2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第06講 雙曲線及其性質(zhì)
目錄
知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）．用集合表示為．
注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支．
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線．
（3）時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．
在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：
= 1 \* GB3 ①條件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．
知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)
雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)
【解題方法總結(jié)】
（1）雙曲線的通徑
過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長(zhǎng)為．
（2）點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系
對(duì)于雙曲線，點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于．
點(diǎn)在雙曲線外部，等價(jià)于 結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析．
（3）雙曲線?？夹再|(zhì)
性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；
性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；
（4）雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）
（5）雙曲線的切線
點(diǎn)在雙曲線上，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線方程為．若點(diǎn)在雙曲線外，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為
題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
例1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是離心率為2的雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點(diǎn)，，且，，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】
由題意知，∴，由雙曲線的定義知，，
則，∴，，∴，∴的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
例2．（2023·山東臨沂·高二校考期末）已知雙曲線：（，），矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在上，，的中點(diǎn)為的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【答案】
【解析】由題意得，．如圖所示，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，
在中，，故．
由雙曲線的定義可得，
則，又，所以，．
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
故答案為：.
例3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】根據(jù)題意可知橢圓方程中的a=13，
∵=
∴c=5
根據(jù)雙曲線的定義可知曲線C2為雙曲線，其中半焦距為5，實(shí)軸長(zhǎng)為8
∴虛軸長(zhǎng)為6
∴雙曲線方程為
變式1．（2023·貴州貴陽(yáng)·高二清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）漸近線方程為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)漸近線方程為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，
所以，所求雙曲線的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
變式2．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【答案】
【解析】由雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，
可設(shè)雙曲線C的方程為，又C過(guò)點(diǎn)，
所以，，
整理得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
故答案為：
變式3．（2023·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)?？计谥校╇p曲線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線的方程為，
由題意可得：，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
故答案為：.
變式4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M是雙曲線C的右支上一點(diǎn)，雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，與的夾角為，，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】∵雙曲線的一條漸近線為，即，
故焦點(diǎn)到漸近線的距離，∴.
∵向量與的夾角為，∴.
∵，
∴，∴，
由雙曲線的定義知，，∴，.
在中，由余弦定理知
，
又，∴，∴，
∴該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
變式5．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，四點(diǎn)、、、中恰有三點(diǎn)在上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且雙曲線也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故點(diǎn)、都在雙曲線上，
對(duì)于點(diǎn)，，，所以，，即點(diǎn)不在雙曲線上，
所以，點(diǎn)、、都在雙曲線上，所以，，解得，
因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
變式6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（1）若雙曲線過(guò)點(diǎn)，離心率，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（2）若雙曲線過(guò)點(diǎn)，漸近線方程是，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（3）若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】（1）由，設(shè)，則，．
設(shè)所求雙曲線的方程為①或②，
把代入①，得，與矛盾，舍去；
把代入②，得．
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由漸近線方程，可設(shè)所求雙曲線的方程為①，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入①式，得，
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（3）設(shè)所求雙曲線的方程為，
點(diǎn)在雙曲線上，
∴，即，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：；；.
【解題方法總結(jié)】
求雙曲線的方程問(wèn)題，一般有如下兩種解決途徑：
（1）在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)，，，即利用待定系數(shù)法求方程．
（2）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足的條件，來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義法求方程．
題型二：雙曲線方程的充要條件
例4．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若曲線表示雙曲線，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】曲線表示雙曲線，所以即可.
解得或，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是：.
故選：B.
例5．（2023·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若方程表示雙曲線，則，即，
由能推出，必要性成立，
由不能推出，充分性不成立，
故“”是“方程表示雙曲線”的必要不充分條件.
故選：B.
例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【解析】由題意，解得．
故選：B.
變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程，則E表示的曲線形狀是（ ）
A．若，則E表示橢圓
B．若E表示雙曲線，則或
C．若E表示雙曲線，則焦距是定值
D．若E的離心率為，則
【答案】B
【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，
即，要表示橢圓，需滿足 ，解得且，
故A錯(cuò)誤；
若E表示雙曲線，則不能為0，
故化為，
則，即或，故B正確；
由B的分析知，時(shí)， ，此時(shí)c不確定，
故焦距不是定值，C錯(cuò)誤；
若E的離心率為，則此時(shí)曲線表示橢圓，由A的分析知，且，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí) ，
則，解得 ，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí) ，
則，解得 ，故D錯(cuò)誤，
故選：B
變式8．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）設(shè)，則“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，方程表示雙曲線，
則，所以，
根據(jù)選項(xiàng)，“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為B.
故選：B.
【解題方法總結(jié)】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：．
題型三：雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題
例7．（2023·廣東揭陽(yáng)·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則雙曲線的方程可以為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)為雙曲線的下焦點(diǎn)，為雙曲線的上焦點(diǎn)，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，所以，
故，得.
因?yàn)?，所以，故點(diǎn)，
將代入雙曲線中，
即，化簡(jiǎn)得，
，
解得或（舍去），故B項(xiàng)正確.
故選：B.
例8．（2023·安徽六安·六安一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積等于（ ）
A．18B．10C．9D．6
【答案】C
【解析】直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，
則四邊形為矩形，所以，，
由雙曲線可得，，則，
所以，所以，
又，
所以，解得，
所以．
故選：C．
例9．（2023·福建漳州·高三漳州三中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線分別交雙曲線的左右兩支于兩點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由雙曲線得出.
因?yàn)?，所?
作于C，則C是AB的中點(diǎn).
設(shè)，則由雙曲線的定義，
可得.
故，
又由余弦定理得，
所以，解得.
故選：C
變式9．（2023·湖北恩施·校考模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，且到漸近線的距離為1，過(guò)的直線與C的左、右兩支曲線分別交于兩點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的為（ ）
A．的面積為2B．雙曲線C的離心率為
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線C的半焦距為，
因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，且，
則其中一條漸近線方程為，即，且，
則到漸近線的距離，可得.
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，且?br>可得，解得，
所以的面積為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：雙曲線C的離心率為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可得?br>所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)，則，
因?yàn)?，即，解得?br>所以，故D正確；
故選：D.
變式10．焦點(diǎn)三角形的作用
在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．
變式11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是?，過(guò)的弦AB與其右支交于A?B兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題可得，
則的周長(zhǎng)為.
故選：C．
變式12．（2023·云南保山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是離心率等于的雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)20，則等于（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距分別為，則，．
因?yàn)殡x心率，則，所以，，
由雙曲線的定義知，，，則，
所以的周長(zhǎng)，，
故選：D．
變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，是該雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，則由雙曲線的定義可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面積為.
故選：C.
變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線上，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若為直角三角形，則的周長(zhǎng)是
B．若為直角三角形，則的面積是6
C．若為銳角三角形，則的取值范圍是
D．若為鈍角三角形，則的取值范圍是
【答案】C
【解析】因?yàn)殡p曲線，所以，
不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則，
若為直角三角形，
當(dāng)時(shí)，則，
又，即，
所以，
，
所以，
所以的周長(zhǎng)是，的面積是；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
代入方程解得（負(fù)值舍去），所以，
故，所以，
所以的周長(zhǎng)是，的面積是6，
綜上所述，若為直角三角形，
則的周長(zhǎng)是或8，
的面積是3或6，
故A、B錯(cuò)誤；
若為銳角三角形，根據(jù)上述，則的取值范圍是，故C正確；
若為鈍角三角形，根據(jù)上述，則的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
變式15．（2023·吉林四平·高三雙遼市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別、，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為，則的面積與的面積之差為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，，
.
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，
則由的內(nèi)切圓圓心為知：，，，，
，解得：，
.
故選：C.
變式16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上一點(diǎn)P使得，求的面積（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先根據(jù)雙曲線方程得到，，，設(shè)，，可得，. 由，在根據(jù)余弦定理可得:，即可求得答案.，所以，，，
在雙曲線上，設(shè)，，
①
由，在根據(jù)余弦定理可得:
故②
由①②可得，
直角的面積
故選：C.
變式17．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）設(shè)為雙曲線（）的上一點(diǎn)，，（為左、右焦點(diǎn)），則的面積等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】雙曲線，則
不妨設(shè)是雙曲線的右支上一點(diǎn)，
則由雙曲線的定義，得
則,
所以
所以，即
所以
所以
故選：C
【解題方法總結(jié)】
對(duì)于題中涉及雙曲線上點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)距離問(wèn)題常用定義，即，在焦點(diǎn)三角形面積問(wèn)題中若已知角，則用，及余弦定理等知識(shí)；若未知角，則用．
題型四：雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題
例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【解析】根據(jù)雙曲線的定義，設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上，則，設(shè)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；由題意知，，，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上，則，設(shè)，所以，所以當(dāng)時(shí)，的值最小，最小為1，故選：A.
例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線上一點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)， 與的內(nèi)切圓切于點(diǎn)，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】與的內(nèi)切圓切于點(diǎn)，∴,由雙曲線定義= ,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,共線時(shí)取等
故選B
例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下圖所示：
在雙曲線中，，，，
圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為，
所以，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，
由雙曲線的定義可得，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)，且時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值是.
故答案為：.
變式18．（2023·河北衡水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，其右焦點(diǎn)為，為其上一點(diǎn)，點(diǎn)滿足=1，，則的最小值為( )
A．3B．C．2D．
【答案】B
【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)F（5，0）
∵M(jìn)滿足| MF |=1，∴點(diǎn)M在以F為圓心，1為半徑的圓上
∵ ，即圓的半徑，即| MP |為圓F的切線長(zhǎng)
由圓的幾何性質(zhì)，要使| MP |最小，只需圓心F到P的距離|FP|最小
∵P是雙曲線上一點(diǎn)
∴|FP|最小為c-a=5-3=2，此時(shí)| MP |=
故選：B．
變式19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若M是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．12B．6C．16D．8
【答案】D
【解析】由，可知A，B，O三點(diǎn)共線，即直線l過(guò)原點(diǎn)O，
根據(jù)雙曲線對(duì)稱性知O為AB中點(diǎn)，即，
可得，
當(dāng)和同時(shí)取最小值時(shí)，取最小值，
又由的最小值為原點(diǎn)O到直線距離，
且，即的最小值是．
故選：D.
變式20．（2023·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向的角平分線作垂線，垂足為點(diǎn)Q，則點(diǎn)和點(diǎn)Q距離的最大值為（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】C
【解析】如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)T，則因?yàn)槠椒?，，所以，?br>因?yàn)镻在雙曲線上，所以，所以，
連接，則，
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
即點(diǎn)和點(diǎn)Q距離的最大值為3，
故選：C
【解題方法總結(jié)】
利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問(wèn)題
例13．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)榈容S雙曲線的左、右焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以可設(shè)雙曲線的方程為，
又因?yàn)殡p曲線的焦距為8，所以，
而，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
由雙曲線的定義可知，，
由題意可知，，，，
所以,故的最大值為，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)位于第一象限時(shí)取得最大值.
故選：B
例14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在其右支上，點(diǎn)，三角形的面積為，則當(dāng)取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則由三角形的面積為可得，即，又雙曲線一條漸近線方程為，故，即，故，故，解得，故，雙曲線.
又由雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時(shí)取得等號(hào).
此時(shí)直線的方程為，即，聯(lián)立可得，解得，由題意可得在中間可得，代入可得，故.
故選：B
例15．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】由雙曲線方程可知，，，故右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知，所以，
從而，又為定值，
所以，此時(shí)點(diǎn)在線段與雙曲線的交點(diǎn)處（三點(diǎn)共線距離最短），
故選：B.
變式21．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．12B．11C．10D．9
【答案】D
【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，
則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，
則，故，
設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，
則，則，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選：D.
變式22．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng).當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由雙曲線得到,,，左焦點(diǎn)，
設(shè)右焦點(diǎn).當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故選：C.
變式23．（2023·福建寧德·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線，點(diǎn)F是C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為C左支上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到C的一條漸近線的距離為d，則的最小值為（ ）
A．B．C．8D．10
【答案】A
【解析】由雙曲線,可得，,
設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，不妨設(shè)一條漸近線為，即，
作，垂足為E，即，
作,垂足為H，則，
因?yàn)辄c(diǎn)P為C左支上的動(dòng)點(diǎn)，
所以，可得，
故，
由圖可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即E和H點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，
最小值為，
即的最小值為，
故選：A．
變式24．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P（0，2）．當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由雙曲線定義得,
故
如圖示，當(dāng)三點(diǎn)共線，即Q在M位置時(shí)，取最小值，
，故方程為，
聯(lián)立，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 (Q為第一象限上的一點(diǎn))，
故
故選：A
變式25．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，M?N分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．6B．9C．12D．14
【答案】B
【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，故，則其焦點(diǎn)為，
根據(jù)題意，作圖如下：
則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得等號(hào)；
，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得等號(hào)；
則，
故可得，
故的最大值為：.
故選：B.
變式26．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是右焦點(diǎn)為的雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的最小值是 .
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，
設(shè)圓的圓心為，則，半徑.
因?yàn)殡p曲線表示雙曲線的右支（除去頂點(diǎn)），
由定義可知：，
所以
（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），
因?yàn)椋?br>所以的最小值為，
故答案為：.
變式27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．5B．C．7D．8
【答案】C
【解析】記雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，取到最小值．
故選：C．
變式28．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知雙曲線是其左右焦點(diǎn).圓，點(diǎn)P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．B．C．7D．8
【答案】A
【解析】
由題設(shè)知，，，，圓的半徑
由點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)知
，∴
∴.
故選：A
變式29．（2023·四川眉山·高二四川省眉山第一中學(xué)?？计谥校┮阎请p曲線的右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線左支上，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
雙曲線中，，，，圓半徑為，，
∴，（當(dāng)且僅當(dāng)共線且在間時(shí)取等號(hào)．
∴，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．
∴的最小值是9．
故選：A．
變式30．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓：和圓：作切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圓C1：（x+4）2+y2＝4的圓心為（﹣4，0），半徑為r1＝2；
圓C2：（x﹣4）2+y2＝1的圓心為（4，0），半徑為r2＝1，
設(shè)雙曲線x21的左右焦點(diǎn)為F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），
連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，可得
|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）
＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3
＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2?2c﹣3＝2?8﹣3＝13．
當(dāng)且僅當(dāng)P為右頂點(diǎn)時(shí)，取得等號(hào)，
即最小值13．
故選D．
【解題方法總結(jié)】
在解析幾何中，我們會(huì)遇到最值問(wèn)題，這種問(wèn)題，往往是考察我們定義．求解最值問(wèn)題的過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問(wèn)題能迎刃而解．
題型六：離心率的值及取值范圍
方向1：利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換
例16．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知，分別為雙曲線Ε：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)交E于點(diǎn)C，若，，則雙曲線E的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可知，，，
所以為等邊三角形，則，則.
由雙曲線的定義，得，所以，，
則.
故選：A
例17．（2023·陜西西安·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【解析】結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可知，，，
所以為等邊三角形，則，則.
由雙曲線的定義，得，所以，，
則.
故選：A
例18．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎p曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若在上存在點(diǎn)不是頂點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)與y軸交于Q點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)?，故P點(diǎn)在雙曲線右支上，且，
故，而，
故，
在中，，即，
故，
由，且三角形內(nèi)角和為，
故，則，
即，即，
所以的離心率的取值范圍為，
故選：A
變式31．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，，四邊形的面積等于，則的離心率等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，
由題意可得：，則四邊形為平行四邊形，
因?yàn)?，即，則，所以四邊形為矩形，
設(shè)，則，
因?yàn)椋?，整理?
故選：A.
變式32．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在上且位于第一象限，圓與線段的延長(zhǎng)線，線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓為圓.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為，則的離心率為（ ）

A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】由已知及平面幾何知識(shí)可得圓心，在的角平分線上，如圖，
設(shè)圓，與軸的切點(diǎn)分別為，，顯然，直線為兩圓的公切線，切點(diǎn)也在的角平分線上，
所以，由雙曲線的定義知，則，
所以，所以，
所以，.
又圓與圓的面積之比為，這樣圓與圓的半徑之比為，
因?yàn)?，所以，即，整理得?br>故雙曲線的離心率.
故選：D.
方向2：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式
變式33．（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)校考三模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，
由雙曲線的定義知，所以.
如圖，過(guò)作，為垂足，
因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，，
由得，即，
所以，在直角中，,
即，即，
所以，解得，
因?yàn)?，所以雙曲線的離心率是.
故選：A
變式34．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線的左、右兩支于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】注意到，則，連接．
設(shè)，則，
在中，由勾股定理有，解得，
∴，
在中，由，得，
解得．
故選B．
變式35．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，為的虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線垂直于的一條漸近線，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不妨設(shè)為右焦點(diǎn)，為的虛軸的端點(diǎn)且在軸的正半徑軸上，則，則，
因?yàn)?，所以，即?br>所以直線的斜率為，
因?yàn)殡p曲線漸近線方程為，
因?yàn)橹本€垂直于的一條漸近線，所以，
所以，所以，
所以，解得，
因?yàn)椋裕?br>故選：A
變式36．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，一條漸近線與圓在第一象限交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，則的離心率為（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，連接，由雙曲線的漸近線方程為，
根據(jù)題意，點(diǎn)在第一象限，將代入，
可得，
可得
由求根公式，可得，
因?yàn)?，且，所以，所以點(diǎn)
由，可得，即，
因?yàn)椋?，即，化?jiǎn)得，
兩邊同除以，得，解得或（舍去）．
故選：C.
變式37．（2023·福建福州·福州四中校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線為左焦點(diǎn)，分別為左?左頂點(diǎn)，為右支上的點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線與以線段為直徑的圓相交，則的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，
則，
為右支上的點(diǎn)，取的中點(diǎn)為B，連接，則，
設(shè)，則，則，
在中，，
即，
又直線與以線段為直徑的圓相交，故，
設(shè)，則，
則需使，解得，
即雙曲線離心率的范圍為，
即的離心率的取值范圍為，
故選：D
變式38．（2023·河南信陽(yáng)·信陽(yáng)高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的下支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，
設(shè)，則點(diǎn)到漸近線的距離.
由雙曲線的定義可得，故，
所以，即的最小值為，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故選：A.
方向3：利用，其中為焦距長(zhǎng)，
變式39．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，斜率為的直線過(guò)，交的右支于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖，由題可知，
又因?yàn)椋裕?br>因?yàn)橹本€的斜率為，所以，
設(shè)為的中點(diǎn)，連接，易知，
所以，則，解得，
所以雙曲線的離心率為．
故選：A.
變式40．（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段恰被軸平分，則的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】如圖，設(shè)交y軸與A，A為的中點(diǎn)，
因?yàn)镺為的中點(diǎn)，故為的中位線，
則，而，則,
因?yàn)橹本€的斜率為，故中，，
故設(shè)，則，
結(jié)合雙曲線定義以及P在雙曲線右支上，即有，
則，
故選：C
變式41．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是的左、右焦點(diǎn)，若的角平分線與直線交于點(diǎn)，且，則的離心率為（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解析】作的平分線交的平分線于，過(guò)作軸，垂足分別為，如圖，
則點(diǎn)為的內(nèi)心，有，設(shè)，
，則，
于是直線與直線重合，而的角平分線與直線交于點(diǎn)，即與重合，則點(diǎn)為的內(nèi)心，
因此令，由，得，
因此，即有，即，
所以雙曲線的離心率為.
故選：B
變式42．（2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線C上一點(diǎn)，且，那么雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，
由題意可得：，
因?yàn)?，整理?
故選：D.
方向4：坐標(biāo)法
變式43．（2023·上海嘉定·?？既＃┮阎p曲線的離心率為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，因?yàn)椋裕?br>則，
所以當(dāng)時(shí)取得最小值為，
依題意恒成立，所以，
即，化簡(jiǎn)整理得，，
即，又，所以，解得.
故選：C
變式44．（2023·江西·江西師大附中校考三模）已知是雙曲線C：的左焦點(diǎn)，，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】雙曲線的漸近線為，
又，，所以直線的斜率為，
因?yàn)橹本€與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，
直線與雙曲線的一條漸進(jìn)線平行，所以，即，
所以，又，所以，
所以，解得或（舍去），所以，
故選：B
變式45．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃﹫A（為原點(diǎn)）是半徑為的圓分別與軸負(fù)半軸?雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)（在第一象限），若的另一條漸近線與直線垂直，則的離心率為（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示，由雙曲線的漸近線方程為，
聯(lián)立方程組，解得，
因?yàn)榍伊硪粭l漸近線與直線垂直，可得，
整理得，又由，所以，
解得，所以離心率為.
故選:B.
變式46．（2023·寧夏吳忠·高三吳忠中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C的右支上位于第一象限的點(diǎn)，且軸.若直線PB與直線PA的斜率之比為3，則C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】由題意可得，，，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，又，所以，
，，
則，可得．
即雙曲線的離心率為2．
故選：C．
變式47．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，且在第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由雙曲線方程知：漸近線方程為，
，，，
設(shè)，則，，即，
，，又，，，
，，，
雙曲線的離心率.
故選：D.
變式48．（2023·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線C：的左，右支分別交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，若三角形的面積大于，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不妨設(shè)是雙曲線的左焦點(diǎn)，由題可知，直線的方程為，
由，得，且，
所以，，
因?yàn)?，且大于?br>所以，
所以，解得，
又因?yàn)?，解得?br>所以，
故選：D．
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理
變式49．（2023·河南鄭州·三模）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
因?yàn)?，則，所以∽，
設(shè)，則，設(shè)，則，．
因?yàn)槠椒?，由角平分線定理可知，，
所以，所以，
由雙曲線定義知，即，，①
又由得，
在中，由余弦定理知，
在中，由余弦定理知，
即，化簡(jiǎn)得，
把①代入上式得，解得．
故選：A．
變式50．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若，的周長(zhǎng)為8a，則C的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則.因.
則.因的周長(zhǎng)為8a，，
則.
則.由余弦定理：.
則在中，由余弦定理，
.
故選：C
變式51．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知分別為雙曲線E： 的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)．若是等邊三角形，則雙曲線E的離心率為（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【解析】由雙曲線的定義，得，，
又，所以，
在中，
即 ，所以 ，即，
所以
故選：C．
變式52．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓O：與雙曲線C：的右支交于點(diǎn)A，B，若，則C的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】由，解得，
因?yàn)辄c(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以，
在中，
由余弦定理得，
即，即，
解得，所以或（舍去），
故選：B
變式53．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，直線的斜率為，可得其傾斜角為，
由題意得，則，
因?yàn)?，所以，所以，則，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理得，即，
又因?yàn)?，解?
故選：C.
變式54．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線C在第一象限的右支上一點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作雙曲線C的切線交x軸于點(diǎn)B，若，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，由，可得，
則，
點(diǎn)在雙曲線上，則，即，
可得，
可得在點(diǎn)處的切線方程為，
令，解得，
又因?yàn)?，則，
所以，
即點(diǎn)，
設(shè)雙曲線C的半焦距為，則，，
因?yàn)?，則，整理得，
則，
可得，
且點(diǎn)為雙曲線C在第一象限的右支上一點(diǎn)，則，
可得，
在中，由余弦定理可得：，
即，整理得，
所以雙曲線C的離心率.
故選：D.
變式55．（2023·安徽安慶·安慶一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn). 現(xiàn)將所在平面沿直線折成平面角為銳角的二面角，如圖，翻折后兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，且若，則的離心率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，
由題意可得：，
則，
且，則銳角二面角，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
因?yàn)椋矗?br>可得，解得.
故選：C.
變式56．（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，，，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為.
由題意，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，，
由余弦定理得，
解得，即，，
根據(jù)雙曲線定義得，
解得，
故雙曲線的離心率.
故選：D
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理
變式57．（多選題）（2023·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線上存在點(diǎn)（點(diǎn)不與左、右頂點(diǎn)重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為 （ ）
A．B．C．D．2
【答案】BC
【解析】∵，則離心率，則排除A；
記，，，
則，
由正弦定理結(jié)合分比定理可知：，
則，
所以B，C是正確的，D不正確.
故選：BC.
變式58．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在以為直徑的圓上，，
，，，，
由雙曲線定義知：，即，
；
，，，
則，，
即雙曲線離心率的取值范圍為.
故選：D.
變式59．（2023·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知、分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)P滿足，且，則該雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋謩e為雙曲線的左右焦點(diǎn)，
由正弦定理得到，
又因?yàn)榈茫?br>又∵，
∴，，
在中，，，，
∴，，
在中，，
所以，
化簡(jiǎn)得.
故選：D.
方向7：利用基本不等式
變式60．（2023·四川成都·高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知雙曲線，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作軸交雙曲線于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，連接AB，BF，當(dāng)取得最大值時(shí)，雙曲線的離心率為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】如圖，
根據(jù)題意，，，
∴，，
設(shè)直線的傾斜角為，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即，，，又
∴，
故答案為：．
變式61．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)為、，若該雙曲線上存在點(diǎn)，使得直線、的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，易知點(diǎn)、，且有，則，
，
當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，，，則，，且，
由基本不等式可得，
因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)，使得直線、的斜率之和為，則，即，
.
故答案為：.
變式62．（2023·四川·高三開(kāi)學(xué)考試（理））如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的部分的旋轉(zhuǎn)體．若該雙曲線上存在點(diǎn)P，使得直線PA，PB（點(diǎn)A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)）的斜率之和為4，則該雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，
易知點(diǎn)，，且有，則，
，
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，，，
則，，且，
由基本不等式可得，
∵存在點(diǎn)P，使得直線PA，PB的斜率之和為4，
則，即，
∴.
故答案為：．
方向8：利用漸近線的斜率求離心率
變式63．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)C的右焦點(diǎn)F作C的一條漸近線的平行線交C的另一條漸近線于點(diǎn)Q，若，則C的離心率為（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)漸近線的傾斜角為，則，
，則，
解得（舍去）或，
∴，∴.
故選：D．
變式64．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，（不重合），的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)橹本€，所以，
由題可知的垂直平分線的方程為，
將與聯(lián)立可得，即的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)，，則，且，，
兩式作差可得，
即，所以，
則雙曲線的離心率為．
故選：D
變式65．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過(guò)分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，
由雙曲線的性質(zhì)可得，直線和直線關(guān)于軸對(duì)稱，
所以和關(guān)于軸對(duì)稱，又，則設(shè)，，
又直線的方程為：，
所以代入點(diǎn)得：，解得：，
即點(diǎn)，
將點(diǎn)代入雙曲線的方程得：，
化解得：，解得：或，
又因?yàn)?，所以?br>則雙曲線的離心率，
故選：A.
變式66．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)F2作C 的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝3|OP|，則C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，
則，，
，
在中，，
在中，，
，即，
所以
故選：A ．
變式67．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知P為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P為直徑的圓與雙曲線C的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)（A，B異于點(diǎn)O），若恒成立，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】雙曲線C的兩條漸近線方程為，若恒成立，
則A，B兩點(diǎn)始終位于x軸同側(cè)，則，故，即，即，得，又，
所以雙曲線離心率的取值范圍為．
故選：A．
變式68．（2023·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，直線與另一條漸近線平行，所以．
當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，
由得：，則，
所以，則，
所以，則．
當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，
由得：，則，則，
所以，則，
所以，則．
綜上，的離心率為或．
故選：D
變式69．（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖，
設(shè)雙曲線C的焦距為2c，由可得，
所以，即，
所以．
故選：A．
變式70．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的方程為，斜率為的直線與圓相切于M，與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B，且M為AB中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】依題意，設(shè)直線的方程為，圓的方程可化為，即圓心坐標(biāo)為，半徑為，
因?yàn)橹本€與圓相切于M，所以，由可化簡(jiǎn)得，
則直線的方程為，雙曲線C的兩條漸近線分別為，，
由得，同理可得，
因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，
M在圓上，將M的坐標(biāo)代入圓方程可得，
化簡(jiǎn)整理得，從而可得，
則雙曲線C的離心率.
故選：B
變式71．（2023·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已知點(diǎn)在雙曲線上，到兩漸近線的距離為，，若恒成立，則的離心率的最大值為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】雙曲線的漸近線方程為，即，
設(shè)雙曲線上的點(diǎn)，所以，即
則到兩條漸近線的距離分別為，，
所以，
又，
因?yàn)楹愠闪?，所以，整理得，?br>所以離心率，則的離心率的最大值為.
故選：A.
方向9：利用雙曲線第三定義
變式72．（多選題）（2023·云南·羅平縣第一中學(xué)高二期中）已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的平行線交于點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn).若，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線的漸近線方程為
C．點(diǎn)到兩漸近線的距離的乘積為
D．為坐標(biāo)原點(diǎn)，則
【答案】ABD
【解析】雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)F的直線與直線平行，交C于點(diǎn)A.
對(duì)于A：設(shè)雙曲線半焦距為c，過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線的方程為，與聯(lián)立，解得，
設(shè)，由，可得，
所以，
所以，即，
所以雙曲線的離心率為，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：由，可得，所以，
所以漸近線方程為，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C：A到兩漸近線距離的乘積，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，
所以，
所以，故選項(xiàng)D正確．
故選：ABD.
變式73．（2023·湖南郴州·高二期末）雙曲線的左右頂點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若的斜率滿足，則雙曲線的離心率為_(kāi)________．
【答案】
【解析】由題意知：，，
若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，四邊形為平行四邊形，
，即，；
設(shè)，則，
，
雙曲線的離心率.
故答案為：.
變式74．（2023·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為上不同于的一點(diǎn)，直線的斜率分別為，若的離心率為，則（ ）
A．3B．1C．2D．
【答案】B
【解析】由題意可知點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則有，，
都在雙曲線上，有，，兩式相減得，
則，得，即，
又由，則.
故選：.
變式75．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）不與x軸重合的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】設(shè)，
則，兩式相減得，
即，
即 ，所以，
因?yàn)槭茿B垂直平分線，有，所以，
即，化簡(jiǎn)得，故.
故選：C.
方向10：利用對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)焦半徑的取值范圍
變式76．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為.若雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】依題意，點(diǎn)在雙曲線的右支，P不與雙曲線頂點(diǎn)重合，
在中，由正弦定理得：
，因，于是得，
而點(diǎn)P在雙曲線M的右支上，即，從而有，
點(diǎn)P在雙曲線M的右支上運(yùn)動(dòng)，并且異于頂點(diǎn)，于是有，
因此，而，整理得，即，
解得，又，故有，
所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.
故答案為：
變式77．（2023·吉林長(zhǎng)春·二模（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由雙曲線定義可知，，，結(jié)合 可得，從而，又因?yàn)殡p曲線的離心率大于 ，所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.
變式78．（2023·江蘇·金沙中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由條件得，所以，即，
又因?yàn)?，所以?br>即，得，
又，所以．
故選：C
變式79．（2023·山西·朔州市朔城區(qū)第一中學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試）設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為?，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義可得，
又，所以，即，則，
因?yàn)殡p曲線中，，
即，則，即，
又雙曲線的離心率大于，所以.
故選：A.
變式80．（2023·湖南·衡陽(yáng)市八中一模（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以
因?yàn)?，所以可?br>根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，可得
所以，即
所以雙曲線的離心率e的最大值為
故選：C
變式81．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由雙曲線定義可得：
|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，
當(dāng)且僅當(dāng)=|PF1|，即|PF1|=2a時(shí)取得等號(hào).此時(shí)
由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，，即可，又雙曲線的離心率，∴.
故選:C.
【解題方法總結(jié)】
求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍．具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法．
題型七：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題
例19．（2023·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）等軸雙曲線的焦距為 .
【答案】
【解析】由題意得，，故，故，焦距為.
故答案為：
例20．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作C的一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于B點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的半徑為 ．
【答案】
【解析】
雙曲線C：的左焦點(diǎn)為，到漸近線的距離,
聯(lián)立方程組，
解得
可得，
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，在中，，
故答案為：.
例21．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)雙曲線上一點(diǎn)（）的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，則 .
【答案】
【解析】因?yàn)樵陔p曲線，即有，又
由得，由得，
因此，，，
則，
所以.
故答案為：
變式82．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，存在過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且為正三角形．試寫出一個(gè)滿足上述條件的雙曲線的方程： ．
【答案】（答案不唯一，符合題意即可）
【解析】如圖，取，且x軸，
可得，，
即，為正三角形，
符合題意，此時(shí)雙曲線的方程為.
故答案為：.
變式83．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的焦距為4，焦點(diǎn)到C的一條漸近線的距離為1，則C的漸近線方程為
【答案】
【解析】由雙曲線對(duì)稱性得，一個(gè)焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離相等，不妨取漸近線為，即，焦點(diǎn)為，
則焦點(diǎn)到漸近線的距離，
由焦距為4得，故，
故C的漸近線方程為.
故答案為：.
變式84．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線（，）的一條漸近線恰好平分第一、三象限，若的虛軸長(zhǎng)為4，則的實(shí)軸長(zhǎng)為 .
【答案】4
【解析】由題意可知，雙曲線的一條漸近線為直線，故，故其實(shí)軸長(zhǎng)為.
變式85．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）已知直線：過(guò)雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，且與的一條漸近線平行，則的實(shí)軸長(zhǎng)為 ．
【答案】2
【解析】直線與軸交點(diǎn)為，斜率為，
由題意，解得，
所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為．
故答案為：2.
變式86．（2023·北京房山·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于兩點(diǎn)，則 .
【答案】
【解析】雙曲線的離心率為，
可得，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為：，
一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，圓的圓心，半徑為1，
圓的圓心到直線的距離為：，
所以．
故答案為：．
【解題方法總結(jié)】
處理雙曲線的問(wèn)題的時(shí)候，如果需要畫圖，注意作圖規(guī)范，結(jié)合圖象分析，另外因?yàn)殡p曲線有兩條漸近線，所以要分清楚，到底是點(diǎn)在雙曲線上還是漸近線上，切勿搞混．
題型八：利用第一定義求解軌跡
例22．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)，且與圓外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為 .
【答案】，
【解析】定圓的圓心為，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則有，因?yàn)榕c圓外切，
所以，即，
所以點(diǎn)的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
則，，，
所以軌跡方程為，，即，.
故答案為：，
例23．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，
則，即，
又，則，
整理得，
即點(diǎn)M的軌跡方程為.
故答案為：
例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，
則由題意可得，，相減可得，
故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
由題意可得，，，
故點(diǎn)的軌跡方程為．
故答案為：
變式87．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，是的平分線，過(guò)作的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】延長(zhǎng)，交于，因?yàn)椋?br>，所以，所以，
所以，
因?yàn)镸是雙曲線C右支上一點(diǎn)，所以，
又因?yàn)镻是的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，所以，
所以P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為2的圓的一部分，
所以點(diǎn)P的軌跡方程為．
故答案為：.
變式88．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程是 .
【答案】
【解析】由題意知：，，故M的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，
設(shè)雙曲線方程為，由可得，故點(diǎn)M的軌跡方程是.
故答案為：.
變式89．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若動(dòng)圓與兩定圓及都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是 .
【答案】
【解析】設(shè)圓為可得圓心，半徑，
設(shè)圓為可得圓心，半徑，且，
設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓同時(shí)與圓外切和圓外切，
所以，，
所以，
所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
所以，，，
所以動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為：.
故答案為：.
變式90．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：和圓：，動(dòng)圓M同時(shí)與圓及圓外切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由題，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,
當(dāng)動(dòng)圓與圓，圓外切時(shí),,,
所以,
因?yàn)閳A心,，即，又
根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的上支，其中，，
所以,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是；
故答案為：
變式91．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A(－5，0)，B(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，8成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由已知得，
∴點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)雙曲線的方程為
則a＝4，b＝3，c＝5，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為．
故答案為：﹒
變式92．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，，動(dòng)圓與直線切于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)且與圓相切的兩條直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】如圖所示：
設(shè)PM，PN分別與圓C相切與R，Q，
由圓的切線長(zhǎng)定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB，
所以PM-PN=RM-QN=MB-NB=20)，且滿足條件sin C－sin B＝sin A，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是 ．
【答案】 (x>0且y≠0)
【解析】由sin C－sin B＝sin A，利用正弦定理得 (R為外接圓半徑)，
所以|AB|－|AC|＝|BC|=，
可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，為雙曲線右支(除去右頂點(diǎn))．
且實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸，焦點(diǎn)為，
所以方程為(x>0且y≠0).
故答案為(x>0且y≠0).
變式97．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考一模）設(shè)?是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)作平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡方程是 .
【答案】
【解析】點(diǎn)關(guān)于的角平分線PQ的對(duì)稱點(diǎn)P在直線的延長(zhǎng)線上，故，又OQ是的中位線，故，點(diǎn)Q的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，a為半徑的圓，則點(diǎn)Q的軌跡方程為.
【解題方法總結(jié)】
常見(jiàn)考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)做判斷．焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍．
題型九：雙曲線的漸近線
例25．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 ．
【答案】
【解析】，，即，，
雙曲線方程為，漸近線方程為．
故答案為：
例26．（2023·上海徐匯·高三上海市徐匯中學(xué)?？计谥校╇p曲線兩條漸近線的夾角大小是
【答案】60°/
【解析】雙曲線的兩條漸近線的方程為，
由直線的斜率為，可得傾斜角為，
的斜率為，可得傾斜角為，
所以兩條漸近線的夾角的大小為，
故答案為：.
例27．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知為雙曲線上一點(diǎn)，以為切點(diǎn)的切線為，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為 ．
【答案】
【解析】雙曲線的漸近線為，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，
顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線，，
由得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
由消去x得，
于是，化簡(jiǎn)得，
直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以的面積.
故答案為：
變式98．（2023·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于兩點(diǎn)（如圖）.若構(gòu)成以為頂角的等腰三角形，則雙曲線的漸近線方程為 .

【答案】
【解析】由題意可得，由雙曲線的定義及點(diǎn)在右支上，，
又點(diǎn)在左支上，則，則，
在中，由余弦定理可得，
而與漸近線垂直，于是，即，從而得，
所以，即，化簡(jiǎn)得，解得，
所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：
變式99．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)點(diǎn)M?N是函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由，得，于是函數(shù)的圖
象是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線在第二象限的部分，是其漸近線，如圖，
令過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線相切的切點(diǎn)為，則，
整理得，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則的解為，
即過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線相切的切點(diǎn)為，切線方程為，設(shè)其傾斜角為，有，
因?yàn)辄c(diǎn)M、N是函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則，
而正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，
又，
所以的取值范圍是.
故答案為：
變式100．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作漸近線的垂線交雙曲線的左支于點(diǎn)，已知，則雙曲線的漸近線方程為 ．
【答案】
【解析】依題意，，，則，令雙曲線半焦距為c，
雙曲線的漸近線方程為，則點(diǎn)到漸近線的距離，有，
在中，由余弦定理，
得，整理得，即，解得，
所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：
變式101．（2023·重慶萬(wàn)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C在第一象限上的一點(diǎn)，且直線的斜率為，的平分線交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B滿足，，則雙曲線C的漸近線方程為 ．
【答案】
【解析】過(guò)作，
由點(diǎn)滿足，
則在方向上的投影與在方向上的投影長(zhǎng)度相等,
即，則,
即，即為的平分線,
則為的內(nèi)心，
連接，又點(diǎn)滿足,
,
,
又，則,
又直線的斜率為，,
在中結(jié)合余弦定理
，
可得，
化簡(jiǎn)得，則，
即，即雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
掌握雙曲線方程與其漸近線方程的互求；由雙曲線方程容易求得漸近線方程；反之，由漸近線方程可得出，的關(guān)系式，為求雙曲線方程提供了一個(gè)條件．另外，焦點(diǎn)到漸近線的距離為虛半軸長(zhǎng)．
題型十：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線
例28．（2023·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓與雙曲線共焦點(diǎn)，雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，
因?yàn)殡p曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，則，
設(shè)橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)為、，且、為兩曲線的左、右焦點(diǎn)，
設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，在第三象限的交點(diǎn)為，
則，解得，
由對(duì)稱性可知、的中點(diǎn)均為原點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，
因?yàn)椤?、、四點(diǎn)共圓，則有，故，
由勾股定理可得，即，即，
即，故橢圓的離心率為.
故選：C.
例29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為，設(shè)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦距為，利用余弦定理得到，再根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，得到，代入求解.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，
交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦距為，
則，
又，，故，，
所以，
化簡(jiǎn)得，
即 .
故選：B
例30．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知F是橢圓：（）的右焦點(diǎn)，A為橢圓的下頂點(diǎn)，雙曲線：（，）與橢圓共焦點(diǎn)，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】設(shè)的半焦距為c（），則，又，
所以，又直線與的一條漸近線平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
即的最小值為．
故答案為：
變式102．（2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為，則雙曲線方程為 .
【答案】
【解析】先由橢圓方程求出橢圓的離心率以及，再結(jié)合雙曲線的離心率得出雙曲線方程.橢圓的
雙曲線的離心率
由題意可知，解得
故雙曲線方程為
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
橢圓離心率與雙曲線離心率必定滿足的關(guān)系式為：．
1．（2023?甲卷）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】雙曲線的離心率為，
可得，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為：，
一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，圓的圓心，半徑為1，
圓的圓心到直線的距離為：，
所以．
故選：．
2．（2023?天津）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因?yàn)檫^(guò)作一條漸近線的垂線，垂足為，
則，
所以①，
聯(lián)立，可得，，即，，
因?yàn)橹本€的斜率，
整理得②，
①②聯(lián)立得，，，
故雙曲線方程為．
故選：．
3．（2021?甲卷）已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的離心率為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】設(shè)，，
則根據(jù)題意及余弦定理可得：
，解得，
所求離心率為．
故選：．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）掌握雙曲線的幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線）．
（3）了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
2023年甲卷（文）第8題，5分
2023年天津卷第9題，5分
2023年北京卷第12題，5分
2023年I卷第16題，5分
雙曲線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，但從總體上看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低，在高考中雙曲線的試題以選填題為主，解答題考查雙曲線的可能性不大．在雙曲線的試題中，離不開(kāi)漸近線的考查，幾乎所有雙曲線試題均涉及漸近線，因此雙曲線的試題中，最為重要的是三點(diǎn)：方程、漸近線、離心率．
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
A2
焦點(diǎn)坐標(biāo)
，
，
對(duì)稱性
關(guān)于，軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱
頂點(diǎn)坐標(biāo)
，
，
范圍
實(shí)軸、虛軸
實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為
離心率
漸近線方程
令，
焦點(diǎn)到漸近線的距離為
令，
焦點(diǎn)到漸近線的距離為
點(diǎn)和雙曲線
的位置關(guān)系
共焦點(diǎn)的雙曲線方程
共漸近線的雙曲線方程
切線方程
為切點(diǎn)
為切點(diǎn)
切線方程
對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得．
切點(diǎn)弦所在直線方程
為雙曲線外一點(diǎn)
為雙曲線外一點(diǎn)
點(diǎn)為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)
弦長(zhǎng)公式
設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為，，．
則弦長(zhǎng)，
，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù)．
通徑
通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為
焦點(diǎn)三角形
雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的成為焦點(diǎn)三角形，
設(shè)，，，則，
，
焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是
等軸雙曲線
等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為．

相關(guān)試卷

第06講 雙曲線及其性質(zhì)（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)（新教材新高考）：

這是一份第06講 雙曲線及其性質(zhì)（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)（新教材新高考），文件包含第06講雙曲線及其性質(zhì)練習(xí)原卷版docx、第06講雙曲線及其性質(zhì)練習(xí)解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共43頁(yè)， 歡迎下載使用。

第05講 橢圓及其性質(zhì)（八大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）：

這是一份第05講 橢圓及其性質(zhì)（八大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考），文件包含第05講橢圓及其性質(zhì)八大題型講義原卷版docx、第05講橢圓及其性質(zhì)八大題型講義解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共108頁(yè)， 歡迎下載使用。

第03講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（十大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）：

這是一份第03講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（十大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考），文件包含第03講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)十大題型講義原卷版docx、第03講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)十大題型講義解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共113頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

最新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【講通練透】 第06講 雙曲線及其性質(zhì)（十大題型）（講通）

最新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【講通練透】 第06講 雙曲線及其性質(zhì)（十大題型）（講通）
最新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【講通練透】 第06講 雙曲線及其性質(zhì)（練透）

最新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【講通練透】 第06講 雙曲線及其性質(zhì)（練透）
第06講 雙曲線及其性質(zhì)（十大題型）（講義）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)（新教材新高考）

第06講 雙曲線及其性質(zhì)（十大題型）（講義）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)（新教材新高考）
第03講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（十大題型）（講義）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

第03講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（十大題型）（講義）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部