重難點突破10 利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題（四大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
重難點突破10 利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題
目錄
利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題常見技巧有：
1、分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離
2、直接限制法
3、虛設(shè)零點
4、必要性探路
題型一：整數(shù)解問題之分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離
例1．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）已知．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若對恒成立，求整數(shù)a的最小值．
【解析】（1）的定義域為，
（ⅰ）當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增；
（ⅱ）當(dāng)時，令，
令，
∴當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由，可得：，
∵，∴原命題等價于對恒成立．
令，∴，
令，∴，∴在上單調(diào)遞增．
又，
故存在唯一的，使得．
當(dāng)時，，∴，
∴在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，∴，
∴在上單調(diào)遞減．
∴，
∴時，恒成立．
∴，又，∴a的最小整數(shù)值為2．
例2．（2023·四川廣安·廣安二中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.
【解析】（1），，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若在上有兩個零點，則
解得，故的取值范圍是
（2），即，在時恒成立，
令，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
令，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
而時，，故
，
當(dāng)時，不等式為，而時滿足題意，
故整數(shù)的最小值為
例3．（2023·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若為整數(shù)，且恒成立，求的最大值.
【解析】（1）的定義域為，.
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，解，即，得（舍去負值）；
解，即，得，所以在上單調(diào)遞增；解，即，得，所以在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由已知可得，恒成立，，
即在上恒成立.
令，則只需即可.，
令，在上恒成立，所以單調(diào)遞增.
且，，
所以，，使得，且當(dāng)時，，當(dāng)時，.
即，使得，且當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.
又，則.
所以，
令，，，，
則，當(dāng)時，，
所以，在上單調(diào)遞增，
從而在上單調(diào)遞減，則，
又，，
所以，所以.
又為整數(shù)，，所以的最大值為0.
變式1．（2023·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)
(1)判斷的單調(diào)性，并比較與的大?。?br>(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求整數(shù)k的最大值．
【解析】（1）由題意知：函數(shù)的定義域為，
，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，所以，
即，又因為在上單調(diào)遞增，
所以，
（2）因為，所以，
所以不等式可化為，
因為，所以，
所以不等式等價轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，
令，則，
令，則，
因為，所以對任意的恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
因為，，
故，使得，
因此當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，
故，
所以，
故整數(shù)的最大值為.
變式2．（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若對任意的，都有成立，求整數(shù)的最大值.
【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，
所以曲線在點處的切線方程是.
（2）函數(shù)的定義域是，，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.
（3），，
令，求導(dǎo)得，
由（2）知，在上單調(diào)遞增，，，
因此存在唯一，使得，即，
當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
于是，則，
所以整數(shù)的最大值是3.
變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求實數(shù)k的取值范圍；
(2)是否存在實數(shù)k，使得對任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出最大整數(shù)k的值；若不存在，請說理由.
（參考數(shù)據(jù)：）
【解析】（1）因為，
則由題意知方程在上有兩個不同的根.
由得令，則，
由解得.
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得最小值為，
又，，
所以，解得.
（2）假設(shè)存在實數(shù)k滿足題意，則不等式對恒成立，
即對恒成立.
令則，
令，則，
因為在上單調(diào)遞增，，
且的圖象在上不間斷，所以存在使得
即則，
所以當(dāng)時，單凋遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，
則取到最小值，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
但由于故等號無法取到，則,
所以即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
所以，
所以存在實數(shù)k滿足題意，且最大整數(shù)k的值為1.
變式4．（2023·云南·校聯(lián)考三模）設(shè)函數(shù)，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】由函數(shù)，設(shè)和
因為存在唯一整數(shù)，使得，
所以存在唯一的整數(shù)使得在直線的下方，如圖所示，
因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，取得極小值，也為最小值，
且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
又由直線恒經(jīng)過原點，斜率為（其中），
所以且，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：

變式5．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有2個整數(shù)，則k的取值范圍是______．
【答案】
【解析】，不等式可化為，
令，，由解得，由解得，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
令，則的圖象恒過，若解集恰有個整數(shù)，
當(dāng)時，有無數(shù)個整數(shù)解，不滿足題意；
當(dāng)時，如圖，則兩個整數(shù)為1和2，故2滿足不等式且3不滿足不等式，即且，解得，
故答案為：

變式6．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，滿足f（x）＜0恒成立的最大整數(shù)m的值為___．
【答案】3
【解析】原不等式等價于，由與的圖象平移變換可知，
若滿足題意，則只要小于與兩個函數(shù)相切時的值即可.
設(shè)公切點為，則有，所以，
所以，
令，則，故單調(diào)遞增，
而，
故，使得，所以，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得，
故最大整數(shù)m取3.
故答案為：3.
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是____.
【答案】.
【解析】設(shè)，，
由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標(biāo)為整數(shù)，
，當(dāng)時，，
當(dāng)時，,所以，函數(shù)的最小值為.
又，（1），
直線恒過定點且斜率為，
故且，解得.
故答案為：.
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對，關(guān)于x的不等式恒成立，則整數(shù)m的最小值為___________.
【答案】
【解析】設(shè)，，只需保證的圖象在的上方即可
易知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，且（否則當(dāng)無限趨近無窮大時，不能成立）
則存在與在某個點處相切，設(shè)切點為
可得：
化簡可得：
設(shè)，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增
可得：，
可得：
則，這是與在某個點處相切的范圍，當(dāng)比相切時大，則會在上方，即也滿足題意
故的最小整數(shù)為
故答案為：2
題型二：整數(shù)解問題之直接限制法
例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若有且僅有兩個整數(shù)，滿足，則實數(shù)a的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】若，即，
因為，所以，即，記，
故只需有且僅有兩個整數(shù)使得成立即可，
所以，
記，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
因為，，
所以，使得，即，
在上，即，單調(diào)遞減，
在上，即，單調(diào)遞增，所以有最小值，
因為，且，
，而，
若使有且僅有兩個整數(shù)，
只需即可，解得.
故答案為：
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
(2)若為整數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.
【解析】（1）若時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以.
若，則二次函數(shù)圖象對稱軸，
當(dāng)，即時，1離對稱軸近，2離對稱軸遠，
所以.
當(dāng)，即時，1離對稱軸遠，2離對稱軸近，
.
若，對稱軸在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上，.
（2）因為恒成立，
即恒成立，
令,
所以,
當(dāng)時，因為，所以，
所以在上是單調(diào)遞增函數(shù).
又因為，所以關(guān)于的不等式不能恒成立.
當(dāng)時，,
令得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.
因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
故函數(shù)的最大值為.
令，因為.
又因為在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時，,
即關(guān)于的不等式恒成立，
所以整數(shù)的最小值為2.
例6．（2023·云南·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若m為整數(shù)，且關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.
【解析】（1）由題意知，的定義域為，
對求導(dǎo)，得
當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由，得，由，得
所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）因為恒成立，即，
即恒成立，令.
所以.
當(dāng)時，因為，所以，所以在上是遞增函數(shù).
又因為，所以關(guān)于的不等式不能恒成立.
當(dāng)時，.
令得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.
因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
故函數(shù)的最大值為.
令，因為，.
又因為在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時，.
所以整數(shù)的最小值為2.
變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：曲線在點處的切線不經(jīng)過原點；
（Ⅲ）設(shè)整數(shù)使得對恒成立，求整數(shù)的最大值.
【解析】（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由得，
由，得，所以在上單調(diào)遞增，
由，得，所以在上單調(diào)遞減.
所以的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲線在點處的切線為，其中，
假設(shè)在點處的切線經(jīng)過原點.
則有，即，
整理得與矛盾，
則曲線在點處的切線不經(jīng)過原點；
（Ⅲ）對恒成立等價于當(dāng)時，恒成立.
令，則.由，得，
隨著變化，，的變化情況如下表所示：
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為，
令，則.
當(dāng)時，因為的最小值為，
所以恒成立，符合題意；
當(dāng)時.由，得函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，
故此時的最小值，不符合題意，
所以整數(shù)的最大值是2.
題型三：整數(shù)解問題之虛設(shè)零點
例7．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意的，不等式在上恒成立，求整數(shù)的最大值.
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，，
令得，，
①當(dāng)時，若，則；若，則，
故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，若，則；若，則，
故在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減.
（2）因為且，所以，
于是原命題等價于不等式對任意的恒成立.
從而對一切恒成立，
令，則，
∵，
令，，則，
∴在上單增，又，，
∴使，即①，
當(dāng)時，，即在遞減；
當(dāng)時，，即在，遞增，
∴，
由①知，∴，
∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴即，
∴，
∴，因此整數(shù)的最大值是1.
例8．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為．
(1)求，的值；
(2)若關(guān)于的不等式對于任意恒成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：）
【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得：，
因為函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則，解得，
當(dāng)時，，則，解得，
所以，.
（2）由（1）知，，，令，，
在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，，
于是存在，使得，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，
顯然函數(shù)在上的最小值為與中最小的，由得，
因此，函數(shù)圖象對稱軸，顯然，以下比較到的距離大小：
若，則有，，，
若，則，
從而函數(shù)在上，
當(dāng)時，有，即，顯然，
綜上，函數(shù)在上的最小值在區(qū)間內(nèi)，對于任意恒成立，則有，
所以整數(shù)的最大值為3.
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若為整數(shù)，且函數(shù)有4個零點，求的最小值．
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
，令，即，，的關(guān)系如下表：
時，的極大值為，無極小值．
（2）由題意得，有4個零點，
即方程在有4個不相等的實根．
令，，
令，可知要使有四個零點，則至少應(yīng)有三個零點，，
至少有兩個零點，，其中，
①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，至多只有一個零點不合題意；
②當(dāng)時，時，；，，
在上遞減，在上遞增，
要使有兩個零點，，解得
此時，，
，，，
在存在一個零點，且
下面證明當(dāng)時，
當(dāng)時，
令，，令，；
當(dāng)時，，在上遞增，
在上遞增，，即
，，
，
在存在一個零點，且，
時，，，，
在和單調(diào)遞減，和單調(diào)遞增，
只需，在，，，各有一個零點
其中，，
令，；
在上單調(diào)遞減，，，
存在，使得，當(dāng)時，，
又∵是整數(shù)，∴的最小值是4．
變式10．（2023·廣西桂林·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，且存在整數(shù)使得恒成立，求整數(shù)的最大值.
（參考數(shù)據(jù)：，）
【解析】（1），，
若，則，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
若，則，
所以函數(shù)在上遞增，
若，則，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞減，在和上遞增，
若，則，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞減，在和上遞增，
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，
當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，
當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在和上遞增，
當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在和上遞增；
（2）若，，，
，
令，則，
令，則，
所以函數(shù)在上遞增，即函數(shù)在上遞增，
又，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，
又，，，
所以函數(shù)存在唯一的零點，且，此時，
則當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，
令，，則，，
所以函數(shù)在上遞減，
所以，
又，，
所以，
又存在整數(shù)使得恒成立，
所以整數(shù)的最大值為0.
變式11．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(2)若為整數(shù)時，當(dāng)時，恒成立，求的最小值.
（參考數(shù)據(jù)：，，…）
【解析】（1）當(dāng)時，，則，
所以，，
所以，曲線在點處的切線方程為，即.
（2）.
且函數(shù)的定義域為，，
令，，，，
令，其中，則，
所以，在單調(diào)遞增，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
①當(dāng)時，，
在上恒成立，單調(diào)遞增，
，
記，則，
在區(qū)間上單調(diào)增遞，
，，
故當(dāng)時，恒成立；
②當(dāng)時，又，即時，，
因為，，
記，由上可知在上單調(diào)遞增，
且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
，，，
所以，，，，
且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
由，
所以，
令，，則，
當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，
，故當(dāng)時，；
③當(dāng)時，，，
記，，，
易知單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
，，，
，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.
因為，當(dāng)時，，不符合題意，
的最小值為.
題型四：整數(shù)解問題之必要性探路
例10．（2023·重慶·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）對于定義在上的函數(shù)，若存在，使得，則稱為的一個不動點．設(shè)函數(shù)，已知為函數(shù)的不動點．
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)若，且對任意滿足條件的成立，求整數(shù)的最大值．
（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
【解析】（1）依題意，方程在內(nèi)有根，且，
令，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，在，上都遞增，而，因此函數(shù)在、無零點，
當(dāng)時，令，，，則函數(shù)在，上都遞增，
當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，無零點，
當(dāng)時，，則存在，使得，即，
當(dāng)時，遞減，在時，遞增，
，而，有，
，
因此存在，使得，即函數(shù)在上有零點，則，
當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞減，，無零點，
當(dāng)時，，則存在，使得，即，
當(dāng)時，遞減，在時，遞增，，
，令，求導(dǎo)得，
令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此存在，使得，即函數(shù)在上有零點，則，
所以實數(shù)的取值范圍是.
（2）依題意，，于是，即
因為，取，有，因此取2，
下證：對任意成立，令，
，當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，
，即對恒成立，當(dāng)時，，
令，，函數(shù)在上遞增，，
即，從而成立，
當(dāng)時，只需證：成立，
令，，只需證，
，令，
，顯然在上遞增，
，，即存在，使，
且當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增，
，整理得，
因為函數(shù)在遞減，
所以，
所以在恒成立，即在遞增，
顯然，所以成立.
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)，．
(1)若，求證：在上是增函數(shù)；
(2)若存在，使得對于任意的成立，求最大的整數(shù)的值．
【解析】（1），令，，
令,解得
在上單調(diào)遞減,單調(diào)遞增，
，
，
命題得證.
（2）存在,使得對于成立,
等價于存在,使得對于成立，
由于,原題意的必要條件是,對都成立
設(shè),使得,即，
在是減函數(shù),在是增函數(shù),其中,即，
，
顯然,
由上圖知,，
對都成立的最大整數(shù)是2，
以下證明充分性,當(dāng)時,存在,使得恒成立,
,由上證明知存在大于0的正的最小值,
故存在大于0的,使得恒成立，
當(dāng)時,設(shè),
故對不恒成立，
存在,使得對于任意的成立,最大的整數(shù)的值是2.
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的最小值；
(2)若在上恒成立，求整數(shù)a的最小值.
【解析】（1）當(dāng)時，，則，
令得.
若，則；若，則.
所以；
（2）由，可得，當(dāng)時，，則，即.
當(dāng)時，令，則，
則在上單調(diào)遞增，所以，所以成立.
因此整數(shù)a的最小值為1.
變式12．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)），對，，求整數(shù)的最小值．
【解析】當(dāng)時，，此時不合題意，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
函數(shù)的最大值為，
即滿足題意，
下面證明當(dāng)時，對恒成立，
由于，
其對稱軸為，
故當(dāng)時，，
綜上可得，整數(shù)的最小值為1．
﹣
0
+
極小值
0
↗
極大值
↘

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