TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc28370" 【題型1 三角形的識(shí)別與有關(guān)概念】 PAGEREF _Tc28370 \h 1
\l "_Tc15486" 【題型2 三角形的分類】 PAGEREF _Tc15486 \h 3
\l "_Tc5103" 【題型3 三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律探究題】 PAGEREF _Tc5103 \h 5
\l "_Tc8562" 【題型4 應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長或取值范圍】 PAGEREF _Tc8562 \h 8
\l "_Tc32217" 【題型5 應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求等腰三角形的邊長問題】 PAGEREF _Tc32217 \h 10
\l "_Tc22658" 【題型6 應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡含有絕對(duì)值的式子】 PAGEREF _Tc22658 \h 12
\l "_Tc15574" 【題型7 應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題】 PAGEREF _Tc15574 \h 14
\l "_Tc10014" 【題型8 三角形的穩(wěn)定性】 PAGEREF _Tc10014 \h 18
【知識(shí)點(diǎn)1 三角形的概念】
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
【題型1 三角形的識(shí)別與有關(guān)概念】
【例1】（2023春·山西·八年級(jí)校聯(lián)考期末）一位同學(xué)用三根木棒拼成如下圖形，其中符合三角形概念的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】三角形是由三條線段首位順次連接而成的圖形.
【詳解】解：根據(jù)三角形的定義，
A選項(xiàng)不符合三角形的定義；
B選項(xiàng)符合三角形的定義；
C選項(xiàng)不符合三角形的定義；
D選項(xiàng)不符合三角形的定義；
故選B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的定義，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形的定義.
【變式1-1】（2023春·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是( )
A．所有的等腰三角形都是銳角三角形
B．等邊三角形屬于等腰三角形
C．不存在既是鈍角三角形又是等腰三角形的三角形
D．一個(gè)三角形里有兩個(gè)銳角，則一定是銳角三角形
【答案】B
【分析】根據(jù)銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形的定義一一判斷即可．
【詳解】A選項(xiàng)：內(nèi)角為30°，30°，120°的等腰三角形是鈍角三角形，故是錯(cuò)誤的．
B選項(xiàng)：等邊三角形屬于等腰三角形，故正確．
C選項(xiàng)：內(nèi)角為30°，30°，120°的三角形既是鈍角三角形又是等腰三角形的三角形，故錯(cuò)誤．
D選項(xiàng)：內(nèi)角為30°，30°，120°的三角形有兩個(gè)銳角，是鈍角三角形，故錯(cuò)誤．
故選B．
【點(diǎn)睛】考查三角形的一個(gè)概念，解題的關(guān)鍵是搞清楚銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形的定義．
【變式1-2】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，D，E分別是BC邊上的點(diǎn)，連接BE，AD，相交于點(diǎn)F．
(1)△BDF的三個(gè)頂點(diǎn)是什么?三條邊是什么?
(2)AB是哪些三角形的邊?
【答案】(1)△BDF的三個(gè)頂點(diǎn)是點(diǎn)B，D，F(xiàn)，三條邊是BF，BD，DF
(2)AB是△ABE，△ABF，△ABD，△ABC的邊
【分析】（1）根據(jù)三角形的邊和頂點(diǎn)解答即可；
（2）根據(jù)三角形的邊解答即可．
【詳解】（1）解：△BDF的三個(gè)頂點(diǎn)是點(diǎn)B，D，F(xiàn)，三條邊是BF，BD，DF；
（2）解：AB是△ABE，△ABF，△ABD，△ABC的邊．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的角和邊的概念．
【變式1-3】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△BCE中，邊BE所對(duì)的角是________，∠CBE所對(duì)的邊是________；在△AEC中，邊AE所對(duì)的角是________，∠A為內(nèi)角的三角形是________．
【答案】 ∠BCE CE/EC ∠ACE △ABD，△ABC，△ACE
【分析】根據(jù)的邊、角的定義，即可求解．
【詳解】解：在△BCE中，邊BE所對(duì)的角是∠BCE，∠CBE所對(duì)的邊是CE；
在△AEC中，邊AE所對(duì)的角是∠ACE，∠AEC所對(duì)的邊是AC；
∠A為內(nèi)角的三角形是△ABD，△ABC，△ACE．
故答案為：∠BCE；CE；∠ACE；△ABD，△ABC，△ACE
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的知識(shí)，掌握由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形；組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角是解題的關(guān)鍵．
【知識(shí)點(diǎn)2 三角形的分類】
按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形 等腰三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形
按角分類：三角形直角三角形 斜三角形銳角三角形鈍角三角形
【題型2 三角形的分類】
【例2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（ ）
A．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形
B．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形
D．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形按照邊的分類方法解答．
【詳解】解：根據(jù)三角形的分類，三角形可以分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分為底邊和腰不相等的三角形和底邊三角形，
故選擇B．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的分類，牢記三角形按照邊的分類方法是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·八年級(jí)單元測試）現(xiàn)有以下說法：①等邊三角形是等腰三角形；②三角形的兩邊之差大于第三邊；③三角形按邊分類可分為不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形；④三角形按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．正確的有（ ）
A．4個(gè)B．3 個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形的分類，三角形的三邊關(guān)系，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】解：①等邊三角形是等腰三角形，故①正確；
②三角形的兩邊之差小于第三邊，故②錯(cuò)誤；
③三角形按邊分為等腰三角形、等邊三角形和三邊都不相等的三角形，的說法是錯(cuò)誤的（因?yàn)榈冗吶切螌儆诘妊切危?，故③錯(cuò)誤
④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，故④正確
∴上述說法中正確的有2個(gè).
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的分類，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的分類是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，∠ACD＝90°，則圖中的銳角三角形是_________，鈍角三角形有______個(gè)．
【答案】 △ACE； 4.
【分析】三個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形；有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；有一個(gè)角是鈍角的三角是鈍角三角形；有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，三條邊相等的三角形是等邊三角形（是特殊的等腰三角形），根據(jù)三角形按角分類的方法進(jìn)行逐項(xiàng)分類即可．
【詳解】觀察圖形可知，△ACE是銳角三角形，；
△CED、△CDB、△CEB、△ACB是鈍角三角形，共4個(gè).
故答案為△ACE，4．
【點(diǎn)睛】本題是考查三角形的分類．
【變式2-3】（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）下面給出的四個(gè)三角形都有一部分被遮擋，如果按角的大小來進(jìn)行分類，其中不能判斷三角形類型的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形按角分類的方法一一判斷即可．
【詳解】解：觀察圖形可知：
A、露出的角是直角，因此是直角三角形；
B、知道兩個(gè)角，可以計(jì)算出第三個(gè)角的度數(shù)，因此可以判斷出三角形類型；
C、露出的角是銳角，其他兩角都不知道，因此不能判斷出三角形類型；
D、露出的角是鈍角，因此是鈍角三角形．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的分類，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，熟練掌握基本知識(shí)．
【題型3 三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律探究題】
【例3】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）根據(jù)下圖所示的形⑴、⑵、⑶三個(gè)圖所表示的規(guī)律，依次下去第n個(gè)圖中的三角形的個(gè)數(shù)是( )
A．6(n-1) B．6nC．6(n+1) D．12n
【答案】C
【分析】從這三個(gè)圖中找規(guī)律，可以先分別找出每個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)，再分析三個(gè)數(shù)字之間的關(guān)系，從而得出第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)．
【詳解】圖（1）中，三角形的個(gè)數(shù)是6+6=6×2 ,
圖（2）中，三角形的個(gè)數(shù)是6+6+6=6×3 ,
圖（3）中，三角形的個(gè)數(shù)是6+6+6+6=6×4 ,
第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是6·(n+1)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，利用圖形之間的練習(xí)，得出數(shù)字間的運(yùn)算規(guī)律，從而解決問題，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．
【變式3-1】（2023春·八年級(jí)單元測試）若有一條公共邊的兩個(gè)三角形稱為一對(duì)“共邊三角形”，則圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有___________對(duì)．
【答案】3
【分析】找到以BC為邊的三角形，即可得解．
【詳解】解：以BC為公共邊的“共邊三角形”有△BDC與△BEC、△BDC與△BAC、△BEC與△BAC共3對(duì)．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的定義．理解并掌握“共邊三角形”的定義，是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)，以其中任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，最多可以畫_____個(gè)三角形．
【答案】10
【分析】以平面內(nèi)的五個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，根據(jù)三角形的定義，我們?cè)谄矫嬷幸来芜x取三個(gè)點(diǎn)畫出圖形即可解答.
【詳解】解：如圖所示，以其中任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，最多可以畫10個(gè)三角形，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何圖形的個(gè)數(shù)，我們根據(jù)三角形的定義，在畫圖的時(shí)候要注意按照一定的順序，保證不重復(fù)不遺漏.
【變式3-3】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1，D1是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，則圖中有哪幾個(gè)三角形？
（2）如圖2，D1，D2是△ABC的邊AB上的兩點(diǎn)，則圖中有哪幾個(gè)三角形？
（3）如圖3，D1，D2，…，D10是△ABC的邊AB上的10個(gè)點(diǎn)，則圖中共有多少個(gè)三角形？
【答案】（1）3；（2）6；（3）66．
【分析】（1）根據(jù)三角形的概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形進(jìn)行分析即可；
（2）根據(jù)三角形的定義結(jié)合圖形進(jìn)行分析即可得；
（3）根據(jù)直線AB上有幾條線段就有幾個(gè)三角形，由線段的計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)算即可得答案.
【詳解】（1）圖中三角形有：△ABC、△AD1C、△AD1B共3個(gè)；
（2）圖中三角形有：△ACD1、△ACD2、△ABC、△D1CD2、△D1CB、△D2CB共6個(gè)；
（3）∵直線AB上有12個(gè)點(diǎn)，
∴直線AB上的線段共有：12×12?12=66（條），即圖中共有66個(gè)三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形，規(guī)律題，關(guān)鍵在數(shù)三角形個(gè)數(shù)時(shí)要做到不重不漏.
【知識(shí)點(diǎn)3 三角形的三邊關(guān)系】
三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.
在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．
【題型4 應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長或取值范圍】
【例4】（2023·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知三角形三邊長分別為m，n，k，且m、n滿足|n?9|+(m?5)2=0，則這個(gè)三角形最長邊k的取值范圍是________．
【答案】9≤k

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