2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第02講 單調(diào)性問題
目錄
知識(shí)點(diǎn)一：單調(diào)性基礎(chǔ)問題
1、函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．
2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．
知識(shí)點(diǎn)二：討論單調(diào)區(qū)間問題
類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；
（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；
（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；
（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；
（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；
求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．
（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；
類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；
（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；
（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；
【解題方法總結(jié)】
1、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；
（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；
（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)判斷函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性．
注：①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的．例如，在上，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立．因?yàn)?，即或，?dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立．這說明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件．于是有如下結(jié)論：
單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；單調(diào)遞減．
題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像
【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)榍覍?dǎo)函數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是
A．函數(shù)的增區(qū)間是
B．函數(shù)的增區(qū)間是
C．是函數(shù)的極小值點(diǎn)
D．是函數(shù)的極小值點(diǎn)
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中可能是圖象的是（ ）
A．B．
C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知定義在上的函數(shù)的大致圖像如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【解題方法總結(jié)】
原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）．
題型二：求單調(diào)區(qū)間
【例2】（2023·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)（ ）
A．嚴(yán)格增函數(shù)
B．在上是嚴(yán)格增函數(shù)，在上是嚴(yán)格減函數(shù)
C．嚴(yán)格減函數(shù)
D．在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（ ）
A．B．C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)（a、b為正數(shù)）的嚴(yán)格減區(qū)間是（ ）．
A．B．與
C．與D．
【解題方法總結(jié)】
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：
（1）求的定義域
（2）求出．
（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標(biāo)出，穿針引線．
（4）在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．若一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個(gè)，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開．
題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍
【例3】（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．m>1
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·全國·高三專題練習(xí)）三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·青海西寧·高三校考開學(xué)考試）已知函數(shù).若對(duì)任意，，且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（）在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（ ）
A．3B．C．2D．
【解題方法總結(jié)】
（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導(dǎo)函數(shù)的形式及圖像特點(diǎn)，如一次函數(shù)最值落在端點(diǎn)，開口向上的拋物線最大值落在端點(diǎn)，開口向下的拋物線最小值落在端點(diǎn)等．
（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，通常用分離變量法求解參變量范圍．
（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解．
題型四：不含參數(shù)單調(diào)性討論
【例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知
若，討論的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·貴州·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)討論在上的單調(diào)性．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)若，求a的取值范圍；
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
判斷的單調(diào)性，并說明理由；
【解題方法總結(jié)】
確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號(hào)”或“和”隔開．
題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論
情形一：函數(shù)為一次函數(shù)
【例6】（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．
討論的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù).
討論函數(shù)的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
討論函數(shù)的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．
討論的單調(diào)性；
情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù).
討論的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
討論的單調(diào)性；
情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型
方向1、可因式分解
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
討論函數(shù)的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·湖北咸寧·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中.
討論函數(shù)的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求；
(2)求的單調(diào)區(qū)間．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
討論的單調(diào)區(qū)間；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知.
討論的單調(diào)性；
方向2、不可因式分解型
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．
討論的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
討論函數(shù)的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
討論的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34】（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解題方法總結(jié)】
1、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來作出選擇，通過對(duì)新函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減．（注意定義域的間斷情況）．
2、需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過二階導(dǎo)的正負(fù)來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段．
3、利用草稿圖像輔助說明．
情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練35】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.
討論函數(shù)的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練36】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知．（）
討論的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練37】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知.
討論函數(shù)的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練38】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，
討論函數(shù)的單調(diào)性；
題型六：分段分析法討論
【例7】（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（，且）
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練39】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，其中.
討論的單調(diào)性；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練40】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).判斷函數(shù)的單調(diào)性.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練41】（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，函數(shù).
討論在的單調(diào)性；
【解題方法總結(jié)】
1、二次型結(jié)構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，變號(hào)函數(shù)為一次函數(shù)．此種情況是最特殊的，故應(yīng)最先討論，遵循先特殊后一般的原則，避免寫到最后忘記特殊情況，導(dǎo)致丟解漏解．
2、對(duì)于不可以因式分解的二次型結(jié)構(gòu)，我們優(yōu)先考慮參數(shù)取值能不能引起恒正恒負(fù)．
3、注意定義域以及根的大小關(guān)系．
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．
（2）能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）．
2022年甲卷第12題，5分
2022年I卷第7題，5分
2021年浙江卷第7題，5分
高考對(duì)單調(diào)性的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．高考在本節(jié)內(nèi)容上無論試題怎樣變化，我們只要把握好導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具這一點(diǎn)，將函數(shù)的單調(diào)性本質(zhì)問題利用圖像直觀明了地展示出來，其余的就是具體問題的轉(zhuǎn)化了．

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