重難點(diǎn)突破04 三次函數(shù)的圖象和性質(zhì) （七大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破04 三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
目錄
1、基本性質(zhì)
設(shè)三次函數(shù)為：(、、、且)，其基本性質(zhì)有：
性質(zhì)1： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①定義域?yàn)椋?= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②值域?yàn)?，函?shù)在整個(gè)定義域上沒有最大值、最小值． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③單調(diào)性和圖像：
性質(zhì)2：三次方程的實(shí)根個(gè)數(shù)
由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來(lái)解決，故以三次函數(shù)為例來(lái)研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)
其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，
判別式為：△=，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：
(1) 若，則恰有一個(gè)實(shí)根；
(2) 若,且，則恰有一個(gè)實(shí)根；
(3) 若,且，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
(4) 若,且，則有三個(gè)不相等的實(shí)根.
說(shuō)明:(1)(2)含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號(hào)），所以（或，且）;
(5)有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以，且;
(6)有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線與軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以且.
性質(zhì)3：對(duì)稱性
（1）三次函數(shù)是中心對(duì)稱曲線，且對(duì)稱中心是；；
（2）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．
2、常用技巧
（1）其導(dǎo)函數(shù)為對(duì)稱軸為，所以對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)也就是導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸，可見，圖象的對(duì)稱中心在導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸上，且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)也是二階導(dǎo)為零的點(diǎn)；
（2）是可導(dǎo)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則圖象關(guān)于直線
對(duì)稱.
（3）若圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
（4）已知三次函數(shù)的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則有.
題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問題
例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，則，
若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，
令，解得或，
且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，，
故的極大值為，極小值為，
若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，
故選：B.
例2．（2023·江蘇揚(yáng)州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．
（1）求的極值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根?若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1），令，得或．
∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上遞減，在上遞增，在上遞減，
的極小值為，極大值為．
（2）由（1）知，在上遞減，在上遞增，在上遞減，
而，即函數(shù)的極大值大于極小值．
∴當(dāng)極大值等于0時(shí)，極小值小于0，此時(shí)曲線與軸恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，如圖1所示．，即．

當(dāng)極小值等于0時(shí)，極大值大于0，此時(shí)曲線與軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，如圖2所示．，即．
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
例3．（2023·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且在和處取得極值.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)，若有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1），
因?yàn)樵诤吞幦〉脴O值，
所以和是方程＝0的兩個(gè)根，
則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件，
所以；
（2）由題意知，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，
又取足夠大的正數(shù)時(shí)，，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，，
因此，為使曲線與軸有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性，
得：或，
∴或，
即當(dāng)或時(shí)，使得曲線與軸有一個(gè)交點(diǎn).
變式1．（2023·天津河西·高三天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，.
（1）當(dāng)，求的極值；
（2）當(dāng)，，設(shè)，求不等式的解集；
（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值.
【解析】（1），∴，，.
∴在時(shí)，取極大值.
在時(shí)，取極小值-4.
（2），即，
設(shè)，，單調(diào)增函數(shù)，且，
∴不等式的解集為.
（3），，
. ，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
而，所以至多一個(gè)零點(diǎn)，（舍去）.
. ，單調(diào)增，所以至多一個(gè)零點(diǎn)，（舍去）.
. ，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
而，，∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.
∴.
變式2．（2023·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在上有解，求的取值范圍；
（3）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)為，則點(diǎn)恰好就是該函數(shù)的對(duì)稱中心.試求的值.
【解析】（1）因?yàn)?br>所以所求切線的斜率
又因?yàn)榍悬c(diǎn)為
所以所求的切線方程為
（2）因?yàn)?，所?br>因?yàn)樵谏嫌薪猓?br>所以不小于在區(qū)間上的最小值.
因?yàn)闀r(shí)，，
所以的取值范圍是.
（3）因?yàn)椋?
令可得，
所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，
即如果，則，
所以.
變式3．（2023·山西太原·高三太原市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)過點(diǎn)，且函數(shù)在點(diǎn)處的切線恰好是直線.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1），
由題意可知：；
（2）令，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
故有，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
變式4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；
(2)若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】（1），，
因函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在恒成立，即，
的最小值為．
（2），
，．
①若，則，在上恒成立，
在上單調(diào)遞增．，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
②若，則，
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為，，．
，．
當(dāng)變化時(shí)，，的取值情況如下表：
，，
，
同理，
．
因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，故，解得．
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
綜上所述，的取值范圍是．
題型二：三次函數(shù)的最值、極值問題
例4．（2023·云南·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè).若，在上的最小值為，求的零點(diǎn).
【解析】（1）∵在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴在上有解，
又是對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，所以在上的最大值大于0，
而的最大值為，∴，
解得：.
（2），
∴，
由得：，，
則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又∵當(dāng)時(shí)，，，
∴在上的最大值點(diǎn)為，最小值為或，
而，
當(dāng)，即時(shí)，，得，
此時(shí)，的零點(diǎn)為；
當(dāng)，即時(shí)，，得（舍）.
綜上的零點(diǎn)為.
例5．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè).若，在上的最小值為，求在上取得最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的值.
【解析】（1）∵在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
∴在上有解，
即在上成立，
而的最大值為，
∴，
解得：.
（2），
∴，
由得：，，
則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又∵當(dāng)時(shí)，，，
∴在上的最大值點(diǎn)為，最小值為或，
而，
當(dāng)，即時(shí)，，得，
此時(shí)，最大值點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，，得（舍）.
綜上在上的最大值點(diǎn)為.
例6．（2023·江蘇常州·高三常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)=，其中a>0.
(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線與y軸的交點(diǎn)為（0，b），求b+的最小值.
【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，，
令，得或，
故的增區(qū)間為，.
(2)，則，而，
故曲線在的切線方程為：
，
它與軸的交點(diǎn)為，故，
故，其中，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故即的最小值為.
變式5．（2023·廣東珠?！じ呷Ｂ?lián)考期中）已知函數(shù)（a，），其圖象在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求a，b的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【解析】（1），，，
又圖象在點(diǎn)處的切線方程為，
所以，解得；
（2）由（1）得，，
或時(shí)，，時(shí)，，
所以的增區(qū)間是和，減區(qū)間是，
極大值是，極小值是；
（3）由（2）知在和上遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，
所以在上的最大值是，最小值是．
變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，且．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【解析】（1）由得，
，解得
，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即；
（2）由（1），令得或，令得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，
函數(shù)在區(qū)間上的最大值為
變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且的一個(gè)根為
（1）求的值；
（2）求證：還有不同于的實(shí)根、，且、、成等差數(shù)列；
（3）若函數(shù)的極大值小于，求的取值范圍
【解析】（1），
由題意，可知是極大值點(diǎn)，故.
（2）令，得或,
由的單調(diào)性知，
是方程的一個(gè)根，
則，
，
方程的根的判別式，
，
又，（）
即不是方程的根
有不同于的根、，
，、、成等差數(shù)列.
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知是極大值點(diǎn),
，于是,
令，
求導(dǎo)，
時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，
，
即.
變式8．（2023·浙江寧波·高三效實(shí)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)(其中).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求的取值范圍.
【解析】（1）,
①當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，，，
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)，為()的兩根，
，
設(shè)()
，
當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞減
，即.
題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問題
例7．（2023·陜西商洛·高三?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是( )
A．m4B．－4

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