TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32165" 【題型1 利用平行線分線段成比例進(jìn)行求值或證明】 PAGEREF _Tc32165 \h 1
\l "_Tc24648" 【題型3 利用相似三角形的判定與結(jié)論求長度】 PAGEREF _Tc24648 \h 13
\l "_Tc9641" 【題型4 利用相似三角形的判定與結(jié)論求面積】 PAGEREF _Tc9641 \h 20
\l "_Tc11092" 【題型5 利用相似三角形的判定與結(jié)論求最值】 PAGEREF _Tc11092 \h 28
\l "_Tc32733" 【題型6 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決規(guī)律探究問題】 PAGEREF _Tc32733 \h 37
\l "_Tc23768" 【題型7 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決動態(tài)探究問題】 PAGEREF _Tc23768 \h 42
\l "_Tc21655" 【題型8 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決多結(jié)論問題】 PAGEREF _Tc21655 \h 51
\l "_Tc9716" 【題型9 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決新定義問題】 PAGEREF _Tc9716 \h 60
\l "_Tc6650" 【題型10 利用相似三角形的判定與結(jié)論在格點(diǎn)中作圖】 PAGEREF _Tc6650 \h 69
【題型1 利用平行線分線段成比例進(jìn)行求值或證明】
【例1】（2023秋·福建三明·九年級統(tǒng)考期中）請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題：
角平分線分線段成比例定理，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則ABAC=BDCD．
下面是這個定理的部分證明過程．
證明：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥DA．交BA的延長線于點(diǎn)E．…
任務(wù)：
(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；
(2)如圖3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周長．
【答案】(1)見解析
(2)9+352
【分析】（1）過C作CE∥DA，交BA的延長線于E，利用平行線分線段成比例定理得到BDCD=BAEA，利用平行線的性質(zhì)得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有ABAC=BDCD；
（2）先利用勾股定理計算出AC=5，再利用（1）中的結(jié)論得到ACAB=CDBD，即53=CDBD，則可計算出BD=32，然后利用勾股定理計算出AD=325，從而可得到△ABD的周長．
【詳解】（1）證明：如圖2，過C作CE∥DA．交BA的延長線于E，
∵CE∥AD，
∴BDCD=BAEA，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴ABAC=BDCD．
（2）解：如圖3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC=BC2+AB2=42+32=5，
∵AD平分∠BAC，
∴ACAB=CDBD，即53=CDBD，
∴BD=38BC=38×4=32，
∴AD=BD2+AB2=322+32=325，
∴△ABD的周長=32+3+325=9+352．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，勾股定理，掌握平行線分線段成比例定理，理解角平分線分線段成比例定理是關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，2AB=BC=6，把△ADC沿著AD翻折得到△ADC′，連接BC′交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)M是EC′的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接MN，則MN的長為 ．

【答案】352
【分析】如圖所示，連接EN，過點(diǎn)M作MT⊥AD于點(diǎn)T，MN與AD交于點(diǎn)K，可證△BCC′,△EDC′,△ETM都是等腰直角三角形，點(diǎn)E是BC′,AD的中點(diǎn)，可得MT是△EDC′的中位線，NE是△ACD的中位線，再證△MTK≌△NEK(AAS)，可得MN=2MK，在Rt△MTK中根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接EN，過點(diǎn)M作MT⊥AD于點(diǎn)T，MN與AD交于點(diǎn)K，

∵四邊形ABCD是矩形，2AB=BC=6，
∴∠ADC=90°，AB=CD=12BC=12×6=3，BC=AD=6，
∵△ADC沿著AD翻折得到△ADC′，
∴∠ADC=∠ADC′=90°，CD=DC′=3+3=6，則CC′=BC=6，
∴△BCC′是等腰直角三角形，∠CBC′=∠CC′B=45°，
∵DE∥BC，
∴∠DEC′=∠CBC′=45°，且∠BC′C=45°，
∴△EDC′是等腰直角三角形，則C′D=DE=3，
在Rt△EDC′中，點(diǎn)M是EC′的中點(diǎn)，MT⊥DE，C′D⊥DE，
∴MT∥C′D，
∴EMEC=ETED，即12=ET3，
∴ET=32，即點(diǎn)T是ED的中點(diǎn)，
∴MT是△EDC′的中位線，則MT=12C′D=12×3=32，
∵BC=6，DE=C′D=3，
∴點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，
∴NE是△ADC的中位線，
∴NE∥CD，NE=12CD=12×3=32，
∴MT=NE=32，
∵M(jìn)T⊥BD，
∴∠MTK=90°，
∵NE∥CD，∠CDE=90°
∴∠NEK+∠CDE=180°，
∴∠NEK=90°，即EN⊥BC，
∴∠MTK=∠NEK=90°，
在△MTK,△NEK中，
∠MTK=∠NEK∠MKT=∠NKEMT=NE，
∴△MTK≌△NEK(AAS)，
∴MK=NK，TK=EK，
∴點(diǎn)K是ET的中點(diǎn)，
∴TK=EK=12ET=12MT=12×32=34，
∴在Rt△MTK中，MK=MT2+TK2=322+342=354，
∴MN=2MK=2×354=352，
故答案為：352．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)的綜合，掌握以上知識的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，點(diǎn)P是?ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，過點(diǎn)P作PE∥BC，PF∥AB，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，若S△PAD=1,S△PCD=2,S△PBC=4，則四邊形PEBF的面積為 ．

【答案】245
【分析】過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，交CD于點(diǎn)R，作PM⊥AD于M，交CB于點(diǎn)N，根據(jù)已知先求出S?ABCD=AD?MN=10，然后求出S△PAB=3，再根據(jù)面積比求出PMPN=14，PRPQ=23，結(jié)合平行線分線段成比例可得AEBE=PMPN=14，進(jìn)而得到PQ=35QR，BE=45AB，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計算即可．
【詳解】解：過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，交CD于點(diǎn)R，作PM⊥AD于M，交CB于點(diǎn)N，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=CB，
∴PR⊥CD，PN⊥CB，
∵S△PAD=1，S△PCD=2，S△PBC=4，
∴S△PAD+S△PBC=12AD?PM+12CB?PN=12AD?MN=1+4=5，
∴S?ABCD=AD?MN=10，
∴12AB?PQ+12CD?PR=12AB?PQ+2=12AB?QR=12S?ABCD=5，
∴S△PAB=12AB?PQ=3，
∴S△PADS△PBC=12AD?PM12CB?PN=PMPN=14，S△PCDS△PAB=12CD?PR12AB?PQ=PRPQ=23，
∵PE∥BC，PF∥AB，
∴四邊形PEBF是平行四邊形，
∵AM∥PE∥BC，
∴AEBE=PMPN=14，
∴PQ=35QR，BE=45AB，
∴S四邊形PEBF=BE·PQ=45AB×35QR=1225AB?QR=1225S?ABCD=1225×10=245，
故答案為：245．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、平行線分線段成比例定理等知識，此題的計算和推理過程較為復(fù)雜，求出PQ=35QR，BE=45AB是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·廣東·九年級專題練習(xí)）定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．
(1)如圖①，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°．
①若CD=3，AC⊥CD于點(diǎn)C，求AD的長；
②若AD=DC，∠ADC=45°，求BD的長；
(2)如圖②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，點(diǎn)P是對角線BD上的一點(diǎn)，且BP=2PD，過點(diǎn)P作直線分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，要使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長．
【答案】(1)①41；②42+4
(2)滿足條件的AE的長為12
【分析】（1）①根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)勾股定理求出AD的值；
②連接AC、BD，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作EC⊥BC，交BD于點(diǎn)E，證明BD垂直平分AC，得出AF=CF，證明∠ECD=∠CDE，得出CE=DE，證明∠BEC=∠CBE，得出CE=BC=4，根據(jù)勾股定理求出BE=BC2+CE2=42，即可得出答案；
（2）若EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，推出四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件．若EF與BC不垂直，當(dāng)AE=AB時，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，當(dāng)BF=AB時，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，分別求解即可．
【詳解】（1）解：①連接AC，如圖所示：
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=AB2+BC2=42，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴AD=AC2+CD2=422+32=41；
②連接AC、BD，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作EC⊥BC，交BD于點(diǎn)E，如圖所示：
則∠BCE=90°，
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=12×90°=45°，
∴∠ECF=90°?45°=45°，
∵AB=BC，AD=CD，
∴B、D在線段AC的垂直平分線上，
∴BD垂直平分AC，
∴AF=CF，∠CFD=∠CFB=90°，
∵AD=CD，
∴∠CDF=12∠ADC=12×45°=22.5°，
∴∠DCF=90°?22.5°=67.5°，
∴∠ECD=∠DCF?∠ECF=67.5°?45°=22.5°，
∴∠ECD=∠CDE，
∴CE=DE，
∵AB=BC，AF=CF，
∴∠CBF=12∠ABC=45°，
∵∠BCE=90°，
∴∠BEC=90°?45°=45°，
∴∠BEC=∠CBE，
∴CE=BC=4，
∴DE=CE=4，BE=BC2+CE2=42，
∴BD=BE+DE=42+4．
（2）解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=15，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AD∥BC；
若EF⊥BC時，如圖所示：
則四邊形AEFB和DEFC為矩形，
∴EF=AB=6，DE=CF，AE=BF，
∵AD∥BC，
∴△DEP∽△BFP，
∴DEBF=DPBP=12，
∵DE+BF=DE+AE=15，
∴DE=5，BF=10，
∴AE=BF=10，
∴AE≠EF，BF≠EF；
∴四邊形ABFE不可能是等腰直角四邊形；
若EF與BC不垂直，當(dāng)AE=AB時，如圖所示：
∵AE=AB=6，
∴DE=AD?AE=15?6=9，
∵AD∥BC，
∴△DEP∽△BFP，
∴DEBF=DPBP=12，
∴BF=2DE=2×9=18，
∵18>15，
∴此時點(diǎn)F不在邊BC上，不符合題意；
若EF與BC不垂直，當(dāng)BF=AB時，如圖所示：
此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，
∴BF=AB=6，
∵DE∥BF，
∴△DEP∽△BFP，
∴DEBF=DPBP=12，
∴DE=12BF=3，
∴AE=AD?DE=15?3=12，
綜上所述，滿足條件的AE的長為12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，作出輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．
【題型2 利用相似三角形的判定與結(jié)論在格點(diǎn)中求值】
【例2】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上，連接AC、BD相交于點(diǎn)E，若小正方形的邊長為1，則點(diǎn)E到AB的距離為 ．
【答案】65
【分析】證明△ABE∽△CDE，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCE，∠ABE=∠CDE，MN⊥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴EMEN=ABCD=23，
∵M(jìn)N=3，
∴EM=23+2×3=65，即點(diǎn)E到AB的距離為65．
故答案為65．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
【變式2-1】（2023·山東煙臺·統(tǒng)考一模）如圖，在方格紙中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則∠BAC+∠ACB的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，利用勾股定理求得△ABC、△EDF各邊長，進(jìn)而證明△ABC∽△DEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠DEF=135°，即可求解．
【詳解】解：∵AB=12+22=5,BC=12+32=10,AC=5，
DE=12+12=2,EF=2,DF=12+32=10，
∵52=102=510，
∴ABDE=BCEF=ACDF，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠ABC=∠DEF=135°，
∴∠BAC+∠ACB=180°?135°=45°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、F在網(wǎng)格中的格點(diǎn)處，AF與BC相交于點(diǎn)E，設(shè)小正方形的邊長為1，則陰影部分△DEF的面積等于 ．

【答案】92
【分析】先證明△ABE∽△ECF，設(shè)△CEF的高為h，AM=3，得出?=95，即可求出答案．
【詳解】解：

∵AB∥CD，AB=CD=2，CF=3，
∴∠ABE=∠ECF，
∵∠AEB=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
設(shè)△CEF的高為h，AM=3，
∴ABCF=3???，
∴?=95，
∴陰影部分△DEF的面積12×95×5=92，
故答案為：92．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023秋·福建福州·九年級校聯(lián)考期末）在正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為格點(diǎn)，則∠BAC?∠DAE= ．

【答案】45°
【分析】在正方形網(wǎng)格中，連接正方形的頂點(diǎn)，作出Rt△EFD和Rt△EGD，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，則有EG=12+12=2，F(xiàn)G=1，AG=2，可知EGAG=FGEG，可證△EGF∽△AGE，可得∠EFG=∠AEG，則可證出∠EFG=45°?∠EAG，根據(jù)作圖可知△CBA≌△FDE，得∠BAC=∠DEF，可以求出∠BAC?∠DAE=45°．
【詳解】解：如圖，在正方形網(wǎng)格中，連接正方形的頂點(diǎn)，得到Rt△EFD和Rt△EGD，

設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，則有EG=12+12=2，F(xiàn)G=1，AG=2，
∴EGAG=22，F(xiàn)GEG=12=22，
∴EGAG=FGEG
∵∠EGF=∠AGE，
∴△EGF∽△AGE，
∴∠EFG=∠AEG，
∴∠EFG+∠EAG=∠AEG+∠EAG=∠EGD=45°，
∴∠EFG=45°?∠EAG，
又∵AB=DE=1，∠B=∠D=90°，BC=FD=2，
∴△CBA≌△FDE，
∴∠BAC=∠DEF，
∴∠BAC=∠DEF=90°?∠EFD=90°?45°?∠EAG，
即有：∠BAC?∠DAE=45°，
故答案為：45°．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，求得△EGF∽△AGE是解題的關(guān)鍵．
【題型3 利用相似三角形的判定與結(jié)論求長度】
【例3】（2023·黑龍江綏化·校考三模）在?ABCD中，AH⊥BD，垂足為H，∠ABD為銳角，且∠ABH=∠DAH，若AH=6，BD=5，則BC邊長為 ．
【答案】10或15或7
【分析】如圖，設(shè)DH=x．利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程即可解決問題；
【詳解】解：當(dāng)AH在△ABD內(nèi)部時，如圖，設(shè)DH=x．
∵AH⊥BD，
∴∠AHB=∠AHD=90°，
∵∠ABH=∠DAH，
∴△DAH∽△ABH，
∴ DHAH=AHBH，
∴ x6=65?x，
整理得：x2?5x+6=0，
解得x=2或3，
∴DH=2或3，
∴BC=AD=AH2+DH2=10或15，
當(dāng)AH在△ABD外部時，設(shè)DH=x．
∵△HAB∽△HDA，
∴AH2=BH?DH，
∴6=x(x+5)，
∴x2+5x?6=0，
∴x=1，x=?6（舍去），
∴DH=1，
∴BC=AD=AH2+DH2=7，
故答案為10或15或7．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．
【變式3-1】（2023秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｍ鈬Z大學(xué)附屬大境初級中學(xué)校考期中）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=12，如果將矩形沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊CD的中點(diǎn)E處，直線l分別與邊AB、BC交于點(diǎn)M、N，如果BN=6.5，那么AM的長為 ．

【答案】94
【分析】連接NE，構(gòu)造直角三角形，依據(jù)折疊的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到CN的長以及BC的長，再根據(jù)△BMN∽△CBE，得到比例式求出BM，進(jìn)而得出AM的長．
【詳解】解：如圖，連接NE，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=12，∠ABC=∠C=90°，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴CE=12CD=6，
∵將矩形沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊CD的中點(diǎn)E處，直線l分別與邊AB、BC交于點(diǎn)M、N，
∴MN⊥BE，BN=EN=6.5，
在Rt△CNE中，CN=EN2?CE2=6.52?62=2.5，
∴AD=6.5+2.5=9，
∵∠MBE+∠BMN=90°，∠MBE+∠CBE=90°，
∴∠BMN=∠CBE，
又∵∠NBM=∠C，
∴△BMN∽△CBE，
∴ BMBC=BNCE，即BM9=6.56，
∴BM=394，
∴AM=AB?BM=12?394=94；
故答案為：94．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算求解．
【變式3-2】（2023·河南鄭州·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A0,6，B?10,0，把△AOB繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別是A′，B′，連接AB′．當(dāng)點(diǎn)B′在第二象限內(nèi)，AB′⊥y軸時，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 ．

【答案】185,245
【分析】過點(diǎn)B′作B′D⊥OB于點(diǎn)D，過點(diǎn)A′作A′C⊥OC于點(diǎn)C，易得AB'=OD，B'D=OA，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，OB′=OB=10，即有AB′=102?62=8．再證明 △B′OD∽△OA′C，即有B′OOA′=ODA′C=B′DOC，解得OC=185，A′C=245，問題得解．
【詳解】如圖，過點(diǎn)B′作B′D⊥OB于點(diǎn)D，過點(diǎn)A′作A′C⊥OC于點(diǎn)C，

∵AB′⊥y軸，A′C⊥OC，B′D⊥OB，
∴四邊形AB′DO是矩形，
∴AB'=OD,DB'=OA，
由題意可知，OA=6，OB=10，
∵AB′⊥y軸，
∴∠B′AO=90°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，OB′=OB=10，∠AOB=∠A′OB′=90°，
在Rt△B′AO中，由勾股定理得AB′=102?62=8．
∵ ∠A′OB′=90°，
∴∠BOB′+∠A′OC=90°，
又∵∠A′OC+∠OA′C=90°，
∴∠BOB′=∠OA′C，
∴△B′OD∽△OA′C，
∴B′OOA′=ODA′C=B′DOC，即106=8A′C=6OC，
解得OC=185，A′C=245，
∴點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為185,245，
故答案為：185,245．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)等知識
【變式3-3】（2023·安徽合肥·校聯(lián)考模擬預(yù)測）等腰直角ΔABC與等腰直角ΔCDE的直角頂點(diǎn)C重合．DE與AC相交于F，CD的延長線交AB于G，連接BD．

(1)如圖1，求證：AC?CF=CE?CG；
(2)如圖2，B，D，E在同一條直線上，取AB的中點(diǎn)M，分別連接MC，ME，求證：MC=ME；
(3)如圖3，過A作BD的平行線，過B作AC的平行線，兩線相交于H，且點(diǎn)H在CG的延長線上，若BC=2BH，求AHDE的值．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)AHDE=2
【分析】（1）通過證明ΔECF∽ΔBCG，得到CECF=BCCG，再利用AC=BC等量代換即可；
（2）連接AE，由SAS證明ΔACE≌ΔBCD，得到∠EAC=∠DBC，從而證明∠AEF=90°，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到結(jié)論；
（3）延長BD與AC交于點(diǎn)P，得到四邊形APBH為平行四邊形，從而得到BH=AP，AH=BP，通過等量代換可得四邊形PCBH為矩形，得到BP=CH，再設(shè)CD=x，可得CH=BP=AH=2x，DE=2x，即可得到AHDE的值．
【詳解】（1）證明：∵ΔABC、ΔCDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90° ，
∴∠E=∠ABC=45°，AC=BC， EC=DC
∵∠ECA+∠ACG=∠ACG+∠BCG=90°，
∴∠ECA=∠BCG，
在ΔECF和ΔBCG中，
∠E=∠CBG∠ECA=∠BCG
∴ΔECF∽ΔBCG
∴CECF=BCCG
又∵AC=BC
∴CECF=ACCG，即AC?CF=CE?CG
（2）連接AE，

在ΔACE和ΔBCD中，
AC=BC∠ECA=∠BCGEC=DC
∴ΔACE≌ΔBCD（SAS）
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC+∠BFC=90° ，∠BFC=∠AFE ，
∴∠EAC+∠AFE=90°，即∠AEF=90° ，
在RtΔAEB中，
∵點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，
∴EM=12AB，
又∵CM=12AB，
∴MC=ME；
（3）延長BD與AC交于點(diǎn)P，連接PH，

∵AH∥BD，BH∥AC，
∴四邊形APBH為平行四邊形，
∴BH=AP，AH=BP ；
又∵BC=2BH，AC=BC，
∴AC=2AP，即點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，
∵PC=BH，PC∥BH，
∴四邊形PCBH為平行四邊形，
又∵∠ACB=90°，
∴?PCBH為矩形，
∴BP=CH，點(diǎn)D為對角線交點(diǎn)，
設(shè)CD=x，則CH=BP=AH=2x，DE=2x，
∴AHDE=2x2x=2．
【點(diǎn)睛】本題是三角形與四邊形的綜合題目，考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形及矩形的判定性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及判定，構(gòu)造合理的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
【題型4 利用相似三角形的判定與結(jié)論求面積】
【例4】（2023秋·安徽合肥·九年級校考期中）△ABC的邊上有D、E、F三點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示．若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE=∠C，則根據(jù)圖中標(biāo)示的長度，求四邊形ADEF與△ABC的面積比為何？（ ）

A．1:3B．1:4C．2:5D．3:8
【答案】D
【分析】先證明△CAF∽△CBA，再利用相似三角形的性質(zhì)求出AC=45，得出S△ACFS△ACB=516，再證明△BDE∽△BCA，求出S△BDES△ACB=516，即可求出答案．
【詳解】解：∵BE=7，EF=4，F(xiàn)C=5，
∴ BC=7+4+5=16，
∵∠B=∠FAC，∠C=∠C，
∴ △CAF∽△CBA，
∴ CACB=CFCA，
∴ CA2=CF?CB=5×16=80，
∵CA>0，
∴ AC=45，
∴ ACBC=4516=54，
∴ S△ACFS△ACB=ACBC2=542=516，
同理可證△BDE∽△BCA，
∵BD=AC，
∴ BDBC=ACBC=54，
∴ S△BDES△ACB=BDBC2=542=516，
∴四邊形ADEF與△ABC的面積比=16?5?5:16=3:8，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
【變式4-1】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+203過點(diǎn)A5,0，C2,a，與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)D，E分別為線段OB，OA上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且CD⊥DE．

(1)求k和a的值；
(2)當(dāng)∠AEC與△CDE中的一個角相等時，求線段OD的長；
(3)如圖2，連接BE交CD于點(diǎn)H，將點(diǎn)B繞點(diǎn)H逆時針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)B′，若點(diǎn)B′到x軸的距離恰好等于OD的長，求△BDH的面積．
【答案】(1)k=?43，a=4
(2)OD=2或OD=4?23
(3)S=9839
【分析】（1）將A5,0代入y=kx+203求出k的值，得出一次函數(shù)解析式，將x=2代入y=?43x+203求出a的值即可；
（2）分三種情況：當(dāng)∠AEC=∠DCE時，當(dāng)∠AEC=∠CDE時，當(dāng)∠AEC=∠DEC時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可；
（3）連接B′H，B′D，過點(diǎn)H作HN⊥B′D于點(diǎn)N，HM⊥BD于點(diǎn)M，證明△BMH≌△B′NHAAS，得出MH=HN，證明四邊形MDNH為正方形，得出∠HDM=∠HDN=45°，證明△DOE為等腰直角三角形，得出OD=OE=2，求出OB=203，得出BD=OB?OD=203?2=143，設(shè)MH=MD=m，則BM=143?m，證明MH∥OE，得出BMBO=MHOE，即143?m203=m2，求出m=1413，根據(jù)三角形面積公式求出結(jié)果即可．
【詳解】（1）解：將A5,0代入y=kx+203，
解得k=?43．
將x=2代入y=?43x+203，得a=4．
（2）解：①當(dāng)∠AEC=∠DCE時，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，舍去
②當(dāng)∠AEC=∠CDE時，此時CE⊥OA，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，

∵C2,4，
∴OE=CF=2，OF=4，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∴∠CFD=∠CDE=∠DOE=90°，
∴∠FDC+∠ODE=∠ODE+∠OED=90°，
∴∠FDC=∠OED，
∴△CDF∽△DEO，
∴CFDF=ODOE，
設(shè)OD=x，則FD=4?x，
即24?x=x2，
解得：x1=x2=2，
經(jīng)檢驗(yàn)x=2是原方程的解，
∴OD=2；
③當(dāng)∠AEC=∠DEC時，作CG⊥OA于點(diǎn)G

∵EC平分∠DEG，CD⊥ED，CG⊥EA，
∴CD=CG=4，
∵DF=CD2?CF2=23，
∴OD=OF?DF=4?23；
綜上分析可知，OD=2或OD=4?23；
（3）解：連接B′H，B′D，過點(diǎn)H作HN⊥B′D于點(diǎn)N，HM⊥BD于點(diǎn)M，如圖所示：

由題意可得，B′D⊥BO，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，B′H⊥BH且B′H=BH，
∴∠BHB′=∠B′NH=∠BMH=90°，
∴∠BHM+∠MHB'=∠BHM+∠MBH=90°，
∴∠MBH=∠MHB′，
∵HM⊥BD，B′D⊥BO，
∴MH∥B′N，
∴∠MHB′=∠NB′H，
∴∠MBH=∠NB′H，
∴△BMH≌△B′NHAAS，
∴MH=HN，
∵∠HMD=∠MDN=∠DNH=90°，
∴四邊形MDNH為矩形，
∵M(jìn)H=HN，
∴四邊形MDNH為正方形，
∴∠HDM=∠HDN=45°，
∵∠CDE=90°，
∴∠NDE=90°?45°=45°，
∴∠ODE=90°?45°=45°，
∴△DOE為等腰直角三角形，
∴OD=OE=2，
把x=0代入y=kx+203得：y=203，
∴OB=203，
∴BD=OB?OD=203?2=143，
設(shè)MH=MD=m，則BM=143?m，
∵∠BMH=∠BOE=90°，
∴MH∥OE，
∴BMBO=MHOE，
即143?m203=m2，
解得m=1413，
∴S=143×1413×12=9839．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形相似的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)的函數(shù)值，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，畫出相應(yīng)的圖形，作出輔助線，注意進(jìn)行分類討論．
【變式4-2】（2023春·上海靜安·九年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=3，BC=7，∠B=60°．求證：四邊形ABCD是等腰梯形；
（2）若點(diǎn)M是直線AB上的一點(diǎn)，直線DM交直線BC于點(diǎn)N．
①當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長線上時（如圖2），設(shè)BM=x，DM=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；
②如果△AMD是等腰三角形，求△BMN的面積．

【答案】（1）證明見解析；（2）①y=x2+10x+37，定義域x≥0；②34
【分析】（1）過D作DE∥AB交BC于E，證明△DEC是等邊三角形即可；
（2）①過D作DF⊥AB交AB于F，即可利用∠B=∠FAD=60°得到AF=12AD=2，DF=23，最后在Rt△FDM中利用勾股定理計算即可；
②先根據(jù)△AMD是等腰三角形求出BM=x，DM=y的值，再利用△BMN～△AMD求△BMN的面積即可．
【詳解】（1）過D作DE∥AB交BC于E，則∠B=∠DEC=60°，

∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AB=DE=3,AD=BE=4，
∵BC=7，
∴EC=BC?BE=3，
∴AB=DE=3=EC，
∴△DEC是等邊三角形，
∴AB=DE=3=EC=DC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形；
（2）①過D作DF⊥AB交AB于F，

∵∠B=60°，AD∥BC，
∴∠B=∠FAD=60°，
∴AF=12AD=2，DF=AD2?AF2=23，
∵BM=x，DM=y
∴FM=FA+AB+BM=5+x
在Rt△FDM中DF2+FM2=DM2，
∴232+5+x2=y2，整理得y2=x2+10x+37
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=x2+10x+37，定義域x≥0；
②∵AD∥BC，
∴△BMN～△AMD，
∴S△BMNS△AMD=BMMA2=xx+32，
∴S△BMN=xx+32S△AMD=xx+32×12DF?AM=xx+32×12×23×x+3=3x2x+3，
∵△AMD是等腰三角形，
∴當(dāng)AD=AM時，4=x+3，解得x=1，此時S△BMN=3x2x+3=34；
當(dāng)AD=DM時，y2=x2+10x+37=42，解得x1=?3,x2=?7，不符合題意；
當(dāng)DM=AM時，y2=x2+10x+37=x+32，解得x=?7，不符合題意；
綜上所述，S△BMN=34．
【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的判定，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時構(gòu)造30°直角三角形是是關(guān)鍵，尋找相似三角形是難點(diǎn)．
【變式4-3】（2023春·四川德陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知F是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，DF∥BC，EF∥AB，若四邊形BDFE的面積為2，BD=13BA，BE=14BC，則△ABC的面積是（ ）．
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】延長EF、DF分別交AC于點(diǎn)M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出AM 、MN 、CN之間的關(guān)系，從而得到三角形的面積關(guān)系即可求解．
【詳解】解：如圖所示：延長EF、DF分別交AC于點(diǎn)M、N，
∵BD=13BA，BE=14BC，
∴CE=3BE，AD=2BD．
∵DF∥BC，EF∥AB，
∴CMAM=CEBE=3，ANCN=ADBD=2，
∴令A(yù)M=x，則CM=3x，
∴AC=4x，
∴AN=23AC=83x，CN=13AC=43x，
∴MN=AC?AM?CN=53x，
∴MNAN=58，MNCM=59．
∵M(jìn)F∥AD，NF∥CE,
∴△NMF∽△NAD,△NMF∥△CME,
∴S△NMFS△NAD=MNAN2=2564，S△NMFS△MEC=MNCM2=2581．
∴設(shè)S△NMF=25a，則S△NAD=64a，S△MEC=81a，
∴S四邊形FECN=56a，
∴S△ABC=S四邊形BDEF+S△NAD+S△MEC?S△NMF=2+120a．
∵DN∥BC,
∴△ADN∽△ABC,
∴S△ADNS△ABC=64a2+120a=ADAB2=49，
解得a=112，
∴S△ABC=2+120a=12．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，平行線分線段成比例．一定的難度，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解線段的長度；利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
【題型5 利用相似三角形的判定與結(jié)論求最值】
【例5】（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，AB=6，E是AD上的一點(diǎn)，且AE=2，F(xiàn)，G是AB，CD上的動點(diǎn)，且BE=FG，BE⊥FG，連接EF，BG，當(dāng)EF+FG+BG的值最小時，CG的長為 ．

【答案】3
【分析】由勾股定理得BE=AB2+AE2=210，F(xiàn)G=210，可知當(dāng)EF+BG最小時，EF+FG+BG的值最小，如圖，以BE，BG為鄰邊作平行四邊形BGME，則BG=EM，BG∥EM，EF+BG=EF+EM，則當(dāng)E、F、M三點(diǎn)共線時，EF+BG=EF+EM=FM最短，證明△AEF∽△CBG，則EFBG=AFCG=AEBC=26=13，證明△EFN∽△BGN，則ENBN=EFBG=13，解得BN=3EN，由BN+EN=BE，可得BN=34BE=3102，設(shè)CG=x，則AF=13x，BF=6?13x，證明△BNF∽△BAE，則BFBE=BNAB，即6?13x210=31026，計算求解即可．
【詳解】解：∵正方形ABCD，AB=6，AE=2，
∴BE=AB2+AE2=210，∠BCG=∠A=90°，
∵BE=FG，
∴FG=210，
當(dāng)EF+BG最小時，EF+FG+BG的值最小，
如圖，以BE，BG為鄰邊作平行四邊形BGME，則BG=EM，BG∥EM，

∴EF+BG=EF+EM，
∴當(dāng)E、F、M三點(diǎn)共線時，EF+BG=EF+EM=FM最短，
∴EF∥BG，
∴∠AFE=∠ABG，
∵∠AFE+∠AEF=90°=∠ABG+∠CBG，
∴∠AEF=∠CBG，
又∵∠EAF=∠BCG=90°，
∴△AEF∽△CBG，
∴EFBG=AFCG=AEBC=26=13，
∵EF∥BG，
∴∠EFN=∠BGN，∠FEN=∠GBN，
∴△EFN∽△BGN，
∴ENBN=EFBG=13，解得BN=3EN，
∵BN+EN=BE，
∴BN=34BE=3102，
設(shè)CG=x，則AF=13x，BF=6?13x，
∵∠FBN=∠EBA，∠BNF=∠BAE=90°，
∴△BNF∽△BAE，
∴BFBE=BNAB，即6?13x210=31026，解得x=3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
【變式5-1】（2023秋·廣東梅州·九年級?？计谀┤鐖D，直線l1∥l2∥l3，A，B，C分別為直線l1，l2，l3上的動點(diǎn)，連接AB，BC，AC，線段AC交直線l2于點(diǎn)D．設(shè)直線l1，l2之間的距離為m，直線l2，l3之間的距離為n，若∠ABC=90°，BD=3，且mn=12，則m+n的最大值為 ．
【答案】274
【分析】如圖所示（見詳解），過點(diǎn)B作BE⊥l1于E，延長EB交l3于F，過點(diǎn)A作AN⊥l2于N，過點(diǎn)C作CM⊥l2于M，設(shè)AE=x，CF=y，則BN=x,BM=y，可求出△ABE∽△BCF，得xy=mn，求△CMD∽△AND得，y=9?2x，且mn=12，可求出mn=xy=x(9?2x)=?2x2+9x=2m2，由此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作BE⊥l1于E，延長EB交l3于F，過點(diǎn)A作AN⊥l2于N，過點(diǎn)C作CM⊥l2于M，
設(shè)AE=x，CF=y，則BN=x,BM=y，
∵BD=3，
∴DM=y?3，DN=3?x，
∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°，
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∴△ABE∽△BCF，
∴AEBF=BECF，即xn=my，
∴xy=mn，
∵∠ADN=∠CDM，
∴△CMD∽△AND，
∴ANCM=DNDM，即mn=3?xy?3，
∵mn=12，
∴3?xy?3=12，n=2m，
∴y=9?2x，
∴(m+n)=3m，
∵mn=xy=x(9?2x)=?2x2+9x=2m2，
∴2m2=?2x?942+818，
∴當(dāng)x=94時，m最大=94，
∴m+n的最大值為3m=3×94=274，
故答案為：274．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，做輔助線，圖形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC邊AB上的一動點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，點(diǎn)D繞點(diǎn)C引順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得點(diǎn)E，所得的△CDE邊DE與BC交于點(diǎn)F，則CFDE的最小值為 ．

【答案】32
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△CDE為等邊三角形，由△CEF∽△CAD得到CFCD=CEAC，即CFDE=CDAC，從而得到當(dāng)CD最小時，比值最小，再由“垂線段最短”得到當(dāng)CD⊥AB時，CD值最小，作出對應(yīng)圖形，利用“△ACD是含30°角的直角三角形”求出CDAC，從而得解．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE為等邊三角形，
∴DE=CD=CE，∠A=∠DEC=60°
∵∠ACD+∠DCB=60°
∠DCB+∠ECF=60°
∴∠ACD=∠ECF
∵∠A=∠DEC=60°，∠ACD=∠ECF
∴△CEF∽△CAD
∴CFCD=CEAC，即CFDE=CDAC
∵AC為定值，
∴當(dāng)CD最小時，比值最小．
根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)CD⊥AB時，CD值最小，
過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，并補(bǔ)全圖形如下：

∵△ABC是等邊三角形，CD⊥AB，∠ACB=60°
∴∠ACD=12∠ACB=30°
設(shè)AC=2a，則AD=12AC=a
∴CD=AC2?AD2=3a，
∴此時CFDE=CDAC=3a2a=32，
即CFDE的最小值為32．
故答案為：32．
【點(diǎn)睛】此題考查圖形的旋轉(zhuǎn)變化與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，理解“垂線段最短”和利用相似三角形的性質(zhì)將CFDE轉(zhuǎn)化為CDAC是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·吉林長春·九年級校考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度，沿射線BC方向運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿線段CD方向運(yùn)動．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒(t>0)．

(1)用含t的代數(shù)式表示線段CP的長；
(2)當(dāng)PQ與矩形的對角線平行時，求t的值；
(3)若點(diǎn)M為DQ的中點(diǎn)，求以M、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時t的值；
(4)直接寫出點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)B′落在△ACD內(nèi)部時t的取值范圍．
【答案】(1)當(dāng)0

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題23.10 圖形的相似章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）（華東師大版）（解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題23.10 圖形的相似章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）（華東師大版）（解析版），共77頁。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題22.10 一元二次方程章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（華東師大版）（解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題22.10 一元二次方程章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（華東師大版）（解析版），共38頁。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題4.11 直線與角章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）（解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題4.11 直線與角章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）（解析版），共43頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題1.14 有理數(shù)章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）（解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題1.14 有理數(shù)章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）（解析版）
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題4.10 圖形的相似章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）（北師大版）（解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題4.10 圖形的相似章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）（北師大版）（解析版）
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.14 圓章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）（北師大版）（原卷版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.14 圓章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）（北師大版）（原卷版）
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.14 圓章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）（北師大版）（解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.14 圓章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）（北師大版）（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部