2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第06講 雙曲線及其性質(zhì)
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，，所以根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，．
又，則，所以的面積為．
故選：B.
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知雙曲線，過E的右頂點(diǎn)A且與一條漸近線平行的直線交y軸于點(diǎn)B，的面積為2，則E的焦距為（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【解析】
由題意可得，，且直線與雙曲線的一條漸近線平行，所以，
則可得直線的方程為，令，可得，即，
所以，則，解得，
所以，即，則E的焦距.
故選：D
3．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預(yù)測）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C的右支上位于第一象限的點(diǎn)，且軸.若直線PB與直線PA的斜率之比為3，則C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】由題意可得，，，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，又，所以，
，，
則，可得．
即雙曲線的離心率為2．
故選：C．
4．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于兩點(diǎn)，若的周長為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，由代入雙曲線的方程可得，
則有，，，
，，
由題意可得，
結(jié)合，上式化簡可得，
當(dāng)時(shí)，取得最大值4，
，，，
雙曲線離心率．
故選：A．
5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，為內(nèi)心，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示：
由題意為內(nèi)心，
設(shè)，，，內(nèi)切圓半徑為，
所以，又因?yàn)椋?br>即，
化簡得，
由雙曲線定義可知，因此有；
注意到，且以及，
聯(lián)立并化簡得，即 ，
解得或（舍去，因?yàn)椋?br>故選：C
6．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)F是雙曲線（）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知即為等腰三角形，
故是銳角三角形，只需，
將代入可得，
故在中，，，
則，化簡整理，得，
∴，∴，
又，∴，
故選：B.
7．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎p曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若在上存在點(diǎn)不是頂點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)與y軸交于Q點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)?，故P點(diǎn)在雙曲線右支上，且，
故，而，
故，
在中，，即，
故，
由，且三角形內(nèi)角和為，
故，則，
即，即，
所以的離心率的取值范圍為，
故選：A
8．（2023·福建福州·福州四中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線為左焦點(diǎn)，分別為左?左頂點(diǎn)，為右支上的點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線與以線段為直徑的圓相交，則的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，
則，
為右支上的點(diǎn)，取的中點(diǎn)為B，連接，則，
設(shè)，則，則，
在中，，
即，
又直線與以線段為直徑的圓相交，故，
設(shè)，則，
則需使，解得，
即雙曲線離心率的范圍為，
即的離心率的取值范圍為，
故選：D
9．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）如圖，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過點(diǎn)與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)．若是的中點(diǎn)，且，則此雙曲線的離心率為（ ）

A．B．2C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，則，所以是直角三角形，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以是直角斜邊中線，因此，而點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
所以是等腰三角形，因此，由雙曲線漸近線的對稱性可知中：
，于是有：，
因?yàn)殡p曲線漸近線的方程為：，因此有：
，
故選：B.
10．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知雙曲線，為的左焦點(diǎn).經(jīng)過原點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于A，兩點(diǎn)，且，，則的一條漸近線的傾斜角可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由已知結(jié)合雙曲線的對稱性可得，四邊形為長方形.
所以，.
設(shè)，，
根據(jù)雙曲線的定義可得，.
又，在中，有.
又，所以.
由正弦定理可得，，即.
又，
，
所以，，
所以，，即，
解得，，
所以，.
又，
所以，
所以，，，所以.
所以，雙曲線的漸近線方程為.
所以，傾斜角為或.
故選：C.
11．（多選題）（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）已知方程，其中，現(xiàn)有四位同學(xué)對該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個(gè)命題，其中真命題有：（ ）
A．可以是圓的方程B．一定不能是拋物線的方程
C．可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程D．一定不能是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【答案】ACD
【解析】因?yàn)榉匠?，其中?br>所以當(dāng)時(shí)，方程為，
即是圓的方程，故方程可以是圓的方程，故A正確；
當(dāng)時(shí)，方程為，
即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，方程為，
即是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故C正確；
若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有，
這與矛盾，故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，故D正確.
故選：ACD.
12．（多選題）（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．的面積為B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或
C．的漸近線方程為D．以線段為直徑的圓的方程為
【答案】AB
【解析】由雙曲線方程知，，所以雙曲線的漸近線方程為，故C錯(cuò)誤；
又，所以為直徑的圓方程為，故D錯(cuò)誤；
由，得或，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或，故B正確；
又，所以，故A正確．
故選：AB．
13．（多選題）（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過向圓作一條切線與漸近線和分別交于點(diǎn)（恰好為切點(diǎn)，且是漸近線與圓的交點(diǎn)），設(shè)雙曲線的離心率為.當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．
B．
C．當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，
D．當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，
【答案】BC
【解析】因?yàn)榍?，所以，切點(diǎn)不在雙曲線上，不正確，正確；
若，在中，，
當(dāng)分別在一二象限時(shí)（如圖1），，設(shè)的傾斜角為，
則；
當(dāng)分別在二?三象限時(shí)（如圖2），設(shè)的傾斜角為，
則，
正確，錯(cuò)誤.
故選：
14．（多選題）（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線：上、下焦點(diǎn)分別為，，虛軸長為，是雙曲線上支上任意一點(diǎn)，的最小值為.設(shè)，，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，分別與E的上支交于點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，.下列說法中正確的是（ ）
A．雙曲線的方程為B．
C．以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，平行于軸
【答案】ACD
【解析】由題知，，，，解得，所以雙曲線方程為，A正確；
由A知，，，設(shè)，則，，
所以，B錯(cuò)；
由上述知，直線方程為，直線方程為，
聯(lián)立，得，因點(diǎn)是異于的上支點(diǎn)，
所以，代入直線方程得，即，
聯(lián)立，得，因點(diǎn)是異于的上支點(diǎn)，
所以，代入直線方程得，即，
則，，
所以，即，所以以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，C正確；
當(dāng)時(shí)，即，，所以代入坐標(biāo)得，
所以平行于軸，D正確.
故選：ACD
15．（多選題）（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┪覈紫妊兄瞥晒Φ摹半p曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13
D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則
【答案】ABD
【解析】因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，漸近線方程為，
選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即A正確；
選項(xiàng)B，由雙曲線的定義知，，
若，則，
因?yàn)椋?br>所以，
解得，即B正確；
選項(xiàng)C：，即C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，因?yàn)槠椒?，由角分線定理知，，
所以，
又，
所以，解得，即D正確.
故選：ABD.
16．（多選題）（2023·廣東廣州·華南師大附中?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，雙曲線：的下、上焦點(diǎn)分別是，，漸近線方程為，為雙曲線上任意一點(diǎn)，平分，且，，則（ ）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線的方程為
C．若直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，則
D．點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為
【答案】AD
【解析】不妨設(shè)為雙曲線的下支上一點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，如圖，
因?yàn)?，因?yàn)槠椒?，所以?br>所以，所以為等腰三角形，
則為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，
根據(jù)雙曲線的定義得，，所以，，
因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，得，，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為，所以A正確，B不正確；
設(shè)，，，因?yàn)?，在雙曲線上，所以①，②，
①
②并整理得，，因?yàn)椋?br>所以，，所以C不正確.
由，代入，即，即，
所以點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為，所以D正確；
故選：AD.
17．（多選題）（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，是橢圓：與雙曲線：的公共焦點(diǎn)，，分別是與的離心率，且P是與的一個(gè)公共點(diǎn)，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．的最小值為D．的最大值為
【答案】BD
【解析】對選項(xiàng)A：橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)，故，故A錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)B：，不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn)，即，由于，，故，，故，即，即，故B正確；
對選項(xiàng)C：由得，則，令，所以，
由于，所以對勾函數(shù)在單調(diào)遞增，故,沒有最小值，故C錯(cuò)誤，
對選項(xiàng)D：設(shè)，，，
，若最大值為，則，，，即，，，成立，故D正確；
故選：BD
18．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，存在過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且為正三角形．試寫出一個(gè)滿足上述條件的雙曲線的方程： ．
【答案】（答案不唯一，符合題意即可）
【解析】如圖，取，且x軸，
可得，，
即，為正三角形，
符合題意，此時(shí)雙曲線的方程為.
故答案為：.
19．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于等于兩組對邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)圓上時(shí)等號成立.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，滿足，若，則雙曲線的離心率 .
【答案】/
【解析】由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，及雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，，
則，，可得四邊形為平行四邊形，
又及托勒密定理，可得四邊形為矩形．
設(shè)，，
在中，，
則，，
，，，
，解得．
雙曲線的離心率為．
故答案為：．
20．（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為的左焦點(diǎn)，若的面積為，則的離心率為 ．
【答案】
【解析】由題設(shè)知：，則，
所以且，易知：，
又，故，且，
所以，則，
化簡得，解得或（舍），
綜上，，故，則離心率為.
故答案為：
21．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為P，點(diǎn)Q為線段PF的中點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)E在雙曲線上，則 .
【答案】
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)P在漸近線上，令，由題意知，
又，解得，所以.
因?yàn)辄c(diǎn)Q為線段PF的中點(diǎn)，所以，又，所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)E在雙曲線上，所以，解得，所以.
故答案為：
22．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：，過雙曲線C的右焦點(diǎn)F作直線交雙曲線C的漸近線于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，且滿足，，則雙曲線C的離心率為 .
【答案】/
【解析】
雙曲線C：的右焦點(diǎn)，漸近線方程為，
設(shè)，
因?yàn)?，所以，所以，即①，?br>又分別在漸近線上，所以代入②可得：，再代入①得
故，則，所以
整理得：，又，所以，
則，即，故，所以，
則雙曲線C的離心率.
故答案為：.
23．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C的方程為：，離心率為，過C的右支上一點(diǎn)，作兩條漸近線的平行線，分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，且．過點(diǎn)P作的角平分線，在角平分線上的投影為點(diǎn)H，則的最大值為 ．
【答案】/
【解析】，
，即，
兩漸近線方程為，
設(shè)為右支上一點(diǎn)，則，
設(shè)，，
分別令，可得，，
又，
，即，
，
所以雙曲線方程為，故，
延長交于，如圖，
因?yàn)槠椒智遥裕?br>又，，為中點(diǎn)，
，
，
，
，
即的最大值為.
故答案為：
1．（2021?甲卷）點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，即，
結(jié)合對稱性，不妨考慮點(diǎn)到直線 的距離，
則點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離．
故選：．
2．（2021?天津）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于，兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為
A．B．C．2D．3
【答案】
【解析】解由題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，
由題意可得：，漸近線的方程為：，
可得，，，，
，，，，
所以，，
由，
解得：，所以雙曲線的離心率，
故選：．
3．（2021?北京）雙曲線的離心率為2，且過點(diǎn)，，則雙曲線的方程為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，，
則有①，
又離心率為2，
則②，
由①②可得，，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：．
4．（多選題）（2022?乙卷）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過作的切線與交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為，
設(shè)過的切線與圓相切于點(diǎn)，
則，，又，
所以，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
所以，又為的中點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)?，，所以?br>所以，則，
所以，
由雙曲線的定義可知，
所以，可得，即，
所以的離心率．
情況二：當(dāng)直線與雙曲線交于一支時(shí)，
如圖，記切點(diǎn)為，連接，則，，
過作于，則，因?yàn)椋?，?br>，即，
所以，正確．
故選：．
5．（2023?北京）已知雙曲線的焦點(diǎn)為和，離心率為，則的方程為 ．
【答案】．
【解析】根據(jù)題意可設(shè)所求方程為，，
又，解得，，，
所求方程為．
故答案為：．
6．（2023?新高考Ⅰ）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為 ．（法一）如圖，設(shè)，，，
設(shè)，則，
又，則，可得，
又，且，
則，化簡得．
又點(diǎn)在上，
則，整理可得，
代，可得，即，
解得或（舍去），
故．
（法二）由，得，
設(shè)，由對稱性可得，
則，
設(shè)，則，
所以，解得，
所以，
在△ 中，由余弦定理可得，
即，則．
故答案為：．
7．（2022?甲卷）記雙曲線的離心率為，寫出滿足條件“直線與無公共點(diǎn)”的的一個(gè)值 ．
【答案】，內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意）．
【解析】雙曲線的離心率為，，
雙曲線的漸近線方程為，
直線與無公共點(diǎn)，可得，即，即，
可得，
滿足條件“直線與無公共點(diǎn)”的的一個(gè)值可以為：2．
故答案為：，內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意）．
8．（2022?甲卷）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
【答案】．
【解析】雙曲線的漸近線：，
圓的圓心與半徑1，
雙曲線的漸近線與圓相切，
，解得，舍去．
故答案為：．
9．（2022?浙江）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)，且．若，則雙曲線的離心率是 ．
【答案】．
【解析】（法一）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
由于，且，則點(diǎn)在漸近線上，不妨設(shè)，
設(shè)直線的傾斜角為，則，則，即，則，
，
又，則，
又，則，則，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，即，
．
（法二）由，解得，
又，
所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
代入方程中，解得，
所以，代入雙曲線方程中，可得，
所以．
故答案為：．
10．（2022?北京）已知雙曲線的漸近線方程為，則 ．
【答案】．
【解析】雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，
所以，雙曲線的漸近線方程，
又雙曲線的漸近線方程為，
所以，解得．
故答案為：．
11．（2021?乙卷）已知雙曲線的一條漸近線為，則的焦距為 ．
【答案】4．
【解析】根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線為，
則有，解可得，
則雙曲線的方程為，則，
其焦距；
故答案為：4．
12．（2021?乙卷）雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離為 ．
【答案】．
【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)，
所以右焦點(diǎn)到直線的距離為．
故答案為：．
13．（2021?新高考Ⅱ）已知雙曲線的離心率，則該雙曲線的漸近線方程為 ．
【答案】．
【解析】雙曲線的方程是，
雙曲線漸近線為
又離心率為，可得
，即，可得
由此可得雙曲線漸近線為
故答案為：
14．（2021?全國）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在直線上，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】由雙曲線的方程可得左右焦點(diǎn)，
設(shè)為關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，
則，可得，，
連接與直線的交點(diǎn)為，則，
故答案為：．
15．（2023?新高考Ⅱ）已知雙曲線中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，，離心率為．
（1）求的方程；
（2）記的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，在第二象限，直線與交于，證明在定直線上．
【解析】（1）雙曲線中心為原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，，離心率為，
則，解得，
故雙曲線的方程為；
（2）證明：過點(diǎn)的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，
則可設(shè)直線的方程為，，，，，
記的左，右頂點(diǎn)分別為，，
則，，
聯(lián)立，化簡整理可得，，
故△且，
，，
直線的方程為，直線方程，
故
，
故，解得，
所以，
故點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)．
16．（2022?新高考Ⅰ）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面積．
【解析】（1）將點(diǎn)代入雙曲線方程得，
化簡得，，故雙曲線方程為，
由題顯然直線的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，，
則聯(lián)立雙曲線得：，
故，，
，
化簡得：，
故，
即，而直線不過點(diǎn)，故；
（2）設(shè)直線的傾斜角為，由，
，得
由，，
得，即，
聯(lián)立，及得，
同理，
故，
而，由，得，
故．
17．（2022?新高考Ⅱ）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
（1）求的方程；
（2）過的直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，，，在上，且，．過且斜率為的直線與過且斜率為的直線交于點(diǎn)．從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．
①在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】（1）由題意可得，，
解得，，
因此的方程為，
（2）解法一：設(shè)直線的方程為，，將直線的方程代入可得，
△，
，，
，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，
兩式相減可得，
，
，
解得，
兩式相加可得，
，
，
解得，
，其中為直線的斜率；
若選擇①②：
設(shè)直線的方程為，并設(shè)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，
則，解得，，
同理可得，，
，，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，解得，，
為的中點(diǎn)，即；
若選擇①③：
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)不在直線上，矛盾，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，并設(shè)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，
則，解得，，
同理可得，，
此時(shí)，
，
由于點(diǎn)同時(shí)在直線上，故，解得，
因此．
若選擇②③，
設(shè)直線的方程為，并設(shè)的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為，，
則，解得，，
同理可得，，
設(shè)的中點(diǎn)，，則，，
由于，故在的垂直平分線上，即點(diǎn)在直線上，
將該直線聯(lián)立，解得，，
即點(diǎn)恰為中點(diǎn)，故點(diǎn)在直線上．
（2）解法二：由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，
若選由①②③，或選由②③①：由②成立可知直線的斜率存在且不為0．
若選①③②，則為線段的中點(diǎn)，假設(shè)的斜率不存在，
則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn)，
此時(shí)由對稱性可知、關(guān)于軸對稱，從而，已知不符．
綜上，直線的斜率存在且不為0，
直線的斜率為，直線的方程為．
則條件①在直線上，等價(jià)于，
兩漸近線的方程合并為，
聯(lián)立方程組，消去并化簡得：，
設(shè)，，，，線段中點(diǎn)為，，
則．，
設(shè)，，
則條件③等價(jià)于，
移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：
，
，
，
，
，
，
由題意知直線的斜率為，直線的斜率為，
由，，
，
直線的斜率，
直線，即，
代入雙曲線的方程為，即中，
得，
解得的橫坐標(biāo)為，
同理，，，
，
條件②等價(jià)于，
綜上所述：
條件①在上等價(jià)于，
條件②等價(jià)于，
條件③等價(jià)于．
選①②③：
由①②解得，③成立；
選①③②：
由①③解得：，，，②成立；
選②③①：
由②③解得：，，，①成立．

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