2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破12 雙切線問題的探究
目錄
雙切線問題，就是過一點(diǎn)做圓錐曲線的兩條切線的問題，解決這一類問題我們通常用同構(gòu)法.
解題思路：
①根據(jù)曲線外一點(diǎn)設(shè)出切線方程．
②和曲線方程聯(lián)立，求出判別式．
③整理出關(guān)于雙切線斜率的同構(gòu)方程．
④寫出關(guān)于的韋達(dá)定理，并解題．
題型一：定值問題
例1．（2023·河南·高三競(jìng)賽）已知拋物線C：與直線l：沒有公共點(diǎn)，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P作拋物線C的兩條切線，A、B為切點(diǎn).
（1）證明：直線AB恒過定點(diǎn)Q；
（2）若點(diǎn)P與Q的連線與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，證明：.
【解析】（1）設(shè)點(diǎn).則.
由，得.所以.
于是，拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程為
．
設(shè)點(diǎn).則.
設(shè)點(diǎn).同理，.
從而，，即
.
因此，直線AB恒過定點(diǎn)Q（k，1）.
（2）設(shè).
與拋物線方程聯(lián)立，消去y得
.
設(shè)點(diǎn).則
①
要證，即證，則只需證明
，即
. ②
由方程組①知
.
故式②成立.從而，結(jié)論成立.
例2．（2023·高二單元測(cè)試）已知拋物線C：的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點(diǎn)A，B．

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；
(2)設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，，證明：為定值．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>所以，可得橢圓的右焦點(diǎn)為，
可得拋物線C的焦點(diǎn)為，∴，
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為；
（2）由于點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，故可設(shè)，
因?yàn)橹本€MA，MB的分別與拋物線C相切于點(diǎn)A，B點(diǎn)可知直線MA，MB的斜率存在，
且不為0，
設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，
聯(lián)立，消去得：，
其判別式，令，得，
由韋達(dá)定理知，，故為定值－1．
例3．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為，拋物線為與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，為雙曲線的上焦點(diǎn)，且的面積為3．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，切線，分別交軸于，，求與的面積之比．
【解析】（1）雙曲線的上焦點(diǎn)為，設(shè)，，
由已知得：，則，
代入雙曲線方程可得，解得或（舍去），所以，
又因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得，故拋物線的方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)，，對(duì)求導(dǎo)得，
則切線的方程為，
由整理得，
令，則，即，同理可求得．
將代入直線可得：，
同理可求得直線的方程：，
所以，的直線方程．
聯(lián)立消去得，
則韋達(dá)定理：，
則弦長(zhǎng)，
點(diǎn)到直線的距離，
所以，
又，
故．
變式1．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線（為常數(shù)，）.點(diǎn)是拋物線上不同于原點(diǎn)的任意一點(diǎn).
(1)若直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求；
(2)設(shè)為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)為，且直線，與軸分別交于，兩點(diǎn).
①證明：
②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）將直線與拋物線聯(lián)立，
消去可得，由題意可知該方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以，又點(diǎn)在拋物線上，即；
可得，解得
（2）①易知拋物線的準(zhǔn)線方程為；
不妨設(shè)，切點(diǎn)，如下圖所示：
將求導(dǎo)可得，
則切線的斜率，切線的方程為，
又，的方程可化為；
同理可得的方程可化為；
又兩切線交于點(diǎn)，所以，
因此可得是方程的兩根，因此；
所以；
因此
②設(shè)直線和的傾斜角為，直線的傾斜角為，
所以；
又；；
；
所以
，
將代入可得
，
則可得，即；
又，所以，
可得，則為定值.
變式2．（2023·河南信陽·信陽高中?？既＃┮阎獟佄锞€上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求，的值；
(2)設(shè)為直線上除，兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)，和，，試判斷，，，四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，到準(zhǔn)線的距離為3，
∴，∴；
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴；
（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線方程設(shè)為，
由得，，
若直線，的斜率分別為，，設(shè)，，，的縱坐標(biāo)分別為，，，，
∴，，
∵到的距離，∴，
∴，，
∴，
∴，，，四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值，且定值為64.
題型二：斜率問題
例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上任意一點(diǎn),且△PF1F2的周長(zhǎng)是8+2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)圓T:(x-2)2+y2=,過橢圓的上頂點(diǎn)M作圓T的兩條切線交橢圓于E,F兩點(diǎn),求直線EF的斜率.
【解析】試題分析：
（1）由橢圓的離心率為可得a=4b，c=b，然后根據(jù)△PF1F2的周長(zhǎng)可得b=1，a=4，從而可得橢圓的方程．（2）由題意知過點(diǎn)M與圓T相切的直線存在斜率，設(shè)其方程為y=kx+1，由直線與圓相切可得32k2+36k+5=0，從而得到，．然后分別求出兩切線與橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和，最后根據(jù)斜率公式求解即可．
試題解析：
(1)由題意得e=，
∴a=4b，
∴c=b．
∵△PF1F2的周長(zhǎng)是8+2，
∴2a+2c=8+2，
∴b=1,
∴a=4．
∴橢圓C的方程為+y2=1．
(2)由（1）得橢圓的上頂點(diǎn)為M(0,1)，
又由題意知過點(diǎn)M與圓T相切的直線存在斜率，設(shè)其方程為l：y=kx+1，
∵直線y=kx+1與圓T相切，
∴，
整理得32k2+36k+5=0，
∴
由消去y整理得(1+16)x2+32k1x=0，
∴．
同理可得,
∴．
故直線EF的斜率為．
例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為拋物線外一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，．
（Ⅰ）若點(diǎn)為，求直線的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，記兩切線，的斜率分別為，，求的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）設(shè)直線PA方程為，直線PB方程為，
由，可得，
因?yàn)镻A與拋物線相切，所以，取，則，
即A（1，1）．同理可得B（1，-1）．所以AB：．
（Ⅱ）設(shè)，則直線PA方程為，直線PB方程為．
由可得．
因?yàn)橹本€PA與拋物線相切，所以△=．
同理可得，所以時(shí)方程的兩根．
所以，．則=..
又因?yàn)?，則，
所以===
=.
例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)是．
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，使得以為直徑圓過原點(diǎn)，若存在寫出直線方程；
(3)設(shè)圓，過橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于、兩點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上移動(dòng)且時(shí)，求的斜率的取值范圍．
【解析】（1）令橢圓半焦距為c，因，即，又，則有，，
因△的周長(zhǎng)是，即，解得，，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線L方程是，，，由消去y得：，
，即，則，
弦的中點(diǎn)，，
以為直徑的圓的方程是，因此圓過原點(diǎn)，
則有，解得，顯然滿足，
所以存在符合條件的直線，其方程為.
（3）由（1）知，橢圓的上頂點(diǎn)為在圓T外，顯然過點(diǎn)M的圓T的切線斜率存在，
設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為，于是得，即，
設(shè)切線ME，MF的斜率分別為，有，
由消去y得，，于是得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，
同理得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，直線EF的斜率：
，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，
所以斜率的取值范圍為.
變式3．（2023·河南洛陽·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓，圓心在拋物線上，圓過原點(diǎn)且與的準(zhǔn)線相切．
(1)求拋物線的方程；
(2)點(diǎn)，點(diǎn)（與不重合）在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為．求證：．
【解析】（1）∵圓與拋物線準(zhǔn)線相切，
∴，又圓過和原點(diǎn)，
∴，∴，
解得.
∴拋物線的方程為；
（2）設(shè)，，方程為，
∴，
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率，
∴切線的方程為，
即，
化簡(jiǎn)得：，
又因過點(diǎn)，故可得，
即，
同理可得，
∴為方程的兩根，
∴，，
∴
，
∴.
變式4．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線上一點(diǎn)，過作圓的兩條切線（切點(diǎn)為），交拋物線分別點(diǎn)且當(dāng)時(shí)，.
(1)求拋物線的方程;
(2)判斷直線的斜率是否為定值？若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，說明理由.
【解析】（1）如圖，
易知，
即.
∵ ∴，即.
代入得 ，
∴拋物線.
（2）法1: 易知，直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率相反，
設(shè)直線，直線，
則，
即.
依題意 ，有，即.
用代替得，
∴直線的斜率為.
綜上知，直線的斜率為定值.
法2：易知，直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率相反，
設(shè)，則由得：
，化簡(jiǎn)得.
∴直線的斜率為 .
綜上知，直線的斜率為定值.
變式5．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為上的一點(diǎn).
(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的面積；
(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且直線與交于不同的兩點(diǎn)A、B，求證：為定值，并求出該定值；
(3)如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓（其中r為定值，且）的兩條切線，分別交于點(diǎn)P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為，.如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時(shí)圓M的方程.
【解析】（1）由已知條件得，因?yàn)?，則，又，
因此的面積為.
（2）設(shè)，由，得，
，又，，
，
于是
，
即為定值.
（3）因?yàn)橹本€:與相切，則，即，
同理，由直線:與相切，可得，
于是、是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，
注意到，且，故，
因?yàn)槎ㄖ?，故不妨設(shè)（定值），
于是有，即.
依題意可知，變化，而、均為定值，即有，解得，，
設(shè)，，由得，同理，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因此，解得，所以的范圍為，
當(dāng)或時(shí)，直線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，此時(shí)圓心M為橢圓頂點(diǎn)，
所以圓M的方程為或.
題型三：交點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題
例7．（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為2的正方形（記為Q）．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P作以原點(diǎn)為圓心短半軸長(zhǎng)為半徑圓O的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，求證：直線恒過定點(diǎn)．
【解析】（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為，焦距為，
由題設(shè)條件知，，，
故橢圓C的方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，
由題可知點(diǎn)P，M，O，N在以為直徑的圓上，
此圓方程為 ①
又圓O的方程為， ②
①－②可得直線方程為：，則直線恒過定點(diǎn)．
例8．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P(4,4)是C上的一點(diǎn).
(1)若直線PF交C于另外一點(diǎn)A，求；
(2)若圓：，過P作圓E的兩條切線，分別交C于M，N兩點(diǎn)，證明：直線MN過定點(diǎn).
【解析】（1）由題設(shè)，則，故，則，
又直線過拋物線焦點(diǎn)，則直線，
聯(lián)立直線與拋物線并整理得：，故，即，
所以，
結(jié)合拋物線定義知：.
（2）設(shè)，，則（斜率存在且不為0）：，
所以為，則①，
由，則，所以，
而，與圓相切，則，整理得：，
同理可得：，
所以為的兩個(gè)不同根，
故，，代入①，有，
所以，即，可得，
所以直線過定點(diǎn).
例9．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄A恒過定點(diǎn)，圓心到直線的距離為．
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過直線上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，證明：直線恒過定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)，則，
因?yàn)椋矗?br>當(dāng)，即時(shí)，則，整理得；
當(dāng)，即時(shí)，則，
整理得，不成立；
綜上所述：點(diǎn)的軌跡的方程.
（2）由（1）可知：曲線：，即，則，
設(shè)，
可知切線的斜率為，所以切線：，
則，整理得，
同理由切線可得：，
可知：為方程的兩根，則，
可得直線的斜率，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，
即，
所以直線：，整理得，
所以直線恒過定點(diǎn).
變式6．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€，過拋物線的焦點(diǎn)F且斜率為的直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A，B，．
(1)求拋物線C的方程；
(2)點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)N，使得直線MN與直線PQ垂直？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）設(shè)，，
根據(jù)題意可知直線l的方程為，
聯(lián)立得，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以拋物線C的方程為．
（2）如圖所示，
拋物線的準(zhǔn)線方程為，
當(dāng)點(diǎn)M在特殊位置時(shí)，
切點(diǎn)P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱，要使MN⊥PQ，點(diǎn)N必在y軸上．
故設(shè)，，，，
拋物線C的方程為，求導(dǎo)得，
所以切線MP的斜率，
則直線MP的方程為，整理得，
又點(diǎn)M在直線MP上，
所以，整理得，
同理可得，
故和是一元二次方程的根，
所以
因?yàn)?，?br>所以
，
當(dāng)時(shí)，，
即存在定點(diǎn)，使得直線MN與直線PQ垂直．
變式7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長(zhǎng)小于4，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．當(dāng)圓在橢圓的內(nèi)部時(shí)，，橢圓的方程為．
當(dāng)圓在橢圓的外部時(shí)，，
橢圓的方程為．
（2）證明：設(shè)．
因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)小于4，所以的方程為．
則由已知可得，切線的方程為的方程為，
將代入的方程整理可得，
．
顯然的坐標(biāo)都滿足方程，
故直線的方程為，
令，可得，即直線過定點(diǎn)．
變式8．（2023·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖所示，已知在橢圓上，圓，圓在橢圓內(nèi)部.

(1)求的取值范圍；
(2)過作圓的兩條切線分別交橢圓于點(diǎn)（不同于），直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）由題意，故橢圓方，
設(shè)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，由于圓在橢圓內(nèi)部，則恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
令，
，
則，于是有；
（2）設(shè)，，
，（由（1）斜率都存在），
由于兩直線均與圓C相切，則，
則為方程的兩根，由韋達(dá)定理可知，
設(shè)，
由韋達(dá)定理可知，
由.則
.故過定點(diǎn).
變式9．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線C：的焦點(diǎn)．
(1)過點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求的面積；
(2)若點(diǎn)T為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)T作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN過定點(diǎn)．
【解析】（1）據(jù)題意，直線l的斜率為，則直線l的方程為，設(shè)，，
由，聯(lián)立可得，
易得，故，，
因此，．
（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，，以M為切點(diǎn)的拋物線的切線方程為，
由，聯(lián)立可得，
由判別式，即，即，顯然，可得，
因此，以M為切點(diǎn)的拋物線的切線方程為，
同理可得，以N為切點(diǎn)的拋物線的切線方程為，
由于這兩條切線都經(jīng)過點(diǎn)，代入可得，，
則直線MN的方程為，可得直線MN過定點(diǎn)．
變式10．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知的焦點(diǎn)為，且經(jīng)過的直線被圓截得的線段長(zhǎng)度的最小值為4．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，若過點(diǎn)作直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，，過點(diǎn)，作拋物線的切線分別與直線，相交于點(diǎn)，，請(qǐng)問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，圓的圓心，
而經(jīng)過的直線被圓截得的線段長(zhǎng)度，其中為圓心到直線的距離，
則，所以，
顯然，的最大值為焦點(diǎn)到圓心的距離，即，
所以，又，解得或（舍），
故拋物線的方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)，，，由，即，得，
則點(diǎn)處的切線方程為，
直線的方程為：，
則點(diǎn)，同理點(diǎn)，
可得：
，
直線的方程為：，
注意到點(diǎn)，滿足，
直線的方程為．
注意令，則
，
直線經(jīng)過定點(diǎn)．
變式11．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預(yù)測(cè)）如下圖所示，已知橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；
(2)若過點(diǎn)作圓（圓在橢圓內(nèi)）的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），當(dāng)變化時(shí)，試問直線是否過某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）由題知解得，
故橢圓的方程為
（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值，
即橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為，
因?yàn)閳A在橢圓內(nèi)部，所以半徑，
所以直線的斜率均存在，
設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線為，設(shè)直線的斜率分別為，
則圓心到直線的距離，
化簡(jiǎn)得：①，
從而，
由得：，解得：或
將代入可得，
所以，
所以直線BD的斜率，
直線BD的方程為：
化簡(jiǎn)為：，
即
所以，當(dāng)變化時(shí)，直線BD總過定點(diǎn).
題型四：交點(diǎn)弦定值問題
例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線過定點(diǎn)；
(3)過（2）中的點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作拋物線的切線，，求，交點(diǎn)滿足的軌跡方程．
【解析】（1）設(shè)拋物線的方程為，
∵拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴拋物線的方程為．
（2）設(shè)，，設(shè)切點(diǎn)為，曲線，，
則切線的斜率為，化簡(jiǎn)得，
設(shè)，，，則，是以上方程的兩根，
則，，
，
直線的方程為：，整理得，
∵切線的方程為，整理得，且點(diǎn)，在切線上，
∴，即直線的方程為：，化簡(jiǎn)得，
又∵，∴，
故直線過定點(diǎn)．
（3）設(shè)，，，
過的切線，過的切線，
則交點(diǎn)，
設(shè)過點(diǎn)的直線為，
聯(lián)立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴點(diǎn)滿足的軌跡方程為．
例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線方程為 (p＞0)，M為直線上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.
（1）求直線AB與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若E為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在E點(diǎn)處的切線與三角形MAB的邊MA，MB分別交于點(diǎn)，，記，問是否為定值？若是求出該定值；若不是請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）設(shè)，，拋物線方程可變?yōu)椋?br>所以，所以，，
直線的方程為，直線方程為，
則解得，，
又，所以直線的方程為，
化簡(jiǎn)得， 令，，
又， 所以，
所以直線AB與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）記，設(shè)點(diǎn)，
可得直線的方程為，
由可得，同理，
所以
，
所以，同理，
所以，
設(shè)，記，則，，，，，
于是，
所以
，
所以.
例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線，為焦點(diǎn)，若圓與拋物線交于兩點(diǎn)，且
(1)求拋物線的方程；
(2)若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且過點(diǎn)可以作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求證：恒為定值.
【解析】（1）由題意可知，半徑為，
由圓的圓心以及拋物線的焦點(diǎn)均在在坐標(biāo)軸軸，故由對(duì)稱性可知：軸于點(diǎn)，
在直角三角形中，,
因此 故，將其代入拋物線方程中得，
故拋物線方程為：
（2）令，
拋物線在點(diǎn)處的切線方程為,
與聯(lián)立得①
由相切得，
代入①得
故在點(diǎn)處的切線方程為，即為
同理：點(diǎn)處的切線方程為，
而兩切線交于點(diǎn)，
所以有，
則直線的方程為:，
由得,所以
于是
，
又點(diǎn)在圓上，
所以,即.
變式12．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率等于，點(diǎn)是雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，的周長(zhǎng)等于，.
(1)求的方程；
(2)過圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，.證明：直線與橢圓相切于點(diǎn)，且.
【解析】（1）由題意知，，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，又因?yàn)椋裕?br>所以的方程為：.
（2）設(shè)，則，
，，
設(shè)切線的斜率分別為，設(shè)的方程為：，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以 （*）
因?yàn)椋淼茫?br>即，所以，同理：，
因?yàn)榍芯€均過點(diǎn)，同理根據(jù)上面可知，
為的兩解，所以，
所以，為直角三角形，
因?yàn)?，所以?br>所以，同理：，
所以直線的方程為：，
將直線：，代入橢圓的方程：可得：
，即，
所以，，
所以直線與橢圓相切，切點(diǎn)，
所以，所以，
所以.
題型五：交點(diǎn)弦最值問題
例13．（2023·江西撫州·臨川一中?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓：的離心率為，焦距為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)作圓：的兩條斜率存在的切線分別與橢圓交丁點(diǎn)，，求的最大值.
【解析】（1）由題意得，又，
所以，，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)圓的切線的方程為，則，
整理得，其兩根，滿足①，
這里，，且②，
由①②得，
設(shè)，，則，，
這里，，
所以，，
則，
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即.
例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，為其焦點(diǎn)，過不在拋物線上的一點(diǎn)作此拋物線的切線，為切點(diǎn).且.
（Ⅰ）求證：直線過定點(diǎn)；
（Ⅱ）直線與曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，求的最小值.
【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由消去得，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義可得這兩條切線的斜率分別為，.由這兩切線垂直得，從而可得結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)，則，， ，，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，設(shè)，
以為切點(diǎn)的切線方程分別為，.
由消去得.
則，.
這兩條切線的斜率分別為，.
由這兩切線垂直得，得.
所以直線恒過定點(diǎn).
（Ⅱ）設(shè)，則，，
當(dāng)時(shí)，則，可得，
當(dāng)時(shí)，則，，，
同樣可得.
所以.
由.
所以 .
令，.
.
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).
所以.
（或 當(dāng)時(shí)取等號(hào).）
例15．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求面積的最小值.
【解析】（1）由題意，設(shè)的方程為，
因?yàn)閳A經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，
所以，解得，
所以的方程為.
（2）如圖所示，
設(shè)，則，聯(lián)立方程組整理得，
所以，且，
所以.
由，可得，則，所以拋物線的過點(diǎn)A的切線方程是，
將代入上式整理得，
同理可得拋物線的過點(diǎn)的切線方程為
由解得，所以，
所以到直線的距離，
所以的面積，
當(dāng)時(shí)，，
所以面積的最小值為.
變式13．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，是橢圓外一點(diǎn)，過作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，是直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn).
(1)求直線與直線的斜率之積；
(2)求面積的最大值.
【解析】（1）
設(shè)，，，
由可得，對(duì)其求導(dǎo)可得，
所以當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，
則直線的方程為，即.
當(dāng)時(shí)，成立，所以直線的方程為.
同理可得直線的方程為，
又因?yàn)槭莾蓷l切線的交點(diǎn)，所以有，，
所以，則，又因?yàn)椋?br>所以.
（2）①當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，
得，
，，
則，
聯(lián)立直線與橢圓方程，解得點(diǎn).
則點(diǎn)到直線的距離，
所以
令，則，
令，則，記，
，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，，即時(shí)，.
所以，所以面積的最大值是.
②當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，
可得，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨令，則，
則點(diǎn)到直線的距離，
所以
令，則，記，
，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，時(shí)，.
所以，所以面積的最大值是.
根據(jù)對(duì)稱性可得當(dāng)時(shí)，面積的最大值是.
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.
當(dāng)時(shí)，同理可求得，當(dāng)時(shí)，的最大值為.
綜上，當(dāng)時(shí)，面積的最大值是.
變式14．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：上點(diǎn)的距離的最小值為3．
(1)求p；
(2)若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求三角形PAB面積的最值．
【解析】（1）由點(diǎn)到圓M上的點(diǎn)的距離的最小值為
解得．
（2）由（1）知，拋物線的方程為，即，則．
設(shè)切點(diǎn)，，則易得直線PA：，直線PB：，
從而得到．
設(shè)直線AB：，聯(lián)立拋物線方程，消去y并整理，得，
則，即，且，，故．
因?yàn)椋?br>點(diǎn)P到直線AB的距離，所以，①
又點(diǎn)在圓M：上，
故，代入①得，，
而，故當(dāng)時(shí)，,
故當(dāng)時(shí)，.
題型六：交點(diǎn)弦范圍問題
例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是半橢圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，且直線PA、PB分別交y軸于點(diǎn)M、N．
（1）證明：；
（2）求的取值范圍．
【解析】（1）由題意知，直線PA的斜率存在且不為0，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
直線PA方程為．
令，可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
由，消去x得．
因?yàn)橹本€與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
故，即．
因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為，
故，．
則．
因此，亦即．
（2）設(shè)直線PB的方程為．
由（1）可知，n滿足方程．
故m，n是關(guān)于t的方程的兩個(gè)不同的實(shí)根．
所以．
由（1）可知：，同理可得．
故，．
則，
因?yàn)椋?br>所以．
因此，的取值范圍是．
【點(diǎn)晴】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，計(jì)算量較大，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.
例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過圓：上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為，直線分別與圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn).
（i）當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，記直線的斜率分別為.求證：；
（ii）求的取值范圍.
【解析】（1）∵橢圓的左焦點(diǎn)，∴.
將代入，得.
又，∴，.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）（i）設(shè)點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)與橢圓相切的直線方程為.
由，消去，得.
.
令，整理得.
由已知，則.
又，∴.
（ii）設(shè)點(diǎn)，.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.
由，消去，得.
.
令，整理得.
則.
∴直線的方程為.
化簡(jiǎn)，可得，即.
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，
直線的方程為或，也滿足.
同理，可得直線的方程為.
∵在直線，上，∴，.
∴直線的方程為.
由，消去，得.
∴，.
∴
.
又由（i）可知當(dāng)直線，的斜率都存在時(shí)，；
易知當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，也有.
∴為圓的直徑，即.
∴.
又，∴.
∴的取值范圍為.
例18．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，為過點(diǎn)的圓的切線，以為準(zhǔn)線的拋物線恒過點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，記焦點(diǎn)的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)過動(dòng)點(diǎn)的兩條直線均與曲線相切，切點(diǎn)分別為，且的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．
【解析】（1）分別過作的垂線，垂足分別為，連接，
由拋物線的定義，可得，則．
因?yàn)?，所以焦點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，
其中，
所以拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程為
（2）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線的斜率為，則方程為，
聯(lián)立方程組，消得，，
整理得，
，即，所以點(diǎn)在方程為的圓上．
設(shè)點(diǎn)在橢圓上，則，則，
由知，滿足：
則，即，故，
從而得切線的方程為
整理得，點(diǎn)滿足方程，則，
同理可得
即點(diǎn)滿足方程，所以的方程為．
消得，
，，
．
設(shè)，點(diǎn)到直線的距離為，
；
．
所以．
變式15．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，以橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)我們稱圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng)且半徑為的圓是橢圓的“環(huán)繞圓”.過原點(diǎn)作橢圓的“環(huán)繞圓”的兩條切線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，若直線的斜率存在，并記為，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意，得且，又，
解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
設(shè)切線的方程為，切線的方程為，“環(huán)繞圓”的圓心D為.
由“環(huán)繞圓”的定義，可得“環(huán)繞圓”的半徑為1，所以“環(huán)繞圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
因?yàn)橹本€與“環(huán)繞圓”相切，則由點(diǎn)到直線的距離公式可得：，
化簡(jiǎn)得.
同理可得.
所以是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以.
又因?yàn)椤碍h(huán)繞圓”的圓心在橢圓上，所以代入橢圓方程中，
可得，解得.
所以.
又因?yàn)榍遥曰?
所以或，所以或，
所以或.
所以的取值范圍是.

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重難點(diǎn)突破11 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題（六大題型）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）
重難點(diǎn)突破06 雙變量問題（六大題型）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

重難點(diǎn)突破06 雙變量問題（六大題型）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）
重難點(diǎn)突破01 ω的取值范圍與最值問題（六大題型）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

重難點(diǎn)突破01 ω的取值范圍與最值問題（六大題型）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）
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