TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4766" 【題型1 由平行線的性質求角度】 PAGEREF _Tc4766 \h 1
\l "_Tc31178" 【題型2 由平行線的性質解決折疊問題】 PAGEREF _Tc31178 \h 5
\l "_Tc9329" 【題型3 平行線性質的實際應用】 PAGEREF _Tc9329 \h 10
\l "_Tc3945" 【題型4 由平行線的判定與性質進行證明】 PAGEREF _Tc3945 \h 13
\l "_Tc11118" 【題型5 由平行線的判定與性質進行計算】 PAGEREF _Tc11118 \h 17
\l "_Tc10120" 【題型6 由平行線的判定與性質探究角度之間的關系】 PAGEREF _Tc10120 \h 22
\l "_Tc19950" 【題型7 由平行線的判定與性質確定角度定值問題】 PAGEREF _Tc19950 \h 29
\l "_Tc10508" 【題型8 由平行線的判定與性質探究規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc10508 \h 38
\l "_Tc4463" 【題型9 由平行線的判定與性質解決三角尺問題】 PAGEREF _Tc4463 \h 45
\l "_Tc32001" 【題型10 由平行線的判定與性質解決旋轉問題】 PAGEREF _Tc32001 \h 50
【知識點 平行線的性質】
1. 兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.
2. 兩條平行線被第三條直線所截內錯角相等.簡單說成兩直線平行內錯角相等.
3. 兩條平行線被第三條直線所截同旁內角互補.簡單說成兩直線平行同旁內角互補.
【題型1 由平行線的性質求角度】
【例1】（2023下·福建廈門·七年級?？计谥校┤鐖D，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO=50°，則下列結論：①∠AOE=65°；②OF平分∠BOD；③∠GOE=∠DOF；④∠AOE=∠GOD．其中正確的有 ．

【答案】①②③
【分析】由CD∥AB，∠CDO=50°，根據兩直線平行，內錯角相等，即可求得∠BOD的度數，∠AOE的度數；又由OF⊥OE，即可求得∠BOF的度數，得到OF平分∠BOD，由OG⊥CD，即可求得∠GOE與∠DOF的度數，得到結論
【詳解】解：∵CD∥AB，∠CDO=50°，
∴∠BOD=∠CDO=50°，
∴∠AOD=180°?∠BOD=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=12∠AOD=65°；
故①正確；
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=180°?∠EOF?∠AOE=25°，
∵∠BOD=50°，
∴OF平分∠BOD；
故②正確；
∵OG⊥CD，CD∥AB，
∴OG⊥AB，
∴∠AOG=90°，
∴∠GOE=90°?∠AOE=25°，
∵∠DOF=12∠BOD=25°，
∴∠GOE=∠DOF；
故③正確；
∵∠GOE=∠DOF=25°，∠EOF=90°，
∴∠GOD=∠EOF?∠GOE?∠DOF=40°，
∵∠AOE=65°，
∴∠AOE≠∠GOD
故④錯誤．
故答案為：①②③
【點睛】此題考查了平行線的性質、垂線的定義以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．
【變式1-1】（2023上·重慶沙坪壩·七年級重慶八中校考期中）如圖所示，已知AB∥CD，點E在線段AD上（不與點A、點D重合），連接CE，若∠C=15°，∠AEC=60°．則∠A的值為（ ）

A．45°B．75°C．46°D．76°
【答案】A
【分析】根據三角形外角的性質、平行線的性質進行求解即可．
【詳解】∵∠C+∠ADC=∠AEC，
∴∠ADC=∠AEC?∠C＝60°?15°=45°，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠ADC=30°，
故選：A．
【點睛】此題考查了三角形外角的性質、平行線的性質，掌握相關性質并靈活應用是解題的關鍵．
【變式1-2】（2023下·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，已知AM∥BN,∠A=60°，點P是射線AM上一動點（與A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于C、D，（推理時不需要寫出每一步的理由）

(1)求∠CBD的度數．
(2)當點P運動時，那么∠APB:∠ADB的度數比值是否隨之發(fā)生變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規(guī)律．
【答案】(1)∠CBD=60°；
(2)不變，理由見解析
【分析】（1）由平行線的性質可求得∠ABN，再根據角平分線的定義和整體思想可求得∠CBD；
（2）由平行線的性質可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由角平分線的定義可求得結論．
【詳解】（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∴∠ABN=180°?60°=120°，
∴∠ABP+∠PBN=120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP=120°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；
（2）不變，∠APB:∠ADB=2:1．
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB:∠ADB=2:1．
【點睛】本題考查的是平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質并靈活運用，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．
【變式1-3】（2023上·陜西渭南·七年級統考期中）在△ABC中，點D是AC延長線上的一點，過點D作DE∥BC，∠ABC和∠ADE的平分線交于點G．

(1)如圖1，若∠ACB=90°，∠A=40°，求出∠G的度數；
(2)如圖2，若∠ACB≠90°，試判斷∠G與∠A的數量關系，并證明你的結論．
【答案】(1)20°
(2)∠A=2∠G，見解析
【分析】（1）先根據三角形的內角和得∠ABC=50°，分別根據角平分線的定義和三角形內角和定理得∠G的度數；
（2）根據三角形內角和定理和角平分線定義，可得∠A和∠G的關系．
【詳解】（1）如圖1，∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=50°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠CBG=25°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD=90°，
∵DG平分∠ADE，
∴∠CDF=45°，
∴∠CFD=45°，
∴∠G=∠CFD?∠CBG=45°?25°=20°；
（2）如圖2，∠A=2∠G，理由是：
由（1）知：∠ABC=2∠FBG，∠CDF=∠CFD，
設∠ABG=x，∠CDF=y，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠A+∠ABC=∠CDF+∠CFD，即∠A+2x=2y，
∴y=12∠A+x，
同理得∠A+∠ABG=∠G+∠CDF，
∴∠A+x=∠G+y，即∠A+x=∠G+12∠A+x，
∴∠A=2∠G；
【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的定義以及三角形外角性質，解決該題型題目時，利用平行線的性質找出相等（或互補）的角是關鍵．
【題型2 由平行線的性質解決折疊問題】
【例2】（2023下·山東青島·七年級統考期中）按如圖方式折疊一張對邊互相平行的紙條，EF是折痕，若∠EFB=34°，則以下結論正確的是（ ）
①∠C′EF=34°；②∠AEC=146°；③∠BGE=68°；④∠BFD=112°

A．①③B．②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】根據平行線的性質及翻折變換的性質對各結論進行逐一分析，即可解答．
【詳解】解：∵AC′∥BD′，∠EFB=34°，
∴∠C′EF=∠EFB=34°，①結論正確；
由折疊可知，∠C′EF=∠CEF=34°，
∴∠AEC=180°?∠C′EF?∠CEF=180°?34°?34°=112°，②結論錯誤；
∵AC′∥BD′，∠AEC=112°
∴∠BGE=180°?∠AEC=68°，③結論正確；
∵CE∥DF，且∠BGE=∠CGF=68°，
∴∠BFD=180°?∠CGF=112°，④結論正確；
所以，以上結論正確的是①③④，
故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的性質，翻折的性質，解題關鍵是平行線的性質．
【變式2-1】（2023上·福建福州·七年級期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠B=50°，將△ADE沿DE折疊得到△A1DE，則∠BDA1的度數為 °．
【答案】80
【分析】由兩直線平行，同位角相等推知∠ADE=∠B=50°；由折疊的性質知∠ADE=∠A1DE，結合三角形的內角和即可求得∠BDA1的度數．
【詳解】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°.
又∵∠ADE=∠A1DE,
∴∠A1DA=2∠B,
∴∠BDA1=180°?2∠B=180°?2×50°=80°.
故答案為：80°．
【點睛】本題考查了平行線性質、翻折變換（折疊問題），折疊的性質，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．
【變式2-2】（2023下·廣東佛山·七年級校考期中）如圖，已知長方形紙片ABCD，點E，F在AD邊上，點G，H在BC邊上，分別沿EG，FH折疊，使點D和點A都落在點M處，若α+β=120°，則∠EMF的度數為（ ）

A．57°B．58°C．59°D．60°
【答案】D
【分析】根據平行線的性質得到∠DEG=α，∠AFH=β，由折疊得∠DEM=2∠DEG=2α，∠AFM=2∠AFH=2β，求出∠MEF和∠MFE，然后根據三角形內角和等于180°即可求出答案．
【詳解】解：∵在長方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEG=α，∠AFH=β，
由折疊得：∠DEM=2∠DEG=2α，∠AFM=2∠AFH=2β，
∴∠MEF=180°?2α，∠MFE=180°?2β，
∴∠EMF=180°?180°?2α?180°?2β
=2α+β?180°，
∵α+β=120°，
∴∠EMF=240°?180°=60°；
故選：D．
【點睛】本題考查了平行線的性質、折疊的性質、三角形內角和定理，解決本題的關鍵是掌握三角形內角和等于180°與軸對稱的性質．
【變式2-3】（2023下·浙江臺州·七年級統考期末）如圖，有一張長方形紙條ABCD，AD∥BC，在線段DE，CF上分別取點G，H，將四邊形CDGH沿直線GH折疊，點C，D的對應點為C′，D′，將四邊形ABFE沿直線EF折疊，點A，B的對應點為A′，B′，設∠EFB=α0

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