第02講+單調(diào)性問題（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第02講單調(diào)性問題
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)，若，則下列說法正確的是（）
A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)為偶函數(shù)
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上單調(diào)遞減
【答案】B
【解析】依題意，則，設(shè)
單調(diào)遞減,
單調(diào)遞增,
知該方程有唯一解，故，易知該函數(shù)為偶函數(shù).
故選：B．
2．（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
由，即，
解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故選：D
3．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象的對(duì)稱軸為，且開口向上
所以的最小值為1，所以.
故選：B.
4．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┮阎桥己瘮?shù)，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】時(shí)，即，
∴在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，
∴在上單調(diào)遞增．
∴，
∴.
故選：A．
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，且，，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可得，，，
令，則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，即，
令，則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)榍遥?br>所以，
故選：A
6．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，，即，也即，
由可得，所以，
即，
構(gòu)造函數(shù)，在恒成立，
所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，
所以，即，
又因?yàn)椋?，所以，解得?br>故選:B.
7．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知，，對(duì)，且，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，
對(duì)，且，恒有，即，
在上單調(diào)遞增，故恒成立，
即，設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
故，即，即.
故選：A
8．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)使（為常數(shù)）成立，則常數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，在定義域上單調(diào)遞增，
又使（為常數(shù)）成立，
顯然，所以不妨設(shè)，則，
即，
令，，則，即函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
又，則在上有解，
則在上有解，
令，，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以，即常數(shù)的取值范圍為.
故選：C
9．（多選題）（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】對(duì)于A, ,故為奇函數(shù)，，故為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，故A正確，
對(duì)于B，，故為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，在定義域內(nèi)不是單調(diào)增函數(shù)，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，，，所以定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故D正確，
故選：AD
10．（多選題）（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（）
A．在單調(diào)遞增
B．有兩個(gè)零點(diǎn)
C．曲線在點(diǎn)處切線的斜率為
D．是奇函數(shù)
【答案】AC
【解析】對(duì)A：，定義域?yàn)?，則，
由都在單調(diào)遞增，故也在單調(diào)遞增，
又，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故A正確；
對(duì)B：由A知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，
故只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；
對(duì)C：，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，C正確；
對(duì)D：定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故是非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11．（多選題）（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈里奧特首次使用“”符號(hào)，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若，則（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】設(shè)，，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，A正確；
由得，即，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，B正確；
由得，即，所以，C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，D正確．
故選：ABD.
12．（多選題）（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）當(dāng)且時(shí)，不等式恒成立，則自然數(shù)可能為（）
A．0B．2C．8D．12
【答案】BC
【解析】由于且，所以，所以，
構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)，且時(shí)，
故當(dāng) 當(dāng)，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng) 時(shí)，取最小值，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值，
當(dāng)時(shí)，不妨取，則而，不滿足，故A錯(cuò)誤，
當(dāng)時(shí)，，，顯然，故滿足題意，B正確，
要使恒成立，則需要，即恒成立即可
由于，因此
當(dāng) 時(shí)，， C正確，
當(dāng) 時(shí)，，不滿足題意，錯(cuò)誤，
故選：BC
13．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為______.
【答案】
【解析】由題得的定義域?yàn)椋?br>由可得，
令，，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故答案為：
14．（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）給出兩個(gè)條件：①，；②當(dāng)時(shí)，（其中為的導(dǎo)函數(shù)）．請(qǐng)寫出同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)______．（寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】由，知，函數(shù)可以為指數(shù)函數(shù)，
因當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)可以為.
故答案為：
15．（2023·四川·石室中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為______________．
【答案】
【解析】令，定義域?yàn)镽，
且，
所以為奇函數(shù)，
變形為，
即，
其，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以在R上單調(diào)遞增，
所以，解得：，
所以解集為.
故答案為：
16．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【解析】由可知，其定義域?yàn)椋?br>則，
易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
即函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則需滿足，
解得；
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
17．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).
若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；
【解析】∵，則，
若是增函數(shù)，則，且，可得，
故原題意等價(jià)于對(duì)恒成立，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
則在上遞增，在遞減，
故，∴的取值范圍為.
18．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)
若單調(diào)遞增，求a的值；
【解析】由可得，，
由于函數(shù)單調(diào)遞增，則恒成立，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，可知時(shí)，，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，即，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
由可得，，令，則，
可知時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
則，由于恒成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，實(shí)數(shù)的值為.
19．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）實(shí)數(shù)，，．
(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)討論的單調(diào)性并寫出過程．
【解析】（1）由題意得，令，的定義域?yàn)椋?br>由得：．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（2）令，的定義域?yàn)椋?br>①當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上是增函數(shù)；
時(shí)，，在上是減函數(shù)；
時(shí)，，在上是增函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，在上是減函數(shù)；
時(shí)，在上是增函數(shù)；
③當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
④當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上是增函數(shù)，
時(shí)，，在上是減函數(shù)，
時(shí)，，是增函數(shù)．
20．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．
求的單調(diào)區(qū)間；
【解析】由已知可得，定義域?yàn)椋?
令，則.
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，
所以在上恒成立，
所以，在上單調(diào)遞增．
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間．
21．（2023·湖南·鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，令解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
22．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>易知，
令，得，令，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由題意知，
則，令，，
則．
①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意．
②當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，不符合題意．
③當(dāng)時(shí)，由，得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．
易知，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，，即．
所以當(dāng)x＞0時(shí)，．
取，則，且．
又，所以存在，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，符合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
【解析】當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br>即切點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
（2）因?yàn)椋?
所以，
令，
則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增.
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．
求的單調(diào)區(qū)間；
【解析】，
當(dāng)，；當(dāng)，，
故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.
4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
討論的單調(diào)性；
【解析】由函數(shù)的解析式可得：，
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，
此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）因?yàn)椋瑒t，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，，.
6．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【解析】，
①若，則，所以在上單調(diào)遞增；
②若，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
7．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
討論的單調(diào)性；
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又，
因?yàn)?，故?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
【解析】當(dāng)時(shí)，,
令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；
9．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
討論的單調(diào)性；
【解析】的定義域?yàn)椋?br>由得，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
增
極大值
減
極小值
增

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