TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20290" 【題型1 一元一次方程的遮擋問題】 PAGEREF _Tc20290 \h 1
\l "_Tc31357" 【題型2 一元一次方程的錯解問題】 PAGEREF _Tc31357 \h 3
\l "_Tc19014" 【題型3 根據(jù)兩個一元一次方程解的關(guān)系求值】 PAGEREF _Tc19014 \h 5
\l "_Tc686" 【題型4 判斷方程解的情況】 PAGEREF _Tc686 \h 8
\l "_Tc19867" 【題型5 等式的基本性質(zhì)的運用】 PAGEREF _Tc19867 \h 10
\l "_Tc3608" 【題型6 一元一次方程的解法】 PAGEREF _Tc3608 \h 12
\l "_Tc12225" 【題型7 一元一次方程與圖表問題】 PAGEREF _Tc12225 \h 14
\l "_Tc3219" 【題型8 列一元一次方程并求解】 PAGEREF _Tc3219 \h 19
\l "_Tc12071" 【題型9 二元一次方程（組）的概念辨析】 PAGEREF _Tc12071 \h 20
\l "_Tc24832" 【題型10 二元一次方程組的解】 PAGEREF _Tc24832 \h 22
\l "_Tc28841" 【題型11 同解方程組】 PAGEREF _Tc28841 \h 24
\l "_Tc15424" 【題型12 方程組的一般解法】 PAGEREF _Tc15424 \h 27
\l "_Tc27446" 【題型13 根據(jù)方程組解的關(guān)系求參數(shù)值】 PAGEREF _Tc27446 \h 29
\l "_Tc25810" 【題型14 根據(jù)二元一次方程組解的情況求值】 PAGEREF _Tc25810 \h 32
\l "_Tc29043" 【題型15 構(gòu)造二元一次方程組求解】 PAGEREF _Tc29043 \h 34
\l "_Tc30818" 【題型16 二元一次方程組的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc30818 \h 36
【題型1 一元一次方程的遮擋問題】
【例1】下面是一個被墨水污染過的方程：
2x?12=12x?，答案顯示此方程的解是x=-1，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣12D．12
【答案】A
【分析】設(shè)被墨水覆蓋的數(shù)是y，將x=-1代入，解含有y的方程即可得到答案.
【詳解】設(shè)被墨水覆蓋的數(shù)是y，則原方程為：2x?12=12x?y，
∵此方程的解是x=-1，
∴將x=-1代入得：?2?12=?12?y ,
∴y=2,
故選：A.
【點睛】此題考查解一元一次方程，一元一次方程的解.
【變式1-1】方程2x+▲=5x，▲處是被墨水蓋住的常數(shù)，已知方程的解是x=2，那么▲處的常數(shù)是 ．
【答案】6
【分析】設(shè)被墨水蓋住的常數(shù)是a，把x=2代入方程2x+a=5x得出4+a=10，再求出方程的解即可．
【詳解】解：設(shè)被墨水蓋住的常數(shù)是a，
把x=2代入方程2x+a=5x，
得4+a=10，
解得：a=6，
即▲處的常數(shù)是6．
故答案為：6．
【點睛】本題考查了方程的解和解一元一次方程，能得出關(guān)于a的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（22·23上·揚州·期末）小方在做作業(yè)時，計算：?6×23?●+?23．發(fā)現(xiàn)題中有一個數(shù)字被墨水污染了．
(1)如果被污染的數(shù)字是12，請計算?6×23?12+?23；
(2)如果計算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．
【答案】(1)?9
(2)3
【分析】（1）將被污染的數(shù)字12代入原式，根據(jù)有理數(shù)的混合運算即可得出答案；
（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，根據(jù)計算結(jié)果等于6列出方程，解方程即可得出答案．
【詳解】（1）解：?6×23?12+?23
=(?6)×16?8
=?1?8
=?9；
（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，
根據(jù)題意得：?6×23?x+?23=6，
解得：x=3，
答：被污染的數(shù)字是3．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，一元一次方程的應(yīng)用，體現(xiàn)了方程思想，設(shè)被污染的數(shù)字為x，根據(jù)計算結(jié)果等于6列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】小磊在解方程321?■?x3=x?13時，墨水把其中一個數(shù)字染成了“■”，他翻閱了答案知道這個方程的解為x=23，于是他推算確定被染了的數(shù)字“■”應(yīng)該是 ．
【答案】3
【分析】設(shè)“■”表示的數(shù)為a，將一元一次方程的解代入求解即可得出結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)“■”表示的數(shù)為a，
將x=23代入方程得：
321?a?233=23?13，
解得a=3，
即“■”表示的數(shù)為3，
故答案為：3．
【點睛】題目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的方法是解題關(guān)鍵．
【題型2 一元一次方程的錯解問題】
【例2】小樂在解方程5a?x6﹣1＝0（x為未知數(shù)）時，誤將﹣x看作+x，得方程的解為x＝1，則原方程的解為 ．
【答案】-1
【分析】根據(jù)題意，方程5a+x6﹣1＝0的解是x=1，可先得出a，然后，代入原方程，解出即可.
【詳解】把x＝1代入方程5a+x6﹣1＝0中得：5a+16﹣1＝0，
解得：a＝1，
則原方程為5?x6﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
故答案是：﹣1．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解，把方程的解代入先求出a的值，然后求解，讀懂題意是關(guān)鍵．
【變式2-1】馬小虎同學(xué)在解關(guān)于x的方程1?x=?2x?2a時，誤將等號右邊的“?2a”看作“+2a”，其他解題過程均正確，從而解得方程的解為x=?5，則原方程正確的解為（ ）
A．x=2B．x=3C．x=4D．x=5
【答案】B
【分析】先將x=?5代入1?x=?2x+2a求出a的值，再解關(guān)于x的方程．
【詳解】解：由題意知：x=?5是方程1?x=?2x+2a的解，
∴ 1??5=?2?5+2a，
解得a=1，
∴原方程為1?x=?2x?2，
解得x=3，
故選B．
【點睛】本題考查一元一次方程的解與解一元一次方程，求出a的值是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】小明在解方程x?13?x+16=3x?12?1時的步驟如下：
解：2x?1?x+1=33x?1?6……第①步；
2x?2?x+1=9x?3?6……第②步；
2x?x?9x=?3?6+2?1……第③步；
?8x=?8……第④步；
x=1……第⑤步．
(1)以上解方程的過程中，第①步是進行______________，變形的依據(jù)是______________；
(2)以上步驟從第_____步（填序號）開始出錯，錯誤的原因是____________；
(3)請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就解一元一次方程需要注意的事項給其他同學(xué)提出一條建議；
(4)請聰明的你寫出這題正確的解答過程．
【答案】(1)去分母；等式性質(zhì)2
(2)①，第二個分子x+1沒有用括號括起來
(3)去分母時，不要漏乘沒有分母的項或去分母時，多項式分子要用括號括起來
(4)見解析
【分析】（1）（2）（3）直接根據(jù)解一元一次方程的方法作答即可；
（4）先方程兩邊同時乘以6，再去括號，然后移項合并同類項，最后系數(shù)化為1．
【詳解】（1）去分母，等式性質(zhì)2；
（2）①，第二個分子x+1沒有用括號括起來；
（3）去分母時，不要漏乘沒有分母的項或去分母時，多項式分子要用括號括起來（答案不唯一）
（4）正確解答如下：去分母，得：2x?1?x+1=33x?1?6
去括號，得：2x?2?x?1=9x?3?6
移項，得：2x?x?9x=?3?6+2+1
合并同類項，得：?8x=?6
系數(shù)化為1，得：x=34．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解題步驟是解答本題的關(guān)鍵．去括號時，一是注意不要漏乘括號內(nèi)的項，二是明確括號前的符號；去分母時，一是注意不要漏乘沒有分母的項，二是去掉分母后把分子加括號．
【變式2-3】某同學(xué)解關(guān)于x的方程2（x+2）=a﹣3（x﹣2）時，由于粗心大意，誤將等號右邊的“﹣3（x﹣2）”看作“+3（x﹣2）”，其它解題過程均正確，從而解得方程的解為x=11，請求出a的值，并正確地解方程．
【答案】x=15．
【分析】根據(jù)題意，得到等號右邊的“﹣3（x﹣2）”看作“+3（x﹣2）”的方程，解方程得到a 的值，將a的值代入原方程可求得正確的解．
【詳解】解：根據(jù)題意，將x=11代入2（x+2）=a+3（x﹣2），得：2（11+2）=a+3（11﹣2），
解得a=﹣1，
所以原方程為2x+2=?1?3x?2，
解得：x=15．
【點睛】考查一元一次方程的解, 解一元一次方程，比較基礎(chǔ)，得到a的值是解題的關(guān)鍵.
【題型3 根據(jù)兩個一元一次方程解的關(guān)系求值】
【例3】已知關(guān)于x的方程3x?1?m=m+32①的解比方程2x?3?1=3?x+1②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
【答案】(1)x=3
(2)m=5
【分析】（1）先去括號，再移項，然后合并同類項，即可求解；
（2）根據(jù)題意可得方程①的解為x=4，再代入方程①，得到關(guān)于m的方程，即可求解．
【詳解】（1）解：2x?3?1=3?x+1
去括號得：2x?6?1=3?x?1，
移項得：2x+x=3?1+6+1，
合并同類項得：3x=9，
解得：x=3；
（2）解：因為方程①比方程②的解大1，
∴方程①的解為x=4，
把x=4代入方程①得，3×4?1?m=m+32，
解得m=5．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解、解一元一次方程．熟練掌握解解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】已知方程2?3x+1=0的解與關(guān)于x的方程k+x2?3k?2=2x的解互為相反數(shù)，求k的值．
【答案】k=?1
【分析】先解方程2?3x+1=0得到x=?13，進而得到關(guān)于x的方程k+x2?3k?2=2x的解為x=13，把x=13代入方程k+x2?3k?2=2x中求出k的值即可．
【詳解】解：2?3x+1=0
去括號得：2?3x?3=0，
移項得：?3x=3?2，
合并同類項得，?3x=1，
系數(shù)化為1得：x=?13，
∵方程2?3x+1=0的解與關(guān)于x的方程k+x2?3k?2=2x的解互為相反數(shù)，
∴關(guān)于x的方程k+x2?3k?2=2x的解為x=13
∴k+132?3k?2=23，
解得k=?1．
【點睛】本題主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的定義，熟知一元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】在練習(xí)解方程時，作業(yè)上有一個方程“2y?13=18y+■”中的■沒印清，小華問老師，老師只是說：“■是一個有理數(shù)，該方程的解與x=3時，代數(shù)式5x?1?2x?2?4的值相同”．
(1)求當(dāng)x=3時，代數(shù)式5x?1?2x?2?4的值；
(2)求原方程中■的值．
【答案】(1)4
(2)716
【分析】（1）先把所求代數(shù)式去括號，然后合并同類項化簡，再把x=3代入求值即可；
（2）根據(jù)（1）所求得到y(tǒng)=4，把y=4帶入方程中進行求解即可．
【詳解】（1）解：5x?1?2x?2?4
=5x?5?2x+4?4
=3x?5，
當(dāng)x=3時，原式=3×3?5=4；
（2）解：由題意得，方程2y?13=18y+■的解為y=4，
∴2×4?13=18×4+■，
∴■=716．
【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，一元一次方程的解，正確計算出（1）中代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】已知關(guān)于x的方程x?m2=x+m3與x+12=3x?2的解互為倒數(shù)，則m的值 ．
【答案】?35
【分析】先將x+12=3x?2的解求出，然后將x的倒數(shù)求出后代入原方程求出m的值．
【詳解】解：∵x+12=3x?2，
∴x=1，
由題意可知：x=1是x?m2=x+m3的解，
∴1?m2=1+m3
解得：m=?35，
故答案為：?35．
【點睛】此題主要考查了一元一次方程的解，利用同解方程，可先求出一個方程的解，再代入第二個含有m的方程，從而求出m即可．
【題型4 判斷方程解的情況】
【例4】關(guān)于x的方程ax+b=0的解得情況如下：當(dāng)a≠0時，方程有唯一解x=-ba；當(dāng)a=0，b≠0時，方程無解；當(dāng)a=0，b=0時，方程有無數(shù)解．若關(guān)于x的方程mx+23=n3-x有無數(shù)解，則m+n的值為（ ）
A．?1B．1
C．2D．以上答案都不對
【答案】B
【分析】首先把方程化成一般形式，然后根據(jù)關(guān)于x的方程mx+23=n3?x有無數(shù)解，對一次項系數(shù)進行討論求得m、n的值，再相加即可求解．
【詳解】解：mx+23=n3?x
m+1x=n?23，
∵關(guān)于x的方程mx+23=n3?x有無數(shù)解，
∴m+1=0，n-2=0，
解得m=-1，n=2，
∴m+n=-1+2=1．
故選B．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解，正確對方程進行化簡是關(guān)鍵．
【變式4-1】若關(guān)于x的方程a3x=x2?x?66無解，則a的值為
【答案】1
【分析】先去分母可得，(2a?2)x=6，再由x=3a?1即可求解．
【詳解】解：原方程去分母得，2ax=3x?x+6，
移項得，2ax?2x=6，
合并同類項得，2(a?1)x=6，
系數(shù)化1得，x=3a?1，方程無解，則分母為零，
∴a?1=0，則a=1，
故答案是：1．
【點睛】本題考查的是一次方程無解的知識點，掌握x=ba無解時，滿足b≠0，a=0是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】已知關(guān)于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，關(guān)于y的方程2+y=（b+1）y無解，判斷關(guān)于z的方程az=b的解的情況．
【答案】z=0
【分析】根據(jù)題意，化簡關(guān)于x、y的方程，推斷出a、b情況，將條件代入關(guān)于z的方程，得出結(jié)果．
【詳解】關(guān)于x的方程4+3ax=2a﹣7可以簡化為：x=2a?113a，
∵關(guān)于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，
∴a≠0，
∵2+y=（b+1）y，
∴2+y=by+y，
∴by=2，
∴y=2b，
∵關(guān)于y的方程2+y=（b+1）y無解，
∴b=0，
關(guān)于z的方程az=b可以簡化為：z=ba，
∵a≠0，b=0，
∴z=0．
【點睛】本題主要考查了解一元一次方程的應(yīng)用，需要一步步化簡，綜合所給條件，討論得出結(jié)果．
【變式4-3】若m、n是有理數(shù)，關(guān)于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少兩個不同的解，則另一個關(guān)于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情況是（ ）
A．有至少兩個不同的解B．有無限多個解
C．只有一個解D．無解
【答案】D
【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根據(jù)方程有兩個解的條件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情況．
【詳解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x
可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n
∵有至少兩個不同的解，
∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，
即m＝﹣2，n＝6，
把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，
∴方程（m+n）x+3＝4x+m無解．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了解含字母系數(shù)的一元一次方程，關(guān)鍵是根據(jù)解的情況判斷字母系數(shù)的值．
【題型5 等式的基本性質(zhì)的運用】
【例5】“△〇□”分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應(yīng)放〇的個數(shù)是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．據(jù)此解答即可．
【詳解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．
答：“？”處應(yīng)放〇的個數(shù)是3個．
故選：C．
【點睛】找出各圖形之間的數(shù)量關(guān)系，是解題關(guān)鍵．
【變式5-1】如果等式ax﹣3x=2+b不論x取什么值時都成立，則a= b= .
【答案】 3 -2
【詳解】分析：先將等式轉(zhuǎn)化為（a﹣3）x=2+b，根據(jù)題意，等式成立的條件與x的值無關(guān)，則x的系數(shù)為0由此可求得a、b的值．
詳解：將等式ax﹣3x=2+b轉(zhuǎn)化為（a﹣3）x=2+b，根據(jù)題意，等式成立的條件與x的值無關(guān)，則a﹣3=0，解得：a=3，此時，2+b=0，解得：b=﹣2．
故答案為3，﹣2．
點睛：本題主要考查了等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要善于利用題目中的隱含條件：“不論x取何值，等式永遠成立” ．
【變式5-2】有15個球，其中的14球質(zhì)量相同，另有1個球輕了一些，如果能用天平稱出來，至少 次可以找出這個較輕的球．
【答案】3
【分析】先把15個球平均分成三組，用一次天平可找出有較輕的球的那組，再把球輕的哪個組的5個球，分成2，2，1三組，把2個的兩組放在天平上，若平衡，則剩下的那個是較輕的球；若天平不平衡，可找出球較輕的那個組，再把兩個球放天平上，即可找出較輕的球，
【詳解】解：先把15個球分成5個一組，共三組，任取兩組放在天平上，可找出球輕在哪個組；
再把球輕的哪個組的5個球，分成2，2，1三組，把2個的兩組放在天平上，若平衡，則剩下的那個是較輕的球；
若天平不平衡，可找出球較輕的那個組，再把兩個球放天平上，即可找出較輕的球，
故至少3次可以找出這個較輕的球．
故答案為：3
【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，合情推理是解題的關(guān)鍵
【變式5-3】已知實數(shù)a、b、c滿足a?b=ab=c，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．a(chǎn)可能為?1B．若a、b、c中有兩個數(shù)相等，則abc=0
C．若c≠0，則1a?1b=1D．若c=1，則a2+b2=3
【答案】D
【分析】a=?1，a?b=ab=c，則?1?b=?b，等式不成立，故A錯誤；B分三種情形討論即可；C由c≠0，a?b=ab=c推出a?b≠0，ab≠0，推出a?bab=1，即1b?1a=1，故錯誤；D由c=1，a?b=ab=c推出a?b=1，ab=1，則根據(jù)完全平方公式可得，a2+b2=3．
【詳解】A.∵a=?1，a?b=ab=c，
∴?1?b=?b，等式不成立，故錯誤；
B.分三種情形討論：
當(dāng)a=b時，a?b=0，c=0，則abc=0，成立；
當(dāng)a=c時，a?b=ab=c，則c?b=c，cb=c，無解，故abc=0不成立；
當(dāng)b=c時，a?b=ab=c，則a?c=c，ac=c，解得a=1,b=12,c=12，故abc=0不成立，該選項錯誤；
C.由c≠0，a?b=ab=c推出a?b≠0，ab≠0，推出a?bab=1，即1b?1a=1，故錯誤；
D ∵c=1，a?b=ab=c，
∴a?b=1，ab=1，
∵a?b2=a2+b2?2ab，
∴12=a2+b2?2×1，
解得：a2+b2=3，故正確；
故選：D．
【點睛】本題考查等式的性質(zhì)、一元一次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于?？碱}型．
【題型6 一元一次方程的解法】
【例6】解方程: x0.7?0.17?；
【答案】x=1417
【分析】先把小數(shù)都處理成整數(shù)，再按解一元一次方程的步驟計算即可．
【詳解】解：原方程可化為：10x7?17?20x3=1，
去分母，可得：30x?717?20x=21，
去括號，可得：30x?119+140x=21，
移項，可得：30x+140x=21+119，
合并同類項，可得：170x=140，
系數(shù)化為1，可得： x=1417．
【點睛】本題考查一元一次方程的解法，一般解方程步驟為：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1．
【變式6-1】解方程：x?34+2x+33=x+56?x?45．
【答案】x=8357
【分析】把方程左右兩邊分別通分后再去分母，即可求解．
【詳解】方程兩邊分別通分后相加，得3x?3+42x+312=5x+5?6x?430．
化簡，得11x+312=?x+4930，
去分母得：3011x+3=12?x+49，
去括號得：330x+90=?12x+588，
移項合并得：342x=498
解得：x=8357．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，本題若直接去分母，則兩邊應(yīng)同乘各分母的最小公倍數(shù)420，運算量大容易出錯，但是把方程左右兩邊分別通分后再去分母，會給解方程帶來方便．
【變式6-2】解方程：（2x2﹣3）（x+4）=x﹣4+2x（x2+4x﹣3）．
【答案】x=4
【分析】方程兩邊去括號后，移項合并，將x系數(shù)化為1，即可求出解．
【詳解】解：去括號得：2x3+8x2﹣3x﹣12=x﹣4+2x3+8x2﹣6x，
移項合并得：2x=8，
系數(shù)化為1得：x=4．
【點睛】本題考查了整式的混合運算，解一元一次方程，解題關(guān)鍵是熟練運用整式運算法則進行化簡方程，準(zhǔn)確地解一元一次方程．
【變式6-3】解方程：x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
【答案】x=10605
【分析】先裂項化簡，再通分，然后系數(shù)化為1即可．
【詳解】x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
裂項，得
x3?x4+x4?x5+x5?x6+x6?x7=2020
化簡，得
x3?x7=2020
通分，得
421x=2020
系數(shù)化為1，得
x=10605
【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
【題型7 一元一次方程與圖表問題】
【例7】同學(xué)們都熟悉“幻方”游戲，現(xiàn)將“幻方”游戲稍作改進變成“幻圓”游戲，將?1，2，?3，4，?5，6，?7，8分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，則a+b的值為（ ）

A．1或?1B．?1或?4C．?3或?6D．1或?8
【答案】C
【分析】根據(jù)所給數(shù)的特征，可知橫、豎、外圈、內(nèi)圈的4個數(shù)之和為2，再由已經(jīng)填寫的數(shù)，確定a=?1或a=2，從而求出d的值，即可求解．
【詳解】解：如圖，

∵?1+2?3+4?5+6?7+8=4，橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，
∴橫、豎、外圈、內(nèi)圈的4個數(shù)之和為2，
∴?7+6+8+b=2，
∴b=?5，
∵6+4+b+c=2，
∴6+4?5+c=2，解得c=?3，
∵a+c+4+d=2，
∴a+d=2?c?4=1
∴a+d=1，
∴a=?1或a=2，
當(dāng)a=?1時，d=2，此時a+b=?1?5=?6,
當(dāng)a=2時，d=?1，此時a+b=2?5=?3,
即a+b的值為?3或?6，
故選：C．
【點睛】此題考查了有理數(shù)加法和一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握有理數(shù)加法法則，能夠根據(jù)所給條件推出a，d的可能取值是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】實踐與探索，將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7……排列成如下的數(shù)表，用十字框框出5個數(shù)（如圖）

(1)若將十字框上下左右平移，但一定要框住數(shù)列中的5個數(shù)，若設(shè)中間的數(shù)為a，用a的代數(shù)表示十字框框住5個數(shù)字之和：
(2)十字框框住5個數(shù)字之和等于295？若能，分別寫出十字框住的5個數(shù)，若不能，請說明理由．
【答案】(1)5a
(2)不能
【分析】（1）從表格可看出上下相鄰相差12，左右相鄰相差2，設(shè)中間的數(shù)為a，上面的為a?12，下面的為a+12，左面的為a?2，右面的為a+2，這5個數(shù)的和可用a來表示，
（2）代入295后，若求出的結(jié)果是整數(shù)就可以，再考慮中間數(shù)的位置，即可得出答案．
【詳解】（1）從表格知道中間的數(shù)為a，上面的為a?12，下面的為a+12，左面的為a?2，右面的為a+2，
所以十字框框住的5個數(shù)字之和為：a+a?2+a+2+a?12+a+12=5a；
（2）不能，理由如下：
由題意知，5a=295，
解得a=59，
因為59是整數(shù)且位于第五行，第六列，處于最右邊，沒有更右邊的數(shù)，不符合題意．
所以十字框框住5個數(shù)字之和不能等于295．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)字變化規(guī)律，理解題意能力和看表格能力，關(guān)鍵是找到題目的等量關(guān)系．
【變式7-2】幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方—九宮格，將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及每條對角線上的3個數(shù)之和均相等，例如下圖（1）就是一個幻方，圖（2）是一個未完成的幻方，則a的值是 ．
圖（1） 圖（2）
【答案】9
【分析】設(shè)a下方的數(shù)為m，右上角的數(shù)為n，則第二橫行三個數(shù)的和為11+m+15，由第一豎列三個數(shù)的和為39，可知每一橫行、每一豎列、每條對角線上的3個數(shù)之和均等于39，于是列方程得11+m+15=39，求得m=13，再由對角線三個數(shù)的和列方程得n+13+12=39，求得n=14，由第一行三個數(shù)的和列方程得16+a+14=39，解方程求出a的值即得到問題的答案．
【詳解】設(shè)a下方的數(shù)為m，右上角的數(shù)為n，
∵16+11+12=39，
∴每一橫行、每一豎列、每條對角線上的3個數(shù)之和均等于39，
根據(jù)題意得11+m+15=39，
解得m=13，
∴n+13+12=39，
解得n=14，
∴16+a+14=39，
解得a=9，
故答案為：9．
【點睛】此題重點考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識與方法，正確地用代數(shù)式表示第二橫行三個數(shù)的和并且求出a下方的數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】生活與數(shù)學(xué)

(1)吉姆同學(xué)在某月的日歷上圈出2×2個數(shù)，正方形的方框內(nèi)的四個數(shù)的和是28，那么第一個數(shù)是 ；
(2)瑪麗也在上面的日歷上圈出2×2個數(shù)，斜框內(nèi)的四個數(shù)的和是42，則這四個數(shù)中最大的數(shù)是 ；
(3)莉莉也在日歷上圈出5個數(shù)，呈十字框形，它們的和是50，則中間的數(shù)是 ；
(4)某年的10月份有5個星期日，這5個星期日的和是75，則這個月中最后一天是星期 ；
(5)若干個偶數(shù)按每行8個數(shù)排成下圖：
①圖中方框內(nèi)的9個數(shù)的和與中間的數(shù)有的關(guān)系是 ；
②湯姆所畫的斜框內(nèi)9個數(shù)的和為360，則斜框的中間一個數(shù)是 ；
③托馬斯也畫了一個斜框，通過計算得到斜框內(nèi)9個數(shù)的和為450，你認為他計算的結(jié)果可能嗎？說明你的理由．

【答案】(1)3
(2)14
(3)10
(4)二
(5)① 9倍；②40；③不可能
【分析】（1）先根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律，設(shè)第一個數(shù)是x,其他的數(shù)為x+1，x+7，x+8，然后列一元一次方程求解即可；
（2）根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律，設(shè)第一個數(shù)是a,其他的數(shù)為a+1，a+6，a+7，然后列一元一次方程求解即可；
（3）根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律，設(shè)中間的數(shù)是b,根據(jù)5個數(shù)的和是50列方程求解即可；
（4）根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律，設(shè)最后一個星期日是m,則其他的星期日為m?7，m?14，m?21，m?28，再列一元一次方程求解即可；
（5）①通過計算可以得出結(jié)論；②根據(jù)①的規(guī)律，設(shè)中間的數(shù)是n,列方程求解即可；③根據(jù)①的規(guī)律，設(shè)中間的數(shù)是t,列方程求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)第一個數(shù)是x,其他的數(shù)為x+1，x+7，x+8，
則x+x+1+x+7+x+8=28，解得x=3．
故答案為：3．
（2）解：設(shè)第一個數(shù)是a,其他的數(shù)為a+1，a+6，a+7，
則a+a+1+a+6+a+7=42，解得a=7，
則a+1=8，a+6=13，a+7=14．
故答案為：14．
（3）解：設(shè)中間的數(shù)是b,則b+1+b?1+b+7+b?7=50，解得b=10．
故答案為：10．
（4）解：設(shè)最后一個星期日是m,則其他的星期日為m?7，m?14，m?21，m?28，
則m+m?7+m?14+m?21+m?28=75，解得m=29，
∴這個月中最后一天是星期二．
故答案為：二．
（5）解：①2+4+6+18+20+22+34+36+38=180=9×20，
故答案為：9個數(shù)的和是中間的數(shù)的9倍；
②根據(jù)規(guī)律可知，和是中間的數(shù)的9倍，
設(shè)中間的數(shù)是n,
則9n=360，解得n=40，
故答案為：40；
③不可能，理由如下：
設(shè)中間的數(shù)是t,
則9t=450，解得t=50，
∵50是最左邊第1列上的數(shù)，
∴不可能存在．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用和數(shù)字變化的規(guī)律，關(guān)鍵找出規(guī)律、列方程是解答本題的關(guān)鍵．
【題型8 列一元一次方程并求解】
【例8】任何一個無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，應(yīng)該怎樣寫呢？我們以無限循環(huán)小數(shù)0.7為例進行說明：設(shè)0.7=x，由0.7=0.7777?可知，10x=7.777?，所以10x?x=7，解方程，得x=79．于是，得0.7=79，將0.36寫成分?jǐn)?shù)的形式是（ ）
A．13B．23C．411D．511
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)x=0.36，則100x?x=36，求解即可．
【詳解】解：設(shè)x=0.36，由題意可得100x?x=36
解得x=411，即0.36=411
故選：C
【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確列出一元一次方程．
【變式8-1】把75拆成4個數(shù)的和，使得第一個數(shù)加4，第二個數(shù)減4，第三個數(shù)乘4，第四個數(shù)除以4，得到的結(jié)果都相等，拆成這四個數(shù)中最大的數(shù)是 ．
【答案】48
【分析】設(shè)相等的數(shù)為x，依次表示出拆成的4個數(shù)，根據(jù)4個數(shù)的和為75列方程即可求得相等的數(shù)，進而求得拆成的4個數(shù)，從而可判斷最大的數(shù)．
【詳解】解：設(shè)相等的數(shù)為x，則拆成的4個數(shù)為：(x?4)，(x＋4)，4x，x4，
由題意得：(x?4)+(x+4)+4x+ x4 =75，
解得：x=12，
則x?4=8，x＋4=16，4x=48，x4=3，
故最大的數(shù)是48．
故答案為：48．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，用相等的數(shù)去表示拆成的4個數(shù)是解決本題的突破點，難度一般．
【變式8-2】已知三個連續(xù)奇數(shù)的和是51，這三個數(shù)分別是 ．
【答案】15 、 17 、 19
【分析】此題可利用“三個連續(xù)奇數(shù)的和是51”作為相等關(guān)系列方程求解；
【詳解】設(shè)最小的奇數(shù)為x，
則x+x+2+x+4=51
解得：x=15
故這三個數(shù)分別為：15，17，19；
故答案為：15，17，19
【點睛】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的數(shù)量關(guān)系，列出方程，再求解；此題中要熟悉連續(xù)奇數(shù)的表示方法，相鄰的兩個連續(xù)奇數(shù)相差2．
【變式8-3】一個兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是 6 ， 給這個兩位數(shù)加上 18 后， 比十位數(shù)字大 56 ， 這個兩位數(shù)是（ ）
A．42B．24C．33D．51
【答案】A
【分析】設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字是 x， 則個位數(shù)字是6?x，根據(jù)題意列出一元一次方程，進行求解即可．
【詳解】解：設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字是 x， 則個位數(shù)字是6?x，
由題意得10x+6?x+18?x=56，
解得： x=4，6?x=6?4=2．
∴這個兩位數(shù)是 42．
故選A．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．根據(jù)題意，正確的列出一元一次方程，是解題的關(guān)鍵．
【題型9 二元一次方程（組）的概念辨析】
【例9】下列方程中，是二元一次方程組的是（ ）
①x?2y=3y+2z=7 ②1x+y=4y?2x=?1 ③3x?4?2x=1x?y=5 ④x2?y3=12x+3y=12
A．①②③B．②③C．③④D．①②
【答案】C
【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義：方程組中有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組，據(jù)此即可判定．
【詳解】解：①x?2y=3y+2z=7是三元一次方程組，故不符合題意；
②1x+y=4y?2x=?1各方程不是整式方程，故不是二元一次方程組，故不符合題意；
③3x?4?2x=1x?y=5是二元一次方程組，故符合題意；
④x2?y3=12x+3y=12是二元一次方程組，故符合題意；
故是二元一次方程組是③④，
故選：C．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，理解和掌握二元一次方程組的定義是解決本題的關(guān)鍵．
【變式9-1】下列是二元一次方程的是（ ）
A．5x-9=xB．5x=6yC．x-2y2=4D．3x-2y=xy
【答案】B
【分析】由二元一次方程滿足的條件:含有2個未知數(shù),未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程，解答即可.
【詳解】A .不是二元一次方程，含有1個未知數(shù);
B.是二元一次方程，符合二元一次方程的定義;
C .是二元二次方程;
D.是二元二次方程；
故選B.
【點睛】主要考查二元一次方程的概念,要求熟悉二元一次方程的形式及其特點:含有2個未知數(shù),未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程.
【變式9-2】方程 2x2m+3n?y2m?3=8是二元一次方程，則m?n= ．
【答案】3
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，列方程組，確定m，n的值，進而即可求解．
【詳解】解：因為方程2x2m+3n?y2m?3=8是二元一次方程，
則2m+3n=12m?3=1，
解得m=2，n=?1．
將m=2，n=?1代入m?n=3．
故答案為：3．
【點睛】二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．根據(jù)條件求得m、n的值，代入m?n即可求出．
【變式9-3】已知關(guān)于x，y的方程組x+ya?1=1ax?y=2是二元一次方程組．
(1)求a的值．
(2)下列哪些是該二元一次方程組的解．
① x=0y=1；② x=1y=0；③ x=1y=1．
【答案】(1)a=2
(2)②是該方程組的解
【分析】（1）根據(jù)二元一次方程的定義即可得到a?1=1，計算即可得到答案；
（2）由（1）得，方程組為x+y=12x?y=2，再分別將三組x，y的值代入方程組，進行驗算即可得到答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：a?1=1，
解得：a=2；
（2）解：由（1）得，方程組為：x+y=12x?y=2，
①當(dāng)x=0，y=1時，2x?y=?1≠2，
∴它不是該方程組的解；
②當(dāng)x=1，y=0時，x+y=1，2x?y=2，
∴它是該方程組的解；
③當(dāng)x=1，y=1時，x+y=2≠1，
∴它不是該方程組的解；
∴ ②是該方程組的解．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的定義、二元一次方程組的解，含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程，二元一次方程組的解滿足二元一次方程，熟練掌握二元一次方程組的定義是解題的關(guān)鍵．
【題型10 二元一次方程組的解】
【例10】若方程mx+ny=6的兩個解是x=1y=1，x=2y=?1，則m，n的值為( )
A．?4，?2B．2，4C．4，2D．?2，?4
【答案】C
【分析】把x=1y=1，x=2y=?1代入方程mx+ny=6得出方程組，再求出方程組的解即可．
【詳解】解：把x=1y=1，x=2y=?1代入方程mx+ny=6得
m+n=62m?n=6
解得：m=4n=2
故選：C．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解，能根據(jù)二元一次方程的解得出關(guān)于m、n的方程組是解此題的關(guān)鍵．
【變式10-1】若x=2y=1是關(guān)于x、y的方程x?ay=3的一個解，則a的值為（ ）
A．3B．?3C．1D．?1
【答案】D
【分析】把x=2y=1代入關(guān)于x、y的方程x?ay=3得到關(guān)于a的方程，解方程即可得到答案．
【詳解】解：∵ x=2y=1是關(guān)于x、y的方程x?ay=3的一個解，
∴2?a=3，
解得：a=?1，
故選：D．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，根據(jù)題意得出關(guān)于a的方程是解此題的關(guān)鍵．
【變式10-2】小明在解關(guān)于x、y的二元一次方程組2x+y=7x?y=△時，解得x=4y=□，則△和□代表的數(shù)分別是（ ）
A．5和?1B．?1和5C．?1和3D．3和?1
【答案】A
【分析】將x=4代入方程組中第二個方程求出y的值，即可確定出△和□代表的數(shù)．
【詳解】解：2x+y=7①x?y=△②，
把x=4代入①得：2×4+y=7，
∴y=?1，
則x=4，y=?1代入②得：4?(?1)=△，
∴△=5，
∴△=5，□=?1，
故選：A．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，讀懂題意準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
【變式10-3】已知關(guān)于x,y的方程組x+3y=4?ax?y=3a，下列說法正確的有
①若x=my=n是第一個方程的解，則x=my=n一定是第二個方程的解；
②若x=my=n是方程組的解，則x=my=n一定是第二個方程的解；
③若x=my=n是方程組的解，且m+n=3，則a=1；
④若x=my=n是方程組的解，且m+n=3，則a=?1．
【答案】②③
【分析】根據(jù)二元一次方程的解和二元一次方程組的解的定義分析判斷說法①②；根據(jù)x=my=n是方程組的解，可得m+3n=4?am?n=3a，再結(jié)合m+n=3求出a的值，即可判斷說法③④．
【詳解】解：若x=my=n是第一個方程的解，則x=my=n不一定是第二個方程的解，故說法①錯誤；
若x=my=n是方程組的解，則x=my=n一定是第二個方程的解，說法②正確；
若x=my=n是方程組的解，則有m+3n=4?am?n=3a，
將兩個方程相加，可得2(m+n)=4+2a，整理可得m+n=2+a，
又因為m+n=3，即有3=2+a，解得a=1，
故說法③正確，說法④錯誤．
故答案為：②③．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程（組）的解的知識，理解并掌握二元一次方程（組）的解的定義是解題關(guān)鍵．
【題型11 同解方程組】
【例11】（22·23八年級上·廣東深圳·期中）已知方程組x+y=?1ax+5y=4和x?y=35x+by=1有相同的解，則a?2b的值為
【答案】10
【分析】根據(jù)題意得出方程組x+y=?1x?y=3，進而得出x、y的值，代入另兩個方程求出a、b的值，再代入計算求出a?2b的值即可．
【詳解】解：將第一個方程組中的x+y=?1和第二個方程組中的x?y=3聯(lián)立，組成新的方程組x+y=?1x?y=3，
將方程組x+y=?1x?y=3中的兩個方程相加，得：2x=2，
解得：x=1，
將x=1代入x+y=?1，得：1+y=?1，
解得：y=?2，
將x=1y=?2代入ax+5y=4和5x+by=1，得：a?10=4和5?2b=1，
解得：a=14，b=2，
∴a?2b=14?2×2=10．
故答案為：10．
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組和同解方程組，根據(jù)題意得出兩方程組的同解方程組是解題關(guān)鍵．
【變式11-1】（22·23八年級上·陜西西安·期末）已知關(guān)于x，y的方程組5x?2y=3mx+5y=4與關(guān)于x，y的方程組x?4y=?35x+ny=1的解相同，則m+n的值為 ．
【答案】?5
【分析】先求出x和y的值，再代入求出m，n的值再求解；
【詳解】解方程組5x?2y=3x?4y=?3，
解之得x=1y=1，
代入mx+5y=4得m=?1，
代入5x+ny=1得n=?4，
故m+n=?1?4=?5；
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，掌握消元思想是解題的關(guān)鍵．
【變式11-2】（22·23七年級下·四川眉山·期中）已知關(guān)于x，y的方程組2x?3y=3ax+by=?1和2ax+3by=33x+2y=11的解相同，求3a+b2023的值．
【答案】?1
【分析】由題意可得：方程組2x?3y=33x+2y=11和方程組ax+by=?12ax+3by=3的解集相同，求得a，b的值，代入求解即可．
【詳解】解：由題意可得：方程組2x?3y=33x+2y=11和方程組ax+by=?12ax+3by=3的解集相同
解方程組2x?3y=33x+2y=11可得x=3y=1
將x=3y=1代入ax+by=?12ax+3by=3可得：3a+b=?16a+3b=3，化簡可得：3a+b=?12a+b=1
解得a=?2b=5
將a=?2b=5代入3a+b2023可得，原式=?6+52023=?1
3a+b2023的值?1．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的求解，乘方的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組的求解，正確求得a，b的值．
【變式11-3】已知關(guān)于x，y的方程組mx+2ny=4x+y=1與x?y=3nx+m?1y=3有相同的解，
(1)求這個相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同學(xué)說，無論a取何值，（1）中的解都是關(guān)于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，這句話對嗎？請你說明理由．
【答案】(1)x=2y=?1
(2)m=6n=4
(3)對，見解析
【分析】（1）根據(jù)兩個方程組有相同的解，即可聯(lián)立兩個方程組中不含m，n的方程，再求解即可；
（2）將（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出關(guān)于m，n的方程組，解之即可；
（3）將（1）所求的解代入(3+a)x+(2a+1)y=5，再化簡，即得出5=5，即說明這句話對．
【詳解】（1）由題意可得：x+y=1x?y=3，
解得x=2y=?1；
（2）將x=2y=?1代入含有m，n的方程得：2m?2n=42n?m?1=3，
解得：m=6n=4；
（3）將x=2y=?1代入3+ax+2a+1y=5，得：
3+a×2+2a+1×?1=5，
化簡得：6+2a?2a?1=5，即5=5．
所以無論a取何值，x=2y=?1都是方程3+ax+2a+1y=3的解．
【點睛】本題考查同解方程組，由二元一次方程組的解求參數(shù)．理解同解方程組的概念是解題關(guān)鍵．
【題型12 方程組的一般解法】
【例12】在二元一次方程2x?7y=4中，如果x與y互為相反數(shù)，那么此方程的解是 ．
【答案】x=49y=?49
【分析】根據(jù)x和y互為相反數(shù)，得：x+y=0，與2x?7y=4聯(lián)立，得到方程組，解方程組即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：2x?7y=4①x+y=0②，
②×2?①，得9y=?4，
y=?49，
∴ x=49，
∴此方程的解為x=49y=?49．
故答案為：x=49y=?49．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，解方程組的基本思想是消元，能將二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程是解題的關(guān)鍵．
【變式12-1】按要求解二元一次方程方程組：
(1)x=y?54x+3y=29；（代入消元法）
(2)2x+3y=?46x?5y=16．（加減消元法）
【答案】(1)x=2y=7
(2)x=1y=?2
【分析】（1）按要求運用代入消元法求解；
（2）按要求運用加減消元法求解．
【詳解】（1）x=y?54x+3y=29①②，
把①代入②中，得4y?5+3y=29，
解得：y=7，
把y=7代入①，得x=2，
∴方程組的解為x=2y=7．
（2）2x+3y=?46x?5y=16①②，
①×3?②，得14y=?28，
解得：y=?2，
把y=?2代入①，得2x+3×?2=?4，
解得：x=1，
∴方程組的解為x=1y=?2．
【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法和加減消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式12-2】解方程組：3x?2y?1=2x?y?1x6?y3=2．
【答案】x=22y=5
【分析】化簡后，選擇適當(dāng)方法解方程組即可．
【詳解】∵3x?2y?1=2x?y?1x6?y3=2
∴x?4y?2=0x?2y?12=0,
兩式相減，得2y?10=0，
解得y=5，
把y=5代入x?2y?12=0，
解得x=22，
故原方程組的解為x=22y=5．
【點睛】本題考查了方程組的解法，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．
【變式12-3】解方程組：
(1)2x?y=55x+2y=8
(2)x+y2+x?y3=64(x+y)?5(x?y)=2
【答案】(1)x=2y=?1
(2)x=7y=1
【分析】（1）利用加減消元法即可解決；
（2）先將原式化為整式后利用加減消元即可．
【詳解】（1）2x?y=5①5x+2y=8②
①×2+②得：9x=18，
解得：x=2，
將x=2代入①，得：4?y=5，
解得：y=?1.
故原方程組的解為：x=2y=?1.
（2）原方程組可化為：5x+y=36①?x+9y=2②，
② ×5+ ①得：46y=46，
解得：y=1
把y=1代入①得：x=7.
故原方程組的解為：x=7y=1
【點睛】本題考查解二元一次方程組，掌握加減消元的思想方法是解題關(guān)鍵．
【題型13 根據(jù)方程組解的關(guān)系求參數(shù)值】
【例13】（22·23下·廣州·期中）已知方程組3x+2y=m+14x+2y=m?1，m等于 時，x，y的符號相反，絕對值相等．
【答案】?3
【分析】由②?①求解：x=?2，再求解y=12m+72，再根據(jù)x，y的符號相反，絕對值相等建立方程求解即可．
【詳解】解：3x+2y=m+1①4x+2y=m?1②，
②?①得：x=?2，
把x=?2代入①，得?6+2y=m+1，
解得：y=12m+72，
當(dāng)x，y的符號相反，絕對值相等，可得12m+72=2，
解得：m=?3．
故答案為：?3．
【點睛】本題考查的是二元一次方程組的解以及解法，掌握解二元一次方程的解法步驟是解本題的關(guān)鍵．
【變式13-1】若關(guān)于x，y的方程2x+y=1+2m2y+x=4?m的解滿足x?y=3，則m= ．
【答案】2
【分析】利用二元一次方程組，得到x，y的值，代入x?y=3，即可得到答案．
【詳解】解：∵2x+y=1+2m2y+x=4?m
∴x=?2?5m3y=?4m?73
∵x?y=3
∴?2?5m3??4m?73=?2?5m3+4m?73=9m?93=3
∴9m?9=9
∴m=2
故答案為：2．
【點睛】本題考查二元一次方程求參數(shù)的問題，熟練掌握解二元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式13-2】已知關(guān)于x，y的方程組x+y=2a?1x?3y=7?2a．
(1)若x=2y，求a的值．
(2)不論a取何值時，試說明x?y的值不變．
【答案】(1)a=5
(2)見解析
【分析】（1）把a看作已知數(shù)表示出x與y，根據(jù)x=2y求出a的值即可；
（2）把表示出的x與y代入x?y化簡即可作出判斷．
【詳解】（1）解：x+y=2a?1①x?3y=7?2a②，
①?②得：4y=4a?8，
解得：y=a?2，
把y=a?2代入①得：x+a?2=2a?1，
解得：x=a+1，
∵x=2y，
a+1=2a?4，
解得：a=5；
（2）解：∵x?y=a+1?(a?2)=3，
則x?y的值不變．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，把字母看成常數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式13-3】（20·21七年級下·福建廈門·期中）關(guān)于x，y的方程組x+2y=k2x+y=2k+3．
(1)當(dāng)k=4時，求x+y的值．
(2)若方程組的解x比y的值大1，求方程組的解及k的值．
【答案】(1)5
(2)x=0y=?1，?2
【分析】（1）利用兩方程相加得到x+y=k+1，當(dāng)k=4時，得到x+y=k+1=5；
（2）①×2?②得3y=?3，解得y=?1，方程組的解x比y的值大1，x=y+1=0，即可得到方程組的解為x=0y=?1，把x=0y=?1代入x+y=k+1得到0?1=k+1，解得k=?2．
【詳解】（1）解：x+2y=k①2x+y=2k+3②
①＋②得，3x+3y=3k+3，
∴x+y=k+1，
當(dāng)k=4時，x+y=k+1=4+1=5，
即x+y的值為5．
（2）①×2?②得，
3y=?3，
解得y=?1，
∵方程組的解x比y的值大1，
∴x=y+1=0，
∴方程組的解為x=0y=?1，
把x=0y=?1代入x+y=k+1得到0?1=k+1，
解得k=?2．
∴方程組的解為x=0y=?1，k的值為?2．
【點睛】此題考查了二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．
【題型14 根據(jù)二元一次方程組解的情況求值】
【例14】k、b為何值時，關(guān)于x、y方程組y=kx+by=3k?1x+2有唯一解？無解？有無數(shù)解？
【答案】當(dāng)k≠12時，方程組有唯一解；當(dāng)k=12，b≠2時，方程組無解；當(dāng)k=12，b=2時，方程組有無數(shù)解．
【分析】兩式作差，得到關(guān)于x的方程，確定此方程解得情況即可．
【詳解】解：y=kx+b ①y=3k?1x+2 ②
①?②可得：kx+b=3k?1x+2，化簡可得：2k?1x=b?2
（1）當(dāng)2k?1≠0時，即k≠12，方程2k?1x=b?2有唯一解，即方程組y=kx+by=3k?1x+2有唯一解；
（2）當(dāng)2k?1=0，b?2≠0時，即k=12，b≠2，方程2k?1x=b?2無解，即方程組y=kx+by=3k?1x+2無解；
（3）當(dāng)2k?1=0，b?2=0時，即k=12，b=2，方程2k?1x=b?2有無數(shù)解，即方程組y=kx+by=3k?1x+2有無數(shù)解；
綜上，當(dāng)k≠12時，方程組有唯一解；當(dāng)k=12，b≠2時，方程組無解；當(dāng)k=12，b=2時，方程組有無數(shù)解．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的求解，一元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的求解方法．
【變式14-1】如果方程組x+y=1ax+by=c有唯一的一組解，那么a，b，c的值應(yīng)當(dāng)滿足（ ）
A．a(chǎn)=1，c=1B．a(chǎn)≠bC．a(chǎn)=b=1，c≠1D．a(chǎn)=1，c≠1
【答案】B
【詳解】本題考查了二元一次方程組的解的定義
此題的解法在于將兩式的y用x來代替然后列出y關(guān)于x的方程，因為有唯一解，根據(jù)方程可得出a，b，c的值的條件．
由題意得y=1?xy=cb?abx，
∴1?x=cb?abx，
∴(a?b)x=c?b，
x=c?ba?b，
要使方程有唯一解，
則a≠b，
故選B
【變式14-2】已知二元一次方程組ax+3y=22x?y=1無解，則a的值是（ ）.
A．±1B．?1C．1D．以上都不對
【答案】D
【分析】由②得出y=2x?1③，把③代入①得出(a+6)x=5，根據(jù)方程組無解，得到a+6=0，求出即可．
【詳解】ax+3y=2①2x?y=1②
由②得y=2x?1,③
把③代入①得ax+3(2x?1)=2,
∴(a+6)x=5，
∵ 方程組無解,
∴a+6=0,
∴a=?6，
故選D.
【點睛】本題考查了解二元一次方程組和解一元一次方程等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出一個關(guān)于a的方程(a+6=0)．
【變式14-3】關(guān)于x，y的二元一次方程組x+2ay=3?a?ax?2y=1，①當(dāng)a=2時，方程組的解是x=?1y=12，②當(dāng)a=3時，x+2y=12；③若該方程組無解，則a=±1，以上結(jié)論中正確的個數(shù)有（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】C
【分析】分別把a的值代入二元一次方程組，求解相應(yīng)方程組即可判斷得解．
【詳解】解：當(dāng)a=2時，方程組為x+4y=1?2x?2y=1，解得x=?1y=12，故①正確；
當(dāng)a=3時，方程組為x+6y=0?3x?2y=1，解得x=?38y=116，所以x+2y=?38+2×116=?14故②錯誤；
x+2ay=3?a①?ax?2y=1②，
①+②得1?ax+2a?1y=4?a，
∵該方程組無解，
∴1?a=0或a?1=0，
∴a=1，
①?②得1+ax+2a+1y=2?a，
∵該方程組無解，
∴1+a=0，
∴a=?1，
∴a=±1，
故③正確；
∴正確的結(jié)論共有2個，
故選：C.
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
【題型15 構(gòu)造二元一次方程組求解】
【例15】如表格所示，在3×3方格中做填字游戲，要求每行，每列及對角線上三個方格中的數(shù)字和都相等，則表格中x，y的值是（ ）
A．x=1y=?1B．x=?1y=1C．x=2y=?1D．x=?2y=1
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，可得4x?1+0=2y+5+04x?y+2y=2y+5+0，解二元一次方程組即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得
4x?1+0=2y+5+04x?y+2y=2y+5+0，解得x=1y=?1，
故選：A．
【點睛】本題考查二元一次方程組，根據(jù)題意列出二元一次方程組并利用加減消元法求解是解決問題的關(guān)鍵．
【變式15-1】已知5x+y?3+x?2y2=0，則x+y= ．
【答案】3
【分析】已知5x+y?3+x?2y2=0中的絕對值以及二次方都是非負數(shù)，兩個非負數(shù)的和是0，則每個非負數(shù)都是0，即可求得x，y的值．
【詳解】解：根據(jù)題意，得x+y?3=0x?2y=0，
解，得x=2y=1．
∴x+y=3，
故答案為：3．
【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)及解二元一次方程組，解決問題的關(guān)鍵在于掌握幾個非負數(shù)的和是0，則每個非負數(shù)都是0．
【變式15-2】已知an=a1+n+1d(n為自然數(shù))，且a2=5，a5=14，則a15的值為（ ）
A．53B．44C．29D．23
【答案】B
【分析】先根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a1，d的方程組，求出a1，d，再根據(jù)定義代入計算即可．
【詳解】解：∵an=a1+n+1d，a2=5，a5=14，
∴a1+3d=5①a1+6d=14②，
②?①得：d=3，
把d=3代入①得：a1=?4，
∴a15=?4+15+1×3
=?4+16×3
=?4+48
=44，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意，求出a1，d的值．
【變式15-3】若式子x4+(m?3)x3+(n?3m?8)x2+(24+mn)x?8n中不含x2和x3項，求m和n的值．
【答案】m=3，n=17
【分析】根據(jù)“不含x2和x3項”可令其系數(shù)為0，得出方程求解即可．
【詳解】解：由題意得，
n?3m?8=0m?3=0，
解得m=3n=17，
答：m=3，n=17．
【點睛】本題考查整式加減中的無關(guān)型問題，解二元一次方程組，理解“不含x2和x3項”的意義是正確解答的關(guān)鍵．
【題型16 二元一次方程組的應(yīng)用】
【例16】現(xiàn)欲將一批荔枝運往外地銷售，若用2輛A型車和1輛B型車載滿荔枝一次可運走10噸；1輛A型車和2輛B型車載滿荔枝一次可運走11噸．現(xiàn)有荔枝31噸，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：：
(1)1輛A型車和1輛B型車都載滿荔枝一次可分別運送多少噸？
(2)請你幫該物流公司設(shè)計租車方案．
【答案】(1)1輛A型車載滿荔枝一次可運送3噸，1輛B型車載滿荔枝一次可運送4噸；
(2)該物流公司共有3種租車方案，方案1：租用9輛A型車，1輛B型車；方案2：租用5輛A型車，4輛B型車；方案3：租用1輛A型車，7輛B型車．
【分析】（1）設(shè)1輛A型車載滿荔枝一次可運送x噸，1輛B型車載滿荔枝一次可運送y噸，由“用2輛A型車和1輛B型車載滿荔枝一次可運走10噸；1輛A型車和2輛B型車載滿荔枝一次可運走11噸”，列出二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（2）由“現(xiàn)有荔枝31噸，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿荔枝”，列出二元一次方程，結(jié)合a、b均為非負整數(shù)，即可得出各租車方案．
【詳解】（1）解：設(shè)1輛A型車載滿荔枝一次可運送x噸，1輛B型車載滿荔枝一次可運送y噸，
由題意得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4，
答：1輛A型車載滿荔枝一次可運送3噸，1輛B型車載滿荔枝一次可運送4噸；
（2）由題意得：3a+4b=31，
∴a=31?4b3，
又∵a、b均為非負整數(shù)，
∴a=9b=1或a=5b=4或a=1b=7
，∴該物流公司共有3種租車方案，
方案1：租用9輛A型車，1輛B型車；
方案2：租用5輛A型車，4輛B型車；
方案3：租用1輛A型車，7輛B型車．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．
【變式16-1】小明從家到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路，假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60米，下坡路每分鐘走80米，上坡路每分鐘走40米，從家里到學(xué)校需20分鐘，從學(xué)校到家里需30分鐘．小明從家到學(xué)校的下坡路長 米．
【答案】800
【分析】設(shè)從小明家到學(xué)校的下坡路長x米、平路為y米，根據(jù)時間=路程÷速度結(jié)合從家里到學(xué)校需20分鐘、從學(xué)校到家里需30分鐘，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】設(shè)從小華家到學(xué)校的下坡路長x米、平路為y米，
根據(jù)題意得：x80+y60=20x40+y60=30，
解得：x=800y=600．
所以，從小明家到學(xué)校的下坡路長800米．
故答案為：800．
【點睛】本題考查了二元一次方程組，根據(jù)數(shù)量關(guān)系時間=路程÷速度列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式16-2】安居小區(qū)業(yè)主安先生準(zhǔn)備裝修新居，裝修公司派來甲工程隊完成此項完程．由于工期過長，安先生要求裝修公司再派乙工程隊與甲隊共同工作．已知甲工程隊單獨完成此項工程需要天數(shù)恰好比乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)的3倍少5天，并且甲工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)與乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)之和為55天．
(1)求甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要多少天；
(2)若甲工程隊工作10天后，與公司派來的乙工程隊再合作多少天可完成此項工程的45；
(3)甲、乙工程隊每天的施工費分別為800元和1000元，安先生裝修工程施工完成時費用正好為21800元，求甲工程隊參加工作多少天？
【答案】(1)40，15
(2)6
(3)16
【分析】（1）設(shè)乙隊單獨完成此項工程需要x天，甲隊單獨完成此項工程需要3x?5天，依題意得，x+3x?5=55，解得，x=15，則3x?5=40；
（2）由（1）可知，甲的工作效率為140，乙的工作效率為115，設(shè)還需要再合作y天可完成此項工程的45，依題意得，140×10+140+115y=1×45，計算求解即可；
（3）設(shè)甲單獨工作a天，甲乙合作工作b天，依題意得，800a+b+1000b=21800140a+140+115b=1，計算求出a，b的值，然后根據(jù)a+b，計算求解甲工程隊參加工作的天數(shù)．
【詳解】（1）解：設(shè)乙隊單獨完成此項工程需要x天，甲隊單獨完成此項工程需要3x?5天，
依題意得，x+3x?5=55，
解得，x=15，
∴3x?5=3×15?5=40，
∴甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要40、15天；
（2）解：由（1）可知，甲的工作效率為140，乙的工作效率為115，
設(shè)還需要再合作y天可完成此項工程的45，
依題意得，140×10+140+115y=1×45，
解得，y=6，
∴還要再合作6天可完成此項工程；
（3）解：設(shè)甲單獨工作a天，甲乙合作工作b天，
依題意得，800a+b+1000b=21800140a+140+115b=1，
解得，a=7b=9，
∵a+b=16，
∴甲工程隊參加工作16天．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列方程（組）．
【變式16-3】某體育用品商場銷售A，B兩款足球，售價和進價如表：
若該商場購進5個A款足球和12個B款足球需1120元；若該商場購進10個A款足球和15個B款足球需1700元．
(1)求m和n的值；
(2)某校在該商場一次性購買A款足球x個和B款足球y個，共消費3300元，那么該商場可獲利多少元？
(3)為了提高銷量，商場實施：“買足球送跳繩”的促銷活動：“買1個A款足球送1根跳繩，買3個B款足球送2根跳繩”，每根跳繩的成本為10元，某日售賣出兩款足球總計盈利600元，那么該日商場銷售A、B兩款足球各多少個？(每款都有銷售)
【答案】(1)m的值為80，n的值為60
(2)1100
(3)該日商場銷售13個A款足球、9個B款足球或6個A款足球、18個B款足球
【分析】（1）根據(jù)“該商場購進5個A款足球和12個B款足球需1120元；購進10個A款足球和15個B款足球需1700元”，可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值；
（2）利用銷售總價等于銷售單價乘以銷售數(shù)量，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，再在方程的兩邊同時除以3，即可求出結(jié)論；
（3）設(shè)該日商場銷售a個A款足球，3b個B款足球，利用總利潤等于每個的銷售利潤乘以銷售數(shù)量，可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為正整數(shù)，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：5m+12n=112010m+15n=1700，
解得：m=80n=60，
∴m的值為80，n的值為60；
（2）解：根據(jù)題意得：120x+90y=3300，
∴40x+30y=1100，
∴120?80x+90?60y=40x+30y=1100，
答：該商場可獲利1100元；
（3）解：設(shè)該日商場銷售a個A款足球，3b個B款足球，
根據(jù)題意得：120?80?10a+90×3?60×3?10×2b=600，
∴a=20?73b，
又∵a，b均為正整數(shù)，
∴a=13b=3或a=6b=6，
∴a=133b=9或a=63b=18，
答：該日商場銷售13個A款足球、9個B款足球或6個A款足球、18個B款足球．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．4
9
2
16
a
3
5
7
11
15
8
1
6
12
4x
?1
0
?y
5
2y
類型
進價(元/個)
售價(元/個)
A款
m
120
B款
n
90

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