TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32378" 【題型1 利用線段垂直平分線的性質求長度】 PAGEREF _Tc32378 \h 1
\l "_Tc7832" 【題型2 利用線段垂直平分線的性質求最值】 PAGEREF _Tc7832 \h 2
\l "_Tc9321" 【題型3 利用線段垂直平分線的性質求角度】 PAGEREF _Tc9321 \h 3
\l "_Tc3497" 【題型4 利用線段垂直平分線的性質探究角度之間的關系】 PAGEREF _Tc3497 \h 4
\l "_Tc6718" 【題型5 利用線段垂直平分線的性質證明】 PAGEREF _Tc6718 \h 6
\l "_Tc12846" 【題型6 線段垂直平分線的判定】 PAGEREF _Tc12846 \h 7
\l "_Tc11587" 【題型7 尺規(guī)作線段垂直平分線】 PAGEREF _Tc11587 \h 8
\l "_Tc16260" 【題型8 線段垂直平分線的判定與性質的綜合運用】 PAGEREF _Tc16260 \h 9
\l "_Tc22963" 【題型9 線段垂直平分線的實際應用】 PAGEREF _Tc22963 \h 10
【知識點1 線段垂直平分線的性質】
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
【題型1 利用線段垂直平分線的性質求長度】
【例1】（2023春·遼寧阜新·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若△ABC的周長是20，AB=4，AC=7，則△AEF的周長為（ ）

A．4B．7C．9D．11
【變式1-1】（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點D，DM⊥BA的延長線于點M，DN⊥BC于點N．若AB=3，BC=7，則AM的長為 ．
【變式1-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，則AE= ．

【變式1-3】（2023春·遼寧丹東·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D、E．已知△ADE的周長為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為23cm，則OA的長為 ．

【題型2 利用線段垂直平分線的性質求最值】
【例2】（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任一點，則△ABP周長的最小值是 ．

【變式2-1】（2023春·江西九江·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E，若△AEC的周長是11，則直線DE上任意一點到A、C距離和最小為（ ）

A．28B．18C．10D．7
【變式2-2】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以點A、B為圓心，以適當的長為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點．若BC=2，△ABC面積為3，則BM+MD長度的最小值等于 ．
【變式2-3】（2023春·山東青島·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D為AB中點，點P在AC上從C向A運動；同時，點Q在BC上從B向C運動，當∠PDQ＝ 時，△PDQ的周長最小．
【題型3 利用線段垂直平分線的性質求角度】
【例3】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點M，N為AC邊上的兩點，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于點D，且NM=ND，若∠A=α，則∠C=（ ）

A．32αB．90°?12αC．120°?αD．2α?90°
【變式3-1】（2023春·安徽池州·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，則∠ABC的度數為 ．

【變式3-2】（2023春·四川甘孜·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，若DE垂直平分AB，求∠C的度數．

【變式3-3】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點O是AC、BC的垂直平分線的交點，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（ ）

A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°?12α
【題型4 利用線段垂直平分線的性質探究角度、線段之間的關系】
【例4】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是長方形，E是邊CD的中點，連接AE并延長交邊BC的延長線于F，過點E作AF的垂線交邊BC于M，連接AM．
（1）請說明 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）試說明AM = BC + MC；
（3）設S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，試探究S1，S2，S3三者之間的等量關系，并說明理由．
【變式4-1】（2023春·陜西西安·八年級西安市鐵一中學?？计谀鰽BC的兩邊AB、AC的中垂線交于邊BC上的P點，則線段PA和BC的關系正確的是（ ）
A．PA12BCD．PA≥12BC
【變式4-2】（2023春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，OF是∠MON的平分線，點A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點B，點C，連接AB，PB．
(1)如圖1，請指出AB與PB的數量關系，并說明理由．
(2)如圖2，當P，Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數量關系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由．
【變式4-3】（2023春·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在直角△ABC中，∠C=90°，分別作∠CAB的平分線AP和AB的垂直平分線DP，交點為P．
（1）如圖2，若點P正好落在BC邊上．
①求∠B的度數；
②求證：BC=3PC．
（2）如圖3，若點C、P、D恰好在一條直線上，線段AD、PD、BC之間的數量關系是否滿足AD+PD=BC？若滿足，請給出證明；若不滿足，請說明理由．
【題型5 利用線段垂直平分線的性質證明】
【例5】（2023春·陜西榆林·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABDC中，AD所在直線垂直平分線段BC，過點C作CF∥BD交AB于點F，延長AB，CD交于點E．求證：

(1)CB平分∠ECF；
(2)∠ACF=∠E．
【變式5-1】（2023春·重慶綦江·八年級校聯(lián)考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D， DM丄AB與M， DN丄AC交AC的延長線于N，你認為BM與CN之間有什么關系？試證明你的發(fā)現(xiàn)．
【變式5-2】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E、F在AB上，連接CE，CF， 且CF=BF．已知∠A=50°，∠ACE=30°，試證明∠CFE=∠CEF．

【變式5-3】（2023春·福建龍巖·八年級?？奸_學考試）已知（如圖），在△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于點F，交AC的平行線BG于點G，DE⊥GF，交AB于點E，連結EF．
(1)求證：BG=CF．
(2)試判斷BE+CF與EF的大小關系，并說明理由．
【知識點2 線段垂直平分線的判定】
到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點需要找兩個）
【題型6 線段垂直平分線的判定】
【例6】（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學校?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高．
(1)求證：AD垂直平分EF；
(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面積是4，則DE= ．
【變式6-1】（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD⊥BC于點D，BD=DC，AB+BD=DE，求證：點C在AE的垂直平分線上．

【變式6-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC交AC于點E，交CD于點F，過點E作EG∥CD，交AB于點G，連接CG．

(1)求證：∠A+∠AEG=90°；
(2)求證：EC=EG；
(3)若CG=4，BE=5，求四邊形BCEG的面積．
【變式6-3】（2023春·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD與BC相交于點O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，連接OE，BD，求證；OE垂直平分BD．

【題型7 尺規(guī)作線段垂直平分線】
【例7】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點M，使MC+MB=AC，并連接MB．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【變式7-1】（2023春·湖南郴州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．
(1)尺規(guī)作圖：作邊AC的垂直平分線交BC于點D，連接AD（要求：保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；
(2)在（1）作出的圖形中，求△ABD的周長．
【變式7-2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)上步中學校考期中）如圖，已知△ABC，AB

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