TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30447" 【題型1 識別二次函數】 PAGEREF _Tc30447 \h 1
\l "_Tc17101" 【題型2 由二次函數的定義求參數的值】 PAGEREF _Tc17101 \h 3
\l "_Tc30982" 【題型3 由二次函數的定義求參數的取值范圍】 PAGEREF _Tc30982 \h 4
\l "_Tc20050" 【題型4 二次函數的一般形式】 PAGEREF _Tc20050 \h 6
\l "_Tc22070" 【題型5 判斷二次函數的關系式】 PAGEREF _Tc22070 \h 7
\l "_Tc6180" 【題型6 列二次函數關系式（銷售問題）】 PAGEREF _Tc6180 \h 10
\l "_Tc12988" 【題型7 列二次函數關系式（幾何圖形問題）】 PAGEREF _Tc12988 \h 11
\l "_Tc14907" 【題型8 列二次函數關系式（增長率、循環(huán)問題）】 PAGEREF _Tc14907 \h 14
【知識點1 二次函數的概念】
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）也叫做二
次函數的一般形式．
【題型1 識別二次函數】
【例1】（2023春·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）下列函數中，是二次函數的是（ ）
A．y=3x?1B．y=x3+2C．y=x?22?x2D．y=x4?x
【答案】D
【分析】根據二次函數的定義對各選項進行逐一分析即可，注意C、D兩項化簡完后再判斷．
【詳解】解：A、y=3x?1是一次函數，不符合題意；
B、y=x3+2中，x的次數是3，不是二次函數，不符合題意；
C、y=x?22?x2可化為y=?4x+4是一次函數，不符合題意；
D、y=x4?x可化為y=4x?x2，是二次函數，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查的是二次函數的定義，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數，熟練掌握其定義是解決此題的關鍵．
【變式1-1】（2023·內蒙古錫林郭勒盟·?？寄M預測）下列函數中，不是二次函數的是（ ）
A．y=x(x?1)B．y=2x2?1C．y=?x2D．y=(x+5)2?x2
【答案】D
【分析】二次函數要求化簡后有二次項，根據二次函數的定義回答即可．
【詳解】A、函數化簡為y=x2?x，是二次函數，本選項不符合題意；
B、是二次函數，本選項不符合題意；
C、是二次函數，本選項不符合題意；
D、函數化簡為y=10x+25，沒有二次項，不是二次函數，本選項符合題意．
故選D．
【點睛】本題考查二次函數的定義，掌握二次函數的定義是解題的關鍵．
【變式1-2】（2023春·浙江嘉興·九年級?？计谥校┯邢铝泻瘮担?br>①y=5x-4；②y=23x2?6x；③y=2x3-8x2+3；④y=38 x2?1；⑤y=3x2?1x?2；
其中屬于二次函數的是 ___________（填序號）．
【答案】②④
【分析】根據二次函數的定義判斷即可．
【詳解】解：②y=23x2?6x；④y=38 x2﹣1符合二次函數的定義，屬于二次函數；
①y=5x﹣4是一次函數，不屬于二次函數；
③y=2x3﹣8x2+3自變量的最高次數是3，不屬于二次函數；
⑤y=3x2?1x?2的右邊不是整式，不屬于二次函數．
綜上所述，其中屬于二次函數的是②④．
故答案為：②④．
【點睛】此題主要考查了二次函數的定義，判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件．
【變式1-3】（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）下列函數中，是二次函數的有（ ）
①y=1?2x2，②y=1x2，③y=3x1?3x，④y=(1?2x)(1+2x)
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】根據二次函數的定義：形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數且a≠0），逐一判斷即可．
【詳解】解：①y=1?2x2，是二次函數；
②y=1x2，不符合二次函數的定義，不是二次函數；
③y=3x1?3x，整理后是二次函數；
④y=(1?2x)(1+2x)，整理后是二次函數；
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵．
【題型2 由二次函數的定義求參數的值】
【例2】（2023春·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）已知函數y=(m+1)x|m|+1+4x?5是關于x 的二次函數，則一次函數y=mx?m的圖像不經過第_______象限．
【答案】二
【分析】先根據二次函數的定義得到m+1=2，m+1≠0，解得m=1，然后根據一次函數的性質進行判斷．
【詳解】∵函數y=(m+1)x|m|+1+4x?5是關于x 的二次函數，
∴m+1=2且m+1≠0，
解得：m=1，
∴一次函數y=mx?m的圖像經過第一、三、四象限，不經過第二象限，
故答案為：二
【點睛】本題考查了二次函數的定義以及一次函數的性質，求得m=1是解題的關鍵．
【變式2-1】（2023春·吉林長春·九年級校聯(lián)考期末）若函數y=m?2x2+5x+6是二次函數，則有（ ）
A．m≠0B．m≠2C．x≠0D．x≠2
【答案】B
【分析】直接根據二次函數的定義解答即可．
【詳解】解：由題意得，m?2≠0，
解得m≠2．
故選：B．
【點睛】本題考查的是二次函數的定義，熟知一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數是解題的關鍵．
【變式2-2】（2023春·北京西城·九年級北京十四中?？计谥校┮阎瘮祔=mxm2?2m+2+m?2，若它是二次函數，則函數解析式為___________．
【答案】y=2x2
【分析】由函數y=mxm2?2m+2+m?2是二次函數，可得m2?2m+2=2且m≠0，從而可得答案．
【詳解】解：∵函數y=mxm2?2m+2+m?2是二次函數，
∴m2?2m+2=2且m≠0，
當m2?2m+2=2時，
解得：m1=0，m2=2，
綜上：m=2，
∴函數解析式為y=2x2，
故答案為：y=2x2．
【點睛】本題考查的是二次函數的定義，一元二次方程的解法，掌握“二次函數的定義”是解本題的關鍵．
【變式2-3】（2023春·山東濟南·九年級期末）若函數y=mxm2+m+2+4是二次函數，則m的值為（ ）
A．0或?1B．0或1C．?1D．1
【答案】C
【分析】利用二次函數定義可得m2+m+2=2，且m≠0，再解即可．
【詳解】解：由題意得：m2+m+2=2，且m≠0，
解得：m=?1或m=0且m≠0，
故m=?1，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數的定義，一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數，其中a稱為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項．
【題型3 由二次函數的定義求參數的取值范圍】
【例3】（2023春·四川遂寧·九年級校考期中）已知函數y=(m2?2)x2+(m+2)x+8．若這個函數是二次函數，求m的取值范圍__________________
【答案】m≠2且m≠?2
【分析】根據二次函數的定義，即可得不等式m2?2≠0，解不等式即可求得．
【詳解】解：∵函數y=(m2?2)x2+(m+2)x+8是二次函數，
∴m2?2≠0，
解得m≠±2，
故答案為：m≠2且m≠?2．
【點睛】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握和運用二次函數的定義是解決本題的關鍵．
【變式3-1】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）若函數y=m+1x2+2x+1是二次函數，則常數m的取值范圍是（ ）
A．m=?1B．m>?1C．m0，兩年后這臺機器的價格為y萬元，則y與x之間的函數關系式為_____．
【答案】y=501?x2
【分析】根據題意列出函數解析式即可．
【詳解】解：∵一臺機器原價為50萬元，每年的折舊率是xx>0，兩年后這臺機器的價格為y萬元，
∴y與x之間的函數關系式為y=501?x2．
故答案為：y=501?x2．
【點睛】本題主要考查了列二次函數關系式，解題的關鍵是理解題意，掌握兩年后價格=原價×1?x2．
【變式8-1】（2023春·九年級單元測試）有一個人患流感，經過兩輪傳染后共有y人患了流感，每輪傳染中，平均一個人傳染了x人，則y與x之間的函數關系式為___ .
【答案】y=x2+2x+1
【詳解】試題解析：第一輪流感后的人數為1+x,
第二輪流感后的人數為1+x+x(x+1)=x2+2x+1.
∴y=x2+2x+1.
y與x之間的函數關系式為:y=x2+2x+1.
故答案為y=x2+2x+1.
【變式8-2】（2023春·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期中）已知有n個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的場次數為m，則m關于n的函數解析式為________．
【答案】m=12n2?12n
【分析】根據n個球隊都要與除自己之外的n?1球隊個打一場，因此要打nn?1場，然而有重復一半的場次，即可求出函數關系式．
【詳解】解：根據題意，得m=n(n?1)2=12n2?12n，
故答案為： m=12n2?12n．
【點睛】本題考查了函數關系式，理解題意是解題的關鍵．
【變式8-3】（2023春·九年級課時練習）某工廠2015年產品的產量為100噸，該產品產量的年平均增長率為x（x＞0），設2015，2016，2017這三年該產品的總產量為y噸，則y關于x的函數關系式為（ ）
A．y＝100（1﹣x）2
B．y＝100（1+x）
C．y＝100(1+x)2
D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2
【答案】D
【分析】直接表示出2016年，2017年的產量進而得出y關于x的函數關系式．
【詳解】解：設2015，2016，2017這三年該產品的總產量為y噸，則y關于x的函數關系式為：y＝100+100（1+x）+100（1+x）2．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了根據實際問題列二次函數解析式，正確表示出2017年的產量是解題關鍵．

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