TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32378" 【題型1 利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長度】 PAGEREF _Tc32378 \h 1
\l "_Tc7832" 【題型2 利用線段垂直平分線的性質(zhì)求最值】 PAGEREF _Tc7832 \h 5
\l "_Tc9321" 【題型3 利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc9321 \h 9
\l "_Tc3497" 【題型4 利用線段垂直平分線的性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc3497 \h 13
\l "_Tc6718" 【題型5 利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明】 PAGEREF _Tc6718 \h 19
\l "_Tc12846" 【題型6 線段垂直平分線的判定】 PAGEREF _Tc12846 \h 24
\l "_Tc11587" 【題型7 尺規(guī)作線段垂直平分線】 PAGEREF _Tc11587 \h 27
\l "_Tc16260" 【題型8 線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運用】 PAGEREF _Tc16260 \h 31
\l "_Tc22963" 【題型9 線段垂直平分線的實際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22963 \h 38
【知識點1 線段垂直平分線的性質(zhì)】
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
【題型1 利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長度】
【例1】（2023春·遼寧阜新·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若△ABC的周長是20，AB=4，AC=7，則△AEF的周長為（ ）

A．4B．7C．9D．11
【答案】C
【分析】先根據(jù)△ABC的周長公式求得BC=9，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，F(xiàn)A=FC，根據(jù)△AEF的周長公式計算，即可得到答案．
【詳解】解：∵△ABC的周長是20，
∴AB+AC+BC=20
∵AB=4，AC=7，
∴BC=9，
∵EG是線段AB的垂直平分線，
∴EA=EB，
同理，F(xiàn)A=FC，
∴△AEF的周長=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=9，
故選：C．
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點D，DM⊥BA的延長線于點M，DN⊥BC于點N．若AB=3，BC=7，則AM的長為 ．
【答案】2
【分析】連接AD，CD，由“AAS”可證△BDM?△BDN，可得BM=BN，由“HL”可證Rt△ADM?Rt△CDN，可得AM=CN，即可求解．
【詳解】解：連接AD，CD，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠DBC，
在△BDM和△BDN中，
∠DMB=∠DNB=90°∠ABD=∠DBCBD=BD，
∴△BDM?△BDNAAS，
∴BM=BN，DM=DN，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴AD=DC，
在Rt△ADM和Rt△CDN中，
AD=CDDM=DN，
∴Rt△ADM?Rt△CDNHL，
∴AM=CN，
∵AB=3，BC=7，
∴BC?AB=BN+CN?BM?AM=2AM=4，
∴AM=2，
故答案為2．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，則AE= ．

【答案】4
【分析】連接BD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BD=CD，繼而可證得Rt△BED?Rt△CFD，可得BE=CF，再證得△AED?△AFD，得到AE=AF，設(shè)BE=x，由AB?BE=AC+CF，即可得方程5?x=3+x，解方程求出x，進(jìn)而可求得AE．
【詳解】解：連接BD，CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED與Rt△CFD中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BED?Rt△CFD(HL)，
∴BE=CF，
在△AED和△AFD中，
∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△AED?△AFD(AAS)，
∴AE=AF，
設(shè)BE=x，則CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB?BE，AF=AC+CF，
∴5?x=3+x，
解得：x=1，
∴BE=1，
∴AE=AB?BE=5?1=4，
故答案為：4．
【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．準(zhǔn)確作出輔助線，利用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想求解是解決問題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·遼寧丹東·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D、E．已知△ADE的周長為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為23cm，則OA的長為 ．

【答案】6cm
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DB，EA=EC，OA=OB=OC，從而可求出BC=11cm，然后根據(jù)△OBC的周長為23cm，即可求出OB的長，即可解答．
【詳解】解：∵OM是AB的垂直平分線，
∴DA=DB，OA=OB，
∵ON是AC的垂直平分線，
∴EA=EC，OA=OC，
∴OB=OC，
∵△ADE的周長為11cm，
∴AD+DE+AE=11cm，
∴BD+DE+CE=11cm，
∴BC=11cm，
∵△OBC的周長為23cm，
∴OB+OC=23?11=12cm，
∴OB=OC=6cm，
∴OA=OC=6cm，
故答案為：6cm．
【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【題型2 利用線段垂直平分線的性質(zhì)求最值】
【例2】（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任一點，則△ABP周長的最小值是 ．

【答案】12
【分析】根據(jù)題意知PB=PC，故當(dāng)點P與點D重合時，AP+BP的最小值等于AC的長，根據(jù)AB，AC的長度即可得到△ABP周長的最小值．
【詳解】解：連接PC，設(shè)AC交EF于D，

∵EF垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴當(dāng)P和D重合時，AP+BP的值最小，最小值等于AC的長，
∵AB=5，AC=7，
∴△ABP周長的最小值是AB+AC=5+7=12．
故答案為：12．
【點睛】此考查了垂直平分線的性質(zhì)、最短路徑等知識，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·江西九江·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E，若△AEC的周長是11，則直線DE上任意一點到A、C距離和最小為（ ）

A．28B．18C．10D．7
【答案】D
【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)和已知的三角形的周長計算．
【詳解】解：∵DE是BC的中垂線，
∴BE=EC，
則AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△AEC的周長為11，
故AB=11?4=7，
直線DE上任意一點到A、C距離和最小為7．
故選：D．
【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等）有關(guān)知識．難度簡單．
【變式2-2】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以點A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點．若BC=2，△ABC面積為3，則BM+MD長度的最小值等于 ．
【答案】3
【分析】連接AD,AM，利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，根據(jù)三角形面積公式求出AD=3，利用基本作圖得到EF垂直平分AB，則MA=MB，所以BM+MD=MA+MD≥AD，當(dāng)且僅當(dāng)A、M、D共線時取等號，從而得到BM+MD的最小值．
【詳解】解：連接AD,AM，如圖，
∵AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，
∵△ABC的面積為3，
∴12×2AD=3，
解得AD=3，
由作法得EF垂直平分AB，
∴MA=MB，
∵BM+MD=MA+MD≥AD，
∴當(dāng)且僅當(dāng)A、M、D共線時，MA+MD的最小值為3，
∴BM+MD的最小值是3．
故答案為：3．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖-作已知線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和最短路徑問題，確定出當(dāng)且僅當(dāng)A、M、D共線時，MA+MD取得最小值是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·山東青島·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D為AB中點，點P在AC上從C向A運動；同時，點Q在BC上從B向C運動，當(dāng)∠PDQ＝ 時，△PDQ的周長最?。?
【答案】28°/28度
【分析】根據(jù)兩點之間線段最短，把三角形的周長轉(zhuǎn)化為一條線段的長，利用三角形的內(nèi)角和及平角的定義求解．
【詳解】過點D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，過點D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，連接EF，則EF的長為△PDQ的最小值，
根據(jù)作圖知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF，
∴DQ＝FQ，PD＝PE，
∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ，
根據(jù)兩點之間線段最短，所以EF的長是△PDQ的最小值，
此時有：∠FDQ=12∠DQP，∠MDP=12∠DPQ，
在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C ＝50°，
∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°，
∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP
＝180°﹣40°﹣36°?12（∠DQP+∠DPQ）
＝104°?12（180°﹣∠PDQ）
＝104°﹣90°+12∠PDQ，
解得：∠PDQ＝28°．
故當(dāng)∠PDQ＝28°時，△PDQ的周長最?。?br>故答案為：28°
【點睛】本題考查了最短路徑問題，通過軸對稱把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
【題型3 利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】
【例3】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點M，N為AC邊上的兩點，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于點D，且NM=ND，若∠A=α，則∠C=（ ）

A．32αB．90°?12αC．120°?αD．2α?90°
【答案】D
【分析】根據(jù)看垂直平分線的性質(zhì)可得∠ABM=∠NBM=90°?α，NM=ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得BN平分∠NDM，進(jìn)而得到∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°?α，最后由三角形內(nèi)角和求出∠C即可．
【詳解】∵AM=NM，BM⊥AC，∠A=α，
∴∠ABM=∠NBM=90°?α，
∵NM=ND，BM⊥AC，ND⊥BC，
∴BN平分∠NDM，
∴∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°?α，
∴∠ABC=∠ABM+∠DBN+∠NBM=270°?3α，
∴∠C=180°?∠A?∠ABC=180°?270°?3α?α=2α?90°，
故選：D．
【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的判定定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
【變式3-1】（2023春·安徽池州·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，則∠ABC的度數(shù)為 ．

【答案】48°
【分析】由角平分線的定義可得∠ABD=∠BCD，由垂直平分線的性質(zhì)可得BF=CF，從而得到∠FBC=∠FCB，進(jìn)而得到∠ABD=∠FBC=∠FCB，由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可得到答案．
【詳解】解：∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BCD，
∵ EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠ABD=∠FBC=∠FCB，
∵∠A+∠ACF+∠ABD+∠CBD+∠BCF=180°，∠A=60°，∠ACF=48°，
∴∠ABD=∠CBD=∠BCF=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，
故答案為：48°．
【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·四川甘孜·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，若DE垂直平分AB，求∠C的度數(shù)．

【答案】∠C=84°
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，∠DAB=∠B=32°，再根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【詳解】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=32°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAB=2∠DAB=64°，
∴∠C=180°?∠CAB?∠B=180°?64°?32°=84°，
∴∠C=84°．
【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義．掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點O是AC、BC的垂直平分線的交點，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（ ）

A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°?12α
【答案】B
【分析】連接CO并延長，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OC，OB=OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到∠AOB=12(∠OCA+∠OCB)=α．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IAB+∠IBA=180°?∠AIB，根據(jù)角平分線的定義得到∠IAB+∠IBA=90°?α4，求出∠AIB．
【詳解】解：連接CO并延長，

∵點O是AC、BC的垂直平分線的交點，
∴OA=OC，OB=OC，
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一個外角，
∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，
同理，∠BOD=2∠OCB，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，
∴∠OCA+∠OCB=α2，
∴∠ACB=α2，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA=12(∠CAB+∠CBA)=12(180°?∠ACB)=90°?α4，
∴∠AIB=180°?(∠IAB+∠IBA)=90°+α4，
故選：B．
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【題型4 利用線段垂直平分線的性質(zhì)探究角度、線段之間的關(guān)系】
【例4】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是長方形，E是邊CD的中點，連接AE并延長交邊BC的延長線于F，過點E作AF的垂線交邊BC于M，連接AM．
（1）請說明 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）試說明AM = BC + MC；
（3）設(shè)S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，試探究S1，S2，S3三者之間的等量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）S3=2S1-4S2，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)ASA可證得 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）由（1）可得AE=EF，AD=CF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得再由線段等量關(guān)系即可說明AM = BC + MC；
（3）由AE=EF得出S△ECF=S1-S2，再由底和高的倍數(shù)關(guān)系得到S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，從而根據(jù)S3=S△ABF-S△MAF得到結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵E是邊CD的中點，
∴DE=CE，
∵∠D=∠DCF=90°，∠DEA=∠ECF，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）得AE=EF，AD=CF，
∴點E為AF中點，
∵M(jìn)E⊥AF，
∴AM=MF，
∵M(jìn)F=CF+MC，
∵AD=BC=CF，
∴MF=BC+MC，
即AM=BC+MC；
（3）S3=2S1-4S2，理由是：
由（2）可知：AE=EF，AD=BC=CF，
∴S1=S△MEF=S2+S△ECF，
∴S△ECF=S1-S2，
∵AB=2EC，BF=2CF，∠B=∠ECF=90°，
∴S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，
∴S3=S△ABF-S△MAF=S△ABF-2S1=2S1-4S2．
【點睛】本題考查了長方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理。熟記性質(zhì)并找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·陜西西安·八年級西安市鐵一中學(xué)校考期末）△ABC的兩邊AB、AC的中垂線交于邊BC上的P點，則線段PA和BC的關(guān)系正確的是（ ）
A．PA12BCD．PA≥12BC
【答案】B
【分析】依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到AP＝BP＝CP，進(jìn)而得出線段PA和BC的關(guān)系．
【詳解】解：如圖所示，△ABC的兩邊AB、AC的中垂線交于邊BC上的P點，
∴AP＝BP，AP＝CP，
∴AP＝BP＝CP＝12BC，
故選：B．
【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．
【變式4-2】（2023春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，OF是∠MON的平分線，點A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側(cè)，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點B，點C，連接AB，PB．
(1)如圖1，請指出AB與PB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(2)如圖2，當(dāng)P，Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)AB=PB，理由見解析
(2)存在，理由見解析
【分析】（1）連接BQ，根據(jù)BC垂直平分OQ，可知BO=BQ，則∠BOQ=∠BQO，根據(jù)OF平分∠MON，則∠AOB=∠BOQ，即∠AOB=∠BQO，根據(jù)OA=QP，可知△AOB≌△PQB，則可知AB=PB；
（2）如圖，連接BQ，根據(jù)BC垂直平分OQ，可知BQ=BO，CQ=CO結(jié)合條件可證△BQC≌△BOC，則∠BQO=∠BOQ，根據(jù)OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，可知∠AOF=∠FON=∠BOQ，則∠AOF=∠BQO，進(jìn)而可知∠AOB=∠PQB，由此可證△AOB≌△PQB（SAS），則AB=PB．
【詳解】（1）解：AB=PB
理由如下：
連接BQ
∵BC垂直平分OQ
∴BO=BQ
∴∠BOQ=∠BQO
∵OF平分∠MON
∴∠AOB=∠BOQ
∴∠AOB=∠BQO
∵OA=QP
∴△AOB≌△PQB
∴AB=PB；
（2）存在，
理由：如圖，連接BQ，
∵BC垂直平分OQ，
∴BQ=BO，CQ=CO
在△BQC和△BOC中，BC=BCCQ=COBQ=BO
∴△BQC≌△BOC（SSS）
∴∠BQO=∠BOQ，
∵OF平分∠MON，
∠BOQ=∠FON，
∴∠AOF=∠FON=∠BOQ，
∴∠AOF=∠BQO，
∴∠AOB=∠PQB，
在△AOB和△PQB中，OA=PQ∠AOB=∠PQBBO=BQ
∴△AOB≌△PQB（SAS），
∴AB=PB．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，本題屬于中考常考問題．
【變式4-3】（2023春·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在直角△ABC中，∠C=90°，分別作∠CAB的平分線AP和AB的垂直平分線DP，交點為P．
（1）如圖2，若點P正好落在BC邊上．
①求∠B的度數(shù)；
②求證：BC=3PC．
（2）如圖3，若點C、P、D恰好在一條直線上，線段AD、PD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是否滿足AD+PD=BC？若滿足，請給出證明；若不滿足，請說明理由．
【答案】（1）①∠B的度數(shù)是30°；②見解析；（2）滿足，理由見解析
【分析】（1）①由垂直平分線與角平分線的性質(zhì)證明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案；②先利用角平分線的性質(zhì)證明PC=PD，再用∠B=30°證明BP=2PD，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）過點P作PE⊥AC于點E，由垂直平分線的性質(zhì)可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，進(jìn)而證明PE=CE，由角平分線的性質(zhì)可知PE=PD，即可證明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用線段的和差性質(zhì)即可證明AD+PD=BC．
【詳解】（1）①∵DP是AB的垂直平分線，
∴PA=PB，
∴∠PAD=∠B，
又∵AP平分∠CAB，
∴∠PAD=∠PAC，
∴∠PAD=∠PAC=∠B，
設(shè)∠B=x°，則∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
即3x=90，x=30，
∴∠B的度數(shù)是30°．
②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，
∴PC=PD，
∵在Rt△BDP中，∠B=30°，
∴BP=2PD，
∴BC=BP+PC=3PC．
（2）如圖，過點P作PE⊥AC于點E，
∵CD是AB的垂直平分線，
∴AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°．
∵PE⊥AC，
∴∠CPE=90°?∠PCE=90°?45°=45°=∠PCE，
∴PE=CE，
又∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PE=PD，
∴在Rt△AEP和Rt△ADP中，
AP=AP,PE=PD,
∴Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），
∴AE=AD，
∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD，
又∵AC=BC，
∴AD+PD=BC．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形全等的判定與性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)、線段的和差性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握并熟練運用以上知識．
【題型5 利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明】
【例5】（2023春·陜西榆林·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABDC中，AD所在直線垂直平分線段BC，過點C作CF∥BD交AB于點F，延長AB，CD交于點E．求證：

(1)CB平分∠ECF；
(2)∠ACF=∠E．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由AD所在直線垂直平分線段BC得到BD=CD，從而得到∠BCD=∠CBD，再利用平行線的性質(zhì)可知∠CBD=∠FCB，再用等量代換即可證明；
（2）由AD所在直線垂直平分線段BC得到AC=AB，∠ACB=∠ABC，從而得到∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB，再根據(jù)∠FCB=∠BCE即可得證．
【詳解】（1）證明：∵AD所在直線垂直平分線段BC，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠CBD．
∵BD∥CF，
∴∠CBD=∠FCB，
∴∠FCB=∠BCD，
即CB平分∠ECF；
（2）∵AD所在直線垂直平分線段BC，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC．
∵∠ABC是△BCE的一個外角，
∴∠ABC=∠E+∠BCE，
∴∠ABC=∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB．
又∵∠FCB=∠BCD，即∠FCB=∠BCE，
∴∠ACF=∠E．
【點睛】本題考查角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023春·重慶綦江·八年級校聯(lián)考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D， DM丄AB與M， DN丄AC交AC的延長線于N，你認(rèn)為BM與CN之間有什么關(guān)系？試證明你的發(fā)現(xiàn)．
【答案】BM=CN，證明見解析．
【分析】如圖（見解析），先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DM=DN，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BD=CD，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得．
【詳解】BM=CN，證明如下：
如圖，連接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BMD與Rt△CND中，DM=DNBD=CD，
∴Rt△BMD?Rt△CND(HL)，
∴BM=CN．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E、F在AB上，連接CE，CF， 且CF=BF．已知∠A=50°，∠ACE=30°，試證明∠CFE=∠CEF．

【答案】證明見解析
【分析】如圖所示，取BC中點G，連接FG，證明FG在線段BC的垂直平分線上，得到∠FGC=∠FGB=90°，進(jìn)而證明△FGC≌△FGB得到∠FCG=∠FBG，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠FCB=∠B=40°，再利用三角形外角的性質(zhì)分別求出∠CFE、∠CEF的度數(shù)即可證明結(jié)論．
【詳解】證明：如圖所示，取BC中點G，連接FG，
∵CF=BF，
∴FG在線段BC的垂直平分線上，
∴FG⊥BC，
∴∠FGC=∠FGB=90°，
又∵FG=FG，CG=BG，
∴△FGC≌△FGBSAS，
∴∠FCG=∠FBG，
在在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=180°?∠ACB?∠A=40°，
∴∠FCB=∠B=40°，
∴∠CFE=∠FCB+∠B=80°，
又∵∠CEF=∠A=50°+∠ACE=80°，
∴∠CFE=∠CEF．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等等，證明∠FCG=∠FBG是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·福建龍巖·八年級?？奸_學(xué)考試）已知（如圖），在△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于點F，交AC的平行線BG于點G，DE⊥GF，交AB于點E，連結(jié)EF．
(1)求證：BG=CF．
(2)試判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)BE+CF>EF，理由見解析
【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；
（2）再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF>EF．
【詳解】（1）證明：∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D為BC的中點，
∴BD=CD，
在△BGD與△CFD中，
∠DBG=∠DCFBD=CD∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFDASA．
∴BG=CF．
（2）解：BE+CF>EF．
理由如下：連接EG，
∵△BGD≌△CFDASA，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴DE垂直平分FG，
∴EG=EF．
∴在△EBG中，BE+BG>EG，
即BE+CF>EF．
【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的定義和性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法并根據(jù)條件靈活選擇是解題的關(guān)鍵．
【知識點2 線段垂直平分線的判定】
到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點需要找兩個）
【題型6 線段垂直平分線的判定】
【例6】（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高．
(1)求證：AD垂直平分EF；
(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面積是4，則DE= ．
【答案】(1)見解析
(2)85
【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得DE=DF，再由Rt△AED≌Rt△AFDHL，得AE=AF，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，代入計算即可．
【詳解】（1）∵AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，
在Rt△AED與Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFDHL，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB?ED+12AC?DF=12DEAB+AC=4，
∵AB=3，AC=2，
∴DE=85，
故答案為：85．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD⊥BC于點D，BD=DC，AB+BD=DE，求證：點C在AE的垂直平分線上．

【答案】見解析
【分析】由AD⊥BC，BD=DC，得到AD是BC的垂直平分線，因此AB=AC．再根據(jù)AB+BD=DE，可推出AC=CE，因此得證點C在AE的垂直平分線上．
【詳解】∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴AB=AC．
∵AB+BD=DE，
∴AB+BD=CD+CE=AC+CD，
∴AC=CE，
∴點C在AE的垂直平分線上．
【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC交AC于點E，交CD于點F，過點E作EG∥CD，交AB于點G，連接CG．

(1)求證：∠A+∠AEG=90°；
(2)求證：EC=EG；
(3)若CG=4，BE=5，求四邊形BCEG的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)四邊形BCEG的面積為10．
【分析】（1）證明EG⊥AB，即可證明結(jié)論成立；
（2）利用角平分線性質(zhì)定理即可證明結(jié)論成立；
（3）證明Rt△EBG≌Rt△EBCHL，推出BE是線段CG的垂直平分線，利用四邊形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）證明：∵EG∥CD，CD⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴∠A+∠AEG=90°；
（2）證明：∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°，
∴EC=EG；
（3）解：∵EC=EG，EB=EB，
∴Rt△EBG≌Rt△EBCHL，
∴BC=BG，
∴BE是線段CG的垂直平分線，
∴四邊形BCEG的面積=12BE×CG=12×5×4=10．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．
【變式6-3】（2023春·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD與BC相交于點O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，連接OE，BD，求證；OE垂直平分BD．

【答案】見解析
【分析】先證明△ABO≌△CDO得到OB=OD，再由EB=ED即可證明OE垂直平分BD．
【詳解】證明：在△ABO和△CDO中，
∠AOB=∠COD∠ABO=∠CDOAB=CD
∴△ABO≌△CDOAAS，
∴OB=OD，
又∵EB=ED，
∴OE垂直平分BD．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，證明△ABO≌△CDO得到OB=OD是解題的關(guān)鍵．
【題型7 尺規(guī)作線段垂直平分線】
【例7】（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點M，使MC+MB=AC，并連接MB．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析
【分析】根據(jù)題意，作AB的垂直平分線與AC的交點即為點M，即可解答．
【詳解】∵在AC上求作一點M，
∴AM+MC=AC，
∵M(jìn)C+MB=AC，
∴MB=AM，
即點M在線段AB的垂直平分線上．
如圖，點M即為所求．

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖-垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·湖南郴州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．
(1)尺規(guī)作圖：作邊AC的垂直平分線交BC于點D，連接AD（要求：保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；
(2)在（1）作出的圖形中，求△ABD的周長．
【答案】(1)見解析
(2)13
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作法，作出AC的垂直平分線；
（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AD=CD，進(jìn)而根據(jù)AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，即可求解．
【詳解】（1）如圖，
（2）∵AC的垂直平分線交BC于點D
∴AD=CD
∴△ABD的周長為：AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13
【點睛】本題考查線段垂直平分線的作法和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形．
【變式7-2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)上步中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC，AB

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