TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11256" 【題型1 相反數(shù)與絕對(duì)值的概念辨析】 PAGEREF _Tc11256 \h 1
\l "_Tc4310" 【題型2 相反數(shù)的幾何意義的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc4310 \h 3
\l "_Tc23770" 【題型3 絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc23770 \h 5
\l "_Tc30956" 【題型4 化簡多重符號(hào)】 PAGEREF _Tc30956 \h 6
\l "_Tc5258" 【題型5 化簡絕對(duì)值】 PAGEREF _Tc5258 \h 8
\l "_Tc24992" 【題型6 利用相反數(shù)的性質(zhì)求值】 PAGEREF _Tc24992 \h 10
\l "_Tc16834" 【題型7 解絕對(duì)值方程】 PAGEREF _Tc16834 \h 11
\l "_Tc91" 【題型8 絕對(duì)值幾何意義的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc91 \h 13
\l "_Tc26998" 【題型9 有理數(shù)的大小比較】 PAGEREF _Tc26998 \h 16
\l "_Tc14371" 【題型10 應(yīng)用絕對(duì)值解決實(shí)際問題】 PAGEREF _Tc14371 \h 18
【知識(shí)點(diǎn)1 相反數(shù)與絕對(duì)值】
相反數(shù)：
1.概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．
相反數(shù)的表示方法：一般地，a和-a互為相反數(shù)，這里的a表示任意一個(gè)數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)也可以是零，特別地，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)等于它本身這個(gè)數(shù)是零.
2.性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，那么a+b=0.
絕對(duì)值：
1.定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作a.
2.性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．
【題型1 相反數(shù)與絕對(duì)值的概念辨析】
【例1】（2023秋·福建龍巖·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）與-4的和為0的數(shù)是（ ）
A．14B．4C．-4D．?14
【答案】B
【分析】與-4的和為0的數(shù)，就是-4的相反數(shù)4．
【詳解】解：與-4的和為0的數(shù)，就是求出-4的相反數(shù)4，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查相反數(shù)的意義，掌握互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0的性質(zhì)是解決問題的基礎(chǔ)．
【變式1-1】（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）將符號(hào)語言“|a|=a(a≥0)”轉(zhuǎn)化為文字表達(dá)，正確的是（ ）
A．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身B．負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)
C．非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身D．0的絕對(duì)值等于0
【答案】C
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的含義及絕對(duì)值的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可解答．
【詳解】解：∵一個(gè)非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，
∴A項(xiàng)不符合題意；
∵a≥0，表示的是非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，不是負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，
∴B不符合題意；
∵一個(gè)非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，
∴C符合題意；
∵a≥0，表述的是非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，不只是0的絕對(duì)值，
∴選項(xiàng)D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的含義及絕對(duì)值的性質(zhì)，掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）下列各對(duì)數(shù)中，互為相反數(shù)的是（ ）
A．?+1和+?1B．??1和+?1
C．?+1和?1D．+?1和?1
【答案】B
【分析】先化簡各數(shù)，然后根據(jù)相反數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】解：A、?+1=?1，+?1=?1，不是相反數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、??1=1，+?1=?1，是相反數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；
C、?+1=?1，不是相反數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、+?1=?1，不是相反數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相反數(shù)．先化簡再求值是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023秋·江蘇鹽城·七年級(jí)江蘇省響水中學(xué)階段練習(xí)）絕對(duì)值小于2016的所有的整數(shù)的和________．
【答案】0
【詳解】絕對(duì)值小于2016的所有整數(shù)為： ?2015，…，0，1，…，2015，
故-2015+(-2014)+(-2013)+…+2013+2014+2015
=(-2015+2015)+( -2014+2014)+( -2013+2013)+…+(-1+1)+0=0；
故答案為0.
點(diǎn)睛：由于數(shù)比較多，不可能挨個(gè)求和，故考慮用“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于0”這個(gè)性質(zhì).
【題型2 相反數(shù)的幾何意義的應(yīng)用】
【例2】（2023·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，圖中數(shù)軸的單位長度為1．請(qǐng)回答下列問題：
(1)如果點(diǎn)A、B表示的數(shù)是互為相反數(shù)，那么點(diǎn)C表示的數(shù)是多少？
(2)如果點(diǎn)D、B表示的數(shù)是互為相反數(shù)，那么點(diǎn)C、D表示的數(shù)是多少？
【答案】(1)-1
(2)點(diǎn)C表示的數(shù)是0.5，D表示的數(shù)是-4.5
【分析】（1）根據(jù)互為相反數(shù)的定義確定出原點(diǎn)的位置，再根據(jù)數(shù)軸寫出點(diǎn)C表示的數(shù)即可；
（2）根據(jù)互為相反數(shù)的定義確定出原點(diǎn)的位置，再根據(jù)數(shù)軸寫出點(diǎn)C、D表示的數(shù)即可．
【詳解】（1）由點(diǎn)A、B表示的數(shù)是互為相反數(shù)可知數(shù)軸上原點(diǎn)的位置如圖，
故點(diǎn)C表示的數(shù)是-1．
（2）由點(diǎn)D、B表示的數(shù)是互為相反數(shù)可知數(shù)軸上原點(diǎn)的位置如圖，
故點(diǎn)C表示的數(shù)是0.5，D表示的數(shù)是-4.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義和數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出原點(diǎn)的位置．
【變式2-1】（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，若點(diǎn)B表示的數(shù)為6，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（ ）
A．6B．﹣6C．0D．無法確定
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置，利用相反數(shù)定義確定出點(diǎn)A表示的數(shù)即可.
【詳解】解：∵數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)B表示的數(shù)為6，
∴點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣6，
故選：B.
【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)軸與有理數(shù)，相反數(shù)的定義，理解相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
【變式2-2】（2023·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，A，B，C，D是數(shù)軸上的四個(gè)點(diǎn)，已知a，b均為有理數(shù)，且a+b=0，則它們?cè)跀?shù)軸上的位置不可能落在( )
A．線段AB上B．線段BC上C．線段BD上D．線段AD上
【答案】A
【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸的定義可知，a,b位于原點(diǎn)兩側(cè)，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵a，b均為有理數(shù)，且a+b=0，
∴a,b位于原點(diǎn)兩側(cè)，
∴a,b在數(shù)軸上的位置不可能落在線段AB上，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023秋·江蘇無錫·七年級(jí)校考階段練習(xí)）用“?”與“?”表示一種法則：（a?b）＝﹣b，（a?b）＝﹣a，如（2?3）＝﹣3，則（2023?2018）? （2023?2015）＝__________
【答案】2018．
【分析】根據(jù)題意，（a?b）=-b，（a?b）=-a，可知（2023?2018）=-2018，（2023?2015）=-2015，再計(jì)算（-2018?-2015）即可．
【詳解】解：∵（a?b）=-b，（a?b）=-a，
∴（2023?2018）?（2023?2015）=（-2018?-2015）=2018．
故答案為：2018．
【點(diǎn)睛】本題這是一種新定義問題，間接考查了相反數(shù)的概念，一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意掌握規(guī)律．
【題型3 絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用】
【例3】（2023秋·云南昭通·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知|a﹣2|與|b﹣3|互為相反數(shù)，求a+b的值.
【答案】5.
【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于0列出方程，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列非常求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】∵|a-2|與|b-3|互為相反數(shù)，
∴|a-2|+|b-3|=0，
∴a-2=0，b-3=0，
解得a=2，b=3，
所以，a+b=2+3=5．
【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．
【變式3-1】（2023秋·云南楚雄·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于任意有理數(shù)a，下列式子中取值不可能為0的是（ ）
A．a(chǎn)+1B．?1+aC．a(chǎn)+1D．?1+a
【答案】C
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性即可得出答案．
【詳解】解：A．當(dāng)a=?1時(shí)，a+1=0，則a+1=0，故A選項(xiàng)不符合題意；
B．當(dāng)a=?1時(shí)，?1+a=1?1=0，故B選項(xiàng)不符合題意；
C．a(chǎn)≥0，則a+1≥1，不可能為0，故C選項(xiàng)符合題意；
D．當(dāng)a=±1時(shí)，?1+a=?1+1=0，故D選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和一定為非負(fù)數(shù)．
【變式3-2】（2023秋·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若a?1+b+2=0，求a+?b．
【答案】3
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求解即可．
【詳解】解：∵a?1+b+2=0，
∴a?1=0，b+2=0，
解得：a=1，b=?2，
故a+?b=1+2=3．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，準(zhǔn)確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對(duì)于任意有理數(shù)m，當(dāng)m為何值時(shí)，5?|m?3|有最大值？最大值為多少？
【答案】5
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性得到|m?3|≥0，得到當(dāng)m=3時(shí)，|m?3|最小，代入求解即可；
【詳解】解：由絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，得|m?3|≥0．當(dāng)m=3時(shí)，|m?3|最小，最小值為0，此時(shí)5?|m?3|有最大值，最大值是5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的非負(fù)性應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【題型4 化簡多重符號(hào)】
【例4】（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）化簡下列各數(shù)：
(1)??23=________ ；(2)?+45=________；(3)?{+[?(+3)]}=________．
【答案】 23 ?45 3
【分析】根據(jù)多重符合化簡的法則，化簡結(jié)果的符合由符號(hào)的個(gè)數(shù)決定，確定符號(hào)后可得結(jié)果．
【詳解】解：??23=23，
?+45=?45，
?{+[?(+3)]}=3，
故答案為：23，?45，3．
【點(diǎn)睛】本題考查了化簡多重符號(hào)，多重符號(hào)的化簡是由“?”的個(gè)數(shù)來定，若“?”個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡結(jié)果為正；若“?”個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡結(jié)果為負(fù)．
【變式4-1】（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）下列化簡正確的是（ ）
A．+?6=6B．??8=8
C．??9=?9D．?+?7=?7
【答案】B
【分析】根據(jù)化簡多重符號(hào)的方法逐項(xiàng)判斷即可求解．
【詳解】解：A. +?6=?6，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；
B. ??8=8，原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
C. ??9=9，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；
D. ?+?7=7，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的多重符合化簡，化簡多重符號(hào)就是看數(shù)字前負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)，如果負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)則最終符號(hào)為負(fù)號(hào)，如果負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)則最終符號(hào)為正號(hào)．
【變式4-2】（2023秋·江蘇無錫·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在?+2.5，??2.5，+?2.5，++2.5中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)多重符號(hào)化簡原則逐一進(jìn)行判斷即可得到答案．
【詳解】解：∵?+2.5=?2.5，??2.5=2.25，+?2.5=?2.5，++2.5=2.5，
∴正數(shù)的個(gè)數(shù)是2個(gè)，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了多重符號(hào)化簡，解題關(guān)鍵是掌握多重符號(hào)化簡的原則：若一個(gè)數(shù)前有多重符號(hào)，則看該數(shù)前面的符號(hào)中，符號(hào)“?”的個(gè)數(shù)來決定，即奇數(shù)個(gè)符號(hào)則該數(shù)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)個(gè)符號(hào)，則該數(shù)為正數(shù)．
【變式4-3】（2023·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）化簡下列各式的符號(hào)：
（1）﹣（＋4）；
（2）＋（﹣37）；
（3）﹣[﹣（﹣325）]；
（4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}．
化簡過程中，你有何發(fā)現(xiàn)？化簡結(jié)果的符號(hào)與原式中的“﹣”號(hào)的個(gè)數(shù)與什么關(guān)系嗎？
【答案】（1）-4；（2）?37；（3）?325；（4）π；最后結(jié)果的符號(hào)與﹣的個(gè)數(shù)有著密切聯(lián)系，如果一個(gè)數(shù)是正數(shù)，當(dāng)﹣的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，最后結(jié)果為負(fù)數(shù)，當(dāng)﹣的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，最后結(jié)果為正數(shù)
【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)結(jié)合去括號(hào)的法則化簡各數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)果的符號(hào)與原式中的“-”號(hào)的個(gè)數(shù)的關(guān)系．
【詳解】解：（1）﹣（+4）＝﹣4；
（2）+(?37)=?37；
（3）﹣[﹣（﹣325）]＝﹣325；
（4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}＝π．
最后結(jié)果的符號(hào)與“﹣”的個(gè)數(shù)有著密切聯(lián)系，如果一個(gè)數(shù)是正數(shù)，當(dāng)“﹣”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，最后結(jié)果為負(fù)數(shù)，當(dāng)“﹣”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，最后結(jié)果為正數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的意義，正確發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【題型5 化簡絕對(duì)值】
【例5】（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)統(tǒng)考期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡b+c+a?c=_______．

【答案】a?b?2c
【分析】先由數(shù)軸判斷a，b，c與0的大小關(guān)系，其中a>0,b

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