TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20255" 【題型1 利用勾股定理求線段長】 PAGEREF _Tc20255 \h 1
\l "_Tc27933" 【題型2 利用勾股定理求面積】 PAGEREF _Tc27933 \h 5
\l "_Tc18288" 【題型3 利用勾股定理解決折疊問題】 PAGEREF _Tc18288 \h 7
\l "_Tc18691" 【題型4 利用勾股定理求平面坐標系中兩點之間的距離】 PAGEREF _Tc18691 \h 12
\l "_Tc19035" 【題型5 利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】 PAGEREF _Tc19035 \h 16
\l "_Tc19725" 【題型6 勾股定理驗證方法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc19725 \h 19
\l "_Tc9716" 【題型7 勾股樹問題】 PAGEREF _Tc9716 \h 24
\l "_Tc22711" 【題型8 勾股定理在格點中的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22711 \h 30
\l "_Tc9912" 【題型9 直角三角形中的分類討論思想】 PAGEREF _Tc9912 \h 34
\l "_Tc28106" 【題型10 利用勾股定理解決動點問題】 PAGEREF _Tc28106 \h 38
【知識點 勾股定理】
在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角
邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．
【題型1 利用勾股定理求線段長】
【例1】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，小聰用圖1中的一副七巧板拼出如圖2所示“鳥”，已知正方形ABCD的邊長為4，則圖2中E，F(xiàn)兩點之間的距離為（ ）

A．26B．213C．10D．16
【答案】A
【分析】作輔助線如解析圖，由七巧板和正方形的性質(zhì)可知，EG=1，F(xiàn)G=1+4=5，再利用勾股定理可得答案．
【詳解】解：如圖，過E作EG⊥FG于G，

由七巧板和正方形的性質(zhì)可知：
EG=1，
FG=1+4=5，
在Rt△FEG中，
由勾股定理得，
EF=12+52=26，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，七巧板的特點，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉根據(jù)七巧板的特點．
【變式1-1】（2023春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=2,∠B=60°,∠C=45°，求BC和AC的長．

【答案】BC=1+3，AC=6
【分析】作AD⊥BC，在兩直角三角形中分別根據(jù)勾股定理即可解答．
【詳解】解：作AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AB=2，∠B=60°，
∴∠BAD=30°，BD=12AB=1，
∴AD=22?12=3，
∵∠C=45°，
∴AD=CD=3，
∴BC=1+3，
在Rt△ADC，根據(jù)勾股定理得
AC=AD2+CD2=3+3=6．
【點睛】本題考查了勾股定理，正確做出輔助線并根據(jù)勾股定理列出關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB長比AC長大1，BC=15，D是AB上一點，BD=9，CD=12．
(1)求證：CD⊥AB；
(2)求AC長．
【答案】(1)見解析
(2)13
【分析】（1）根據(jù)BC=15，BD=9，CD=12，得到BD2+CD2=BC2，根據(jù)勾股定理逆定理即可得到∠CDB=90°，問題得證；
（2）設(shè)AC=x，則AD=x?8，根據(jù)勾股定理得到(x?8)2+122=x2，解方程即可求解．
【詳解】（1）證明：∵BC=15，BD=9，CD=12，
∴BD2+CD2=92+122=225 ，BC2=152=225，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：由題意得AB?AC=1，
設(shè)AC=x，則AD=AB?BD=x+1?9=x?8，
∵∠ADC=90°，
∴AC2=AD2+CD2，
∴(x?8)2+122=x2，
解得：x=13，
即AC=13．
【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟知兩個定理并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·遼寧營口·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖OP=1，過P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=2，再過點P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，連接OP2，得OP2=3；又過點P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法繼續(xù)作下去，得OP12+OP22+OP32+OP42+…+OP102=__．

【答案】65
【分析】先根據(jù)勾股定理，分別求出OP12,OP22,OP32,OP42…OP102，再相加即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：
OP12=22=2，
OP22=OP12+P1P22=2+1=3，
OP32=OP22+P2P32=3+1=4，
OP42=OP32+P3P42=4+1=5，
……
OP102=10+1=11，
∴OP12+OP22+OP32+OP42+…+OP102=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=65．
故答案為：65．
【點睛】本題主要考查了勾股定理、圖形的規(guī)律運算，找到線段長度的變化規(guī)律并歸納公式是解決此題的關(guān)鍵．
【題型2 利用勾股定理求面積】
【例2】（2023春·安徽合肥·八年級校考期中）勾股定理是我國古代的偉大數(shù)學(xué)發(fā)明之一．如圖，以Rt△ABC∠ACB=90°的各邊向外作正方形，得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，重疊部分的面積記作S1，左下不重疊部分的面積記作S2，若S1=3，則S2的值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】B
【分析】設(shè)Rt△ABC的直角邊AC=a，BC=b，BA=c．則a2+b2=c2，S2=c?ac?b=c2?a+bc+ab，根據(jù)S1=a+b?c2=3即可推出2c2+2ab?2ac?2bc=3，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)Rt△ABC的直角邊AC=a，BC=b，BA=c．
∴a2+b2=c2，
∵面積為S2的矩形的長和寬分別是c?a，c?b，
∴S2=c?ac?b=c2?a+bc+ab，
∵面積為S1的正方形的邊長是a?c?b=a+b?c，
∴S1=a+b?c2=3，
∴a2+b2+c2+2ab?2ac?2bc=3，
∴2c2+2ab?2ac?2bc=3，
∴c2?a+bc+ab=1.5，
∴S2=1.5．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，整式的乘法，解題個關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方，以及整式的乘法運算．
【變式2-1】（2023春·北京昌平·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC，灰色部分面積記為S1，黑色部分面積記為S2，白色部分面積記為S3，則（ ）
A．S1=S2B．S2=S3C．S1=S3D．S1=S2?S3
【答案】A
【分析】由勾股定理，由整個圖形的面積減去以BC為直徑的半圓的面積，即可得出結(jié)論．
【詳解】Rt△ABC中，
∵AB2+AC2＝BC2
∴S2＝12π12AB2+12π12AC2?12π12BC2+S△ABC
＝18πAB2+AC2?BC2+SΔABC
＝S1．
故選A．
【點睛】本題考查了勾股定理、圓面積公式以及數(shù)學(xué)常識；熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB邊上的高等于AB的長度，△QBC中BC邊上的高等于BC的長度，△HAC中AC邊上的高等于AC的長度，且△PAB，△QBC的面積分別是10和8，則△ACH的面積是（ ）
A．2B．4C．6D．9
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理可求AC2+BC2＝AB2，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴12AC2+12BC2＝12AB2，
∵△PAB中AB邊上的高等于AB的長度，△QBC中BC邊上的高等于BC的長度，△HAC中AC邊上的高等于AC的長度，且△PAB，△QBC的面積分別是10和8，
∴△ACH的面積是10﹣8＝2．
故選：A．
【點睛】本題考查勾股定理，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·八年級單元測試）在直線 l 上依次擺放著七個正方形(如圖所示)，已知斜放置的三個正方形的面積分別 為 a，b，c，正放置的四個正方形的面積依次為 S1，S2，S3，S4，則 S1＋S2＋S3＋S4＝( )
A．a(chǎn)＋bB．b＋cC．a(chǎn)＋cD．a(chǎn)＋b＋c
【答案】C
【分析】求證△ABC≌△CDE，得DE=BC，△ABC中AB2+CE2=AC2，根據(jù)S3=AB2，S4=DE2可求得S3+S4=c，同理可得S1+S2=a，故S3+S4+S1+S2=a+c.
【詳解】解：
∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠BAC，
∵AC=CE，∠ABC=∠CDE,
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE，
在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即，AB2+DE2=AC2，
∵S3=AB2，S4=DE2,
∴S3+S4=c,
同理S1+S2=a,
故可得S1+S2+S3+S4=a+c，
故選C.
【點睛】本題考查了正方形面積的計算，正方形各邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定．本題中根據(jù)△ABC≌△CDE證明S3+S4=c是解題的關(guān)鍵.
【題型3 利用勾股定理解決折疊問題】
【例3】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，有一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，則BD的長為（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
【答案】A
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，從而求出BE，設(shè)CD=DE=x cm，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式計算即可得解．
【詳解】解：∵△ACD與△AED關(guān)于AD成軸對稱，
∴AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，
∴AB=10cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4(cm)，
設(shè)CD=DE=x cm，則DB=BC-CD=（8-x）cm，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴CD=3cm．
∴BD=8-x =8-3=5(cm)，
故選：A．
【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并表示出Rt△DEB的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·八年級課時練習(xí)）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=4，D為斜邊AB上的中點，E是直角邊AC上的一點，連接DE，將△ADE沿DE折疊至△A'DE，A'E交BD于點F，若△DEF的面積是△ADE面積的一半，則DE為（ ）
A．2B．25C．22D．4
【答案】C
【分析】連接BE，過D作DG⊥AC于G，先判定△A'DE≌△EBF（SAS），即可得出A'D=BE=AD=25，再根據(jù)勾股定理求得CE的長，進而得出EG和DG的長，再根據(jù)勾股定理即可得到DE的長．
【詳解】解：如圖所示，連接BE，過D作DG⊥AC于G，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=4，
∴由勾股定理得AB=45，
由折疊可得，△ADE與△A'DE全等，
∵△DEF的面積是△ADE面積的一半，
∴△DEF的面積是△A'DE面積的一半，且DF=12AD，
∴是A'E的中點，
又∵D是AB的中點，
∴DF=12AD=12BD，即F是BD的中點，
又∵∠A'FD=∠EFB，
∴△A'DE≌△EBFSAS，
∴A'D=BE=AD=25，
又∵∠C=90°，
∴Rt△BCE中，CE=BE2?BC2=20?16=2，
∵DG∥BC，D是AB的中點，
∴G是AC的中點，即CG=12AC=4，
∴EG=CG?CE=4?2=2，DG=12BC=2，
∴Rt△DEG中，DE=DG2+EG2=4+4=22，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了折疊問題以及勾股定理的運用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
【變式3-2】（2023春·福建廈門·八年級校考階段練習(xí)）如圖的實線部分是由 Rt△ABC 經(jīng)過兩次折疊得到的，首先將 Rt△ABC 沿 BD 折疊，使點 C 落在斜邊上的點 C' 處，再沿 DE 折疊，使點 A 落在 DC' 的延長線上的點 A' 處．若圖中 ∠C=90°，DE=3cm，BD=4cm，則 DC' 的長為______．
【答案】125cm
【分析】由折疊的性質(zhì)得出∠BDC=∠BDC′=12∠CDC'，∠ADE=∠A'DE=12∠ADA'，∠BCD=∠C=90°，求出∠BDE=∠BDC'+∠A′DE=90°，DC'⊥AB，由勾股定理得出BE=DE2+BD2=5cm，由三角形面積即可得出答案．
【詳解】解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°，
由折疊的性質(zhì)得：∠BDC=∠BDC′=12∠CDC'，∠ADE=∠A'DE=12∠ADA'，∠BCD=∠C=90°，
∴∠BDE=∠BDC'+∠A′DE=12×180°=90°，DC'⊥AB，
∴BE=DE2+BD2=32+42=5（cm），
∵△BDE的面積=12BE×DC'=12DE×BD，
∴DC'=DE×BDBE=3×45=125（cm）；
故答案為：125cm．
【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC = 6cm，BC = 8cm．
①如圖1，現(xiàn)將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，則CD =_________cm．
②如圖2，若將直角∠C沿MN折疊，點C與AB中點H重合，點M、N分別在AC、BC上，則AM2、BN2與MN2之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）3；（2）答：AM2+BN2=MN2．
【詳解】解：（1）解：如圖所示：
∵將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，
∴CD=DE，AC=AE，∠AED=∠C=90°，
∵AC = 6，BC = 8，
∴AB=10，
設(shè)CD=DE=x，則BD=8-x，BE=10-6=4，
在Rt△BED中，x2+42=8?x2，解得：x=3．
故答案為：3；
（2）AM2+BN2=MN2，理由如下：
過點B作BP∥AC交MH延長線于點P，連接PN，
∴∠A=∠PBH
在△AMH和△BPH中
∠A=∠PBH， AH=BH， ∠AHM=∠BHP
∴△AMH≌△BPH
∴AM=BP，MH=PH
又∵NH⊥MP
∴MN=NP
∵BP∥AC，∠C=90°
∴∠NBP=90°
∴BP2+BN2=NP2
∴AM2+BN2=MN2
【題型4 利用勾股定理求平面坐標系中兩點之間的距離】
【例4】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）先閱讀一段文字，再回答下列問題，已知在平面內(nèi)兩點坐標P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其兩點間距離公式為P1P2=(x2?x1)2+(y2?y1)2，同時，當兩點所在直線在坐標軸上或平行于x軸或垂直于x軸時，兩點間距離公式可化簡為|x2?x1|或|y2?y1|．
(1)已知A(3,5)，B(?2,?1)，則A、B兩點間的距離為 ；
(2)已知A，B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為5，點B的縱坐標為?1，則A，B兩點間的距離為 ；
(3)已知A，B在平行于x軸的直線上，點A的橫坐標為5.且A，B兩點間的距離為3，則點B的橫坐標為 ；
(4)已知一個三角形各頂點坐標為A(0,6)，B(?3,2)，C(3,2)，請判定此三角形的形狀，并說明理由．
【答案】(1)61
(2)6
(3)2
(4)等腰三角形，見解析
【分析】（1）直接代入兩點間距離公式為P1P2=(x2?x1)2+(y2?y1)2即可；
（2）直接代入兩點間距離公式|y2?y1|即可；
（3）分點B在點A左側(cè)還是右側(cè)兩種情況，左側(cè)橫坐標減去距離，右側(cè)橫坐標加上距離；
（4）先分別用公式求出三邊長，再依據(jù)邊的長度判定三角形是等腰三角形．
【詳解】（1）根據(jù)兩點間距離公式可得：AB=(3+2)2+(5+1)2=61；
（2）由題意可得：|y2?y1|=?1?5=6；
（3）點B的橫坐標為5+3=8或5?3=2；
（4）由兩點間距離公式可得：AB=(0+3)2+(6?2)2=5，
BC=(?3?3)2+(2?2)2=6，
AC=(0?3)2+(6?2)2=5，
∴AB=AC，
∴ΔABC是等腰三角形．
【點睛】本題考查兩點間距離公式和三角形的分類，關(guān)鍵是正確代入公式計算．
【變式4-1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，Rt△AOB的頂點A2，1，B?2，n分別在第一，二象限內(nèi)，∠AOB=90°，則n的值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵Rt△AOB的頂點A2，1，B?2，n，
∴OB2=n2+22，OA2=22+12=5，AB2=?2?22+n?12，
∵∠AOB=90°，
∴OB2+OA2=AB2，
∴n2+22+5=?2?22+n?12，
∴n2+9=n2?2n+17，
解得n=4，
故選C．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，熟知坐標系中兩點距離公式是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標系xOy中，已知點P(m,2n2?4)，且實數(shù)m，n滿足m?n2+4=0，則點P到原點O的距離的最小值為______．
【答案】455
【分析】根據(jù)勾股定理先表示出PO，然后根據(jù)m?n2+4=0結(jié)合完全平方公式對式子變形，再利用非負數(shù)的性質(zhì)，可以得到PO的最小值．
【詳解】解：∵點P(m,2n2?4)，點O0,0，
∴PO=(m?0)2+(2n2?4?0)2=m2+(2n2?4)2，
∵m?n2+4=0，
∴n2=m+4，
∴PO=m2+[2(m+4)?4]2
=m2+(2m+4)2
=m2+4m2+16m+16
=5(m+85)2+165，
∵(m+85)2≥0，
∴5(m+85)2+165≥165=455，
∴PO的最小值是455，
故答案為：455．
【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用、完全平方公式的應(yīng)用、非負數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，用含m的式子表示出PO．
【變式4-3】（2023春·福建龍巖·八年級?？茧A段練習(xí)）閱讀理解：說明代數(shù)式x2+1+(x?3)2+4的幾何意義，并求它的最小值．
解：x2+1+(x?3)2+4=(x?0)2+1+(x?3)2+22．
幾何意義：如圖，建立平面直角坐標系，點P(x,0)是x軸上一點，則(x?0)2+12可以看成點P與點A(0,1)的距離，(x?3)2+22可以看成點P與點B(3,2)的距離，所原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：設(shè)點A關(guān)于x軸對稱點A′，則PA=PA′．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′，B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度．為此，構(gòu)造直角三角形A′CB，因為A′C=3,CB=3，所以由勾股定理得A′B=32，即原式的最小值為32．
根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：
(1)代數(shù)式(x?1)2+1+(x?2)2+9的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點A(1,1)，點B__________的距離之和．（填寫點B的坐標）
(2)代數(shù)式x2+49+x2?12x+37的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)．與點A__________、點B__________的距離之和．（填寫點A，B的坐標）
(3)求出代數(shù)式x2+49+x2?12x+37的最小值．
【答案】(1)（2，3），（2，?3）
(2)（0，7），（6，1）
(3)10
【分析】（1）先把原式化為(x?1)2+1+(x?2)2+32的形式，再根據(jù)題中所給的例子即可得出結(jié)論；
（2）先把原式化為(x?0)2+72+(x?6)2+12的形式，故得出所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，
（3）在坐標系內(nèi)描出各點，利用勾股定理得出結(jié)論即可．
【詳解】（1）∵原式化為(x?1)2+1+(x?2)2+32的形式，
∴代數(shù)式(x?1)2+1+(x?2)2+9的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點AA(1,1)、點B（2，3）或（2，?3）的距離之和，
故答案為（2，3），（2，?3）；
（2）∵原式化為(x?0)2+72+(x?6)2+12的形式，
∴所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，
故答案為：（0，7），（6，1）．
（3）如圖所示：設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，
∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度，
∵A（0，7），B（6，1）
∴A′（0，?7），A′C＝6，BC＝8，
∴A'B=A'C2+BC262+82=10，
∴代數(shù)式x2+49+x2?12x+37的最小值為10．
【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查的是軸對稱﹣最短路線問題，解答此題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想解決問題．
【題型5 利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】
【例5】（2023春·河北石家莊·八年級石家莊外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．
（1）若AB=5，OA=3，OC=4，則BC=______；
（2）若AD=2，BC=5，則AB2+CD2=______；
（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是______．
【答案】 42 7 m2+c2=n2+d2
【分析】（1）根據(jù)題意和勾股定理即可求出．
（2）利用勾股定理，進行等量代換，可以得到AB2+CD2的值．
（3）由（2）得求解過程可以得到AB2+CD2=BC2+AD2，進行替換即可．
【詳解】（1）∵AC⊥BD，
∴∠BOC=∠COD=∠DOA=∠AOB=90°，
∴OB=AB2?OA2
=52?32
=4，
∴CB=OB2+OC2
=42+42
=42．
故答案為42．
（2）由（1）得：
∴OB2+OC2=BC2，OA2+OD2=AD2，OB2+OA2=AB2，OC2+OD2=CD2，∴AB2+CD2=OB2+OA2+OC2+OD2=BC2+AD2，
∵AD=2，BC=5，
∴AB2+CD2=22+52
=7．
故答案為7．
（3）由（2）得：
AB2+CD2=BC2+AD2，
∴m2+c2=n2+d2．
故答案為m2+c2=n2+d2．
【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用問題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023春·廣東云浮·八年級?？计谥校┰赗t△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，若∠A=90°，則（ ）
A．a(chǎn)2+b2=c2B．a(chǎn)2+c2=b2C．b2+c2=a2D．a(chǎn)+c=b
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．
【詳解】解：∵∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，∠A=90°，
∴a為斜邊，
∴b2+c2=a2．
故選：C．
【點睛】本題考查的勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·八年級課時練習(xí)）素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個定理，它導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機，它使數(shù)學(xué)由測量計算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C．在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其為“畢達哥拉斯定理”，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現(xiàn)有四名網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是________（填寫數(shù)字序號即可）．
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)各部分圖形的面積和差系導(dǎo)出a、b、c三者關(guān)系進行判斷便可．
【詳解】解：①由圖形可知，(b?a)2+4×12ab=c2，
整理得a2+b2=c2，
故①符合題意；
②由圖形可知，c2+4×12ab=(a+b)2，
整理得a2+b2=c2，
故②符合題意；
③由下圖知，2×12ab+12c2=12(a+b)2，
整理得a2+b2=c2，
故③符合題意；
④由下圖知，S△ADE=S△ABC?S△BCE，
即12c?DF=12ab?12(b?a)a，
∴DF=a2c，
∴DE=c?a2c，
由△ABE的面積公式得12b?b=12c(c?a2c)，
整理得a2+b2=c2，
故④符合題意；
故答案為：①②③④．
【點睛】本題主要考查的是勾股定理的證明，掌握正方形、梯形、直角三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·湖北·八年級校考期中）已知如圖，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延長線上．
求證：（1）AD2?AB2=BD?CD；
（2）若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論．
【答案】（1）見詳解；（2）AB2?AD2=BD?CD，理由見詳解
【分析】（1）過點A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE＝CE，利用勾股定理列式表示出DE2、CE2，然后相減即可得解；
（2）根據(jù)（1）的求解思路列式整理即可．
【詳解】（1）證明：如圖，過點A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
在Rt△ADE中，AD2?AE2＝DE2，
在Rt△ACE中，AC2?AE2＝CE2，
兩式相減得，AD2?AC2＝DE2?CE2＝（DE?CE）（DE＋CE）＝（DE?BE）CD＝BD?CD，
即AD2?AB2＝BD?CD；
（2）結(jié)論為：AB2?AD2＝BD?CD．
證明如下：與（1）同理可得，AD2?AE2＝DE2，AC2?AE2＝CE2，
∵點D在CB上，
∴AB＞AD，即：AC＞AD，
∴AC2?AD2＝CE2?DE2＝（CE?DE）（CE＋DE）＝（BE?DE）（CE＋DE）＝BD?CD，
∴AC2?AD2＝BD?CD，
即AB2?AD2＝BD?CD．
【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．
【題型6 勾股定理驗證方法的應(yīng)用】
【例6】（2023春·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦.如圖1所示，數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年—公元295年）將勾股形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長方形，是由兩個完全相同的“勾股形”拼接而成，若a=3，b=1，則長方形的面積為______.
【答案】12
【分析】欲求矩形的面積，則求出圖1中陰影部分小三角形長直角邊邊長即可，由此可設(shè)其為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，進而可求出該矩形的面積．
【詳解】
解：設(shè)如圖1陰影部分小三角形長直角邊邊長為x，
∵a=3，
∴AB=x+3，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（1+x）2+（1+3）2=(x+3)2，
整理得，x=2，
∴該矩形的面積=AC·BC=（1+3）（1+x）=4×3=12
故答案為：12．
【點睛】本題考查了勾股定理的證明以及運用和一元二次方程的運用，得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作正方形，面積分別為S1,S2,S3,S4，若S1+S4=135,S3=49，則S2=（ ）
A．184B．86C．119D．81
【答案】B
【分析】連接BD，根據(jù)勾股定理可得AD2+AB2=BD2，BC2+CD2=BD2，即S1+S4=S2+S3，即可求解．
【詳解】解：連接BD，
根據(jù)勾股定理可得AD2+AB2=BD2，BC2+CD2=BD2，
即S1+S4=S2+S3，
∴S2=135?49=86，
故選：B．
【點睛】本題考查勾股定理，根據(jù)直角的信息提示，作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·北京海淀·八年級北京市十一學(xué)校校考期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）拼成的一個大正方形（如圖2）．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則圖2中EF的長為（ ）

A．3B．4C．22D．32
【答案】D
【分析】由圖形2可知，中間四邊形的邊長為a?b的小正方形，由大正方形的面積由四個全等的直角三角形加中間小正方形的面積得出ab2×4+a?b2=25，再結(jié)合ab=8即可得出a?b的值，再根據(jù)勾股定理即可求出EF的長．
【詳解】解：由圖形2可知，中間四邊形的邊長為a?b的小正方形，
∵大正方形的面積為25，
∴AB2=25，
又∵大正方形的面積由四個全等的直角三角形加中間小正方形的面積，
∴ab2×4+a?b2=25，
∴a?b2+2ab=25，
∴a?b2+2×8=25，
∴a?b=3（負值已舍），
即圖2中小正方形的邊長為3，
∴EF=32+32=32，
故選：D．
【點睛】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用，正確得出大正方形的面積是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家是公元3世紀三國時期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成． 將圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別記為S1,S2，S3． 若S1+S2+S3=18， 則正方形EFGH的面積為_______．
【答案】6
【分析】設(shè)四邊形MTKN的面積為x，八個全等的三角形面積一個設(shè)為y，構(gòu)建方程組，利用整體的思想思考問題，求出x+4y即可．
【詳解】解：設(shè)四邊形MTKN的面積為x，八個全等的三角形面積一個設(shè)為y，
∵正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，
∴得出S1=x，S2=4y+x，S3=8y+x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，
x+4y=6，
所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面積為6．
故答案為6
【點睛】本題考查勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題．
【題型7 勾股樹問題】
【例7】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）正方形ABCD的邊長為1，其面積記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2，?按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2022的值為（ ）
A．122022B．122021C．222022D．222021
【答案】B
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出S2+S2＝S1，寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律Sn＝（12）n﹣1，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．
【詳解】解：在圖中標上字母E，如圖所示．
∵正方形ABCD的邊長為1，△CDE為等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S2+S2＝S1．
觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
S1＝12＝1，
S2＝12S1＝12，
S3＝12S2＝(12)2，
S4＝12S3＝(12)3 ，
…，
∴Sn＝（12）n﹣1．
當n＝2022時，S2022＝（12）2022﹣1＝（12）2021，
故選：B．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律Sn＝（12）n-1．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵
【變式7-1】（2023春·八年級統(tǒng)考期中）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成，其中 OA1=A1A2=A2A3=???=A8A9=1 ，現(xiàn)把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去如圖3所示，若 OA3?OAn 的值是整數(shù)，且1≤n≤30，則符合條件的n有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】利用勾股定理可求出OA2，OA3，OA4…OAn=n，即可得到OA3·OAn=3·n，再根據(jù)OA3·OAn是整數(shù)及1≤n≤30，由此可求出n的值的個數(shù)．
【詳解】由題意得
OA2=12+12=2；
OA3=22+12=2+1=3；
OA4=3+12=4…
OAn=n；
∵ 1≤n≤30，
∴OA3·OAn的值是整數(shù)，
∴·OAn的值可以是3，23，33
是整數(shù)的有3個．
故答案為：C．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；探索圖形規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春·山東菏澤·八年級?？茧A段練習(xí)）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為______．

【答案】2024
【分析】根據(jù)勾股定理可得第一代勾股樹中所有正方形的面積為2，再一次求出第二代、第三代勾股樹中所有三角形的面積，總結(jié)出一般規(guī)律，即可進行解答．
【詳解】解：設(shè)第一代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為a和b，斜邊長為c，
根據(jù)勾股定理可得：a2+b2=c2，
∵c2=1,
∴第一代勾股樹中所有正方形的面積為=a2+b2+c2=c2+c2=2；
同理可得：第二代勾股樹中所有正方形的面積為=2a2+2b2+c2=3c2=3；
第三代勾股樹中所有正方形的面積為=4c2=4；
第n代勾股樹中所有正方形的面積為=n+1c2=n+1；
∴第2023代勾股樹中所有正方形的面積為2024．
故答案為：2024．

【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，根據(jù)勾股定理總結(jié)出變化的一般規(guī)律．
【變式7-3】（2023春·江西南昌·八年級南昌市第三中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．
(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為S1，S2，S3，利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的有________個．
②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，也滿足S1+S2=S3嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出S1，S2，S3的數(shù)量關(guān)系．
(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，則a2+b2+c2+d2=__________．
【答案】(1)①3；②滿足，證明見解析
(2)m2
【分析】（1）設(shè)兩直角邊分別為x，y，斜邊為z，用x，y，z分別表示正方形、圓、等邊三角形的面積，根據(jù)x2+y2=z2，求解S1，S2，S3之間的關(guān)系，進而可得結(jié)果；②根據(jù)a2+b2=c2，S1+S2=πa222+πb222+ab2?πc222=ab2，S3=ab2，可得S1+S2=S3；
（2）由題意知，SA=a2，SB=b2，SC=c2，SD=d2，SA+SB+SC+SD=SM=m2，代入求解即可．
【詳解】（1）①解：設(shè)兩直角邊分別為x，y，斜邊為z，
則圖2中，S1=x2，S2=y2，S3=z2，
∵x2+y2=z2，
∴S1+S2=S3，故圖2符合題意；
圖3中，S1=πx222=πx28，S2=πy222=πy28，S3=πz222=πz28，
∵πx28+πy28=πx2+y28=πz28，
∴S1+S2=S3，故圖3符合題意；
圖4中，S1=12x?x?sin60°=3x24，S2=12y?y?sin60°=3y24，S3=12z?z?sin60°=3z24，
∵3x24+3y24=3x2+y24=3z24，
∴S1+S2=S3，故圖4符合題意；
∴這3個圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的有3個，
故答案為：3；
②解：滿足，證明如下：
由題意知a2+b2=c2，S1+S2=πa222+πb222+ab2?πc222=ab2，S3=ab2，
∴S1+S2=S3；
（2）解：由題意知，SA=a2，SB=b2，SC=c2，SD=d2，SA+SB+SC+SD=SM=m2，
∴a2+b2+c2+d2=m2，
故答案為：m2．
【點睛】本題考查了勾股定理，勾股樹．解題的關(guān)鍵在于正確的表示各部分的面積．
【題型8 勾股定理在格點中的應(yīng)用】
【例8】（2023春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）問題背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5、10、13，求這個三角形的面積．小明同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處）．如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．
(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上 ；
思維拓展：
(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為2、13、17，請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的△ABC．并求出它的面積．
探索創(chuàng)新：
(3)若△ABC三邊的長分別為5a、22a、17a（a＞0），請利用圖③的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．
(4)若△ABC三邊的長分別為m2+16n2、9m2+4n2、2m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），試運用構(gòu)圖法求出這個三角形的面積．
【答案】(1)72
(2)SΔABC=52，圖見解析
(3)SΔABC=3a2，圖見解析
(4)SΔABC=5mn，圖見解析
【分析】（1）利用分割法求三角形的面積即可；
（2）利用網(wǎng)格圖，構(gòu)造三角形，利用分割法求解即可；
（3）利用網(wǎng)格圖，構(gòu)造三角形，利用分割法求解即可；
（4）構(gòu)造長方形，利用分割法求解即可．
（1）解： S△ABC＝3×3?12×1×2?12×2×3?12×1×3=72．故答案為：72；
（2）解∶ 如圖，△ABC如圖所示．
S△ABC＝2×4?12×2×3?12×4×1?12×1×1=52．
解∶ 如圖，△ABC即為所求．
S△ABC＝2a×4a?12×2a×2a?12×2a×a?12×4a×a＝3a2．
（4）解∶ 根據(jù)題意，構(gòu)造長為2n，寬為3m的長方形，作出邊長為為m2+16n2、9m2+4n2、2m2+n2的三角形，如圖，△ABC即為所求．
S△ABC＝3m×4n?12×3m×2n?12×2m×2n?12×4n×m＝5mn．
【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了勾股定理及作圖的知識，解答本題關(guān)鍵是仔細理解問題背景，熟練掌握勾股定理，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進行解答．
【變式8-1】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，以格點為頂點的△ABC的面積等于3，則點A到邊BC的距離為（ ）
A．B．2C．4D．3
【答案】B
【詳解】試題分析：根據(jù)勾股定理計算出BC的長，再根據(jù)三角形的面積為3，即可求出點A到邊BC的距離．
解：∵BC=12+12=2，S△ABC=3，
∴點A到邊BC的距離為62=22，
故選B．
考點：勾股定理;三角形面積．
【變式8-2】（2023春·浙江·八年級期末）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E，F(xiàn)，G，H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖．例如，在如圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為65，此時正方形EFGH的而積為5．問：當格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為65時，正方形EFGH的面積的所有可能值是_____（不包括5）．
【答案】9或13或49.
【詳解】分析：共有三種情況：①當DG=13，CG=213時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=13，可得正方形EFGH的面積為13；
②當DG=8，CG=1時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=7，可得正方形EFGH的面積為49；
③當DG=7，CG=4時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=3，可得正方形EFGH的面積為9.
詳解：①當DG=13，CG=213時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=13，可得正方形EFGH的面積為13．
②當DG=8，CG=1時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=7，可得正方形EFGH的面積為49；
③當DG=7，CG=4時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=3，可得正方形EFGH的面積為9.
故答案為9或13或49．
點睛：本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
【變式8-3】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谀┳鲌D．網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，
(1)在圖1網(wǎng)格中作一個直角三角形，使它的三邊長都是整數(shù)；
(2)在圖2網(wǎng)格中作一個直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)；
(3)在圖3網(wǎng)格中作一個鈍角三角形，使它的面積等于6．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題意作出相應(yīng)三角形即可；
（2）根據(jù)題意作出相應(yīng)三角形即可；
（3）根據(jù)題意作出相應(yīng)三角形即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，AB=4，BC=3，AC=AB2+BC2=5，
∴△ABC即為所求；
（2）如圖所示：DE=32+32=32，DF=22+42=25，EF=12+12=2，
∵DE2+EF2=DF2，
∴△DEF為直角三角形，符合題意；
（3）如圖所示，NO=3且NO邊上的高為4，
∴△MNO的面積為：12×3×4=6，
∴△MNO即為所求．
【點睛】題目主要考查勾股定理與網(wǎng)格問題，理解題意，根據(jù)勾股定理作出相應(yīng)三角形是解題關(guān)鍵．
【題型9 直角三角形中的分類討論思想】
【例9】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）△ABC中，AB=20，AC=13，BC上的高為12，求BC的長．
【答案】BC=21或11
【分析】由于三角形的高的位置隨三角形的形狀改變而變化，分別根據(jù)題意畫出當點D在線段BC上、點D在線段BC的延長線上時的圖形，分別利用勾股定理得出答案即可．
【詳解】解：設(shè)BC邊上的高為AD，
當點D在線段BC上時，
如圖1所示：
在Rt△ABD中，AB=20，AD=12，
根據(jù)勾股定理：BD=AB2?AD2=202?122=16；
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，
根據(jù)勾股定理：CD=AC2?AD2=132?122=5；
∴BC=BD+CD=16+5=21；
當D在線段BC的延長線上時，
如圖2所示：
同理可知：BD=16，CD=5，
∴BC=BD?CD=16?5=11；
綜上所述：BC=21或11.
【點睛】此題主要考查了三角形高的性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)題意利用分類討論正確畫出圖形是解題關(guān)鍵．
【變式9-1】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，點E為射線BC上一點，若△ABE是直角三角形，則△ABE的面積是___________.
【答案】6或503
【分析】分兩種情況討論：①當∠AEB=90°時，根據(jù)勾股定理求出AC的長，即可求出△ABE的面積；②當∠BAE=90°時，設(shè)CE=x,，在Rt△ABE中根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，即可求出BE的長，進而可求出△ABE的面積.
【詳解】①當∠AEB=90°時，E點與C點重合
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5
∴AC=52?32=4
即AE=4
∴S△ABE=12?BE?AE=12×3×4=6
②如圖，當∠BAE=90°時，設(shè)CE=x,
在Rt△ACE中,AE2=AC2+CE2 =42+x2
在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2
∴(3+x)2=52+(x2+42)
解得x=163
∴BE=3+163=253
∴S△ABE=12?BE?AC=12×253×4=503
∴△ABE的面積是6或503
故答案為：6或503
【點睛】本題主要考查了勾股定理和求直角三角形面積，分類討論是解題的關(guān)鍵.
【變式9-2】（2023春·四川成都·八年級四川省蒲江縣蒲江中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，AB=20，AC=13，AD為BC邊上的高，且AD=12，△ABC的周長為______．
【答案】44或54
【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用勾股定理列式求出CD、BD，再分CD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況求出BC，然后根據(jù)三角形的周長的定義解答即可．
【詳解】解：∵AB=20，AC=13，BC邊上的高AD=12，
∴BD=AB2?AD2=16，CD=AC2?AD2=5，
如圖1，CD在△ABC內(nèi)部時，BC=BD+DC=16+5=21，
此時，△ABC的周長=20+13+21=54，
如圖2，CD在△ABC外部時，BC=BD?CD=16?5=11，
此時，△ABC的周長=20+13+11=44，
綜上所述，△ABC的周長為44或54．
故答案為：44或54．
【點睛】本題考查了勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是分情況討論求出BC的長，作出圖形更形象直觀．
【變式9-3】（2023·黑龍江哈爾濱·八年級期中）已知在△ABC中，AB=3，AC=1，S△ABC=34，則BC的長是___________．
【答案】1或7
【分析】分∠A是銳角和鈍角兩種情況，分別畫出圖形，根據(jù)三角形的面積公式求得CD=12，再求出AD,再根據(jù)圖形求得AB，最后運用勾股定理即可解答．
【詳解】解：①如圖：當∠A是銳角時，當過C作AB的垂線交AB于D
∵S△ABC=34
∴12CD?AC=34,即12×3?CD=34，解得：CD=12，
∴ AD=AC2?DC2=12?122=32
∴BD=AB?AD=32
∴BC=CD2+BD2=122+322=1
②如圖：如圖：當∠A是鈍角時，當過C作AB的垂線交BA的延長線于D
∵S△ABC=34
∴12AB?CD=34,即12×3?CD=34，即CD=12
∴AD=AC2?DC2=12?122=32
∴BD=AB+AD=332
∴BC=CD2+BD2=122+3322=7
故答案是：1或7．
【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)三角形的面積公式和勾股定理求得BD的長是解答本題的關(guān)鍵．
【題型10 利用勾股定理解決動點問題】
【例10】（2022春·安徽合肥·八年級合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長的速度，沿射線BC運動，設(shè)運動時間為t秒，請解答以下問題：
(1)BC邊的長為________；
(2)當△ABP為直角三角形時，求t的值，寫出求解過程；
(3)當△ABP為等腰三角形時，直接寫出t的值．
【答案】(1)8
(2)t=4或t=254
(3)t=5或t=8或t=258
【分析】（1）利用勾股定理直接求解；
（2）分∠BAP=90°和∠BPA=90°兩種情況討論，分別利用勾股定理求解；
（3）當PA=PB時，利用勾股定理求解t，當BA=BP時，可直接得到BP長，當AB=AP時，BP=2BC．
（1）
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=AB2?AC2=102?62=8；
（2）
若△ABP為直角三角形：
（i）∠APB=90°，此時BP=BC=8，t=8÷2=4（s）；
（ii）∠BAP=90°，BP=2t，則CP=2t-8，由勾股定理得：AP?=AC?+PC?=BP?-AB?，
即6?+（2t-8）?=（2t）?-10?，解得：t=254；
（3）
若△ABP為等腰三角形：
（i）當AB=BP時，t=5；
（ii）當AB=AP時，BP=2BC=16，t=8；
（iii）當BP=AP時，AP=BP=2t，CP=8-2t，AC=6，由勾股定理得：（2t）?=6?+（8-2t）?
解得：t=258．
【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點．正確的分類討論，熟練應(yīng)用勾股定理，準確找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2023春·河南信陽·八年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是AB上一個動點，F(xiàn)是AD上一個動點（點F不與點D重合）．連接EF把△AEF沿EF折疊，使點A的對應(yīng)點A'總落在邊DC上．若△A'EC是以A'E為腰的等腰三角形，則A'D的長為_____________________．
【答案】13或12
【分析】由于只知道A'E為腰的等腰三角形，所以要討論另外兩條邊分別為腰的情況，可設(shè)已知腰為x,再根據(jù)折疊的性質(zhì)對應(yīng)邊相等，用x的代數(shù)式表示出其它邊，再構(gòu)造出一個關(guān)于x的直角三角形，運用勾股定理即可求出x和A'D的長度．
【詳解】過點E作EG⊥DC于點G,設(shè)A'E=x
當A'E=A'C時，如圖1，A'D=2?x,CG=BE=2?x,
∴A'G=2x?2
在Rt△A'GE中，由勾股定理，得x2?2x?22=12，
解得，x1=53,x2=1(舍去)
∴A'D=13
當A'E=CE時，如圖2，A'G=GC=BE=2?x,A'D=2x?2.
在Rt△A'GE中，由勾股定理，得22?2?x2=12.
解得x=54
∴A'D=12
綜上所述，A'D的長為13或12
故答案為13或12
【點睛】本題考查了等腰三角形，直角三角形等知識點，解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)，構(gòu)造出一個含有未知數(shù)的直角三角形，利用勾股定理列出等式求解．
【變式10-2】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點，M是邊BC上的一個動點，N是邊CD上的一個動點，則AM＋MN＋EN的最小值是______．
【答案】10
【分析】作A點關(guān)于BC的對稱點A1，連接A1M，作E點關(guān)于DC的對稱點E1，連接E1N，因此AM＋MN＋EN=A1M＋MN＋E1N，所以最小值為A1E1，用勾股定理算出即可．
【詳解】解：如圖，作A點關(guān)于BC的對稱點A1，連接A1M，作E點關(guān)于DC的對稱點E1，連接E1N，
∵∠B＝∠D＝90°，點A和點A1關(guān)于BC對稱，點E和點E1關(guān)于DC對稱，
∴AM=A1M，EN=E1N，
∴AM＋MN＋EN=A1M＋MN＋E1N≥A1E1，
∴AM＋MN＋EN的最小值是A1E1，
∵AD＝AB＝4，E是AD中點，
∴AB=A1B=4，ED=E1D=2，
∴AA1=8，AE1=6，
∵∠BAD＝90°，
∴A1E1=62+82=10，
故答案為：10．
【點睛】本題考查了線段和的最值問題，勾股定理、軸對稱性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．
【變式10-3】（2023·河南駐馬店·八年級駐馬店市第二初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系 xOy 中，點 A，B 的坐標分別為 A（0，2），B（8，8），點 C（m，0）為 x 正半軸 上一個動點．
（1）當 m＝4 時，寫出線段 AC＝ ，BC＝ ．
（2）當 0＜m＜8 時，求△ABC 的面積．（用含 m 的代數(shù)式表示）
（3）當點 C 在運動時，是否存在點 C 使△ABC 為直角三角形，如果存在，請求出這個三角形的面積；如果不存在， 請說明理由．
【答案】（1）25，25；（2）S△ABC=3m+8；（3）存在m的值為32或4或14，使△ABC為直角三角形，面積為252或20或50．
【分析】（1）過點B作BE⊥x軸于E，由A、B、C點的坐標可得BE=8、OE=8、AO=2、OC=4，最后根據(jù)勾股定理解答即可；
（2）由0＜m＜8可得點C在OE上，然后根據(jù)面積關(guān)系求解即可；
（3）分∠BAC=90°、∠ABC=90°、∠ACB=90°三種情況，根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：（1）如圖，過點B作BE⊥x軸于E
∵點A（0，2），點B{8，8），點C（4，0）
∴BE=8，OE=8，AO=2，OC=4，
∴CE=4，
∴AC=OA2+OC2=4+16=25,BC=16+64=45，
故填：25，25；
（2）∵當0＜m＜8
∴點C在OE上時，
∴A（0，2），點B（8，8），點C{m，0）
∴BE=8，OE=8，AO=2，OC=m，
∴SΔABC=12×(AO+BE)×OE?12×AO×OC?12×BE×CE
SΔABC=12×(2+8)×8?12×2×m?12×8×(8?m)=8+3m；
∴，S△ABC=3m+8；
（3）當∠BAC=90°時，BC2=AB2+AC2，即64+（8-m）2=64+（8-2）2+4+m2，解得m=32
∴SΔABC=3×32+8=252；
當∠ACB=90°時，AB2=AC2+BC2，則64+（8-2）2=4+m2+64+{8-m）2，解得m=4，
∴SΔABC=3×4+8=20；
當∠ABC=90°時，AC2=AB2+BC2，則4+m2=64+（8-2）2+64+{8-m）2，解得m=14，
∴SΔABC=3×14+8=50；
綜上：存在m的值為32或4或14，使△ABC為直角三角形，面積為252或20或50．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，掌握分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題14.1 勾股定理【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題14.1 勾股定理【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版），共44頁。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題4.6 位似【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題4.6 位似【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版），共35頁。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.1 整式【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.1 整式【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版），共22頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.3 實數(shù)【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.3 實數(shù)【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.4 根與系數(shù)的關(guān)系【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.4 根與系數(shù)的關(guān)系【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題1.1 菱形的性質(zhì)與判定【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題1.1 菱形的性質(zhì)與判定【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題1.1 銳角的三角函數(shù)【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題1.1 銳角的三角函數(shù)【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部