中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題11.6 平面直角坐標(biāo)系章末六大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc7851" 【題型1 坐標(biāo)與點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc7851 \h 1
\l "_Tc5783" 【題型2 坐標(biāo)與圖形變換規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc5783 \h 4
\l "_Tc5321" 【題型3 坐標(biāo)系中的新定義問題探究】 PAGEREF _Tc5321 \h 6
\l "_Tc19782" 【題型4 坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)問題探究】 PAGEREF _Tc19782 \h 13
\l "_Tc7110" 【題型5 坐標(biāo)系中角度之間的數(shù)量關(guān)系問題探究】 PAGEREF _Tc7110 \h 22
\l "_Tc21710" 【題型6 坐標(biāo)系中圖形問題探究】 PAGEREF _Tc21710 \h 29
【題型1 坐標(biāo)與點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律探究】
【例1】（2023春·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸及y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)，依次跳動(dòng)至點(diǎn)A1(0,1)、A2(1,0)、A3(2,0)、A4(0,2)、A5(0,3)、A6(3,0)、A7(4,0)、A8(0,4)，……按此規(guī)律，則點(diǎn)A2023的坐標(biāo)是( )
A．(0,1011)B．(1011,0)C．(0,1012)D．(1012,0)
【答案】D
【分析】根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將連續(xù)的4個(gè)點(diǎn)看成一組，由第1組，第2組確定組內(nèi)點(diǎn)的位置特征、點(diǎn)坐標(biāo)與組序數(shù)的聯(lián)系；以此類推，2023=4×505+3，故點(diǎn)A2023是第506組的第3個(gè)點(diǎn)，則A2023在x軸上，其非零坐標(biāo)即橫坐標(biāo)為2×506=1012．
【詳解】解：根據(jù)題意，將連續(xù)的4個(gè)點(diǎn)A看成一組，
第1組：A1(0，1)，A2(1，0)，A3(2，0)，A4(0，2)，其位置分別為y軸、x軸、x軸、y軸，前兩個(gè)點(diǎn)的非零坐標(biāo)為1，后兩個(gè)點(diǎn)的非零坐標(biāo)為2；其中，1=2×1?1，2=2×1；
第2組：A5(0，3)，A6(3，0)，A7(4，0)，A8(0，4)，其位置分別為y軸、x軸、x軸、y軸，前兩個(gè)點(diǎn)的非零坐標(biāo)為3，后兩個(gè)點(diǎn)的非零坐標(biāo)為4；其中，3=2×2?1，4=2×2；
……
以此類推，2023=4×505+3，
則點(diǎn)A2023是第506組的第3個(gè)點(diǎn)，則A2023在x軸上，其非零坐標(biāo)即橫坐標(biāo)為2×506=1012，故點(diǎn)A2023的坐標(biāo)是(1012,0)；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律探索，根據(jù)已知的點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)點(diǎn)分組找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A11,1，A22,?1，A34,4，A46,?4，A57,1，A68,?1，A710,4，A812,?4……，按這樣的規(guī)律，則點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為（）

A．3032,?1B．3034,4C．3036,4D．3031,1
【答案】B
【分析】先找到點(diǎn)的規(guī)律，然后計(jì)算解題即可．
【詳解】由題可知，每四個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)重復(fù)一次，橫坐標(biāo)向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴2023÷4=505?3，
則A2023的橫坐標(biāo)為：505×6+4=3034，縱坐標(biāo)為4，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)的規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律．
【變式1-2】（2023春·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A從A1?4,0依次跳動(dòng)到A2?4,1，A3?3,1，A4?3,0，A5?2,0，A6?2,3，A7?1,3，A8?1,0，A9?1,?3，A100,?3，A110,0，…，按此規(guī)律，則點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為（）
A．2023,0B．805,0C．804,1D．805,1
【答案】D
【分析】由圖可知，10個(gè)坐標(biāo)為一循環(huán)，因此判斷A2023對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是A3?3,1，那么縱坐標(biāo)為1，橫坐標(biāo)每多一個(gè)循環(huán)則大4，可算出橫坐標(biāo)為805，然后直接求解即可．
【詳解】∵2023÷10=202……3
∴A2023對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為A3?3,1
∴A2023橫坐標(biāo)為?3+202×4=805
∴A2023805,1
故選：D
【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究，解題關(guān)鍵是找到循環(huán)然后直接求解．
【變式1-3】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)A第一次跳動(dòng)至點(diǎn)A1（﹣1，1），第二次向右跳動(dòng)3個(gè)單位至點(diǎn)A2（2，1），第三次跳動(dòng)至點(diǎn)A3（﹣2，2），第四次向右跳動(dòng)5個(gè)單位至點(diǎn)A4（3，2），……，依此規(guī)律跳動(dòng)下去，點(diǎn)A第2018次跳動(dòng)至點(diǎn)A2018的坐標(biāo)是 .
【答案】（1010，1009）
【分析】觀察所給圖形，不難得到第偶數(shù)次跳動(dòng)至點(diǎn)的橫坐標(biāo)是跳的次數(shù)的一半加上1，縱坐標(biāo)是跳的次數(shù)的一半；由此可得規(guī)律：第2n次跳動(dòng)至點(diǎn)A2n的坐標(biāo)是(n+1，n)，進(jìn)而求出點(diǎn)A2018的坐標(biāo)．
【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)可知：
第2次跳動(dòng)至點(diǎn)A2的坐標(biāo)是（2，1），
第4次跳動(dòng)至點(diǎn)A4的坐標(biāo)是（3，2），
第6次跳動(dòng)至點(diǎn)A6的坐標(biāo)是（4，3），
第8次跳動(dòng)至點(diǎn)A8的坐標(biāo)是（5，4），
…
則第2n次跳動(dòng)至點(diǎn)A2n的坐標(biāo)是（n+1，n），
故第2018次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)是（1010，1009）．
故答案為（1010，1009）．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，解題在關(guān)鍵在于明確偶數(shù)次跳動(dòng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)與跳動(dòng)次數(shù)的關(guān)系．
【題型2 坐標(biāo)與圖形變換規(guī)律探究】
【例2】（2023春·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的方格紙上（小正方形的邊長(zhǎng)均為1），△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7,?都是斜邊在x軸上的等腰直角三角形，且它們的斜邊長(zhǎng)分別為2，4，6…若△A1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A12,0，A21,?1，A30,0，則依圖中所示規(guī)律，A2022的坐標(biāo)為（）

A．1,?1013B．1,?1011C．2,1012D．2,1010
【答案】B
【分析】根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)下標(biāo)是2、6、10…時(shí)，橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半的相反數(shù)；當(dāng)下標(biāo)是4、8、12…時(shí)，橫坐標(biāo)是2，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半，據(jù)此即可得到答案．
【詳解】解：∵圖中的各三角形都是等腰直角三角形，
∴各等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為斜邊的一半，
∴A21,?1、A42,2，A61,?3，A82,4，A101,?5，A122,6
當(dāng)下標(biāo)為偶數(shù)時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律如下：
當(dāng)下標(biāo)是2、6、10…時(shí)，橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半的相反數(shù)，
當(dāng)下標(biāo)是4、8、12…時(shí)，橫坐標(biāo)是2，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半，
∵每四個(gè)字母為一組，
2022÷4=，
點(diǎn)A2022在第一象限，橫坐標(biāo)為１，
縱坐標(biāo)是2022÷2=1011，
∴A2022(1,?1011)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，根據(jù)坐標(biāo)正確得到規(guī)律是解題關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3，…，觀察每次變換前后的三角形的變化規(guī)律，找出規(guī)律，推測(cè)An、Bn的坐標(biāo)分別是（）
A．(n,3),(n2,0)B．(n,3),(2n,0)C．(2n,3),(2n,0)D．(2n,3),(2n+1,0)
【答案】D
【分析】根據(jù)圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)的變化，依次寫出A1,A2,A3,?，B1,B2,B3,?．再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)變化的特點(diǎn)寫出An、Bn的坐標(biāo)即可．
【詳解】解：∵A1(2,3),A2(22,3),A3(23,3),?，
∴An(2n,3)；
∵B1(22,0),B2(23,0),B3(24,0),?，
∴Bn(2n+1,0)；
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形的變化，正確寫出前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)、找出坐標(biāo)變化的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OM0M1的直角邊OM0在x軸上，點(diǎn)M1在第一象限，且OM0=1，以點(diǎn)M1為直角頂點(diǎn)，OM1為一直角邊作等腰直角三角形OM1M2，再以點(diǎn)M2為直角頂點(diǎn)，OM2為直角邊作等腰直角三角形OM2M3…依此規(guī)律則點(diǎn)M2019的坐標(biāo)是．
【答案】?22019,22019
【分析】本題點(diǎn)M坐標(biāo)變化規(guī)律要分別從旋轉(zhuǎn)次數(shù)與點(diǎn)M所在象限或坐標(biāo)軸、點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離與旋轉(zhuǎn)次數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
【詳解】由已知，點(diǎn)M每次旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)45°，則轉(zhuǎn)動(dòng)一周需轉(zhuǎn)動(dòng)8次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離變?yōu)檗D(zhuǎn)動(dòng)前的2倍
∵2019＝252×8＋3
∴點(diǎn)M2019的在第二象限的角平分線上，
∴點(diǎn)M2019的坐標(biāo)為?22019,22019,
故答案為：?22019,22019.
【點(diǎn)睛】本題是平面直角坐標(biāo)系下的規(guī)律探究題，除了研究動(dòng)點(diǎn)變化的相關(guān)數(shù)據(jù)規(guī)律，還應(yīng)該注意象限符號(hào)．
【變式2-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2為對(duì)角線作第一個(gè)正方形A1C1A2B1，以A2A3為對(duì)角線作第二個(gè)正方形A2C2A3B2，以A3A4，為對(duì)角線作第三個(gè)正方形A3C3A4B3，……，頂點(diǎn)B1，B2，B3……都在第一象限，按照此規(guī)律依次下去，則點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為．
【答案】[(n+1)22，n+12]
【分析】利用圖形分別得出B點(diǎn)橫坐標(biāo)B1，B2，B3，…的橫坐標(biāo)分別為：42，92，162，252…，點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為：(n+1)22，再利用縱坐標(biāo)變化規(guī)律進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：分別過點(diǎn)B1，B2，B3，作B1D⊥x軸，B2E⊥x軸，B3F⊥x軸于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，
∵A1(1,0)，
∴A1A2=3?1=2，A1D =1，OD=2，B1D=A1D =1，
可得出B1(2,1)，
∵A2(3,0)，
∴A3A2=6?3=3，EB2=32，B2E=EA2=32，OE=6?32=92，
可得B2(92，32)，
同理可得出：B3(8,2)，B4(252，52)，…，
∵B1，B2，B3，…的橫坐標(biāo)分別為：42，92，162，252…，
∴點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為：(n+1)22，
∵B1，B2，B3，…的縱坐標(biāo)分別為：1，32，43，52，…，
∴點(diǎn)Bn的縱坐標(biāo)為：n+12，
∴點(diǎn)B5的坐標(biāo)為(18,3)；點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為：[(n+1)22，n+12]．
故答案為：[(n+1)22，n+12]．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納能力，從所給的數(shù)據(jù)和圖形中尋求規(guī)律分別得出B點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．
【題型3 坐標(biāo)系中的新定義問題探究】
【例3】（2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P，給出如下定義：
點(diǎn)P的“第Ⅰ類變換”：將點(diǎn)P向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度；
點(diǎn)P的“第Ⅱ類變換”：將點(diǎn)P向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度．
(1)①點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，對(duì)點(diǎn)A進(jìn)行1次“第Ⅰ類變換”后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，若對(duì)點(diǎn)B進(jìn)行1次“第Ⅰ類變換”后得到點(diǎn)(0,2)，則對(duì)點(diǎn)B進(jìn)行1次“第Ⅱ類變換”后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為；
(2)點(diǎn)C在x軸上，若對(duì)點(diǎn)C進(jìn)行a次“第Ⅰ類變換”，再進(jìn)行b次“第Ⅱ類變換”后，所得到的點(diǎn)仍在x軸上，直接用等式表示a與b的數(shù)量關(guān)系為；
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)(?10,3)，對(duì)點(diǎn)P進(jìn)行“第1類變換”和“第Ⅱ類變換”共計(jì)20次后得到點(diǎn)Q，請(qǐng)問是否存在一種上述兩類變換的組合，使得點(diǎn)Q恰好在y軸上？如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)①(2,2)；②(4,?1)
(2)2a=b
(3)不存在，理由見解析
【分析】（1）①利用點(diǎn)P的“第Ⅰ類變換”的定義，可求解；②利用點(diǎn)P的“第Ⅰ類變換”的定義和點(diǎn)P的“第Ⅱ類變換”的定義，可求解；
（2）利用點(diǎn)P的“第Ⅰ類變換”的定義和點(diǎn)P的“第Ⅱ類變換”的定義列出方程可求解；
（3）利用點(diǎn)P的“第Ⅰ類變換”的定義和點(diǎn)P的“第Ⅱ類變換”的定義列出方程可求解．
【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，
∴點(diǎn)A進(jìn)行1次“第Ⅰ類變換”后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)(2,2)，
故答案為：(2,2)；
②∵點(diǎn)B進(jìn)行1次“第Ⅰ類變換”后得到點(diǎn)(0,2)，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,0)，
∴點(diǎn)B進(jìn)行1次“第Ⅱ類變換”后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,?1)，
故答案為：(4,?1)；
（2）設(shè)點(diǎn)C(c,0)，
∵點(diǎn)C進(jìn)行a次“第Ⅰ類變換”，再進(jìn)行b次“第Ⅱ類變換”后，所得到的點(diǎn)仍在x軸上，
∴0+2a?1×b=0，
∴2a=b，
故答案為：2a=b；
（3）不存在，理由如下：
設(shè)經(jīng)過m次“第1類變換”，經(jīng)過(20?m)次“第Ⅱ類變換”，使得點(diǎn)Q恰好在y軸上，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)(?10,3)，對(duì)點(diǎn)P進(jìn)行“第1類變換”和“第Ⅱ類變換”共計(jì)20次后得到點(diǎn)Q，點(diǎn)Q恰好在y軸上，
∴?10?1×m+3(20?m)=0，
∴m=252，
∵m為非負(fù)整數(shù)，
∴m=252不合題意舍去，
∴不存在一種上述兩類變換的組合，使得點(diǎn)Q恰好在y軸上．
【點(diǎn)睛】本題是平移變換綜合題，理解點(diǎn)P的“第Ⅰ類變換”的定義和點(diǎn)P的“第Ⅱ類變換”的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的任意一點(diǎn)P(x,y)，給出如下定義：記a=x+y，b=?y，將點(diǎn)M(a,b)與N(b,a)稱為點(diǎn)P的一對(duì)“相伴點(diǎn)”．
例如：點(diǎn)P(2,3)的一對(duì)“相伴點(diǎn)”是點(diǎn)(5,?3)與(?3,5)．
(1)點(diǎn)Q(4,?1)的一對(duì)“相伴點(diǎn)”的坐標(biāo)是______與______；
(2)若點(diǎn)A(8,y)的一對(duì)“相伴點(diǎn)”重合，則y的值為______；
(3)若點(diǎn)B的一個(gè)“相伴點(diǎn)”的坐標(biāo)為(?1,7)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【答案】(1)(1,3)，(3,1)；
(2)?4；
(3)(6,?7)或(6,1)．
【分析】（1）根據(jù)新定義求出a，b，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)新定義，求出點(diǎn)A的一對(duì)“相伴點(diǎn)”，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)新定義，建立方程組，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）∵Q(4,?1)，
∴a=4+(?1)=3，b=?(?1)=1，
∴點(diǎn)Q(4,?1)的一對(duì)“相伴點(diǎn)”的坐標(biāo)是(1,3)與(3,1)，
故答案為：(1,3)，(3,1)；
（2）∵點(diǎn)A(8,y)，
∴a=8+y，b=?y，
∴點(diǎn)A(8,y)的一對(duì)“相伴點(diǎn)”的坐標(biāo)是(8+y,?y)和(?y,8+y)，
∵點(diǎn)A(8,y)的一對(duì)“相伴點(diǎn)”重合，
∴8+y=?y，
∴y=?4，
故答案為：?4；
（3）設(shè)點(diǎn)B(x,y)，
∵點(diǎn)B的一個(gè)“相伴點(diǎn)”的坐標(biāo)為(?1,7)，
∴ x+y=?1?y=7或?y=?1x+y=7，
∴ x=6y=?7或x=6y=1，
∴B(6,?7)或(6,1)．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義，解方程組，解方程，理解和應(yīng)用新定義是解本題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·北京海淀·八年級(jí)北理工附中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，對(duì)于任意一點(diǎn)Px,y的“絕對(duì)距離”，給出如下定義：若x≥y，則點(diǎn)P的“絕對(duì)距離”為x；若x1，所以點(diǎn)P?4,1的“絕對(duì)距離”為?4=4．當(dāng)點(diǎn)Px,y的“絕對(duì)距離”為2時(shí)，所有滿足條件的點(diǎn)P組成的圖形為（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)點(diǎn)Px,y的“絕對(duì)距離”為2，可知x=2，y≤2或y=2，x≤2，即可確定點(diǎn)P組成的圖形．
【詳解】解：∵點(diǎn)Px,y的“絕對(duì)距離”為2，
∴x=2，y≤2或y=2，x≤2，
即x=2時(shí)，?2≤y≤2，x=?2時(shí)，?2≤y≤2，y=2時(shí)，?2≤x≤2，y=?2時(shí)，?2≤x≤2，
即可確定點(diǎn)P組成的圖形為圖D中的正方形，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，新定義，理解新定義是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：已知平面上兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，稱dA,B=x1?x2+y1?y2為A，B兩點(diǎn)之間的折線距離．例如點(diǎn)M2,?3與點(diǎn)N5,2之間的折線距離為dM,N=2?5+?3?2=3+5=8．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A2,1，B?1,0．

(1)dA,B=___________；
(2)過點(diǎn)B作直線l平行于y軸，求直線l上與點(diǎn)A的折線距離為5的點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)已知點(diǎn)Nn,n，且dA,N

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