，
∴ FM=1，
∵BF=4?12+12=10，
∴sin∠FBA= 110=1010．
故答案是：1010．
【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，掌握”等積法“是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共20題）
31．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段的兩個端點均在小正方形的頂點上.
(1)在圖中畫出以為底、面積為12的等腰，且點在小正方形的頂點上；
(2)在圖中畫出平行四邊形，且點和點均在小正方形的頂點上，，連接，請直接寫出線段的長.
【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析，CD= .
【詳解】試題分析：（1）因為AB為底、面積為12的等腰△ABC，所以高為4，點C在線段AB的垂直平分線上，由此即可畫出圖形；
（2）根據(jù)tan∠EAB=的值確定點E的位置，由此即可解決問題，利用勾股定理計算CD的長；
試題解析：（1）如圖所示；
（2）如圖所示，CD= =．
考點：1.作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；2.勾股定理；3.平行四邊形的判定；4.解直角三角形．
32．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在?ABCD中 過點A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點，且∠AFE=∠D．
（1）求證：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）25．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，證出∠C=∠AFB，即可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理求出BE，由三角函數(shù)求出AE，再由相似三角形的性質(zhì)求出AF的長．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，
∵∠AFB+∠AFE=180°，
∴∠C=∠AFB，
∴△ABF∽△BEC；
（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：
BE=AE2+AB2=42+82=45,
在Rt△ADE中，AE=AD?sinD=5×45=4，
∵BC=AD=5，
由（1）得：△ABF∽△BEC，
∴AFBC=ABBE，
即AF5=845，
解得：AF=25 ．
33．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，將△ABC沿著射線BC方向平移至△A′B′C′，使點A′落在∠ACB的外角平分線CD上，連接AA′．
(1)判斷四邊形ACC′A′的形狀，并說明理由；
(2)在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cs∠BAC=1213，求CB′的長．
【答案】(1)四邊形ACC′A′是菱形；理由見解析
(2)CB′=16
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理（有一組對邊平行且相等的四邊形是平四邊形）推知四邊形ACC′A′是平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得出答案；
（2）通過解直角△ABC得到AC、BC的長度，由（1）中菱形ACC′A′的性質(zhì)推知AC=AA′，由平移的性質(zhì)得到四邊形ABB′A′是平行四邊形，則AA′=BB′，所以CB′=BB′?BC．
（1）
解：四邊形ACC′A′是菱形．理由如下：
由平移的性質(zhì)得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′，
∴四邊形ACC′A′是平行四邊形，
∴∠ACC′=∠AA′C′，
∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，
∴∠ACA′=∠C′CA′，
∵AC∥A′C′，
∴∠AA′C=∠C′CA′，
∴∠ACA′=∠AA′C，
∴AA′=AC，
∴四邊形ACC′A′是菱形．
（2）
解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cs∠BAC=1213，
∴cs∠BAC=ABAC=1213，
即24AC=1213，
∴AC=26，
∴由勾股定理知：BC=AC2?AB2 =262?242 =10，
由（1）可知，四邊形ACC′A′是菱形，
∴AC=AA′=26，
由平移的性質(zhì)得到：AB∥A′B′，AB=A′B′，則四邊形ABB′A′是平行四邊形，
∴AA′=BB′=26，
∴CB′=BB′?BC=16．
【點睛】本題主要考查四邊形綜合題，涉及到菱形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、解直角三角形等，掌握相關(guān)性質(zhì)并結(jié)合圖形進(jìn)行應(yīng)用是關(guān)鍵．
34．（2022·山東濰坊·中考真題）如圖，點M是正方形ABCD邊CD上一點，連接AM，作DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，連接BE．
（1）求證：AE=BF；
（2）已知AF=2，四邊形ABED的面積為24，求∠EBF的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）sin∠EBF=21313．
【分析】（1）通過證明△ABF≌△DAE得到BF=AE；
（2）設(shè)AE=x，則BF=x，DE=AF=2，利用四邊形ABED的面積等于△ABE的面積與△ADE的面積之和得到12?x?x+12?x?2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，則EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理計算出BE，最后利用正弦的定義求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AM于點E，BF⊥AM于點F，
∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠EAD，
在△ABF和△DAE中，
∠BFA=∠DEA∠ABF=∠EADAB=DA，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE；
（2）設(shè)AE=x，則BF=x，DE=AF=2，
∵四邊形ABED的面積為24，
∴12?x?x+12?x?2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），
∴EF=x﹣2=4，
在Rt△BEF中，BE=42+62=213，
∴sin∠EBF=EFBE=4213=21313．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、解直角三角形等，熟知正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，會運用全等三角形的知識解決線段相等問題是解題的關(guān)鍵．
35．（2022·上海·中考真題）如圖，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=34．
（1）求邊AC的長；
（2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D，求ADDB的值．
【答案】（1）AC=10；（2）ADBD=35
【分析】（1）過A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，利用勾股定理求出BD的長，進(jìn)而求出AD的長，即可求出所求．
【詳解】解：（1）如圖，過點A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=34，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得：AC=32+12=10；
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF=52，
∵tan∠DBF=DFBF=34，
∴DF=158，
在Rt△BFD中，根據(jù)勾股定理得：BD=522+1582=258，
∴AD=5﹣258=158，
則ADBD=35．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線、根據(jù)邊角關(guān)系熟練應(yīng)用三角函數(shù)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵.
36．（2022·廣西賀州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分別是邊AC、AB的中點，過點C作CE∥AB交DO的延長線于點E，連接AE．
(1)求證：四邊形AECD是菱形；
(2)若四邊形AECD的面積為24，tan∠BAC=34，求BC的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)BC=6．
【分析】（1）由ASA證明△AOD≌△COE，得出對應(yīng)邊相等AD=CE，證出四邊形AECD是平行四邊形，即可得出四邊形AECD是菱形；
（2）由菱形的性質(zhì)得出AC⊥ED，再利用三角函數(shù)解答即可．
（1）
證明：∵點O是AC中點，
∴OA=OC，
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
在△AOD和△COE中，
∠DAO=∠ECOOA=OC∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴AD=CE，
∵CE∥AB，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
又∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，
∴CD=AD，
∴四邊形AECD是菱形；
（2）
解：由（1）知，四邊形AECD是菱形，
∴AC⊥ED，
在Rt△AOD中， tan∠DAO=ODOA=tan∠BAC=34，
設(shè)OD=3x，OA=4x，
則ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由題意可得：6x?8x2=24，
解得：x=1，
∴OD=3，
∵O，D分別是AC，AB的中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴BC=2OD=6．
【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，熟練掌握菱形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
37．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，點E是BC邊上的點，BE=3，連接AE，DF⊥AE交于點F．
(1)求證：△ABE≌△DFA；
(2)連接CF，求sin∠DCF的值；
(3)連接AC交DF于點G，求AGGC的值．
【答案】(1)證明見解析；(2)sin∠DCF=255；(3)AGGC=1516．
【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出AE，矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理證明；
(2)連接DE交CF于點H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AB=CD=4，AF=BE=3，證明∠DCH=∠DEC，求出sin∠DEC，得到答案；
(3)過點C作CK⊥AE交AE的延長線于點K，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AGGC=AFFK，根據(jù)余弦的概念求出EK，計算即可．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠AEB=∠DAF，
在△ABE和△AFD中，
∠AEB=∠DAF∠B=∠AFDAE=AD，
∴△ABE≌△AFD；
(2)連接DE交CF于點H，如圖，
∵△ABE≌△DFA，
∴DF=AB=CD=4，AF=BE=3，
∴EF=CE=2．
∴DE⊥CF．
∴∠DCH+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°．
∴∠DCH=∠DEC．
在Rt△DCE中，CD=4，CE=2，
∴DE=25，
∴sin∠DCF=sin∠DEC=CDDE=255．
(3) 如圖，過點C作CK⊥AE交AE的延長線于點K，則有FG//CK，
∴AGGC=AFFK．
在Rt△CEK中，
EK=CE?cs∠CEK=CE?∠AEB=2×35=65，
∴FK=FE+EK=165，
∴AGGC=AFFK=1516．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理的應(yīng)用，平行線分線段成比例定理、三角函數(shù)的應(yīng)用等，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.
38．（2022·湖南常德·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=13，AD=1．
（1）求BC的長；
（2）求tan∠DAE的值．
【答案】（1）22+1；（2）2?12
【分析】（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根據(jù)勾股定理求出BD=22，然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解．
（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．
【詳解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，
∴DC=AD=1．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=13，AD=1，
∴AB=ADsinB=113=3．
∴BD=AB2?AD2=32?12=22．
∴BC=BD+DC=22+1．
（2）∵AE是BC邊上的中線，∴CE=12BC=2+12．
∴DE=CE﹣CD=2?12．
∴tan∠DAE=DEAD=2?12．
【點睛】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解題的關(guān)鍵．
39．（2022·浙江紹興·中考真題）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．
（1）如圖1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求證∶EF=CD．
（2）如圖2，AC∶AB=1∶3，EF⊥CE，求EF∶EG的值．
【答案】（1）見解析；（2）1∶3
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據(jù)AC∶AB=1∶2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD．
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF∶EG=EQ∶EH，然后在△BEQ中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=12BE，在△AEH中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=32AE，又BE=AE，進(jìn)而求出EF∶EG的值．
【詳解】解∶（1）證明∶如圖1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，
∴∠CAD=∠B=90°－∠ACB．
∵AC∶AB=1∶2，
∴AB=2AC．
∵點E為AB的中點，
∴AB=2BE．
∴AC=BE．
在△ACD與△BEF中，
∠CAD=∠B∠ADC=∠BFE=90°AC=BE，
∴△ACD≌△BEF（AAS）．
∴CD=EF，即EF=CD．
（2）如圖2，
作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四邊形EQDH是矩形．
∴∠QEH=90°．
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG．，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH．
∴EF∶EG=EQ∶EH．
∵AC∶AB=1∶3，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sinB=EQBE=12．∴EQ=12BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cs∠AEH=EHAE=32．∴EH=32AE．
∵點E為AB的中點，∴BE=AE，
∴EF∶EG=EQ∶EH=12BE∶32AE=1∶3．
40．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，D為BC上一點，AB=5 , BD=1，tanB=34．
（1）求AD的長；（2）求sinα的值．
【答案】（1）AD=32；（2）sinα=1102.
【分析】（1）根據(jù)tanB=34，可設(shè)AC=3x，得BC=4x，再由勾股定理列出x的方程求得x，進(jìn)而由勾股定理求AD；
（2）過點D作DE⊥AB于點E，解直角三角形求得BE與DE，進(jìn)而求得結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵tanB=34，可設(shè)AC=3x，得BC=4x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴3x2+4x2=52，
解得，x=?1（舍去），或x=1，
∴AC=3 , BC=4，
∵BD=1，
∴CD=3，
∴AD=CD2+AC2=32；
（2）過點作DE⊥AB于點E，
∵tanB=34，可設(shè)DE=3y，則BE=4y，
∵AE2+DE2=BD2，
∴3y2+4y2=12，
解得，y=?15（舍），或y=15，
∴DE=35，
∴sinα=DEAD=1102．
【點睛】考核知識點：解直角三角形.理解三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵.
41．（2022·湖北宜昌·中考真題）如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊為△BFE，點F落在AD上．
（1）求證：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE=13，求tan∠EBC的值．
【答案】見解析
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°．
∵△BCE沿BE折疊為△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°．
∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°．
又∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE．
（2）在Rt△DEF中，sin∠DFE=DEEF=13，
∴設(shè)DE＝a，則EF＝3a，
∴DF=EF2?DE2=22a．
∵△BCE沿BE折疊為△BFE，
∴CE＝EF＝3a，∠EBC＝∠EBF，
∴CD＝DE＋CE＝4a，
∴AB＝4a．
又由（1）知△ABF∽△DFE，
∴FEBF=DFAB=22a4a=22．
∴tan∠EBF=FEBF=22，即tan∠EBC=tan∠EBF=22．
42．（2022·福建廈門·中考真題）已知ABCD，對角線AC與BD相交于點O，點P在邊AD上，過點P分
別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE＝PF．
（1）如圖，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度數(shù)；
（2）若點P是AD的中點，點F是DO的中點，BF ＝BC＋32－4，求BC的長．
【答案】（1）60°（2）4
【分析】（1）連接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FPO=∠EPO，從而得解．
（2）根據(jù)條件證出 ?ABCD是正方形．根據(jù)正方形的對角線與邊長的關(guān)系列式計算即可得解．
【詳解】解：（1）連接PO ,
∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，
∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）．
∴∠EPO＝∠FPO．
在Rt△PEO中， tan∠EPO＝EOPE＝33，
∴∠EPO＝30°．
∴∠EPF＝60°．
（2）∵點P是AD的中點，
∴ AP＝DP．
又∵ PE＝PF，
∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）．
∴∠OAD＝∠ODA．
∴ OA＝OD．
∴ AC＝2OA＝2OD＝BD．
∴?ABCD是矩形．
∵ 點P是AD的中點，點F是DO的中點，
∴ AO∥PF．
∵ PF⊥BD，
∴ AC⊥BD．
∴?ABCD是菱形．
∴?ABCD是正方形．
∴ BD＝2BC．
∵ BF＝34BD，
∴BC＋32－4＝324BC，
解得，BC＝4．
43．（2022·山東濱州·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為10， ∠ABC=60°，對角線AC,BD相交于點O，點E在對角線BD上，連接AE，作∠AEF=120°且邊EF與直線DC相交于點F．
(1)求菱形ABCD的面積；
(2)求證AE=EF．
【答案】(1)503
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，再根據(jù)題意及特殊角的三角函數(shù)值求出AC和BD的長度，根據(jù)菱形的面積＝對角線乘積的一半即可求解．
（2）連接EC，設(shè)∠BAE的度數(shù)為x，易得EC=AE，利用三角形的內(nèi)角和定理分別表示出∠EFC和∠ECF的度數(shù)，可得∠EFC=∠ECF，即EC=EF，又因為EC=AE，即可得到AE=EF．
(1)
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°
∴∠ABO=30°,∠AOB=90°
∵AB=10，
∴AO=ABsin30°=5，BO=ABcs30°=53
∴AC=2AO=10，BD=2BO=103
∴菱形ABCD的面積=12AC×BD=12×10×103=503
(2)
證明：如圖，連接EC，
設(shè)∠BAE的度數(shù)為x，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD是AC的垂直平分線，
∴AE=CE，∠AED=∠CED，∠EAC=∠ECA=60°-x，
∵∠ABD=30°，
∴∠AED=∠CED =30°+x，
∴∠DEF=∠AEF-∠AED=120°-（30°+x）=90°-x
∵∠BDC=12∠ADC=30°
∴∠EFC=180°-（∠DEF+∠BDC）=180°-（90°-x+30°）= x+60°，
∵∠CED =30°+x，
∴∠ECD =180°-（∠CED+∠BDC）=180°-（30°+x+30°）=120°- x，
∴∠ECF =180°-∠ECD =180°-（120°- x）= x+60°，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=EC，
∵AE=CE，
∴AE=EF．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、菱形面積的求解、特殊角的三角函數(shù)值以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
44．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，連接BD ．
(1)求BD的長；
(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合）， 點F在邊AD上，且BE=3DF，
①當(dāng)CE丄AB時，求四邊形ABEF的面積；
②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+3CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+3CF的最小值；如果不是，請說明理由．
【答案】(1)BD=63；
(2)①四邊形ABEF的面積為73；②最小值為12
【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO= 33，即可求解；
（2）過點E作AD的垂線，分別交AD和BC于點M，N， 根據(jù)菱形的面積可求出MN=33，設(shè)BE=x，則EN=12x，從而得到EM=MN-EN=33?12x，再由BE=3DF，可得DF=33x，從而得到四邊形ABEF的面積s= S△ABD - S△DEF =312x?332+2734，①當(dāng)CE⊥AB時，可得點E是△ABC重心，從而得到BE=CE=23BO=23×33=23，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點E和F分別到達(dá)點O和點H位置時，CF和CE分別達(dá)到最小值；再由s=312x?332+2734，可得當(dāng)x=33，即BE=33時， s達(dá)到最小值，從而得到此時點E恰好在點O的位置，而點F也恰好在點H位置，即可求解．
(1)
解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點為O，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BO=AB?sin60°=6×32=33，
∴BD=2BO=63；
(2)
解：如圖，過點E作AD的垂線，分別交AD和BC于點M，N，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD=63；
菱形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN=12BE
∵S菱形ABCD=12AC?BD=MN?BC，
∴MN=33，
設(shè)BE=x，則EN=12x，
∴EM=MN-EN=33?12x，
∵S菱形ABCD= AD?MN=6×33=183，
∴S△ABD= 12S菱形ABCD=93，
∵BE=3DF，
∴DF=BE3=33x，
∴S△DEF=12DF ?EM=12?33x33?12x =?312x2+32x，
記四邊形ABEF的面積為s，
∴s= S△ABD - S△DEF =93-（?312x2+32x）=312x?332+2734，
∵點E在BD上，且不在端點，∴00)，則BC=42a，
∵BP=3PC，
∴BP=32a,PC=2a，
由折疊的性質(zhì)得：∠AB′P=∠ABP=45°,PB′=PB=32a,AB′=AB=4a，
在△COP和△B′OA中，∠OCP=∠OB′A=45°∠COP=∠B′OA，
∴△COP～△B′OA，
∴OCOB′=OPOA=PCAB′=2a4a=24，
設(shè)OC=2b(b>0)，則OB′=4b,OP=32a?4b,OA=4a?2b，
∴OPOA=32a?4b4a?2b=24，
解得b=427a，
∴OA=4a?2×427a=207a，
在Rt△B′OD中，B′D=OB′?cs∠AB′P=22b=167a，
∴AD=AB′?B′D=127a，
則cs∠B′AC=ADOA=127a207a=35；
（3）∵∠ACB=30°,∠BAC=90°，
∴∠ABC=60°，
設(shè)AB=CB′=2m(m>0)，則BC=4m,AC=BC2?AB2=23m，
由折疊的性質(zhì)得：∠AB′P=∠ABP=60°,AB′=AB=2m，
∴AB′=CB′=2m，
由題意，分以下兩種情況：
①如圖，當(dāng)點B′在直線AC的左側(cè)時，過點B′作B′E⊥AC于點E，
∴CE=12AC=3m（等腰三角形的三線合一），
∴B′E=B′C2?CE2=m=12B′C，
∴在Rt△B′CE中，∠B′CE=30°，
∴∠B′CP=∠B′CE+∠ACB=30°+30°=60°，
又∵AB′=CB′，
∴∠B′AC=∠B′CE=30°，
∴∠AB′C=180°?∠B′AC?∠B′CE=120°，
∴∠CB′P=∠AB′C?∠AB′P=120°?60°=60°，
∴△CB′P是等邊三角形，
∴PC=CB′=2m，
∴PCBC=2m4m=12；
②如圖，當(dāng)點B′在直線AC的右側(cè)時，過點B′作B′F⊥AC于點F，
同理可得：∠B′CF=30°，
∴∠B′CF=∠ACB，
∴點B′在BC上，
由折疊的性質(zhì)得：AP⊥BB′，
在Rt△ABP中，BP=AB?cs∠ABC=m，
∴PC=BC?BP=3m，
∴PCBC=3m4m=34，
綜上，存在點P，使得AB=CB′，此時PCBC的值為12或34．
【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．
46．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝12∠ACB，連接BD，BE，點F是BD的中點，連接CF．
（1）當(dāng)∠CAB＝45°時．
①如圖1，當(dāng)頂點D在邊AC上時，請直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是 ．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是 ；
②如圖2，當(dāng)頂點D在邊AB上時，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；
學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：
思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM，并取BE的中點N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識來解決問題；
思路二：取DE的中點G，連接AG，CG，并把△CAG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識來解快問題．
（2）當(dāng)∠CAB＝30°時，如圖3，當(dāng)頂點D在邊AC上時，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）①∠EAB=∠ABC，CF=12BE；②仍然成立，證明見解析；（2）BE=23CF，理由見解析．
【分析】（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．首先證明AD=AE,BD=BE,再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題即可．②解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點M，BE的中點N，連接CM，MN．證明△CMF≌△BMN（SAS），可得結(jié)論．解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點G，連接AG，CG，并把△CAG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，GT，BG．證明四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT是平行四邊形，可得結(jié)論．
（2）結(jié)論：BE＝23CF．如圖3中，取AB的中點T，連接CT，F(xiàn)T．證明△BAE∽△CTF，可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．
∵CA＝CB，∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝12∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∵∠DAE=90°,
∴∠EAB=∠DAT=∠ABC=45°,
∴AT⊥DE，DT＝ET，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，
∴CF＝12BD，
∴CF＝12BE．
故答案為：∠EAB＝∠ABC，CF＝12BE．
②結(jié)論不變．
解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點M，BE的中點N，連接CM，MN．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，
∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
由①得：AD=AE,
設(shè)AD＝AE＝y(tǒng)．FM＝x，DM＝a，
∵ 點F是BD的中點，
則DF＝FB＝a+x，
∵AM＝BM，
∴y+a＝a+2x，
∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，
∴AE＝2MN，MN∥AE，
∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，
∴△CMF≌△BMN（SAS），
∴CF＝BN，
∵BE＝2BN，
∴CF＝12BE．
解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點G，連接AG，CG，并把△CAG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，GT，BG．
∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，
∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝90°，
∴AC⊥AG，
∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°，
∴AC//BT,
∴AC∥BT∥DE，
∵AG＝BT，
∴DG＝BT＝EG，
∴四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT是平行四邊形，
∴BD與GT互相平分，BE=GT,
∵點F是BD的中點，
∴BD與GT交于點F，
∴GF＝FT，
由旋轉(zhuǎn)可得；CG=CT,∠GCT=90°,
∴ △GCT是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝FT，
∴CF＝12BE．
（2）結(jié)論：BE＝23CF．
理由：如圖3中，取AB的中點T，連接CT，F(xiàn)T．
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，
∴CT⊥AB，
∴tan30°=CTAT=33,
∴AT＝3CT，
∴AB＝23CT，
∵DF＝FB，AT＝TB，
∴TF∥AD，AD＝2FT，
∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，
∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝12∠ACB＝60°，
∴tan60°=AEAD=3,
∴AE＝3AD＝23FT，
∴ABCT=AEFT=23，
∴△BAE∽△CTF，
∴BECF=BACT=23，
∴BE=23CF．
【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
47．（2022·四川南充·中考真題）如圖，點E在正方形ABCD邊AD上，點F是線段AB上的動點（不與點A重合）．DF交AC于點G，GH⊥AD于點H，AB=1，DE=13．
（1）求tan∠ACE．
（2）設(shè)AF=x，GH=y，試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）．
（3）當(dāng)∠ADF=∠ACE時，判斷EG與AC的位置關(guān)系并說明理由．
【答案】（1）12；（2）y=xx+1(0

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