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\l "_Tc27284" 【題型1 反比例函數(shù)中的動點(diǎn)問題】 PAGEREF _Tc27284 \h 1
\l "_Tc23485" 【題型2 反比例函數(shù)與x=a或y=a】 PAGEREF _Tc23485 \h 10
\l "_Tc5092" 【題型3 反比例函數(shù)中的存在性問題】 PAGEREF _Tc5092 \h 20
\l "_Tc18616" 【題型4 反比例函數(shù)與勾股定理、全等三角形的綜合】 PAGEREF _Tc18616 \h 31
\l "_Tc20946" 【題型5 反比例函數(shù)與圖形變換】 PAGEREF _Tc20946 \h 42
\l "_Tc16758" 【題型6 反比例函數(shù)與定值、最值】 PAGEREF _Tc16758 \h 49
\l "_Tc3234" 【題型7 反比例函數(shù)的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc3234 \h 57
【題型1 反比例函數(shù)中的動點(diǎn)問題】
【例1】（2023春·四川成都·九年級四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)校考期中）如圖，已知直線y＝x＋2與雙曲線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，4）．
（1）求雙曲線解析式；
（2）將直線y＝x＋2向下平移兩個單位得直線l，P是y軸上的一個動點(diǎn)，Q是l上的一個動點(diǎn)，求AP＋PQ的最小值，并求此時的Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M為y軸上的一個動點(diǎn)，N為平面內(nèi)一個動點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時，請求出N點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（1）y=8x；（2）32，Q(1,1)；（3）N1(?6,0),N2(6,0),N3?2,1+17,N4?2,1?17.
【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入y=x+2求解a的值，再代入y=kx中即可求得雙曲線的解析式；
（2）如圖，作A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′(?1,2)，過A′作A′Q⊥l于Q，AA′交y軸于K, 則AP+AQ取得最小值,此時AP+PQ=A′P+PQ=A′Q, 再先求解∠POQ=45°, 再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得答案，根據(jù)Q在直線y=x，且OQ =2,即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）分兩種情況討論，如圖，當(dāng)AB為邊時，當(dāng)AB為矩形的對角線時，再利用矩形的性質(zhì)及勾股定理與中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程，解方程可得答案.
【詳解】解：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)（a,4）代入y=x+2得：
∴a+2=4, 則a=1,
∴A2,4,
.∴k=xy=4×2=8,
∴ 雙曲線為y=8x,
（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′(?2,4)，過A′作A′Q⊥l于Q，AA′交y軸于K,
則AP+AQ取得最小值,此時AP+PQ=A′P+PQ=A′Q,
∴AK=A′K=2,OK=4,∠AKP=∠A′KP=90°,
∵ 將直線y=x+2向下平移2個單位得直線l，
∴l(xiāng)的解析式為：y=x, 且l是第一，第三象限的角平分線，
∴∠POQ=45°,
∴∠OPQ=45°=∠A′PK=∠KA′P,
∴A′K=PK=2,A′P=22,
∴OP=OK?PK=2,
∵∠PQO=90°,∠POQ=45°=∠OPQ,
∴PO=2, PQ=OQ,PQ2+OQ2=OP2,
∴PQ=2
∴A′Q=A′P+PQ=22+2=32
所以最小值為32；
∵QO=2，Q在y=x上，
∴ yQ=xQ
∴2=yQ2+xQ2
∴ yQ=xQ =1
∴Q(1,1)
（3）∵y=x+2與y=8x交于A,B兩點(diǎn)
則y=x+2y=8x
解得x1=2y1=4,x1=?4y1=?2
∴B?4,?2
∴AB2=(2+4)2+4+22=72
如圖，當(dāng)AB為矩形的邊時，設(shè)M10,y,
∴BM12=42+y+22，AM12=22+y?42
∵ 四邊形ABM1N1為矩形，
∴∠ABM1=90°,
∴AB2+BM12=AM12,
∴72+42+y+22=22+y?42,
∴y=?6,
∴M10,?6,
∵B(?4,?2),A(2,4),從B平移的到點(diǎn)A是先向右平移6個單位，再向上平移6個單位，
∴ M10,?6先向右平移6個單位，再向上平移6個單位，得到N1(6,0)
同理可得：AB2+AM22=BM22,
∴72+22+y?42=42+y+22,
∴y=6, 則M20,6,
由平移的性質(zhì)可得：N2?6,0.
如圖，當(dāng)AB為矩形的對角線時，設(shè)M30,y,N3a,b,
由矩形的性質(zhì)：對角線相等且互相平分，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)可得，
a=?4+2y+b=4?2a2+b?y2=72
解得：a=?2b=1±17
∴N3?2,1+17,N4?2,1?17.
綜上：N1(?6,0),N2(6,0),N3?2,1+17,N4?2,1?17..
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)，垂線段最短，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，一元二次方程的解法，做到清晰的分類討論是解題的關(guān)鍵.
【變式1-1】（2023春·遼寧沈陽·九年級沈陽市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=mx圖象交于點(diǎn)A?1,3和B3,c，與x軸交于點(diǎn)C．
(1)求一次函數(shù)y1=kx+b和反比例函數(shù)y2=mx的解析式；
(2)觀察圖象，請直接寫出使y1>y2的x取值范圍；
(3)M是y軸上的一個動點(diǎn)，作MN⊥y軸，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)N，當(dāng)由點(diǎn)O，C，M，N構(gòu)成的四邊形面積為72時，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【答案】(1)y1=?x+2，y2=?3x
(2)y1>y2的x取值范圍為：x8
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°．點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為3，4，M是BC邊的中點(diǎn)，函數(shù)y=kxx>0 的圖象經(jīng)過點(diǎn)M．
（1）求k的值；
（2）將△ABC繞某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到△DEF（點(diǎn) A，B，C 的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)），且 EF在y軸上，點(diǎn)D在函數(shù)y=kxx>0的圖象上，求直線DF的表達(dá)式．
【答案】（1）6；（2）y=2x-1．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的特點(diǎn)求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，將其代入反比例函數(shù)解析式求得k的值；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知：△DEF?△ABC，故其對應(yīng)邊、角相等：DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°，由函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到：D2,3，E0,3.結(jié)合EF=BC=4得到F0,?1，利用待定系數(shù)法求得結(jié)果.
【詳解】（1）∵Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），CB=4．
∵M(jìn)是BC邊的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2）．
∵函數(shù)y=kxx>0的圖像進(jìn)過點(diǎn)M,
∴k=3×2=6．
（2）∵△ABC繞某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC．
∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴AB=2．
∴DE=2．
∵EF在y軸上，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2．
∵點(diǎn)D在函數(shù)y=6x的圖象上，
當(dāng)x=2時，y=3．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）．
∵EF=BC=4，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-1）．
設(shè)直線DF的表達(dá)式為y=ax+b，將點(diǎn)D，F(xiàn)的坐標(biāo)代入，
得3=2a+b?1=b 解得a=2b=?1 .
∴直線DF的表達(dá)式為y=2x-1．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).解題時，注意函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.
【變式5-3】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)A1,1，點(diǎn)C3,3，反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D．

(1)試說明反比例函數(shù)y=kx的圖象也經(jīng)過點(diǎn)B；
(2)如圖2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，邊MN在x軸上，反比例函數(shù)y=kx的圖象分別交正方形MNPQ的邊PQ、PN于點(diǎn)E、F．
①求△MEF的面積；
②在x軸上是否存在一點(diǎn)G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)①74；②存在，(32,0)或(54,0)
【分析】（1）將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求得k值，再驗證點(diǎn)B即可；
（2）①S△MEF=S正方形MNPQ?S△QME?S△PEF?S△MNF，即可求解；
②分EF=EG、EF=GF、EG=GF三種情況，分別求解即可．
【詳解】（1）解：（1）∵點(diǎn)A1,1，點(diǎn)C3,3，四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)D1,3，B3,1，
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k=3，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=3x，
當(dāng)x=3時，得y=1，
∴反比例函數(shù)y=kx的圖象也經(jīng)過點(diǎn)B；
（2）解：2①平移后點(diǎn)M、N、P、Q的坐標(biāo)分別為：1,0、3,0，3,2、1,2，
則平移后點(diǎn)F橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)F3,1，
同理點(diǎn)E32,2，
∴S△MEF=S正方形MNPQ?S△QME?S△PEF?S△MNF=2×2?12×2×12?12×2×1?12×32×1=74；

②點(diǎn)F、E的坐標(biāo)分別為：3,1、32,2，
設(shè)點(diǎn)Gm,0，
則EF2=(3?32)2+(2?1)2=134，F(xiàn)G2=(m?3)2+1，GE2=(m?32)2+4，
當(dāng)EF=EG時，即134=(m?3)2+1，
解得：m=92或32，
當(dāng)m=92時，點(diǎn)E、F、G三點(diǎn)共線，故舍去，
∴m=32，
當(dāng)EF=GE時，同理可得：方程無實(shí)數(shù)根，舍去，
當(dāng)EG=GF時，同理可得：m=54，
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為：32,0或54,0，使得△GEF是等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到勾股定理的運(yùn)用、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計算等，要注意分類求解，避免遺漏．
【題型6 反比例函數(shù)與定值、最值】
【例6】（2023·山東濟(jì)寧·?？级＃┤鐖D，直線y=2x+6與反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖像交于點(diǎn)Am,8，與x軸交于點(diǎn)B，平行于x軸的直線y=n(00的解集；
(3)直線y=n沿y軸方向平移，當(dāng)n為何值時，△BMN的面積最大？最大值是多少？
【答案】(1)y=8x
(2)x>1
(3)n=3,254
【分析】（1）先把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出m的值即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k，即可確定反比例函數(shù)解析式；
（2）只需要找到當(dāng)x>0時，一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方時自變量的取值范圍即可解答；
（3）先求出M8n，n，Nn?62，n，進(jìn)而得到MN=8n?n?62，再根據(jù)三角形面積公式得到S△BMN=?14n?32+254，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【詳解】（1）解：∵直線y=2x+6經(jīng)過點(diǎn)A1，m，
∴m=2×1+6=8，
∴A1，8，
∵反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A1，8，
∴8=k1，
∴k=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=8x．
（2）解：由函數(shù)圖像可知，當(dāng)x>1時一次函數(shù)y=2x+6的圖像在反比例函數(shù)圖像的上方，
∴當(dāng)x>1時，2x+6>kx，即2x+6?kx>0
∴不等式2x+6?kx>0的解集為x>1．
（3）解：由題意，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)為M8n，n，Nn?62，n，
∵00，
∴0.0001x+3600x?2×0.0001x×3600 x=1.2，
∴當(dāng)0.0001x=3600x時，即x=6000時，0.0001x+3600x有最小值為1.2，
∴y的最小值為6.2元，
答：當(dāng)x為6000時，該設(shè)備每生產(chǎn)一個零件的運(yùn)營成本最低，最低是6.2元；
（2）∵直線y=?43x?4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴點(diǎn)A(?3,0)，點(diǎn)B(0,?4)，
設(shè)點(diǎn)M(x,12 x)，
∴C(x,0)，點(diǎn)D(0,12 x)，
∴CA=x+3，DB=12 x+4，
∵四邊形ABCD面積=12×AC×BD=12×(x+3)(12 x+4)=2(x+9x)+12，
∵x>0，
∴x+9x?2x×9x=6，
∴當(dāng)x=9x時，即當(dāng)x=3時，x+9x有最小值為6，
∴四邊形ABCD面積的最小值為24，
故答案為：24．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了完全平方公式，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，解決本題的關(guān)鍵是理解并運(yùn)用閱讀材料內(nèi)容．
【題型7 反比例函數(shù)的應(yīng)用】
【例7】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期末）學(xué)校舉行數(shù)學(xué)文化競賽．圖中的四個點(diǎn)分別描述了八（1）、八（2）、八（3）、八（4）四個班級競賽成績的優(yōu)秀率y（班級優(yōu)秀人數(shù)占班級參加競賽人數(shù)的百分率）與該班參加競賽人數(shù)x的情況，其中描述八（2）、八（4）兩個班級情況的點(diǎn)恰好在同一個反比例函數(shù)的圖像上，則成績優(yōu)秀人數(shù)最多的是（ ）

A．八（1）班B．八（2）班C．八（3）班D．八（4）班
【答案】A
【分析】設(shè)反比例函數(shù)表達(dá)式為y=kx(k>0)，過八（1）點(diǎn)，八（3）點(diǎn)作y軸的平行線交反比例函數(shù)于A，B，設(shè)八（1）點(diǎn)為(x1，y1)，八（2）點(diǎn)為(x2，y2)，八（3）點(diǎn)為(x3，y3)，八（4）點(diǎn)為(x4，y4)，點(diǎn)A為(x1，y1′)，點(diǎn)B為x3，y3′)，然后比較x1y1，x2y2，x3y3，x4y4與k的大小即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=kx(k>0)，
過八（1）點(diǎn)，八（3）點(diǎn)作y軸的平行線交反比例函數(shù)于A，B，

設(shè)八（1）點(diǎn)為(x1，y1)，八（2）點(diǎn)(x2，y2)，八（3）點(diǎn)為(x3，y3)，八（4）點(diǎn)(x4，y4)，點(diǎn)A為(x1，y1′)，點(diǎn)B為(x3，y3′)，
由圖象可知：y1>y1′，y3y1′，y3x1y1′=k，x3y3x2y2=x4y4>x3y3，
即：八（1）班優(yōu)秀人數(shù)>八（2）班優(yōu)秀人數(shù)=八（4）班優(yōu)秀人數(shù)>八（3）班優(yōu)秀人數(shù)，
∴八（1）班的優(yōu)秀人數(shù)為最多．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）五一假期，小王一家從杭州到溫州自駕游，已知杭州到溫州市區(qū)A處的路程為300千米，小王家的車油箱的容積為55升，小王把油箱加滿后駕駛汽車從杭州出發(fā)．

(1)求汽車行駛的總路程s（單位：千米）與平均耗油量b（單位：升/千米）的函數(shù)表達(dá)式．
(2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度駕駛汽車到達(dá)溫州市區(qū)A處，休整后沿圖示路線繼續(xù)出發(fā)，先到雁蕩山B處，再到楠溪江C處，最后到洞頭D處．由于下雨，從A處開始直到D處小王降低了車速，此時平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始終以此速度行駛，不需加油能否到達(dá)洞頭D處？如果不能，至少還需加多少油？
【答案】(1)s=55b(b>0)
(2)不加油不能到達(dá)洞頭D處，還需加油5升以上
【分析】（1）利用公式：路程=總?cè)莘e÷平均耗油量，即可得的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出到達(dá)溫州市區(qū)A處所需油量與從A處到達(dá)洞頭D處所需油量之和，再和55升比較即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：s=55b(b>0)；
（2）從杭州到溫州 A 處，一共耗油0.1×300=30升，
從A?B?C?D 處：
b=0.1×1+20%=0.12，
一共耗油79+40+131×0.12=30升，
∵30+30=60>55
∴不加油不能到達(dá)洞頭D處，還需：30+30?55=5升
答：不加油不能到達(dá)洞頭D處，還需加油 5升 以上．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解平均耗油量與行駛路程的關(guān)系．
【變式7-2】（2023春·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期末）某經(jīng)銷商出售一種進(jìn)價為4元/升的液體原料，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品日銷售價x元/升與日銷售量y（升）滿足反比例函數(shù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)已知如圖所示的長方體容器中裝滿了液體原料，記日銷售后長方體中剩余液體的高度為?(m)

①求h關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②物價局規(guī)定此液體原料的日銷售價最高不能超過8元/升，若該液體原料按最大日銷售利潤銷售20天，則長方體容器中剩余液體原料多少升？
【答案】(1)y=600x(x>0)
(2)①?=2?35x；②500升
【分析】（1）要確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，通過觀察表中數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)x與y的乘積是相同的，都是600，所以可知y與x成反比例，用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①用兩種方式表示日銷售量即可列方程求解；
②根據(jù)題意先求出日銷售利潤，再求出最大銷售量，進(jìn)一步可得出結(jié)論．
【詳解】（1）反比例函數(shù)能表示其變化規(guī)律．
設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx（k≠0）
將x=3，y=200代入得k=600，
∴y=600x(x>0)；
（2）①液體原料的日銷售量為1×1×2??=2??m3=10002??升，
∴y=600x=1000(2??)，
∴?=2?35x，
②設(shè)此液體原料的日銷售利潤為W（元），由題意可得
W=(x?4)×600x=600?2400x，
∵4≤x≤8，
∴當(dāng)x=8時，W有最大值，此時最大日銷售量為y=6008=75，
∵該液體原料按最大日銷售利潤銷售20天，
∴長方體容器中剩余液體原料為1×1×2×1000?75×20=500（升）
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，兩個變量的積是定值，也考查了根據(jù)實(shí)際問題和反比例函數(shù)的關(guān)系式求最大值，解答此類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)理解題意．
【變式7-3】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）建模：某班開端午聯(lián)歡會，生活委員彤彤先購買了2個裝飾掛件，共計3元，又購買了單價為2元的粽形香囊x個，設(shè)所有裝飾掛件和粽形香囊的平均價格為y元，則y與x的關(guān)系式為_______（不要求寫x的范圍）
【探究】根據(jù)函數(shù)的概念，彤彤發(fā)現(xiàn)：y是x的函數(shù)，結(jié)合自己學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，為了更好地研究這個函數(shù)，彤彤打算先脫離實(shí)際背景，對該函數(shù)的完整圖像與性質(zhì)展開探究，請根據(jù)所給信息，將彤彤的探究過程補(bǔ)充完整．
（1）列表：
填空：m=______，n=______．
（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，畫出該函數(shù)的圖像．
（3）觀察函數(shù)圖像，判斷下列描述錯誤的一項是（ ）
A．該函數(shù)圖像是中心對稱圖形
B．該函數(shù)y值不可能等于2
C．當(dāng)x>?2時，y隨x的增大而增大
D.當(dāng)x

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