考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對勾股定理與最短路徑問題的七大類型的理解！
【類型1 平面圖形上的“捷徑”問題】
1．（2023春·安徽合肥·八年級期末）課間休息時(shí)，嘉嘉從教室窗戶向外看，看到行人為了從A處快速到達(dá)圖書館B處，直接從長方形草地中穿過．為保護(hù)草地，嘉嘉想在A處立一個標(biāo)牌：“少走■米，踏之何忍？”如圖，若AB＝17米，BC＝8米，則標(biāo)牌上“■”處的數(shù)字是（ ）
A．6B．8C．10D．11
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出AC，即可得出答案．
【詳解】在RtΔABC中，由勾股定理得，
AC=AB2?BC2=172?82=15（米)，
∴AC+BC?AB=15+8?17=6（米)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草．．

【答案】4
【分析】先根據(jù)勾股定理求出斜邊的長，與直角邊進(jìn)行比較即可求得結(jié)果．
【詳解】解：依據(jù)題意可得：∠C=90°，AC=3m，BC=4m，
∴AB=AC2+BC2=32+42=5m，
∴少走了3+4?5=2m，
∵2步為1米，
∴2×2=4，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，會用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·八年級單元測試）如圖，有兩條互相垂直的街道a和b ，a路上有一小商店A,b路上有一批發(fā)部B ．小商店主人每次進(jìn)貨都沿著 A—O—B路線到達(dá) B處，然后原路返回．已A,B兩處距十字 路口 O的距離分別為 600 米、800 米，如果小商店主人重新選一條最近的路線，那么往返一趟最多可比原來少走 米．
【答案】800
【分析】連接AB，由勾股定理解得AB=1000，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知最近的路線是從A直接到B，往返一趟需要走2000米，再求出原來走的路線往返一趟需要走2800米，據(jù)此求出差即可解答．
【詳解】解：連接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB=OA2+OB2=6002+8002=1000，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知最近的路線是從A直接到B，往返一趟需要走1000×2=2000米，
原來走的路線往返一趟需要走2×（600+800）=2800米，
最近路線比原來路線少走2800-2000=800米，
故答案為：800．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出AB的長是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·廣東深圳·八年級深圳市高級中學(xué)?？计谀┠承^(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角建造了一塊綠化地（陰影部分）．如圖，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m．技術(shù)人員通過測量確定了∠ABC=90°．

(1)小區(qū)內(nèi)部分居民每天必須從點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)B再到點(diǎn)C位置，為了方便居民出入，技術(shù)人員打算在綠地中開辟一條從點(diǎn)A直通點(diǎn)C的小路，請問如果方案落實(shí)施工完成，居民從點(diǎn)A到點(diǎn)C將少走多少路程？
(2)這片綠地的面積是多少？
【答案】(1)6m
(2)114m2
【分析】（1）連接AC，利用勾股定理求出AC=AB2+BC2=92+122=15m，問題隨之得解；
（2）先利用勾股定理逆定理證明△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）如圖，連接AC，

∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，
∴AC=AB2+BC2=92+122=15m，
∴AB+BC?AC=9+12?15=6（m），
答：居民從點(diǎn)A到點(diǎn)C將少走6m路程．
（2）∵CD=17m，AD=8m．AC=15m，
∴AD2+AC2=DC2，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，
∴S△DAC=12AD?AC=12×8×15=60（m2）， S△ACB=12AB?AC=12×9×12=54（m2），
∴S四邊形ABCD=60+54=114（m2），
答：這片綠地的面積是114m2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖，某學(xué)校進(jìn)大門是一直角通道（A→B→C），為方便學(xué)生進(jìn)入教學(xué)樓，學(xué)校打開了操場綠色通道（A→C）進(jìn)行分流，學(xué)生可以走“捷徑AC”直接到達(dá)教學(xué)樓，若AB＝80米，BC＝60米，則走“捷徑AC”可以少走多少米？
【答案】走“捷徑AC”可以少走40米．
【分析】根據(jù)勾股定理求出AC即可解決問題．
【詳解】解：在Rt△ABC中，
∵AB=80米，BC=60米，
∴AC=AB2+BC2=802+602=100（米)，
AB+BC?AC=60+80?100=40（米)，
答：走“捷徑AC”可以少走40米．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意求出AC的長．
【類型2 平面圖形上的“飲水”問題】
1．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB2=120．試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時(shí)AM+NB＝（ ）
A．6 B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足AM+NB的值最小即可．過A作直線a的垂線，并在此垂線上取點(diǎn)A′，使得AA′＝4，連接A′B，與直線b交于點(diǎn)N，過N作直線a的垂線，交直線a于點(diǎn)M，連接AM，過點(diǎn)B作BE⊥AA′，交射線AA′于點(diǎn)E，則A'B為所求，最后利用勾股定理可求得其值．
【詳解】解：如圖，過A作直線a的垂線，并在此垂線上取點(diǎn)A′，使得AA′＝4，連接A′B，與直線b交于點(diǎn)N，過N作直線a的垂線，交直線a于點(diǎn)M，連接AM，過點(diǎn)B作BE⊥AA′，交射線AA′于點(diǎn)E，
∵AA′⊥a，MN⊥a，
∴AA′∥MN．
又∵AA′＝MN＝4，
∴四邊形AA′NM是平行四邊形，
∴AM＝A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定為4，所以AM+NB最?。?br>由兩點(diǎn)之間線段最短，可知AM+NB的最小值為A′B．
∵AE＝2+3+4＝9，AB2=120，
∴BE2=AB2?AE2=39．
∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，
∴A′B=A′E2+BE2=8．
所以AM+NB的最小值為8．
故答案為：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、平行線之間的距離，平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離最短等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)M、點(diǎn)N的位置是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2023春·河南許昌·八年級校考期末）如圖，一個牧童在小河正南方向4km的A處牧馬，若牧童從A點(diǎn)向南繼續(xù)前行7km到達(dá)點(diǎn)C．則此時(shí)牧童的家位于C點(diǎn)正東方向8km的B處．牧童打算先把在A點(diǎn)吃草的馬牽到小河邊飲水后再回家，請問他應(yīng)該如何選擇行走路徑才能使所走的路程最短？最短路程是多少？請先在圖上作出最短路徑，再進(jìn)行計(jì)算．
【答案】畫圖見詳解，牧童選擇如圖所示的AF+FB的回家路線時(shí)，所走的路程最短，最短路程為17km．
【分析】作圖：先取A點(diǎn)關(guān)于河岸l的對稱點(diǎn)D，連接BD交直線l于點(diǎn)F，連接AF，即最短路徑為：BD．根據(jù)題意可知：牧童的行走路線為AF+BF，根據(jù)A點(diǎn)關(guān)于河岸l的對稱點(diǎn)為D，可得AF+BF=DF+BF，即根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)D、F、B三點(diǎn)共線時(shí)，路徑最短，且最短路徑為BD，根據(jù)題意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD．
【詳解】作圖：先取A點(diǎn)關(guān)于河岸l的對稱點(diǎn)D，連接BD交直線l于點(diǎn)F，連接AF，即最短路徑為：BD，如圖：
∵牧童先由A點(diǎn)去河邊，再從河邊直接返回家中，
∴牧童的行走路線為AF+BF，
∵A點(diǎn)關(guān)于河岸l的對稱點(diǎn)為D，
∴AF=DF，
∴AF+BF=DF+BF，
即根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)D、F、B三點(diǎn)共線時(shí)，路徑最短，且最短路徑為BD，
∵A點(diǎn)距離河岸l為4km，
∴AD=4×2=8（km），
∵AC=7km，
∴DC=AD+AC=8+7=15（km），
根據(jù)題意可知∠C=90°，BC=8km，
∴△BCD是直角三角形，
∴BD=DC2+BC2=152+82=17，
答：牧童選擇如圖所示的AF+FB的回家路線時(shí)，所走的路程最短，最短路程為17km．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確作出圖形，找到最短回家路線是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，兩個村莊A、B在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米.現(xiàn)要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送自來水（水管需直接到A、B村）.
(1)水廠應(yīng)修建在什么地方，可使所用的水管最短（請你在圖中設(shè)計(jì)出水廠的位置）：
(2)如果鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元，為使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請求出最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為多少元？
【答案】(1)見解析
(2)100000元
【分析】（1）屬于“將軍飲馬”類型的題目，作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)E，連接BE，與CD的交點(diǎn)的位置就是修建水廠的位置
（2）先作出直角三角形，再利用勾股定理即可
【詳解】（1）如圖，作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)E，連接BE，交CD于點(diǎn)P，點(diǎn)P的位置就是修建水廠的位置
（2）如圖，過點(diǎn)E，作BD的垂線EF，交BD的延長線于點(diǎn)F
AP+PB=FP+PB=FB=EF2+BF2=32+42=5
20000×5=100000元
答：最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為100000元
【點(diǎn)睛】本題考查“將軍飲馬”類型題的作圖，以及勾股定理，準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵
4．（2023春·江蘇南京·八年級南京第五初中?？茧A段練習(xí)）“數(shù)學(xué)建模”：
(1)模型——小馬喝水問題：直線MN表示一條河流的岸，在河流同側(cè)有A、B兩地，小馬從A地出發(fā)到B地，中間要在河邊飲水一次，請?jiān)趫D①中用三角板作出使小馬行走最短路程的飲水點(diǎn)P的位置．（保留作圖痕跡）
(2)運(yùn)用——和最小問題：如圖②，長方形ABCD，E是BC的中點(diǎn)，AB=4，BC=43，P是對角線BD上的一個動點(diǎn)，求PC＋PE的最小值．
【答案】(1)見解析
(2)PE+PC的最小值為6．
【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′．連接A′B交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)；
（2）作E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)E′，連接CE′，則PE+PC的最小值即為CE′的長；由已知可求△ EBE′是等邊三角形；過點(diǎn)E′作E′G⊥BC，再利用含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求點(diǎn)；
；
（2）解：作E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)E′，連接CE′，
則BE'=BE，∠EBD=∠E'BD，
則PE+PC的最小值即為CE′的長；
∵AB=CD=4，BC=43，
∴BD=42+(43)2=8，
∴BD=2CD，E為BC的中點(diǎn)，
∴∠DBC=30°，
∴∠EBE′=60°，
∴△ EBE′是等邊三角形，且EB=BE′=EE′=23，
過點(diǎn)E′作E′G⊥BC，
∴BG=GE=3，
在Rt△ E′BG中，E′G=(23)2?(3)2=3，
在Rt△ CE′G中，CG=43-3=33，
∴CE′=(33)2+32=6；
∴PE+PC的最小值為6．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，軸對稱求最短距離，含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理；通過軸對稱將PE+PC轉(zhuǎn)化為線段CE'的長是解（2）題的關(guān)鍵．
5．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC、BD，已知AC=200米，BD=600米，且CD=600米．
(1)牧童從A處放牛牽到河邊飲水后再回家，試問在何處飲水，所走路程最短？
(2)所走最短路程是多少？
【答案】(1)見解析；
(2)1000米．
【分析】（1）根據(jù)題意作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A1，連接A1B交CD于點(diǎn)E，所以在點(diǎn)E所在的位置飲水，所走的路程最短
（2）最短路程可構(gòu)建直角三角形求得
【詳解】（1）如圖所示：作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A1，連接A1B交CD于點(diǎn)E，
∴牧童從A處放牛牽到河邊飲水后再回家，在點(diǎn)E處飲水，所走路程最短，最短路程是AE+BE=A1E+BE=A1B
在CD上任取一點(diǎn)F（不與點(diǎn)E重合），連接AE，AF，A1F，BF，
如果在點(diǎn)F處飲水，則走的路程為AF+BF=A1F+BF
下面證明在點(diǎn)E處飲水，所走路程最短
∵AE=A1E，AF=A1F
∴AE+BE=A1E+BE=A1B，AF+BF=A1F+BF
在△A1BF中，A1F+BF>A1B，
∴在點(diǎn)E所在的位置飲水，所走的路程最短
（2）如圖：過點(diǎn)D作BD的延長線DA2，使得DA2=CA1=200米，則△A1BA2是直角三角形，
∵A1A2=CD=600，BA2=BD+DA2=600+200=800
∴AE+BE=A1B=A1A22+BA22=6002+8002=1000
∴所走最短路程是1000米
【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問題，這類問題的解答依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段最短，可以利用對稱性的特點(diǎn)，通過等線代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離
6．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）在進(jìn)行13.4《最短路徑問題》的學(xué)習(xí)時(shí)，同學(xué)們從一句唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐?李頎《古從軍行》出發(fā)，一起研究了蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題．同學(xué)們先研究了最特殊的情況，再利用所學(xué)的軸對稱知識，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，找到了問題的答案，并進(jìn)行了證明．下列圖形分別說明了以上研究過程．
證明過程如下：如圖4，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連結(jié)AC′,BC′,B′C′，
∵點(diǎn)B，B′關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)C，C′在l上，
∴CB=_________，C′B= _________，∴AC+CB=AC+CB′=_________．
在△AC′B′中，∵AB′l2，最短路徑的長是l2=74．
故選A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了長方體展開圖的對角線長度求法，這種題型經(jīng)常在中考中出現(xiàn)，也是易錯題型，希望能引起同學(xué)們的注意．
4．（2023春·全國·八年級期末）如圖是一個長方體盒子，其長、寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)A，B處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長度為（ ）
A．12B．15C．18D．21
【答案】B
【分析】把長方體沿AB邊剪開，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】如圖所示，連接AB′，則AB′即為所求的最短長度，
AA′=4+2+4+2=12，AB=A′B′=9
在Rt△AA′B′中，AB′=AA′2+A′B′2=122+92=15
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，把長方體沿AB邊剪開得到矩形AA′B′B是解題的關(guān)鍵．
5．（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示的長方體，AB=BC=2，BD=1，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體表面爬到點(diǎn)F，則螞蟻爬行的最短距離為 ．
【答案】22
【分析】按照不同的展開圖計(jì)算，比較確定答案即可．
【詳解】如圖，得到如下展開圖：
取GH的中點(diǎn)M，連接FM，
則四邊形GDFM是矩形，
此時(shí)，AG=GM=1,FM=GD=AB=2
所以AF=AM2+FM2=22+22=22；
取BC的中點(diǎn)N，連接FN，
則四邊形BDFN是矩形，
此時(shí)，AG=FN=1,AN=2+1=3
所以AF=AN2+FN2=12+32=10；
因?yàn)?0＞8=22，
所以最短距離為22．
故答案為：22．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體展開圖上的最短距離計(jì)算，正確把握展開圖是解題的關(guān)鍵．
6．（2015秋·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一個長、寬、高分別為5dm、4dm、3dm的無蓋長方體木箱(如圖,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求線段BG的長；
(2) 現(xiàn)在箱外的點(diǎn)A處有一只蜘蛛，箱內(nèi)的點(diǎn)C處有一只小蟲正在午睡，保持不動．請你為蜘蛛設(shè)計(jì)一種捕蟲方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小蟲．(木板的厚度忽略不計(jì))
【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案見解析過程．
【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理可得出BG的長；
（2）將正方體展開，聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間，線段最短”性質(zhì)，通過對稱、考查特殊點(diǎn)等方法，化曲為直．
【詳解】解：（1）如圖，連接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝42+32＝5（dm），
即線段BG的長度為5dm；

（2）①把ADEH展開，如圖此時(shí)總路程為(3+3+5)2+42＝137
②把ABEF展開，如圖
此時(shí)的總路程為(3+3+4)2+52＝125＝55
③如圖所示，把BCFGF展開，
此時(shí)的總路程為(3+3)2+(5+4)2＝117
由于117＜125

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2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：勾股定理與最短路徑問題

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