參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）（2023春·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．古希臘哲學家柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17…若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦（結果用含m的式子表示）是（ ）
A．4m2?1B．4m2+1C．m2?1D．m2+1
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得2m為偶數(shù)，設其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論．
【詳解】解：∵m為正整數(shù)，
∴2m為偶數(shù)，設其股是a，則弦為a+2，
根據(jù)勾股定理得，2m2+a2=a+22，
解得a=m2?1，
∴弦是a+2=m2?1+2=m2+1，
故選：D．
【點睛】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
2．（3分）（2023春·陜西西安·八年級西北大學附中?？计谀┤鐖D，五個正方形放在直線MN上，正方形A、C、E的面積依次為3、5、4，則正方形B、D的面積之和為（ ）

A．11B．14C．17D．20
【答案】C
【分析】如圖：由題意可得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,SA=AB2=3,SC=DE2=5,SB=AC2,AC=CE，再根據(jù)全等三角形和勾股定理可得SB=SC+SA=5+3=8，同理可得SD=SC+SE=5+4=9，最后求正方形B、D的面積之和即可．
【詳解】解：如圖：
由題意可得：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,SA=AB2=3,SC=DE2=5,SB=AC2,AC=CE
∴∠BAC+∠ACB=90°,∠DCE+∠ACB=90°,
∴∠BAC=∠DCE，
∴△ABC?△CDE,
∴DE=BC,
∵∠ABC=90°，
∴AC2=BC2+AB2，
∴AC2=DE2+AB2,即SB=SC+SA=5+3=8,
同理：SD=SC+SE=5+4=9;
∴SD+SB=8+9=17．

故選C．
【點睛】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質、全等三角形的判定與性質，發(fā)現(xiàn)各正方形之間的面積關系是解答本題的關鍵．
3．（3分）（2023春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列各方格圖中陰影部分所示的圖形（每個方格的邊長為1），如果將它們沿方格邊線或對角線剪開后無縫拼接，不能拼成正方形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點分別計算陰影部分的面積即可求得拼接后的正方形的邊長，根據(jù)網(wǎng)格的特點能否找到構成邊長的格點即可求解．
【詳解】解：A. 陰影部分面積為4，則正方形的邊長為2，故能拼成正方形，不符合題意；
B.陰影部分面積為10，則正方形的邊長為10，
∵12+32=10，
故能拼成正方形，不符合題意；
C.陰影部分面積為11，則正方形的邊長為11，根據(jù)網(wǎng)格的特點不能構造出11的邊，故不能拼成正方形，符合題意
D. 陰影部分面積為13，則正方形的邊長為13，
∵22+32=13，
故能拼成正方形，不符合題意；
故選C．
【點睛】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，掌握勾股定理是解題的關鍵．
4．（3分）（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為( )
A．2.2米B．2.3米C．2.4米D．2.5米
【答案】A
【分析】將梯子斜靠在墻上時，形成的圖形看做直角三角形，根據(jù)勾股定理，直角邊的平方和等于斜邊的平方，可以求出梯子的長度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墻的距離，從而得出答案.
【詳解】
如圖，在Rt△ACB中，
∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，AB2=AC2+BC2
∴AB2=0.72+2.42=6.25
在Rt△A‘BD中，
∵∠A’BD=90°，A’D=2米，BD2+A'D2=A'B2
∴BD2+22=6.25
∴BD2=2.25
∵BD>0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米
即小巷的寬度為2.2米，故答案選A
【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知并熟練運用勾股定理求斜邊和直角邊是解題的關鍵
5．（3分）（2023春·北京懷柔·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD為∠BAC的平分線，將△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使點E在射線AB上，則DE的長為（ ）

A．2B．52C．5D．254
【答案】B
【分析】根據(jù)勾股定理求得BC，進而根據(jù)折疊的性質可得AE=AC，可得BE=2，設DE=x，表示出BD,DE，進而在Rt△BDE中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，
∴BC=AC2?AB2=52?32=4，
∵將△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使點E在射線AB上，
∴AE=AC，
設DE=x，則DC=DE=x,BD=BC?CD=4?x，BE=AE?AB=5?3=2，
在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，
即4?x2+22=x2，
解得：x=52
即DE的長為52，
故選：B．
【點睛】本題考查了勾股定理與折疊問題，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
6．（3分）（2023春·廣東深圳·八年級深圳市高級中學校考期末）如圖，三角形紙片ABC中，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著直線AD翻折，得到△AED，DE交AC于點G，連接BE交AD于點F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面積為92，則BD2的值為（ ）
A．13B．12C．11D．10
【答案】A
【分析】首先根據(jù)SAS證明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根據(jù)三角形的面積公式求出AD，根據(jù)勾股定理求出BD即可．
【詳解】解：由折疊得，AB=AE，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
AB=AE∠BAF=∠EAFAF=AF，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴BF=AB2?AF2=3，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，設DE邊上的高線長為h，
∴S△ADE=12AD?EF=12DG??+12EG??，
即S△ADG+S△AEG=12AD?EF，
∵S△AEG=12?GE??=92，S△ADG=S△AEG，
∴S△ADG+S△AEG=92+92=9，
∴9=12AD?3，
∴AD=6，
∴FD=AD?AF=6?4=2，
在Rt△BDF中，BF=3，F(xiàn)D=2，
∴BD2=BF2+FD2=32+22=13，
故選：A．
【點睛】本題考查翻折變換、三角形的面積、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識，運用三角形的面積求出AD的長度是解答本題的關鍵．
7．（3分）（2023春·山西運城·八年級統(tǒng)考期中）圖中不能證明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)各個圖象，利用面積的不同表示方法，列式證明結論a2+b2=c2，找出不能證明的那個選項．
【詳解】解：A選項不能證明勾股定理；
B選項，通過大正方形面積的不同表示方法，可以列式a+b2=4×12ab+c2，可得a2+b2=c2；
C選項，通過梯形的面積的不同表示方法，可以列式a+b22=2×12ab+12c2，可得a2+b2=c2；
D選項，通過這個不規(guī)則圖象的面積的不同表示方法，可以列式c2+2×12ab=a2+b2+2×12ab，可得a2+b2=c2．
故選：A．
【點睛】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是掌握勾股定理的證明方法．
8．（3分）（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將有一邊重合的兩張直角三角形紙片放在數(shù)軸上，紙片上的點A表示的數(shù)是-2，AC=BC=BD=1，若以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，與數(shù)軸交于點E（點E位于點A右側)，則點E表示的數(shù)為（ ）

A．3B．?2+3C．?1+3D．?3
【答案】B
【詳解】根據(jù)勾股定理得：AB=2，AD=3，
∴AE=3，
∴OE=2?3，
∴點E表示的數(shù)為?2+3．
故答案為：B．
【點睛】此題主要考查了勾股定理，以及數(shù)軸與實數(shù)，解題時求數(shù)軸上兩點間的距離應讓較大的數(shù)減去較小的數(shù)即可,本題的關鍵是求出AE的長．
9．（3分）（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一個底面周長為24cm，高為5cm的圓柱體，一只螞蟻沿側表面從點A到點B所經過的最短路線長為（ ）
A．12cmB．13cmC．25cmD．26cm
【答案】B
【分析】先將圓柱圓的側面沿著點A所在的棱線剪開，得到長方形，得到AC=5cm,BC=242=12cm，由此即可以利用勾股定理求出螞蟻爬行的最短路線AB的長.
【詳解】如圖，沿著點A所在的棱線剪開，此時AC=5cm,BC=242=12cm，
∴螞蟻爬行的最短路線AB=AC2+BC2=52+122=13cm，
故選：B.
【點睛】此題考查勾股定理，根據(jù)題意構建直角三角形是解題的關鍵.螞蟻爬行的路線問題，是將螞蟻爬行的面展開得到平面圖形，利用“兩點之間線段最短“將起點與終點連接成線段，再求出該線段的長度即可解決問題.
10．（3分）（2023春·全國·八年級期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是數(shù)形結合的重要紐帶．數(shù)學家歐幾里得利用下圖驗證了勾股定理．以直角三角形ABC的三條邊為邊長向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，連接BI，CD，過點C作CJ⊥DE于點J，交AB于點K．設正方形ACHI的面積為S1，正方形BCGF的面積為S2，矩形AKJD的面積為S3，矩形KJEB的面積為S4，下列結論中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正確的結論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】利用正方形的性質證明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判斷①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面積，即可判斷②，由勾股定理和S3+S4=S?ABED，即可判斷③，由③S1-S4=S3-S2，兩邊平方，根據(jù)勾股定理可得AC2?BC2=AK2?BK2，然后計算S12+S42?S22+S32=0，即可判斷④．
【詳解】解：∵四邊形ACHI和四邊形ABED為正方形，
∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，
∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，
∴∠BAI=∠DAC，
∴△ABI≌△ADC（SAS），
∴∠AIB=∠ACD，
∵∠CNI=∠CAI=90°，
∴BI⊥CD，
故①正確；
∵S△ACD=S△AIB=12×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，
∴S1：S△ACD=2：1，
故②正確；
∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3+S4，
∴S1-S4=S3-S2，
故③正確；
∵ S1-S4=S3-S2，
∴S12+S42?2S1S4=S22+S32?2S2S3，
∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK?KJ= AK?AB，S4=BK?KJ=BK?AB，
∴ S12+S42=AC4+AB2BK2，S22+S32=BC4+AK2AB2，
∵AB2=AC2+ BC2，AC2=AK2+CK2,BC2=BK2+CK2，
∴AC2?AK2=BC2?BK2，
即AC2?BC2=AK2?BK2，
∴ S12+S42?S22+S32 =AC4+AB2BK2?BC4+AK2AB2
=AC4?BC4+AB2BK2?AK2
=AC2+BC2AC2?BC2?AB2AC2?BC2
=AB2AC2?BC2? AB2AC2?BC2
=0，
∴S1?S4=S2?S3，
故④正確，
故選D．
【點睛】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是熟練掌握證明三角形全等的條件，勾股定理的運用，完全平方公式的變形．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）（2023春·北京·八年級北京四中校考期中）小明將4個全等的直角三角形拼成如圖所示的五邊形，添加適當?shù)妮o助線后，用等面積法建立等式證明勾股定理．小明在證題中用兩種方法表示五邊形的面積，分別是S1= ，S2= ．
【答案】 c2+ab a2+b2+ab
【詳解】解：如圖所示：S1=c2+12ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+12ab×2=a2+b2+ab．
故答案為c2+ab，a2+b2+ab．
【點睛】本題考查了利用圖形面積的關系證明勾股定理，解題的關鍵是利用三角形和正方形邊長的關系進行組合圖形．
12．（3分）（2023春·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系，并標示了A，B，C三地的坐標，數(shù)據(jù)如圖（單位：km）．筆直鐵路經過A，B兩地．
（1）A，B間的距離 km；
（2）計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個維修站D，使CD=13，則AD的長為 km．
【答案】 20 13
【分析】（1）根據(jù)兩點的縱坐標相同即可得出AB的長度；
（2）過C作AB的垂線交AB于點E，連接AD，構造方程解出即可．
【詳解】（1）根據(jù)A、B兩點的縱坐標相同，得
AB=12?（?8）=20
故答案為：20
（2）如圖：
設AD=a，
根據(jù)點A、B的縱坐標相同，則AE=12，CE= 1?（?17）=18
由ΔADE是直角三角形，得：
（CE?CD）2+AE2=a2
∴52+122=a2
∴a=13
故答案為：13
【點睛】本題考查用坐標確定位置，根據(jù)A、B、C三點坐標求出相關線段長度是關鍵．
13．（3分）（2023春·廣西·八年級南寧十四中?？计谀┤鐖D，圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME?7）會徽圖案、它是由一串有公共頂點O的直角三角形（如圖2）演化而成的．如果圖2中的OA1=A1A2=A2A3=???=A7A8=1，若S1代表△A1OA2的面積，S2代表△A2OA3的面積，以此類推，則S10的值為 ．

【答案】102
【分析】利用勾股定理依次計算出OA2=2，OA3=3，OA4=4=2，.. OAn=n，然后依據(jù)計算出前幾個三角形的面積，然后依據(jù)規(guī)律解答求得S10即可．
【詳解】由題意得：OA2=OA12+A1A22=12+12=2，
OA3=OA22+A2A32=12+22=3，
OA4=OA32+A3A42=12+32=4=2,
∴OAn=n，
∴OA10=10，
∴S10=12OA10?A10A11=12×10×1=102，
故答案為：102．
【點睛】本題考查了勾股定理，能根據(jù)求出的結果得出規(guī)律是解此題的關鍵．
14．（3分）（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）把由5個小正方形組成的十字形紙板（如圖1）剪開，以下剪法中能夠將剪成的若干塊拼成一個大正方形的有 （填寫序號）．
【答案】①③/③①
【分析】設小正方形的邊長為1，則5個小正方形的面積為5，進而可知拼成的大正方形的邊長為5，再根據(jù)所畫虛線逐項進行拼接，看哪種剪法能拼成邊長為5的正方形即可．
【詳解】解：按照①中剪法，在外圍四個小正方形上分別剪一刀然后放到相鄰的空處，可拼接成邊長為5的正方形，符合題意；
如下圖所示，按照③中剪法，通過拼接也可以得到邊長為5的正方形，符合題意；
按照②中剪法，無法拼接成邊長為5的正方形，不符合題意；
故選①③．
故答案為：①③．
【點睛】本題考查圖形的拼接，解題的關鍵在于根據(jù)所給小正方形的面積求出所拼接成的正方形的邊長．
15．（3分）（2023春·江蘇鹽城·八年級濱?？h第一初級中學校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，點E是BC的中點，動點P從A點出發(fā)以每秒1cm的速度沿A→C→B運動，設點P運動的時間是t秒，那么當t= ，△APE的面積等于12．

【答案】3或18或22
【分析】分當點P在線段AB上運動時，當點P在線段BC上運動且在點E的右邊時和當點P在線段BC上運動且在點E的左邊時三種情況討論，即可求出t的值．
【詳解】解：∵∠C=90°，BC＝16cm，AC＝12cm，
∴AB=AC2+BC2=162+122=20，
∵點E是BC的中點，
∴CE＝BE=12BC＝8cm，
S△ACE=S△ABE=12S△ABC=12×12×12×16=48cm2．
當點P在線段AC上運動時，
∵△APE的面積等于12，即S△APE=14S△ACE，
∴AP=14AC=3，
∴t=3÷1=3秒；
當點P在線段BC運動時上且在點E的右邊時，，如圖2所示，
同理可知BP=14BE=2cm，
∴t=12+8+2÷1=22秒；

當點P在線段BC上運動且在點E的左邊時，如圖3所示，
同理可知CP=12CE=2cm，
∴t=12+8?2÷1=18秒；

故答案為∶3或18或22．
【點睛】本題考查了三角形的面積公式的運用，勾股定理，以及中線的性質，分類討論的數(shù)學思想，解答時分類討論是是關鍵．
16．（3分）（2023春·四川成都·八年級四川省成都市七中育才學校校考期末）已知△ABC中，AC=8，AB=41，BC邊上的高AG=5，D為線段AC上的動點，在BC上截取CE=AD，連接AE，BD，則AE+BD的最小值為 ．
【答案】13
【分析】通過過點A作GC的平行線AN，并在AN上截取AH=AC，構造全等三角形，得到當B，D，H三點共線時，可求得AE+BD的最小值；再作垂線構造矩形，利用勾股定理求解即可．
【詳解】如圖，過點A作GC的平行線AF，并在AF上截取AH=AC，連接DH，BH．
則∠HAD=∠C．
在△ADH和△CEA中，AD=CE，∠HAD=∠C，AH=CA，
∴△ADH≌△CEA(SAS)，
∴DH=AE，
∴AE+BD=DH+BD，
∴當B，D，H三點共線時，DH+BD的值最小，即AE+BD的值最小，為BH的長．
∵AG⊥BG，AB=41，AG=5，
∴在Rt△ABG中，由勾股定理，得
BG=AB2?AG2=412?52=4．
如圖，過點H作HM⊥GC，交GC的延長線于點M，則四邊形AGMH為長方形，
∴HM=AG=5，GM=AH=AC=8，
∴在Rt△BMH中，由勾股定理，得
BH=BM2+HM2=4+82+52=13．
∴AE+BD的最小值為13．
故答案為：13．
【點睛】本題屬于沒有共同端點的兩條線段求最值問題這一類型，考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質、勾股定理等知識．解題的關鍵是正確作出輔助線構造全等三角形．
三．解答題（共7小題，滿分52分）
17．（6分）（2023春·安徽馬鞍山·八年級安徽省馬鞍山市第七中學?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，AB=3，AC=5，AD=2，求證：AD⊥AB．
【答案】見解析
【分析】倍長中線，即延長AD至點E，使得AD=DE，連接CE．證明△ABD≌△ECD，得到CE=AB，利用勾股定理逆定理證明△ACE是直角三角形，即∠E=90°，從而∠BAD=∠E=90°，得證AD⊥AB．
【詳解】證明：如圖，延長AD至點E，使得AD=DE，連接CE，
∵AD為BC邊上的中線，
∴BD=DC，
又∵AD=DE,∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=EC=3，∠BAD=∠E，
又∵AE=2AD=4,AC=5，
∴AC2=AE2+CE2，
∴∠E=90°
∴∠BAD=∠E=90°
∴AD⊥AB．
【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，三角形全等的證明，“倍長中線”是解題常用的方法．
18．（6分）（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一機器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O，機器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進攔截小球，恰好在點C處截住了小球．如果小球滾動的路程與機器人行走的路程相等，那么機器人行走的路程BC是多少？
【答案】機器人行走的路程BC為7316m．
【分析】根據(jù)小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，得到BC=AC，設BC=AC=x m，根據(jù)勾股定理求出x的值即可．
【詳解】解：∵小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，
∴BC=AC， 設BC=AC=x m， 則OC=（8-x）m，
在Rt△BOC中， ∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（8-x）2=x2， 解得x=7316．
∴機器人行走的路程BC為7316m．
【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，掌握勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．
19．（8分）（2023春·福建廈門·八年級校聯(lián)考期中）以3，4，5為邊長的三角形是直角三角形，稱3，4，5為勾股數(shù)組，記為（3，4，5），類似地，還可得到下列勾股數(shù)組：（5，12，13），（7，24，25）等．
(1)根據(jù)上述三組勾股數(shù)的規(guī)律，寫出第四組勾股數(shù)組；
(2)用含n（n為正整數(shù)）的數(shù)學等式描述上述勾股數(shù)組的規(guī)律，并證明．
【答案】(1)9,40,41
(2)2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)前三組勾股數(shù)分析得出第四組勾股數(shù)組即可；
（2）根據(jù)前三組勾股數(shù)總結出第n組勾股數(shù)的規(guī)律，再根據(jù)勾股定理進行驗證即可．
【詳解】（1）解：第一組勾股數(shù)的第一個數(shù)為3=2×1+1，第二個數(shù)為4=2×1×1+1，第三個數(shù)為4=2×1+1+1，
第二組勾股數(shù)的第一個數(shù)為5=2×2+1，第二個數(shù)為12=2×2×2+1，第三個數(shù)為12=2×2×2+1+1，
第三組勾股數(shù)的第一個數(shù)為7=2×3+1，第二個數(shù)為24=2×3×3+1，第三個數(shù)為25=2×3×3+1+1，
所以第四組勾股數(shù)組的第一個數(shù)為2×4+1=9，第二個數(shù)為2×4×4+1=40，第三個數(shù)為2×4×4+1+1=41，
∴第四組勾股數(shù)組為9,40,41；
（2）解：由（1）可知：第n組勾股數(shù)為2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1，
證明：∵2n+12+2n2+2n2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1，
2n2+2n+12
=2n2+2n+12n2+2n+1
=4n4+4n3+2n2+4n3+4n2+2n+2n2+2n+1
=4n4+8n3+8n2+4n+1
∴2n+12+2n2+2n2=2n2+2n+12
【點睛】本題考查了勾股數(shù)的規(guī)律探索以及整式乘法，關鍵在于找出每個數(shù)的變化規(guī)律．
20．（8分）（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一個長、寬、高分別為5dm、4dm、3dm的無蓋長方體木箱(如圖,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求線段BG的長；
(2) 現(xiàn)在箱外的點A處有一只蜘蛛，箱內的點C處有一只小蟲正在午睡，保持不動．請你為蜘蛛設計一種捕蟲方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小蟲．(木板的厚度忽略不計)
【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案見解析過程．
【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理可得出BG的長；
（2）將正方體展開，聯(lián)想到“兩點之間，線段最短”性質，通過對稱、考查特殊點等方法，化曲為直．
【詳解】解：（1）如圖，連接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝42+32＝5（dm），
即線段BG的長度為5dm；

（2）①把ADEH展開，如圖此時總路程為(3+3+5)2+42＝137
②把ABEF展開，如圖
此時的總路程為(3+3+4)2+52＝125＝55
③如圖所示，把BCFGF展開，
此時的總路程為(3+3)2+(5+4)2＝117
由于117＜125

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