TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32378" 【題型1 利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求長(zhǎng)度】 PAGEREF _Tc32378 \h 1
\l "_Tc7832" 【題型2 利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求最值】 PAGEREF _Tc7832 \h 5
\l "_Tc9321" 【題型3 利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc9321 \h 9
\l "_Tc3497" 【題型4 利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc3497 \h 13
\l "_Tc6718" 【題型5 利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)證明】 PAGEREF _Tc6718 \h 19
\l "_Tc12846" 【題型6 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定】 PAGEREF _Tc12846 \h 24
\l "_Tc11587" 【題型7 尺規(guī)作線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)】 PAGEREF _Tc11587 \h 27
\l "_Tc16260" 【題型8 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc16260 \h 31
\l "_Tc22963" 【題型9 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22963 \h 38
【知識(shí)點(diǎn)1 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)】
線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過(guò)來(lái)，與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.
【題型1 利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求長(zhǎng)度】
【例1】（2023春·遼寧阜新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線(xiàn)分別交BC于點(diǎn)E、F，若△ABC的周長(zhǎng)是20，AB=4，AC=7，則△AEF的周長(zhǎng)為（ ）

A．4B．7C．9D．11
【答案】C
【分析】先根據(jù)△ABC的周長(zhǎng)公式求得BC=9，再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到EA=EB，F(xiàn)A=FC，根據(jù)△AEF的周長(zhǎng)公式計(jì)算，即可得到答案．
【詳解】解：∵△ABC的周長(zhǎng)是20，
∴AB+AC+BC=20
∵AB=4，AC=7，
∴BC=9，
∵EG是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，
∴EA=EB，
同理，F(xiàn)A=FC，
∴△AEF的周長(zhǎng)=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=9，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·四川成都·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線(xiàn)BD和AC邊的中垂線(xiàn)DE交于點(diǎn)D，DM⊥BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N．若AB=3，BC=7，則AM的長(zhǎng)為 ．
【答案】2
【分析】連接AD，CD，由“AAS”可證△BDM?△BDN，可得BM=BN，由“HL”可證Rt△ADM?Rt△CDN，可得AM=CN，即可求解．
【詳解】解：連接AD，CD，
∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，
∴∠ABD=∠DBC，
在△BDM和△BDN中，
∠DMB=∠DNB=90°∠ABD=∠DBCBD=BD，
∴△BDM?△BDNAAS，
∴BM=BN，DM=DN，
∵DE是AC的垂直平分線(xiàn)，
∴AD=DC，
在Rt△ADM和Rt△CDN中，
AD=CDDM=DN，
∴Rt△ADM?Rt△CDNHL，
∴AM=CN，
∵AB=3，BC=7，
∴BC?AB=BN+CN?BM?AM=2AM=4，
∴AM=2，
故答案為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，則AE= ．

【答案】4
【分析】連接BD，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得DE=DF，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得BD=CD，繼而可證得Rt△BED?Rt△CFD，可得BE=CF，再證得△AED?△AFD，得到AE=AF，設(shè)BE=x，由AB?BE=AC+CF，即可得方程5?x=3+x，解方程求出x，進(jìn)而可求得AE．
【詳解】解：連接BD，CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED與Rt△CFD中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BED?Rt△CFD(HL)，
∴BE=CF，
在△AED和△AFD中，
∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△AED?△AFD(AAS)，
∴AE=AF，
設(shè)BE=x，則CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB?BE，AF=AC+CF，
∴5?x=3+x，
解得：x=1，
∴BE=1，
∴AE=AB?BE=5?1=4，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)，利用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，邊AB的垂直平分線(xiàn)OM與邊AC的垂直平分線(xiàn)ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線(xiàn)分別交BC于點(diǎn)D、E．已知△ADE的周長(zhǎng)為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長(zhǎng)為23cm，則OA的長(zhǎng)為 ．

【答案】6cm
【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得DA=DB，EA=EC，OA=OB=OC，從而可求出BC=11cm，然后根據(jù)△OBC的周長(zhǎng)為23cm，即可求出OB的長(zhǎng)，即可解答．
【詳解】解：∵OM是AB的垂直平分線(xiàn)，
∴DA=DB，OA=OB，
∵ON是AC的垂直平分線(xiàn)，
∴EA=EC，OA=OC，
∴OB=OC，
∵△ADE的周長(zhǎng)為11cm，
∴AD+DE+AE=11cm，
∴BD+DE+CE=11cm，
∴BC=11cm，
∵△OBC的周長(zhǎng)為23cm，
∴OB+OC=23?11=12cm，
∴OB=OC=6cm，
∴OA=OC=6cm，
故答案為：6cm．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【題型2 利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求最值】
【例2】（2023春·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線(xiàn)EF上的任一點(diǎn)，則△ABP周長(zhǎng)的最小值是 ．

【答案】12
【分析】根據(jù)題意知PB=PC，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP+BP的最小值等于AC的長(zhǎng)，根據(jù)AB，AC的長(zhǎng)度即可得到△ABP周長(zhǎng)的最小值．
【詳解】解：連接PC，設(shè)AC交EF于D，

∵EF垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴當(dāng)P和D重合時(shí)，AP+BP的值最小，最小值等于AC的長(zhǎng)，
∵AB=5，AC=7，
∴△ABP周長(zhǎng)的最小值是AB+AC=5+7=12．
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】此考查了垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、最短路徑等知識(shí)，熟練掌握垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線(xiàn)分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，若△AEC的周長(zhǎng)是11，則直線(xiàn)DE上任意一點(diǎn)到A、C距離和最小為（ ）

A．28B．18C．10D．7
【答案】D
【分析】利用垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和已知的三角形的周長(zhǎng)計(jì)算．
【詳解】解：∵DE是BC的中垂線(xiàn)，
∴BE=EC，
則AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△AEC的周長(zhǎng)為11，
故AB=11?4=7，
直線(xiàn)DE上任意一點(diǎn)到A、C距離和最小為7．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)（垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，和線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等）有關(guān)知識(shí)．難度簡(jiǎn)單．
【變式2-2】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線(xiàn)EF，D為BC的中點(diǎn)，M為直線(xiàn)EF上任意一點(diǎn)．若BC=2，△ABC面積為3，則BM+MD長(zhǎng)度的最小值等于 ．
【答案】3
【分析】連接AD,AM，利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，根據(jù)三角形面積公式求出AD=3，利用基本作圖得到EF垂直平分AB，則MA=MB，所以BM+MD=MA+MD≥AD，當(dāng)且僅當(dāng)A、M、D共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，從而得到BM+MD的最小值．
【詳解】解：連接AD,AM，如圖，
∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∵△ABC的面積為3，
∴12×2AD=3，
解得AD=3，
由作法得EF垂直平分AB，
∴MA=MB，
∵BM+MD=MA+MD≥AD，
∴當(dāng)且僅當(dāng)A、M、D共線(xiàn)時(shí)，MA+MD的最小值為3，
∴BM+MD的最小值是3．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖-作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，等腰三角形的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和最短路徑問(wèn)題，確定出當(dāng)且僅當(dāng)A、M、D共線(xiàn)時(shí)，MA+MD取得最小值是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·山東青島·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上從C向A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q在BC上從B向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠PDQ＝ 時(shí)，△PDQ的周長(zhǎng)最?。?
【答案】28°/28度
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，把三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為一條線(xiàn)段的長(zhǎng)，利用三角形的內(nèi)角和及平角的定義求解．
【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，連接EF，則EF的長(zhǎng)為△PDQ的最小值，
根據(jù)作圖知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF，
∴DQ＝FQ，PD＝PE，
∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，所以EF的長(zhǎng)是△PDQ的最小值，
此時(shí)有：∠FDQ=12∠DQP，∠MDP=12∠DPQ，
在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C ＝50°，
∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°，
∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP
＝180°﹣40°﹣36°?12（∠DQP+∠DPQ）
＝104°?12（180°﹣∠PDQ）
＝104°﹣90°+12∠PDQ，
解得：∠PDQ＝28°．
故當(dāng)∠PDQ＝28°時(shí)，△PDQ的周長(zhǎng)最?。?br>故答案為：28°
【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問(wèn)題，通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
【題型3 利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求角度】
【例3】（2023春·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N為AC邊上的兩點(diǎn)，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于點(diǎn)D，且NM=ND，若∠A=α，則∠C=（ ）

A．32αB．90°?12αC．120°?αD．2α?90°
【答案】D
【分析】根據(jù)看垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ABM=∠NBM=90°?α，NM=ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得BN平分∠NDM，進(jìn)而得到∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°?α，最后由三角形內(nèi)角和求出∠C即可．
【詳解】∵AM=NM，BM⊥AC，∠A=α，
∴∠ABM=∠NBM=90°?α，
∵NM=ND，BM⊥AC，ND⊥BC，
∴BN平分∠NDM，
∴∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°?α，
∴∠ABC=∠ABM+∠DBN+∠NBM=270°?3α，
∴∠C=180°?∠A?∠ABC=180°?270°?3α?α=2α?90°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
【變式3-1】（2023春·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，則∠ABC的度數(shù)為 ．

【答案】48°
【分析】由角平分線(xiàn)的定義可得∠ABD=∠BCD，由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得BF=CF，從而得到∠FBC=∠FCB，進(jìn)而得到∠ABD=∠FBC=∠FCB，由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BCD，
∵ EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠ABD=∠FBC=∠FCB，
∵∠A+∠ACF+∠ABD+∠CBD+∠BCF=180°，∠A=60°，∠ACF=48°，
∴∠ABD=∠CBD=∠BCF=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，
故答案為：48°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·四川甘孜·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分線(xiàn)AD交BC于點(diǎn)D，若DE垂直平分AB，求∠C的度數(shù)．

【答案】∠C=84°
【分析】根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DA=DB，∠DAB=∠B=32°，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
【詳解】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=32°，
∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，
∴∠CAB=2∠DAB=64°，
∴∠C=180°?∠CAB?∠B=180°?64°?32°=84°，
∴∠C=84°．
【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線(xiàn)的定義．掌握線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（ ）

A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°?12α
【答案】B
【分析】連接CO并延長(zhǎng)，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到OA=OC，OB=OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到∠AOB=12(∠OCA+∠OCB)=α．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IAB+∠IBA=180°?∠AIB，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠IAB+∠IBA=90°?α4，求出∠AIB．
【詳解】解：連接CO并延長(zhǎng)，

∵點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，
∴OA=OC，OB=OC，
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一個(gè)外角，
∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，
同理，∠BOD=2∠OCB，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，
∴∠OCA+∠OCB=α2，
∴∠ACB=α2，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA=12(∠CAB+∠CBA)=12(180°?∠ACB)=90°?α4，
∴∠AIB=180°?(∠IAB+∠IBA)=90°+α4，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【題型4 利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)探究角度、線(xiàn)段之間的關(guān)系】
【例4】（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，E是邊CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，過(guò)點(diǎn)E作AF的垂線(xiàn)交邊BC于M，連接AM．
（1）請(qǐng)說(shuō)明 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）試說(shuō)明AM = BC + MC；
（3）設(shè)S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，試探究S1，S2，S3三者之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）S3=2S1-4S2，理由見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)ASA可證得 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）由（1）可得AE=EF，AD=CF，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得再由線(xiàn)段等量關(guān)系即可說(shuō)明AM = BC + MC；
（3）由AE=EF得出S△ECF=S1-S2，再由底和高的倍數(shù)關(guān)系得到S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，從而根據(jù)S3=S△ABF-S△MAF得到結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵E是邊CD的中點(diǎn)，
∴DE=CE，
∵∠D=∠DCF=90°，∠DEA=∠ECF，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）得AE=EF，AD=CF，
∴點(diǎn)E為AF中點(diǎn)，
∵M(jìn)E⊥AF，
∴AM=MF，
∵M(jìn)F=CF+MC，
∵AD=BC=CF，
∴MF=BC+MC，
即AM=BC+MC；
（3）S3=2S1-4S2，理由是：
由（2）可知：AE=EF，AD=BC=CF，
∴S1=S△MEF=S2+S△ECF，
∴S△ECF=S1-S2，
∵AB=2EC，BF=2CF，∠B=∠ECF=90°，
∴S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，
∴S3=S△ABF-S△MAF=S△ABF-2S1=2S1-4S2．
【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理。熟記性質(zhì)并找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？计谀鰽BC的兩邊AB、AC的中垂線(xiàn)交于邊BC上的P點(diǎn)，則線(xiàn)段PA和BC的關(guān)系正確的是（ ）
A．PA12BCD．PA≥12BC
【答案】B
【分析】依據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到AP＝BP＝CP，進(jìn)而得出線(xiàn)段PA和BC的關(guān)系．
【詳解】解：如圖所示，△ABC的兩邊AB、AC的中垂線(xiàn)交于邊BC上的P點(diǎn)，
∴AP＝BP，AP＝CP，
∴AP＝BP＝CP＝12BC，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等．
【變式4-2】（2023春·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，OF是∠MON的平分線(xiàn)，點(diǎn)A在射線(xiàn)OM上，P，Q是直線(xiàn)ON上的兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)，且PQ=OA，作線(xiàn)段OQ的垂直平分線(xiàn)，分別交直線(xiàn)OF，ON于點(diǎn)B，點(diǎn)C，連接AB，PB．
(1)如圖1，請(qǐng)指出AB與PB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
(2)如圖2，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)都在射線(xiàn)ON的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)AB=PB，理由見(jiàn)解析
(2)存在，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）連接BQ，根據(jù)BC垂直平分OQ，可知BO=BQ，則∠BOQ=∠BQO，根據(jù)OF平分∠MON，則∠AOB=∠BOQ，即∠AOB=∠BQO，根據(jù)OA=QP，可知△AOB≌△PQB，則可知AB=PB；
（2）如圖，連接BQ，根據(jù)BC垂直平分OQ，可知BQ=BO，CQ=CO結(jié)合條件可證△BQC≌△BOC，則∠BQO=∠BOQ，根據(jù)OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，可知∠AOF=∠FON=∠BOQ，則∠AOF=∠BQO，進(jìn)而可知∠AOB=∠PQB，由此可證△AOB≌△PQB（SAS），則AB=PB．
【詳解】（1）解：AB=PB
理由如下：
連接BQ
∵BC垂直平分OQ
∴BO=BQ
∴∠BOQ=∠BQO
∵OF平分∠MON
∴∠AOB=∠BOQ
∴∠AOB=∠BQO
∵OA=QP
∴△AOB≌△PQB
∴AB=PB；
（2）存在，
理由：如圖，連接BQ，
∵BC垂直平分OQ，
∴BQ=BO，CQ=CO
在△BQC和△BOC中，BC=BCCQ=COBQ=BO
∴△BQC≌△BOC（SSS）
∴∠BQO=∠BOQ，
∵OF平分∠MON，
∠BOQ=∠FON，
∴∠AOF=∠FON=∠BOQ，
∴∠AOF=∠BQO，
∴∠AOB=∠PQB，
在△AOB和△PQB中，OA=PQ∠AOB=∠PQBBO=BQ
∴△AOB≌△PQB（SAS），
∴AB=PB．
【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，本題屬于中考常考問(wèn)題．
【變式4-3】（2023春·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在直角△ABC中，∠C=90°，分別作∠CAB的平分線(xiàn)AP和AB的垂直平分線(xiàn)DP，交點(diǎn)為P．
（1）如圖2，若點(diǎn)P正好落在BC邊上．
①求∠B的度數(shù)；
②求證：BC=3PC．
（2）如圖3，若點(diǎn)C、P、D恰好在一條直線(xiàn)上，線(xiàn)段AD、PD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是否滿(mǎn)足AD+PD=BC？若滿(mǎn)足，請(qǐng)給出證明；若不滿(mǎn)足，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）①∠B的度數(shù)是30°；②見(jiàn)解析；（2）滿(mǎn)足，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）①由垂直平分線(xiàn)與角平分線(xiàn)的性質(zhì)證明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案；②先利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)證明PC=PD，再用∠B=30°證明BP=2PD，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，進(jìn)而證明PE=CE，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知PE=PD，即可證明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用線(xiàn)段的和差性質(zhì)即可證明AD+PD=BC．
【詳解】（1）①∵DP是AB的垂直平分線(xiàn)，
∴PA=PB，
∴∠PAD=∠B，
又∵AP平分∠CAB，
∴∠PAD=∠PAC，
∴∠PAD=∠PAC=∠B，
設(shè)∠B=x°，則∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
即3x=90，x=30，
∴∠B的度數(shù)是30°．
②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，
∴PC=PD，
∵在Rt△BDP中，∠B=30°，
∴BP=2PD，
∴BC=BP+PC=3PC．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，
∵CD是AB的垂直平分線(xiàn)，
∴AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°．
∵PE⊥AC，
∴∠CPE=90°?∠PCE=90°?45°=45°=∠PCE，
∴PE=CE，
又∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PE=PD，
∴在Rt△AEP和Rt△ADP中，
AP=AP,PE=PD,
∴Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），
∴AE=AD，
∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD，
又∵AC=BC，
∴AD+PD=BC．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形全等的判定與性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)、線(xiàn)段的和差性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握并熟練運(yùn)用以上知識(shí)．
【題型5 利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)證明】
【例5】（2023春·陜西榆林·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形ABDC中，AD所在直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段BC，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD交AB于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AB，CD交于點(diǎn)E．求證：

(1)CB平分∠ECF；
(2)∠ACF=∠E．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）由AD所在直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段BC得到BD=CD，從而得到∠BCD=∠CBD，再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可知∠CBD=∠FCB，再用等量代換即可證明；
（2）由AD所在直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段BC得到AC=AB，∠ACB=∠ABC，從而得到∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB，再根據(jù)∠FCB=∠BCE即可得證．
【詳解】（1）證明：∵AD所在直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段BC，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠CBD．
∵BD∥CF，
∴∠CBD=∠FCB，
∴∠FCB=∠BCD，
即CB平分∠ECF；
（2）∵AD所在直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段BC，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC．
∵∠ABC是△BCE的一個(gè)外角，
∴∠ABC=∠E+∠BCE，
∴∠ABC=∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB．
又∵∠FCB=∠BCD，即∠FCB=∠BCE，
∴∠ACF=∠E．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)的定義，三角形的外角的性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023春·重慶綦江·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線(xiàn)AD與BC的垂直平分線(xiàn)DE交于點(diǎn)D， DM丄AB與M， DN丄AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，你認(rèn)為BM與CN之間有什么關(guān)系？試證明你的發(fā)現(xiàn)．
【答案】BM=CN，證明見(jiàn)解析．
【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得DM=DN，再根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得BD=CD，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得．
【詳解】BM=CN，證明如下：
如圖，連接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BMD與Rt△CND中，DM=DNBD=CD，
∴Rt△BMD?Rt△CND(HL)，
∴BM=CN．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)，通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E、F在AB上，連接CE，CF， 且CF=BF．已知∠A=50°，∠ACE=30°，試證明∠CFE=∠CEF．

【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】如圖所示，取BC中點(diǎn)G，連接FG，證明FG在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上，得到∠FGC=∠FGB=90°，進(jìn)而證明△FGC≌△FGB得到∠FCG=∠FBG，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠FCB=∠B=40°，再利用三角形外角的性質(zhì)分別求出∠CFE、∠CEF的度數(shù)即可證明結(jié)論．
【詳解】證明：如圖所示，取BC中點(diǎn)G，連接FG，
∵CF=BF，
∴FG在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上，
∴FG⊥BC，
∴∠FGC=∠FGB=90°，
又∵FG=FG，CG=BG，
∴△FGC≌△FGBSAS，
∴∠FCG=∠FBG，
在在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=180°?∠ACB?∠A=40°，
∴∠FCB=∠B=40°，
∴∠CFE=∠FCB+∠B=80°，
又∵∠CEF=∠A=50°+∠ACE=80°，
∴∠CFE=∠CEF．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等等，證明∠FCG=∠FBG是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·福建龍巖·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知（如圖），在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)GF交AC于點(diǎn)F，交AC的平行線(xiàn)BG于點(diǎn)G，DE⊥GF，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EF．
(1)求證：BG=CF．
(2)試判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)BE+CF>EF，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；
（2）再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF>EF．
【詳解】（1）證明：∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
在△BGD與△CFD中，
∠DBG=∠DCFBD=CD∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFDASA．
∴BG=CF．
（2）解：BE+CF>EF．
理由如下：連接EG，
∵△BGD≌△CFDASA，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴DE垂直平分FG，
∴EG=EF．
∴在△EBG中，BE+BG>EG，
即BE+CF>EF．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定義和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定方法并根據(jù)條件靈活選擇是解題的關(guān)鍵．
【知識(shí)點(diǎn)2 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定】
到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，（這樣的點(diǎn)需要找兩個(gè)）
【題型6 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定】
【例6】（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高．
(1)求證：AD垂直平分EF；
(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面積是4，則DE= ．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)85
【分析】（1）由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得DE=DF，再由Rt△AED≌Rt△AFDHL，得AE=AF，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，代入計(jì)算即可．
【詳解】（1）∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，
在Rt△AED與Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFDHL，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB?ED+12AC?DF=12DEAB+AC=4，
∵AB=3，AC=2，
∴DE=85，
故答案為：85．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定等知識(shí)，熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=DC，AB+BD=DE，求證：點(diǎn)C在AE的垂直平分線(xiàn)上．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】由AD⊥BC，BD=DC，得到AD是BC的垂直平分線(xiàn)，因此AB=AC．再根據(jù)AB+BD=DE，可推出AC=CE，因此得證點(diǎn)C在AE的垂直平分線(xiàn)上．
【詳解】∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD是BC的垂直平分線(xiàn)，
∴AB=AC．
∵AB+BD=DE，
∴AB+BD=CD+CE=AC+CD，
∴AC=CE，
∴點(diǎn)C在AE的垂直平分線(xiàn)上．
【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD，交AB于點(diǎn)G，連接CG．

(1)求證：∠A+∠AEG=90°；
(2)求證：EC=EG；
(3)若CG=4，BE=5，求四邊形BCEG的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)四邊形BCEG的面積為10．
【分析】（1）證明EG⊥AB，即可證明結(jié)論成立；
（2）利用角平分線(xiàn)性質(zhì)定理即可證明結(jié)論成立；
（3）證明Rt△EBG≌Rt△EBCHL，推出BE是線(xiàn)段CG的垂直平分線(xiàn)，利用四邊形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）證明：∵EG∥CD，CD⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴∠A+∠AEG=90°；
（2）證明：∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°，
∴EC=EG；
（3）解：∵EC=EG，EB=EB，
∴Rt△EBG≌Rt△EBCHL，
∴BC=BG，
∴BE是線(xiàn)段CG的垂直平分線(xiàn)，
∴四邊形BCEG的面積=12BE×CG=12×5×4=10．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
【變式6-3】（2023春·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，連接OE，BD，求證；OE垂直平分BD．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】先證明△ABO≌△CDO得到OB=OD，再由EB=ED即可證明OE垂直平分BD．
【詳解】證明：在△ABO和△CDO中，
∠AOB=∠COD∠ABO=∠CDOAB=CD
∴△ABO≌△CDOAAS，
∴OB=OD，
又∵EB=ED，
∴OE垂直平分BD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定，證明△ABO≌△CDO得到OB=OD是解題的關(guān)鍵．
【題型7 尺規(guī)作線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)】
【例7】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點(diǎn)M，使MC+MB=AC，并連接MB．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)題意，作AB的垂直平分線(xiàn)與AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，即可解答．
【詳解】∵在AC上求作一點(diǎn)M，
∴AM+MC=AC，
∵M(jìn)C+MB=AC，
∴MB=AM，
即點(diǎn)M在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上．
如圖，點(diǎn)M即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖-垂直平分線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟知垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·湖南郴州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．
(1)尺規(guī)作圖：作邊AC的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，連接AD（要求：保留作圖痕跡，不必寫(xiě)作法和證明）；
(2)在（1）作出的圖形中，求△ABD的周長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)13
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線(xiàn)的作法，作出AC的垂直平分線(xiàn)；
（2）根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出AD=CD，進(jìn)而根據(jù)AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，即可求解．
【詳解】（1）如圖，
（2）∵AC的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D
∴AD=CD
∴△ABD的周長(zhǎng)為：AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13
【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形．
【變式7-2】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)深圳市福田區(qū)上步中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC，AB

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中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題1.2 矩形的判定與性質(zhì)【十一大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

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