TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc13464" 【題型1 識(shí)別一元二次方程】 PAGEREF _Tc13464 \h 1
\l "_Tc11370" 【題型2 由一元二次方程的概念求參數(shù)的值】 PAGEREF _Tc11370 \h 3
\l "_Tc5397" 【題型3 由一元二次方程的概念求參數(shù)的取值范圍】 PAGEREF _Tc5397 \h 4
\l "_Tc28000" 【題型4 一元二次方程的一般形式】 PAGEREF _Tc28000 \h 6
\l "_Tc25991" 【題型5 由一元二次方程的解求參數(shù)的值】 PAGEREF _Tc25991 \h 8
\l "_Tc4650" 【題型6 由一元二次方程的解求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc4650 \h 9
\l "_Tc17516" 【題型7 由一元二次方程的解通過降次求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc17516 \h 11
\l "_Tc24277" 【題型8 由一元二次方程的根求另一方程的根】 PAGEREF _Tc24277 \h 13
【知識(shí)點(diǎn)1 一元二次方程的定義】
等號(hào)兩邊都就是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)得最高次數(shù)就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
【題型1 識(shí)別一元二次方程】
【例1】（2023春·山東青島·九年級(jí)?？计谥校┫铝嘘P(guān)于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3(x?9)2?(x+1)2=1；③x+3=1x；④a2+1x2?a=0；其中一元二次方程的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解即可．
【詳解】解：①當(dāng)a=0時(shí)，ax2+bx+c=0不是關(guān)于x的一元二次方程，不符合題意，
②3(x?9)2?(x+1)2=1是關(guān)于x的一元二次方程，符合題意；
③x+3=1x是分式方程，不符合題意；
④∵a2+1≠0，
∴(a2+1)x2?a=0是關(guān)于x的一元二次方程，符合題意；
所以②④是關(guān)于x的一元二次方程，共有2個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0)．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．
【變式1-1】（2023春·廣東茂名·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1=0B．x2+y=1C．x2+2x+1=0D．x2+1x=1
【答案】C
【分析】一元二次方程的概念：只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A中方程的未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，故不是一元二次方程，不符合題意；
B中方程含有兩個(gè)未知數(shù)，故不是一元二次方程，不符合題意；
C中方程是一元二次方程，符合題意；
D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程滿足的條件是解答的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·江蘇徐州·九年級(jí)?？计谀┫铝嘘P(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的為（ ）
A．a(chǎn)x2+bx+c=0B．x2?2=(x+3)2C．x2+3x?5=0D．x2?1=0
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、當(dāng)a=0時(shí)，該方程不是關(guān)于x的一元二次方程，故A不符合題意；
B、方程整理后不含有二次項(xiàng)，該方程不是關(guān)于x的一元二次方程，故B不符合題意；
C、該方程屬于分式方程，不是關(guān)于x的一元二次方程，故C不符合題意；
D、符合一元二次方程的定義，故D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0a≠0．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．
【變式1-3】（2023春·甘肅蘭州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列關(guān)于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②x2+x?1=0；③x2+1x=0；④x2?2x3+3=0；⑤2x2?1=2x+12中，是一元二次方程的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本題根據(jù)一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0．據(jù)此逐項(xiàng)判定即可．
【詳解】解： ax2+3x2+2=0，當(dāng)a=?3，不是一元二次方程，故①不是一元二次方程；
x2+x?1=0滿足一元二次方程的條件，故②是一元二次方程；
x2+1x=0分母含有未知數(shù)是分式方程，故③不是一元二次方程；
x2?2x3+3=0未知數(shù)的最高次數(shù)是3，是一元三次方程，故④不是一元二次方程；
2x2?1=2x+12化簡后為4x+3=0，是一元一次方程，故⑤不是一元二次方程；
所以正確的只有②共1個(gè)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
【題型2 由一元二次方程的概念求參數(shù)的值】
【例2】（2023春·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏市八中?？计谀﹎x|m?2|+3x?7=0是一元二次方程，則m=___________．
【答案】4
【分析】根據(jù)只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高指數(shù)為2的整式方程為一元二次方程，則m?2=2，然后選出合適的值即可．
【詳解】解：mx|m?2|+3x?7=0是一元二次方程，
∴|m?2|=2，m≠0，
∴m=4或0，m≠0，
∴m=4，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，結(jié)合一元二次方程的概念求出參數(shù)值是解題關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程xm+1?3x+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m=______．
【答案】1
【分析】根據(jù)只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵方程xm+1?3x+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴m+1=2，
∴m=1，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．
【變式2-2】（2023春·河南開封·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程k?1x2+2x?3=0是一元二次方程，則k的值可以是______．（寫出一個(gè)即可）
【答案】0（答案不唯一）
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，可得二次項(xiàng)系數(shù)不為0，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程k?1x2+2x?3=0是一元二次方程，
∴k?1≠0
解得：k≠1，
∴k的值可以是0（答案不唯一）．
故答案為：0（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．
【變式2-3】（2023春·四川樂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若m?1xm+1?3x+5=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m=__________．
【答案】?3
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵m?1xm+1?3x+5=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴m?1≠0m+1=2，
∴m=?3，
故答案為：?3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一般地，形如ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的方程叫做一元二次方程．
【題型3 由一元二次方程的概念求參數(shù)的取值范圍】
【例3】（2023春·福建龍巖·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程a?3x2+a?1x=3為一元二次方程，則a的取值范圍是__________．
【答案】a≥1且a≠3．
【分析】直接利用一元二次方程的定義與二次根式有意義條件分析即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程a?3x2+a?1x=3是一元二次方程，
∴a-3≠0，且a-1≥0，
解得：a≥1 且a≠3．
故答案為：a≥1且a≠3．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握一元二次方程的定義與二次根式有意義條件是解題關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·福建莆田·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程kx2?2x+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則k的取值范圍是（ ）
A．k>0B．k≠0C．k≥0D．k為實(shí)數(shù)
【答案】B
【分析】一元二次方程是指未知數(shù)只有一次且未知數(shù)最高次數(shù)為2次的方程，根據(jù)這一點(diǎn)判斷即可．
【詳解】根據(jù)一元二次方程的定義
未知數(shù)最高次數(shù)為2次
故x2這一項(xiàng)必須存在
故k≠0
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，理解這個(gè)定義是關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·廣東深圳·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程（a2＋1）x2＋2ax﹣6＝0是一元二次方程，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)≠±1B．a(chǎn)≠0
C．a(chǎn) 為任何實(shí)數(shù)D．不存在
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程的定義分析得出答案．一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，a2+1不可能為0，
∴a 為任何實(shí)數(shù)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，理解一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·河南漯河·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的方程ax2=x+1x?1是一元二次方程，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)≠0B．a(chǎn)≠1C．a(chǎn)≠?1D．a(chǎn)≠±1
【答案】B
【分析】由ax2=x+1x?1，得到a?1x2+1=0，根據(jù)方程的定義，即可得到結(jié)果
【詳解】∵關(guān)于x的方程ax2=x+1x?1是一元二次方程，
∴a?1x2+1=0，
∴a?1≠0，
解得：a≠1，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，熟練掌握方程的概念是解決問題的關(guān)鍵
【知識(shí)點(diǎn)2 一元二次方程的一般形式】
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次項(xiàng)，a就是二次項(xiàng)系數(shù)；bx就是一次項(xiàng)，b就是一次項(xiàng)系數(shù)；c就是常數(shù)項(xiàng)。
【題型4 一元二次方程的一般形式】
【例4】（2023春·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次項(xiàng)系數(shù)是4，一次項(xiàng)系數(shù)是?7，常數(shù)項(xiàng)是2的方程是（ ）
A．4x2+2=7xB．4x2?2=7xC．4x2+7x=2D．?4x2?7x=2
【答案】A
【分析】把每個(gè)選項(xiàng)的方程化為一元二次方程的一般式即可得到答案．
【詳解】解：A、4x2+2=7x化為一般式為4x2?7x+2=0，二次項(xiàng)系數(shù)是4，一次項(xiàng)系數(shù)是-7，常數(shù)項(xiàng)是2，符合題意；
B、4x2?2=7x化為一般式為4x2?7x?2=0，二次項(xiàng)系數(shù)是4，一次項(xiàng)系數(shù)是-7，常數(shù)項(xiàng)是-2，不符合題意；
C、4x2+7x=2化為一般式為4x2+7x?2=0，二次項(xiàng)系數(shù)是4，一次項(xiàng)系數(shù)是7，常數(shù)項(xiàng)是-2，不符合題意；
D、?4x2?7x=2化為一般式為4x2+7x+2=0，二次項(xiàng)系數(shù)是4，一次項(xiàng)系數(shù)是7，常數(shù)項(xiàng)是2，不符合題意；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常項(xiàng)數(shù)，正確把一元二次方程化為一般形式是解題的關(guān)鍵：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0中，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng)．
【變式4-1】（2023春·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程x2+2x=1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和等于______．
【答案】2
【分析】先化為一般形式，繼而即可求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
【詳解】解：x2+2x=1的一般形式為x2+2x?1=0，
∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別為1,2,?1
∴1+2?1=2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·云南楚雄·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程2x2+x=3化成一般形式后，二次項(xiàng)的系數(shù)是2，常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A．2B．1C．3D．?3
【答案】D
【分析】把原方程移項(xiàng)化為一般形式，根據(jù)一元二次方程的定義解答即可．
【詳解】解：2x2+x=3，
移項(xiàng)得，2x2+x?3=0，
則二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為：2、?3，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·湖南株洲·九年級(jí)校考期中）若關(guān)于x一元二次方程(2a?4)x2+(3a+9)x+a?8=0不含一次項(xiàng)，則a=______．
【答案】?3
【分析】根據(jù)一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)為0和二次項(xiàng)系數(shù)不為0，列出方程和不等式求解即可．
【詳解】解：由題意得：2a?4≠03a+9=0，
解得a=?3，
故答案為：?3．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和有關(guān)概念，準(zhǔn)確理解題意是解題關(guān)鍵．
【知識(shí)點(diǎn)2 一元二次方程的解】
使一元二次方程左右兩邊相等得未知數(shù)得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定義就是解方程過程中驗(yàn)根得依據(jù)。
【題型5 由一元二次方程的解求參數(shù)的值】
【例5】（2023春·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程2x2?3x?a2+1=0的一個(gè)根為2，則a的值為__________．
【答案】±3
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值；即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．
【詳解】解：把x=2代入方程2x2?3x?a2+1=0，
得8?6?a2+1=0，
解得a=±3．
故答案為：±3．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
【變式5-1】（2023春·廣東惠州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程4x2?7x+m=0的一個(gè)根是2，則m的值是______．
【答案】?2
【分析】由題意知，4×22?7×2+m=0，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，4×22?7×2+m=0，解得m=?2，
故答案為：?2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根，解一元一次方程．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．
【變式5-2】（2023春·吉林四平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x?3=0的一個(gè)根是1，則k的值是（ ）
A．1B．2C．3D．無法確定
【答案】A
【分析】把x=1代入方程可得到關(guān)于k的方程，然后求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x?3=0的一個(gè)根為1，
∴k×12+2×1?3=0，解得：k=1．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，正確理解一元二次方程的解是使得一元二次方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校校考開學(xué)考試）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?22x+m?1=0，若方程有一個(gè)根是x=2+1，則m為______．
【答案】2
【分析】將x=2+1代入方程，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?22x+m?1=0有一個(gè)根是x=2+1，
∴2+12?22×2+1+m?1=0，
解得：m=2；
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解．熟練掌握方程的解是使等式成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．
【題型6 由一元二次方程的解求代數(shù)式的值】
【例6】（2023春·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一個(gè)根是x=?1，則2020?a+b的值是( )
A．2018B．2020C．2022D．2024
【答案】C
【分析】直接把x=?1代入方程ax2+bx+2=0中得到b?a=2，再把b?a=2整體代入所求式子中進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一個(gè)根是x=?1，
∴a?b+2=0，
∴a?b=?2，即b?a=2，
∴2020?a+b=2020+b?a=2020+2=2022，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·山西朔州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知t為一元二次方程x2?1011x+2023=0的一個(gè)解，則2t2?2022t值為（ ）
A．?2023B．?2022C．?4046D．?4044
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義可得t2?1011t+2023=0，求出t2?1011t=?2023，進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：∵t為一元二次方程x2?1011x+2023=0的一個(gè)解，
∴t2?1011t+2023=0，
∴t2?1011t=?2023，
∴2t2?2022t=?4046，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，熟知方程的解即為能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知a是方程2x2?3x?7=0的一個(gè)根，求代數(shù)式a+1a?1+3aa?2的值．
【答案】13
【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到2a2?3a=7，再把所求式子化簡為22a2?3a?1，由此求解即可．
【詳解】解：∵a是方程2x2?3x?7=0的一個(gè)根，
∴2a2?3a?7=0，
∴2a2?3a=7，
∴a+1a?1+3aa?2
=a2?1+3a2?6a
=4a2?6a?1
=22a2?3a?1
=2×7?1
=13．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化簡求值，一元二次方程解的定義，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023春·黑龍江雞西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）設(shè)α，β是方程x2+2022x?2=0的兩個(gè)根，則α2+2022α?1β2+2022β+2=__________．
【答案】4
【分析】首先根據(jù)題意得到α2+2022α=2，β2+2022β=2，然后代入求解即可．
【詳解】∵α，β是方程x2+2022x?2=0的兩個(gè)根，
∴α2+2022α?2=0，β2+2022β?2=0
∴α2+2022α=2，β2+2022β=2，
∴α2+2022α?1β2+2022β+2=2?1×2+2=4
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程解的意義，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程解的意義．
【題型7 由一元二次方程的解通過降次求代數(shù)式的值】
【例7】（2023春·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知m是方程x2+x?1=0的根，則m3+2m2+2023的值為______．
【答案】2024
【分析】由m是方程的根，可得m2+m=1，變形m3+2m2+2023為m3+m2+m2+2023，然后整體代入得結(jié)果．
【詳解】解：∵m是方程x2+x?1=0的根，
∴m2+m=1，
∴m3+2m2+2023
=m3+m2+m2+2023
=mm2+m+m2+2023
=m+m2+2023
=1+2023
=2024．
故答案為：2024．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義及整體代入的思想，解決本題的關(guān)鍵是利用根的定義得關(guān)于m的等式，變形m3+2m2+2023后整體代入．
【變式7-1】（2023春·湖南永州·九年級(jí)?？计谀┤鬽(m≠0)是方程x2?x?1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式m?1m的值為（ ）
A．1B．12C．25D．不能確定
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得出m2=m+1，再把代數(shù)式m?1m變形為m?1m=m2?1m，然后代入即可
【詳解】解：∵m(m≠0)是方程x2?x?1=0的一個(gè)根，
∴m2?m?1=0
∴m2=m+1
∴m?1m=m2?1m=m+1?1m=1
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義和分式的化簡求值，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題的關(guān)鍵
【變式7-2】（2023春·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a為方程x2+3x?2023=0的根，那么a3+2a2?2026a+2023的值為_________．
【答案】0
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2+3a?2023=0，然后對(duì)原式進(jìn)行化簡，再將a2+3a?2023=0整體代入即可．
【詳解】解：∵x2+3x?2023=0，
∴a2+3a?2023=0，
∵a3+2a2?2026a+2023
=aa2+2a?2026+2023
=aa2+3a?2023?a?3+2023，
=aa2+3a?2023?a2?3a+2023
=aa2+3a?2023?a2+3a?2023
將a2+3a?2023=0代入，則
原式=a×0?0
=0，
故答案為：0．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，也考查了代數(shù)式的變形，利用整體代入法的思想是解答本題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023春·湖南岳陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a是方程x2?2021x+1=0的一個(gè)根，則a3?2021a2?2021a2+1=____．
【答案】?2021
【分析】由方程根的定義可得a2?2021a+1=0，變形為a2+1=2021a．再將a2?2021a+1=0等號(hào)兩邊同時(shí)乘a并變形得a3?2021a2=?a，代入a3?2021a2?2021a2+1逐步化簡即可．
【詳解】∵a是方程x2?2021x+1=0的一個(gè)根．
∴a2?2021a+1=0，即a2+1=2021a．
將a2?2021a+1=0等號(hào)兩邊同時(shí)乘a得：
a(a2?2021a+1)=0，即a3?2021a2=?a．
∴a3?2021a2?2021a2+1=?a?20212021a=?a?1a=?a2+1a=?2021aa=?2021．
故答案為：-2021．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程解的定義以及代數(shù)式求值．熟練掌握整體代入的思想是解答本題的關(guān)鍵．
【題型8 由一元二次方程的根求另一方程的根】
【例8】（2023春·新疆·九年級(jí)新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2bx?2=0的一個(gè)根是x=2021，則一元二次方程a2x+22+bx+2b=1必有一根為（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2019
【答案】D
【分析】先合并帶b的式子，再左右兩邊乘以2后利用整體思想解題即可．
【詳解】解：原式化簡為：a2x+22+bx+2?1=0，則有ax+22+2bx+2?2=0，
∵一元二次方程ax2+2bx?2=0的一個(gè)根是x=2021，
∴x+2=2021，解得x=2019，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根，能夠利用整體思想是解題關(guān)鍵．
【變式8-1】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根為2022，則方程ax+12+bx+1=?5必有根為（ ）
A．2022B．2020C．2019D．2021
【答案】D
【分析】設(shè)t=x+1，即ax+12+bx+1=?5可改寫為at2+bt+5=0，由題意關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根為x=2022，即at2+bt+5=0有一個(gè)根為t=2022，所以x+1=2022，x=2021．
【詳解】由ax+12+bx+1=?5得到ax+12+bx+1+5=0，
對(duì)于一元二次方程ax+12+bx+1=?5，
設(shè)t=x+1，
所以at2+bt+5=0，
而關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根為x=2022，
所以at2+bt+5=0有一個(gè)根為t=2022，
則x+1=2022，
解得x=2021，
所以一元二次方程ax+12+bx+1=?5有一根為x=2021．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解．掌握換元法解題是解答本題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023春·江蘇南京·九年級(jí)南京外國語學(xué)校仙林分校?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的方程x+m2=n的解是x1=?2，x2=1（m、n為常數(shù)），則方程x+m+32=n的解是_____．
【答案】x1=?5,x2=?2
【分析】把后面一個(gè)方程中的x+3看作整體，相當(dāng)于前面一個(gè)方程中的x求解．
【詳解】解：∵x+m+32=n，
∴x+3+m2=n，
∵方程x+m2=n的解是x1=?2，x2=1（m、n為常數(shù)），
∴方程x+3+m2=n的解是x1+3=?2,x2+3=1，
∴x1=?5,x2=?2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了方程解的定義．注意由兩個(gè)方程的特點(diǎn)進(jìn)行簡便計(jì)算．
【變式8-3】（2023春·江蘇連云港·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均為常數(shù)，a≠0），則關(guān)于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是__________
【答案】x1=3，x2=-8
【分析】將方程a（x+m+2）2+b=0變形為a（x+2+m）2+b=0，對(duì)照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6，解之可得答案．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，
∴關(guān)于x的方程a（x+m+2）2+b=0，即a[（x+ 2）+ m]2+b=0，
∴a[（x+ 2）+ m]2+b=0滿足x+2=5或x+2=-6，
解得x1=3，x2=-8，
故答案為：x1=3，x2=-8
【點(diǎn)睛】此題主要考查了方程解的定義以及直接開方法求解，注意由兩個(gè)方程的特點(diǎn)，運(yùn)用整體思想進(jìn)行簡便計(jì)算．

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