1. 4年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分
【備考策略】1.理解函數(shù)的單調性與導數(shù)之間的關系
2能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，并會求單調區(qū)間
3.能夠利用導數(shù)解決與函數(shù)單調性的綜合問題
【命題預測】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，一般會在解答題考查，同時小題也會考查用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，且近年來導數(shù)和其他版塊知識點關聯(lián)密集，是新高考備考的重要內容。
知識講解
導函數(shù)與原函數(shù)的關系
利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的步驟
第1步，確定函數(shù)的定義域；
第2步，求出導函數(shù)f′(x)的零點；
第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內的單調性.
[常用結論]
1.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調遞增，則x∈(a，b)時，恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調遞減，則x∈(a，b)時，恒成立.
2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時，＞0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時，＜0有解.
考點一、函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關系
1．（浙江·高考真題）設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（全國·高考真題）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下面四個圖象中，的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（全國·高考真題）如果函數(shù)的圖象如下圖，那么導函數(shù)的圖象可能是（ ）
B．
C．D．
1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導函數(shù)），下面四個圖象中可能是圖象的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2010·湖南·校聯(lián)考二模）設函數(shù)在定義域內可導，的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（ ）

A．B．
C．D．
考點二、利用導數(shù)求不含參函數(shù)的單調性
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設函數(shù)，求的單調區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數(shù)．
（1）當時，求的單調區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)
(1)當時，討論的單調性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調性；
（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)當時，求的單調遞增區(qū)間；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
2．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知
(1)當時，求單調區(qū)間；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍；
(3)設，，證明：．
3．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)．
(1)當時，求的單調區(qū)間；
(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
4．（2023·福建寧德·?？寄M預測）已知
(1)當時，求的單調性；
(2)討論的零點個數(shù)．
5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.
(1)若，討論的單調性；
(2)若當時，恒成立，求的取值范圍.
6．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，研究函數(shù)的單調性；
(2)當時，恒成立，求a的取值范圍．
考點三、利用導數(shù)求含參函數(shù)的單調性
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)證明：當時，．
2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調性；
（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．
1．（2023·河北·模擬預測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若存在實數(shù)，使得關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
2．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)當時，若，求證：；
(3)求證：對于任意都有．
3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若函數(shù)有三個零點，，，求證：.
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？既＃┮阎瘮?shù).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若函數(shù)有兩個零點，，且，求證:(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).
5．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)設、是函數(shù)的兩個極值點.證明：.
6．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
考點四、根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)值或范圍
1．（全國·高考真題）若函數(shù)在是增函數(shù)，則a的取值范圍是
A．B．C．D．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設，若函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
1．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預測）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為 .
2．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）若函數(shù)且在區(qū)間內單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測）設函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
當時，，則單調遞增，
又函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以，解得，
故選：A.
4．（2023·江蘇南通·三模）已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，則的最大值為 ．
【基礎過關】
1．（2023·河北石家莊·正定中學?？寄M預測）已知函數(shù).
(1)求的單調區(qū)間；
(2)若在上恒成立，求證：.
2．（2023·福建廈門·廈門市湖濱中學校考模擬預測）已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調性；
（2）證明：(為自然對數(shù)的底數(shù))恒成立.
3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學校?？寄M預測）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)在上單調遞增，求a的取值范圍；
(2)若，求證：.
4．（2023·湖南衡陽·?？寄M預測）已知函數(shù)，．
(1)當，求的單調遞減區(qū)間；
(2)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
5．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)當時，對任意的買數(shù)，證明：.
6．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)若在上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當時，證明：，．
7．（2023·廣東揭陽·校考模擬預測）已知函數(shù).
(1)討論的單調性.
(2)當時，證明：.
8．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知，．
(1)討論的單調性；
(2)若有兩個零點，求a的取值范圍．
9．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學?？寄M預測）已知函數(shù)，.
(1)討論的單調性；
(2)若，求證：.
10．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎瘮?shù)，
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若，對任意，當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【能力提升】
1．（2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預測）已知函數(shù)
(1)求的單調區(qū)間;
(2)若存在實數(shù)，使得方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：
2．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)當，是方程的兩根，，證明：．
3．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學?？既＃┮阎瘮?shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、，
（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；
（ⅱ）求證：．
4．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學校考三模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若，且在上恒成立，證明：．
5．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).
(1)若，求的單調區(qū)間；
(2)證明：；
(3)若，證明：.
6．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)．
(1)當時，討論函數(shù)的單調性；
(2)若為函數(shù)的導函數(shù)，有兩個零點．
（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；
（ⅱ）證明：．
7．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知函數(shù).
(1)若在單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若，且，證明：.
8．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若有兩個極值點，（），求證：.
9．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）已知函數(shù).
(1)討論的單調性；
(2)若在有兩個極值點，求證：.
10．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預測）已知函數(shù)．
(1)試討論的單調性；
(2)若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【真題感知】
1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）當時，討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍.
2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設，討論函數(shù)在上的單調性；
(3)證明：對任意的，有．
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調性；
（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．
4．（2021·全國·高考真題）設函數(shù)，其中.
（1）討論的單調性；
（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.
5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調性；
(2)當時，，求a的取值范圍；
(3)設，證明：．
第02講 導數(shù)與函數(shù)的單調性（核心考點精講精練）
1. 4年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分
【備考策略】1.理解函數(shù)的單調性與導數(shù)之間的關系
2能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，并會求單調區(qū)間
3.能夠利用導數(shù)解決與函數(shù)單調性的綜合問題
【命題預測】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，一般會在解答題考查，同時小題也會考查用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，且近年來導數(shù)和其他版塊知識點關聯(lián)密集，是新高考備考的重要內容。
知識講解
導函數(shù)與原函數(shù)的關系
利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的步驟
第1步，確定函數(shù)的定義域；
第2步，求出導函數(shù)f′(x)的零點；
第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內的單調性.
[常用結論]
1.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調遞增，則x∈(a，b)時，恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調遞減，則x∈(a，b)時，恒成立.
2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時，＞0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時，＜0有解.
考點一、函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關系
1．（浙江·高考真題）設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象得出函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調性即可判斷.
【詳解】由導函數(shù)的圖象可得當時，，函數(shù)單調遞增；
當時，，函數(shù)單調遞減；
當時，，函數(shù)單調遞增.
只有C選項的圖象符合.
故選：C.
2．（全國·高考真題）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下面四個圖象中，的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先利用函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調區(qū)間，進而得到正確選項.
【詳解】由題給函數(shù)的圖象，可得
當時，，則，則單調遞增；
當時，，則，則單調遞減；
當時，，則，則單調遞減；
當時，，則，則單調遞增；
則單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為
故僅選項C符合要求.
故選：C
3．（全國·高考真題）如果函數(shù)的圖象如下圖，那么導函數(shù)的圖象可能是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：的單調變化情況為先增后減、再增再減 因此的符號變化情況為大于零、小于零、大于零、小于零，四個選項只有A符合，故選A.
考點：1、函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；2、函數(shù)圖象的應用.
【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調性，導數(shù)的應用以及數(shù)學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.
1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象在區(qū)間內的函數(shù)的范圍，判斷出函數(shù)區(qū)間上各點處切線的斜率的范圍，根據(jù)導函數(shù)的圖象得導函數(shù)函數(shù)值的符號，得函數(shù)的單調性，再結合四個選項可得答案.
【詳解】由的圖象可知，當時，，則在區(qū)間上，函數(shù)上各點處切線的斜率在區(qū)間內，
對于A，在區(qū)間上，函數(shù)上各點處切線的斜率均小于0，故A不正確；
對于B，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點，在該點處切線的斜率大于1，故B不正確；
對于C，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點，在該點處切線的斜率大于1，故C不正確；
對于D，由的圖象可知，當時，，當時，，當時，，
所以函數(shù)上各點處切線的斜率在區(qū)間內，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
而函數(shù)的圖象均符合這些性質，故D正確.
故選：D
2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導函數(shù)），下面四個圖象中可能是圖象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)的圖像，得到不同范圍下，的正負，得到的單調性，得到答案.
【詳解】由的圖象知，當時，，故，單調遞增；
當時，，故，當，，故，
等號僅有可能在x＝0處取得，
所以時，單調遞減；
當時，，故，單調遞增，結合選項只有C符合.
故選：C.
3．（2010·湖南·校聯(lián)考二模）設函數(shù)在定義域內可導，的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)的圖象可得的單調性，從而得到在相應范圍上的符號，據(jù)此可判斷的圖象.
【詳解】由的圖象可知，在上為單調遞減函數(shù)，故時，，故排除A，C；當時，函數(shù)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以的值是先正，再負，最后是正，因此排除B，
故選：D.
考點二、利用導數(shù)求不含參函數(shù)的單調性
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設函數(shù)，求的單調區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)3個
【分析】（1）先對求導，利用導數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關于的方程組，解之即可；
（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調區(qū)間；
（3）結合（2）中結論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點的情況，從而利用導數(shù)與函數(shù)的極值點的關系求得的極值點個數(shù).
【詳解】（1）因為，所以，
因為在處的切線方程為，
所以，，
則，解得，
所以.
（2）由（1）得，
則，
令，解得，不妨設，，則，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，
即的單調遞減區(qū)間為和，單調遞增區(qū)間為和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上單調遞減，在，上單調遞增，
當時，，，即
所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，
此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；
所以在上有一個極小值點；
當時，在上單調遞減，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，
此時，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；
所以在上有一個極大值點；
當時，在上單調遞增，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，
此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；
所以在上有一個極小值點；
當時，，
所以，則單調遞增，
所以在上無極值點；
綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.
【點睛】關鍵點睛：本題第3小題的解題關鍵是判斷與的正負情況，充分利用的單調性，尋找特殊點判斷即可得解.
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數(shù)．
（1）當時，求的單調區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．
【答案】（1）上單調遞增；上單調遞減；（2）.
【分析】（1）求得函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)的正負與函數(shù)的單調性的關系即可得到函數(shù)的單調性；
（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導函數(shù)研究的單調性，并結合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調性得到的取值范圍.
【詳解】（1）當時，,
令得,當時，,當時，,
∴函數(shù)在上單調遞增；上單調遞減；
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)
,設函數(shù),
則,令，得,
在內,單調遞增；
在上,單調遞減；
,
又，當趨近于時，趨近于0，
所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,
所以的取值范圍是.
[方法二]：構造差函數(shù)
由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內有兩個解．
構造函數(shù)，求導數(shù)得．
當時，在區(qū)間內單調遞增，所以，在內最多只有一個零點，不符合題意；
當時，，令得，當時，；當時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
由于，
當時，有，即，由函數(shù)在內有兩個零點知，所以，即．
構造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當且僅當時取等號，故的解為且．
所以，實數(shù)a的取值范圍為．
[方法三]分離法：一曲一直
曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內有兩個不相同的解．
因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．
①當時，與只有一個交點，不符合題意．
②當時，取上一點在點的切線方程為，即．
當與為同一直線時有得
直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．
記，令，有．在區(qū)間內單調遞增；在區(qū)間內單調遞減；時，最大值為，所當且時有．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．
[方法四]：直接法
．
因為，由得．
當時，在區(qū)間內單調遞減，不滿足題意；
當時，，由得在區(qū)間內單調遞增，由得在區(qū)間內單調遞減．
因為，且，所以，即，即，兩邊取對數(shù)，得，即．
令，則，令，則，所以在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．
故實數(shù)a的范圍為．]
【整體點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，
方法一：將問題進行等價轉化，分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，圖象，利用數(shù)形結合思想求解.
方法二：將問題取對，構造差函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值.
方法三：將問題取對，分成與兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結論．
方法四：直接求導研究極值，單調性，最值，得到結論.
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)
(1)當時，討論的單調性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析.
(2)
【分析】（1）求導,然后令,討論導數(shù)的符號即可;
（2）構造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.
【詳解】（1）
令,則
則
當
當,即.
當,即.
所以在上單調遞增,在上單調遞減
（2）設
設
所以.
若,
即在上單調遞減,所以.
所以當,符合題意.
若
當,所以.
.
所以,使得,即,使得.
當,即當單調遞增.
所以當,不合題意.
綜上,的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛:本題采取了換元,注意復合函數(shù)的單調性在定義域內是減函數(shù),若,當,對應當.
4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調性；
（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.
【分析】(1) 首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導函數(shù)的解析式，由導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調性.
(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉換為證明：，然后構造對稱差函數(shù)，結合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調性即可證得題中的結論.
【詳解】(1)的定義域為．
由得，，
當時，；當時；當時，．
故在區(qū)間內為增函數(shù)，在區(qū)間內為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價轉化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設，則，從而，得，
①令，
則，
當時，，在區(qū)間內為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當時，，在區(qū)間內為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br>于是命題轉換為證明：．
令，則有，不妨設．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內單調遞增，所以，即．
再證．
因為，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內單調遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內單調遞減．，則，
所以在區(qū)間內單調遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內單調遞增．
因為，所以，即
又因為，所以，
即．
因為，所以，即．
綜上，有結論得證．
【整體點評】(2)方法一：等價轉化是處理導數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構造函數(shù)的思想，這些都是導數(shù)問題必備的知識和技能.
方法二：等價轉化是常見的數(shù)學思想，構造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構造函數(shù)利用函數(shù)的單調性證明題中的不等式即可.
方法四：構造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關于的式子，這是本方法證明不等式的關鍵思想所在.
1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)當時，求的單調遞增區(qū)間；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入求導得，再次設導函數(shù)為新函數(shù)進行求導得到其單調性和其零點，從而得到的單調增區(qū)間；
（2）法一：令，利用導數(shù)和零點存在定理得存在唯一正實數(shù)使得，從而得到，再利用隱零點法得，再次設新函數(shù)進行求導從而得到的范圍；
法二：同法一求得，則
，利用基本不等式有，從而得到的范圍.
【詳解】（1）當時，，，
設
又，∴在上單調遞增，
又，∴當時，當時，
∴的單調遞增區(qū)間為.
（2）對函數(shù)求導得，，令，
則，∴在上單調遞增，
又，當時，
故存在唯一正實數(shù)使得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
∴，
由恒成立，得，
由得，∴
∴，∴，
∴，
設，則恒成立，
故在上單調遞增，而，
∴，
又且函數(shù)在上是增函數(shù)，
故的取值范圍為
法2：同法一得，
由得，
∴
，當且僅當時等號成立，
∴，
故的取值范圍為
【點睛】關鍵點睛：本題第二問利用零點存在定理及隱零點法得到，從而有，再次重新設函數(shù)，根據(jù)其單調性和零點得到，從而得到.
2．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知
(1)當時，求單調區(qū)間；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍；
(3)設，，證明：．
【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）求導后，根據(jù)恒成立可得結論；
（2）方法一：由可知，使得在上單調遞增，根據(jù)可知；將代回驗證，知，利用導數(shù)可證得，知滿足題意；
方法二：易說明，求得后，令，則，令，分別在和的情況下，得到的單調性，進而確定使得恒成立的的范圍；
（3）令，由（2）得；令，采用累加法可求得，進而放縮得到，整理即可得到結論.
【詳解】（1）當時，，，
，，（當且僅當時取等號），
恒成立，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間.
（2）當時，恒成立，即，恒成立；
方法一：，，使得在上單調遞增，
當時，，，解得：；
當時，，
，，
設，則，
在上單調遞增，，
，即滿足題意；
綜上所述：的取值范圍為.
方法二：，
，，，
則由，恒成立得：；
，，
令，則，令，則，
①當，即時，方程的解為，
設，的對稱軸為，當時，，
，其中，
則當，即時，；當時，即時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，
，當時，，與，恒成立相矛盾，故舍去；
②當，即時，，即，
在上單調遞增，，
即，恒成立；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
（3）由（2）得：，；
令，，即，，
當時，，
化簡得，，
，，，
累加得：，
，
即成立.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)單調區(qū)間、恒成立問題的求解、不等式的證明等；本題證明不等式的關鍵是能夠利用（2）中的結論，將指數(shù)不等式轉化為對數(shù)不等式，進而采用賦值的方式對不等式進行放縮.
3．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)．
(1)當時，求的單調區(qū)間；
(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增；
(2).
【分析】（1）當時，對函數(shù)求二階導可以得到二階導大于等于零，即，，時，，即可得到答案.
（2）根據(jù)題意有不等式恒成立．令，則等價于不等式恒成立，
①若，不等式（*）顯然成立，此時
②若時，不等式（*）等價于.求出的最小值即可得到答案.
【詳解】（1），
∵，所以是的一個零點．
又令，，則，，時，
∴在，單調遞減；在單調遞增
（2）不等式在R上恒成立，即不等式恒成立．
令，則等價于不等式恒成立，
①若，不等式（*）顯然成立，此時
②若時，不等式（*）等價于
設，當時，，
令，則，，
∵，∴在上單調遞減，在單調遞增，
∴
∴，在單調遞增，
∴
綜上所述，滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為．
4．（2023·福建寧德·校考模擬預測）已知
(1)當時，求的單調性；
(2)討論的零點個數(shù)．
【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增；
(2)當，0個零點；當或，1個零點；，2個零點
【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，可得，令，利用導數(shù)說明的單調性，即可求出的單調區(qū)間；
（2）依題意可得，令，則問題轉化為，，利用零點存在定理結合單調性可判斷方程的解的個數(shù).
【詳解】（1）解：因為，，
所以，
令，，所以在單增，且，
當時，當時，
所以當時，當時，
所以在單調遞減，在單調遞增
（2）解：因為
令，易知在上單調遞增，且，
故的零點轉化為即，，
設，則，
當時，無零點；
當時，，故為上的增函數(shù)，
而，，故在上有且只有一個零點；
當時，若，則；，則；
故，
若，則，故在上有且只有一個零點；
若，則，故在上無零點；
若，則，此時，
而，，
設，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
故此時在上有且只有兩個不同的零點；
綜上：當時，0個零點；當或時，1個零點；時，2個零點；
【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下的零點問題，注意利用零點存在定理結合函數(shù)單調性來討論.
5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.
(1)若，討論的單調性；
(2)若當時，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）設，可知對任意的恒成立，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調性，驗證對任意的能否恒成立，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：的定義域為，當時，，
，
設，則，
令，解得，
當時，，單調遞減，
當，，單調遞增.
所以，，則對任意的恒成立，
所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間.
（2）解：當時，恒成立等價于在上恒成立，
設，
則，
設，
則圖象為開口向上，對稱軸為的拋物線的一部分，
當時，，在單調遞增，且，
所以，，即，則函數(shù)在上單調遞增，
又因為，所以在恒成立，滿足題意；
當時，，，
所以方程有兩相異實根，設為、，且，則，
當時，，，在上單調遞減，
又因為，故當時，，
所以，在上不恒成立，不滿足題意.
綜上，的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，注意到，由此將問題轉化為考查函數(shù)在上的單調性來處理，只需對實數(shù)的取值進行分類討論，結合單調性來求解.
6．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，研究函數(shù)的單調性；
(2)當時，恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)在定義域內單調遞增
(2)
【分析】（1）求函數(shù)的導函數(shù)可得，根據(jù)導數(shù)結構考慮構造函數(shù)，利用導數(shù)證明，取對數(shù)證明，由此證明，由此可得函數(shù)的單調性；
（2）設，，由已知可得恒成立，構造函數(shù)，討論，利用導數(shù)求其最小值，可得a的取值范圍．
【詳解】（1）因為，所以，
所以函數(shù)的定義域為，且，
構造函數(shù)，則，
令，得，
∴當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減．
∴，∴，
∴當時，，
所以當時，，當且僅當時等號成立，
所以當時，，當且僅當時等號成立，
∴，當且僅當時等號成立，
∴，當且僅當時等號成立，
∴在上單調遞增．
（2）∵，，等價于
，
令，，構造函數(shù)，
∴，，．
令，，，
注意到．
當時，，
∴，當時，，即當時，，
所以在上單調遞減，所以，不符合題意．
當時，令，，
，
∴單調遞增，則，
當時，則，
，單調遞增，．
∴，單調遞增，，符合題意．
綜上所述．
【點睛】方法點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)． (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結合思想的應用．
考點三、利用導數(shù)求含參函數(shù)的單調性
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)證明：當時，．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求導，再分類討論與兩種情況，結合導數(shù)與函數(shù)單調性的關系即可得解；
（2）方法一：結合（1）中結論，將問題轉化為的恒成立問題，構造函數(shù)，利用導數(shù)證得即可.
方法二：構造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉化為的恒成立問題，由此得證.
【詳解】（1）因為，定義域為，所以，
當時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調遞減；
當時，令，解得，
當時，，則在上單調遞減；
當時，，則在上單調遞增；
綜上：當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，則恒成立，
所以當時，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調遞增，所以在上單調遞增，
又，
所以當時，；當時，；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故，則，當且僅當時，等號成立，
因為，
當且僅當，即時，等號成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，則恒成立，
所以當時，恒成立，證畢.
2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.
【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調性即可；
(2)由題意結合(1)中函數(shù)的單調性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結論.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
當時，若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
當時，若，則單調遞增，
若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，若，則單調遞增，
若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
，
由于，，故，
結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
綜上可得，題中的結論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當時，，，
而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
當時，構造函數(shù)，則，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時：
，
當時，，
取，則，
即：，
而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
，
由于，，故，
結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
綜上可得，題中的結論成立.
【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用．
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調性；
（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．
【答案】(1)答案見解析；(2) 和.
【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調性；
(2)首先求得導數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
導函數(shù)的判別式，
當時，在R上單調遞增，
當時，的解為：，
當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增；
綜上可得：當時，在R上單調遞增，
當時，在，上
單調遞增，在上單調遞減.
(2)由題意可得：，，
則切線方程為：，
切線過坐標原點，則：,
整理可得：，即：，
解得：，則，
切線方程為：,
與聯(lián)立得，
化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為
解得,
，
綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.
【點睛】本題考查利用導數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調性研究中對導函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標時，要注意除了已經求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.
1．（2023·河北·模擬預測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若存在實數(shù)，使得關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析.
(2)
【分析】（1）求導以后對導數(shù)中的參數(shù)進行分類討論，根據(jù)不同的分類判斷函數(shù)的單調性；
（2）根據(jù)第1問的結論，將恒成立問題轉化為函數(shù)的最大（?。┲祮栴}，構造新函數(shù)，求出的范圍.
【詳解】（1）函數(shù)，，則，
當，即時，恒成立，即在上單調遞增；
當，即時，令，解得，
綜上所述，當是，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）等價于，令，
當時，，所以不恒成立，不合題意.
當時，等價于，
由（1）可知，
所以，對有解，所以對有解，
因此原命題轉化為存在，使得.
令，，則，
，
令，則，
所以在上單調遞增，又，
所以當時，，，故在上單調遞減，
當時，，，故在上單調遞增，
所以，所以，
即實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】關鍵點點睛：第二問，問題化為存在，使得，利用導數(shù)研究右側最小值，即可得范圍.
2．（2023·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)當時，若，求證：；
(3)求證：對于任意都有．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求導，再分類討論，根據(jù)導函數(shù)的符號即可求出函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）令，由，可證得恒成立，即，結合可證得；
（3）利用，對進行放縮，即可證明不等式成立.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域是．
由已知得，．
①當時，當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
②當時，當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；
③當時，當時，，單調遞增；
④當時，當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．
綜上，①當時，函數(shù)在上單調遞減，上單調遞增；
②當時，函數(shù)在單調遞增上單調遞減，上單調遞增；
③當時，函數(shù)在單調遞增；
④當時，函數(shù)在單調遞增，上單調遞減，上單調遞增．
（2）當時，.
由（1）知，函數(shù)在單調遞增且；
令
，
令，
令，解得；令，解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以，所以.
令，則，
所以恒成立，
不妨設，則 ，
所以，所以，
所以，所以.
（3）由（2）知，時，，
即，
故在時恒成立，
所以，
，
，
，
相加得.
【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．
3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若函數(shù)有三個零點，，，求證：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，對進行分類討論，由此求得的單調區(qū)間.
（2）先判斷出，將轉化為，利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)證得不等式成立.
【詳解】（1）由，可知定義域，
，令，則，
①當時，，則成立，即成立，
所以在上單調遞增；
②當時，令，得，記，
，當變化時，，的變化情況如下表
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增.
（2）因為函數(shù)有三個零點，，，
不妨設，所以，
即在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增.
由，知，故，
因為，
所以，即，
因此，
令，
所以，令，
則在上單調遞減，且，
，成立，
所以在上單調遞減，且，因此，
則，
所以.
【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間，首先要求函數(shù)的定義域，要在定義域的范圍內求解單調性.當導函數(shù)含有參數(shù)時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論要做到不重不漏，分類標準的制定可結合二次函數(shù)的知識來進行.
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？既＃┮阎瘮?shù).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若函數(shù)有兩個零點，，且，求證:(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，再對分類討論，分別求出函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）由題意，是方程的兩個根，即可得到，令則，則，只需證明當時，不等式成立即可.
【詳解】（1）函數(shù)定義域為，
，
當時恒成立，所以當時，當時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
當時令，解得或，
當，即時恒成立，所以在上單調遞增；
當即時，令，解得或，則在，上單調遞增，
令，解得，則在上單調遞減；
當即時，令，解得或，則在，上單調遞增，
令，解得，則在上單調遞減；
綜上可得，當時在上單調遞增，在上單調遞減；
當時在上單調遞增；
當時在，上單調遞增，在上單調遞減；
當時在，上單調遞增，在上單調遞減；
（2）因為，
由題意，是方程的兩個根，
①，②，
①②兩式相加，得③，
①②兩式相減，得④，
聯(lián)立③④，得，
，
設，，，
，，
因為，所以，則，
若，則一定有，
只需證明當時，不等式成立即可，即不等式成立，
設函數(shù)，，
在上單調遞增，故時，，
即證得當時，，即證得，
，即證得，則．
【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．
5．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)設、是函數(shù)的兩個極值點.證明：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，對和的大小進行分類討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）分析可知方程在上有兩個不等的實根、，根據(jù)二次方程根的分布可求得實數(shù)的取值范圍，列出韋達定理，化簡得出，利用導數(shù)證得函數(shù)在上的最大值小于，即可證得結論成立.
【詳解】（1）因為，該函數(shù)的定義域為，
.
因為，由得：或.
①當，即時，對任意的恒成立，且不恒為零，
此時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
②當，即時，由得或；由得.
此時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；
③當，即時，由得或；由得.
此時函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.
綜上所述：當時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；
當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.
（2）因為，其中，
，
因為有兩個極值點、，
所以，方程在上有兩個不等的實根、，
所以，，解得，所以.
所以
令，其中，則.
當時，；當時，.
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
所以，
所以.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).
6．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導后分類討論，根據(jù)導數(shù)的符號可得函數(shù)的單調性；
（2）將原不等式變形為，構造函數(shù)，根據(jù)的單調性將不等式化為，再參變分離，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出最值可得結果.
【詳解】（1）的定義域為，，
當時，，在上為增函數(shù)；
當時，由，得，由，得，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).
綜上所述：當時，在上為增函數(shù)；當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).
（2）
，
設，則原不等式恒成立等價于在上恒成立，
，在上為增函數(shù)，
則在上恒成立，等價于在上恒成立，
等價于在上恒成立
令，，
令，得，令，得，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，故.
【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，總有成立，故；
（2）若，總有成立，故；
（3）若，使得成立，故；
（4）若，使得，故.
考點四、根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)值或范圍
1．（全國·高考真題）若函數(shù)在是增函數(shù)，則a的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】試題分析：由條件知在上恒成立，即在上恒成立．
∵函數(shù)在上為減函數(shù)，
∴,
∴．
故選D．
考點：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設，若函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側函數(shù)的單調性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，
則，即在區(qū)間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結合題意可得實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
1．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預測）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用導數(shù)，轉化為，在區(qū)間恒成立，參變分離后，即可求解.
【詳解】，在區(qū)間恒成立，
所以，在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，
所以.
故答案為：
2．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）若函數(shù)且在區(qū)間內單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，再分和兩種情況討論，結合復合函數(shù)的單調性即可得解.
【詳解】令，則，
當或時，，當時，，
所以在和上遞減，在上遞增，
當時，為增函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，
所以，解得，
此時在上遞增，則恒成立，
當時，為減函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，
所以，無解，
綜上所述，的取值范圍是.
故選：A.
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測）設函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用的導函數(shù)，結合在區(qū)間上的單調性列不等式組求得的取值范圍.
【詳解】由，則，
當時，，則單調遞減；
當時，，則單調遞增，
又函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以，解得，
故選：A.
4．（2023·江蘇南通·三模）已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】對求導，由為上的增函數(shù)可知恒成立，由二次函數(shù)的性質可得，△，從而可得，兩邊同乘可得，利用換元法及二次函數(shù)的性質即可求得的最大值．
【詳解】因為函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以恒成立，
所以，△，
又，所以，
則由△，可得，兩邊同時乘以，
可得，
令，，則，
當時，取得最大值，
所以，當且僅當時取等號，
所以的最大值為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查不等式的基本性質以及最值的求法．
【基礎過關】
1．（2023·河北石家莊·正定中學校考模擬預測）已知函數(shù).
(1)求的單調區(qū)間；
(2)若在上恒成立，求證：.
【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為
(2)證明見解析
【分析】（1）在定義域范圍內求導函數(shù)大于零或小于零的解集即可；
（2）將問題轉化為在上恒成立，含參討論得時，有最大值即證明.
【詳解】（1）因為的定義域為，
所以，
令得或；
令得.
所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；
（2）因為：
在上恒成立，
即在上恒成立，
設.
則.
①若，則單調遞增，的值域為，
故不能恒成立，故舍去；
②若，則當時，；
當時，，
從而在上單調遞增，在上單調遞減，
所以有最大值，
所以.
2．（2023·福建廈門·廈門市湖濱中學?？寄M預測）已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調性；
（2）證明：(為自然對數(shù)的底數(shù))恒成立.
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）求導，對參數(shù)進行分類討論判斷導函數(shù)的正負，最后判斷原函數(shù)的單調性；（2）由（1）可知， 取，有，即，所以將 等價轉化為在上恒成立，接著構造函數(shù)，最后證明即可.
【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，，
當時，恒成立，所以在內單調遞增；
當時，令，得，所以當時，單調遞增；
當時，單調遞減，
綜上所述，當時，在內單調遞增；
當時，在內單調遞增，在內單調遞減.
（2）證明：由（1）可知，當時，，
特別地，取，有，即，
所以(當且僅當時等號成立)，
因此，要證恒成立，
只要證明在上恒成立即可.
設，則，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增.
故當時，，即在上恒成立
因此，有，又因為兩個等號不能同時成立，
所以有恒成立.
【點睛】(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號．關鍵是分離參數(shù)k，把所求問題轉化為求函數(shù)的最小值問題．
(2)若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學校?？寄M預測）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)在上單調遞增，求a的取值范圍；
(2)若，求證：.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）對求導后，問題轉化為在[1,4]上恒成立，進而求得的最小值即可求解；
（2）由可得只需證明，令，求導后求得；令，求導后求得，從而可得，問題得證.
【詳解】（1），因為函數(shù)在[1,4]上單調遞增，
所以在[1,4]上恒成立，
又在[1,4]上單調遞增，所以，
所以，解得，所以的取值范圍是.
（2）因為，所以要證，只需證，
令，則.
當時，，函數(shù)單調遞減；
當時， ，函數(shù)單調遞增.
所以，
令，則，
當時，單調遞減，當時，單調遞增.
所以時，取最小值, 則,
所以時，，因此.
所以.
4．（2023·湖南衡陽·校考模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)當，求的單調遞減區(qū)間；
(2)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)單調遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）根據(jù)導函數(shù)和原函數(shù)的單調性關系，先設求得，得到函數(shù)單調區(qū)間；
（2）把在上恒成立, 轉化為在上恒成立，令,即得恒成立求參即可.
【詳解】（1）當時，，
所以，令，所以，
當時，，故為增函數(shù)；
當時，，故為減函數(shù)，
所以，即，
所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間.
（2）因為，所以，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
轉化為在上恒成立，
令，，則且
當時，恒成立，故在上為增函數(shù)，
所以，即時不滿足題意；
當時，由，得，
若，則，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以存在，使得，即時不滿足題意；
若，則，故在上為減函數(shù)，
所以，所以恒成立，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
5．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)當時，對任意的買數(shù)，證明：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】(1)先對函數(shù)求導數(shù)，對進行分類討論，在討論單調新即可；(2)結合第一問討論的單調性，對導數(shù)進行第二次求導，進一步判斷二階導數(shù)的正負來判斷一階導數(shù)的單調性，進而可以證明.
【詳解】（1）
①當時，，此時，在單調遞增；
②當時，令，
可以判斷在是單調遞減的
注意到：
則必存在使得，即
且當時，，于是，
此時在單調遞增；
當時，，于是，此時在單調遞減；
（2）當時，令，則：
于是：在是遞減的
對于給定的，令
則
因為，所以，即
因此在是遞增的
于是，，
即：
進而
方法二：
當時，對于給定的，令
則
因此在是遞增的，
于是，，即：
進而
6．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)若在上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當時，證明：，．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，轉化為在上恒成立，進而轉化為在上恒成立，令，求得，得出函數(shù)的單調性和最大值，即可求解.
（2）當時，得到且，當時，只需使得，利用導數(shù)求得單調遞增，得到；當時，顯然滿足；
當時，由和，得到，即可得證.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，
因為在上單調遞增，可得在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以當時，函數(shù)取得極大值，即為最大值，
所以，即實數(shù)a的取值范圍為.
（2）解：當時，，可得
當時，可得，
要使得，只需使得，
令，可得，所以單調遞增，
又由，所以，所以單調遞增，所以；
當時，可得且，所以，滿足；
當時，可得，
因為且，所以，所以，
綜上可得，對于，都有.
7．（2023·廣東揭陽·?？寄M預測）已知函數(shù).
(1)討論的單調性.
(2)當時，證明：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導得，分類討論參數(shù)范圍可求的單調性；
（2）將不等式變形得，構造函數(shù)，通過求出最值，證明即可得證.
【詳解】（1）的定義域為，
若，恒有，則在上單調遞增，在上單調遞減，
若，令，得，
若，恒有在上單調遞增，
若，當時，；當時，，
故在和上單調遞增，在上單調遞減，
若，當時，；當時，，
故在和上單調遞增，在上單調遞減；
（2）證明：當時，，
令函數(shù)，則，
令函數(shù)，則，
當時，；當時，，
所以，從而，
所以當時，；當時，，
故，
因為，
所以，故.
8．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知，．
(1)討論的單調性；
(2)若有兩個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)在和上單調遞增，在上單調遞減
(2)
【分析】（1）將導數(shù)化為求其零點并討論零點的大小，結合導數(shù)的符號求解. （2）結合第（1）問的結果，利用函數(shù)的單調性、極值的符號構造不等式求解.
【詳解】（1）∵
，
∵，∴，
當，，單調遞增，當，，單調遞減，
當，，單調遞增．
綜上所述，在和上單調遞增，在上單調遞減．
（2）情況一：若，即時，由的單調性，其在上恒為正，無零點，
在增區(qū)間至多有一個零點，不符題意．
情況二：若，即時，
由于，由零點存在定理，在區(qū)間上存在一個零點，
取，則，，，
，
當時，，由于在區(qū)間上單調遞增，
故在恒為正，無零點，由零點存在定理，在區(qū)間上存在一個零點，符合題意，
情況三：若，即時，同情況二可得在增區(qū)間恒為正，無零點，
僅有一個零點，不符題意.
綜上，a的取值范圍是．
9．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學?？寄M預測）已知函數(shù)，.
(1)討論的單調性；
(2)若，求證：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求導，然后對參數(shù)進行分類討論.
（2）利用求導及零點定理及構造法解函數(shù)不等式.
【詳解】（1）因為，
所以
①若，則，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增
②若，則，所以當時，，單調遞減，當或時，，單調遞增；
③若，則，在上單調遞增；
④若，則，所以當時，，單調遞減，當或時，，單調遞增.
綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在，上單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在，上單調遞增.
（2）因為，所以，即
，
設
則，易知在上單調遞增
因為，所以，
所以存在，使得
所以，在上單調遞減，在上單調遞增
所以
設，則，在上單調遞增，所以
所以，即.
10．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎瘮?shù)，
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若，對任意，當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）先求導函數(shù)得，分類討論的值，判斷函數(shù)單調性即可；
（2）結合（1）知對恒成立，構造函數(shù)，知在上恒成立，分離參數(shù)求解即可.
【詳解】（1），
令，則兩根分別為.
1.當時，在恒成立，故的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；
2.當時，令得或，令得，
所以單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；
3.當時，令得或時，令得，
所以單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
綜上當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
（2）由（1）知，若，則，
的在區(qū)間單調遞增.
又，所以對恒成立
對恒成立，
對恒成立，
令，則在上單調遞減，則在上恒成立，
又，且，
在上恒成立，即
令，則
令得，令得，
在上單調遞增，在上單調遞減，
所以
【點睛】思路點睛：第一問含有參數(shù)的單調性需要分類討論，判定導函數(shù)的零點大小確定單調區(qū)間，討論要不漏不重；第二問，對于恒成立問題可以利用分離參數(shù)的方法，將問題轉化為參數(shù)與函數(shù)最值的關系即可.
【能力提升】
1．（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預測）已知函數(shù)
(1)求的單調區(qū)間;
(2)若存在實數(shù)，使得方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：
【答案】(1)的增區(qū)間為，無減區(qū)間，
(2)證明見解析
【分析】（1）先對函數(shù)求導后，再令，利用導數(shù)可求出的單調區(qū)間和最小值，從而可得，進而可求出的單調區(qū)間，
（1）由題意可得，，然后對化簡變形可得，不妨設，令，則問題轉化為，由（1）可證得結論.
【詳解】（1）因為，
所以，
令，則
，
當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，
所以，
所以在上遞增，
所以的增區(qū)間為，無減區(qū)間，
（2）證明：由題意得，則，
因為，所以，
所以，
因為，
所以
不妨設，令，則證，即證，
即，
由（1）知在上遞增，
所以當時，，
即時，，得證.
【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用求函數(shù)的單調區(qū)間，考查利用導數(shù)證明不等式，解題的關鍵是通過已知條件對化簡變形，再換元可得，則將問題轉化為證明，結合（1）可證得結論，考查數(shù)學轉化思想和計算能力，屬于難題.
2．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)當，是方程的兩根，，證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，設，得到，分和，兩種情況，即可求得函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）求得在處的切線方程為，令，再令，結合單調性求得，求得，進而求得切線方程為，令，求得出函數(shù)的單調性，得到，進而證得，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，
設，可得，
①當時，，所以在單調遞增；
②當時，令，解得.
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增.
綜上，當時，在單調遞增；
當時，在單調遞減，在單調遞增.
（2）解：由，可得且，
所以在處的切線方程為，即.
令，
令，
因為，所以在上單調遞增，
又因為，所以當，，單調遞減，
當，，單調遞增.
所以，即，
所以，，
可得在處的切線方程為，即.
令，
，
因為，所以在上單調遞增.
又因為，所以當，，單調遞減，
當，，單調遞增，
所以，即，
所以，，
所以
【點睛】方法總結：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：
1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；
2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關系；
3、適當放縮構造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；
4、構造“形似”函數(shù)，變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).
3．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學校考三模）已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、，
（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；
（ⅱ）求證：．
【答案】(1)答案見解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）求出，分、兩種情況討論，分析導出的符號變化，即可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）（i）將方程變形為，令，令，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，數(shù)形結合可得出實數(shù)的取值范圍；
（ii）將所證不等式等價變形為，由變形可得出，推導出，即證．令，只需證，構造函數(shù)，其中，利用導數(shù)法即可證得結論成立.
【詳解】（1）解：因為，
所以，其中.
①當時，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
②當時，由得，由可得.
所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
綜上：當時，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
（2）解：（i）方程可化為，即．
令，因為函數(shù)在上單調遞增，
易知函數(shù)的值域為，
結合題意，關于的方程（*）有兩個不等的實根．
又因為不是方程（*）的實根，所以方程（*）可化為．
令，其中，則．
由可得或，由可得，
所以，函數(shù)在和上單調遞減，在上單調遞增．
所以，函數(shù)的極小值為，
且當時，；當時，則.
作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：
由圖可知，當時，函數(shù)與的圖象有兩個交點，
所以，實數(shù)的取值范圍是.
（ii）要證，只需證，即證．
因為，所以只需證．
由（?。┲环猎O．
因為，所以，即，作差可得．
所以只需證，即只需證．
令，只需證．
令，其中，則，
所以在上單調遞增，故，即在上恒成立．
所以原不等式得證．
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).
4．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學?？既＃┮阎瘮?shù)．
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若，且在上恒成立，證明：．
【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再解關于導函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）依題意可得在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，求出的最小值，即可得解；
（3）依題意可得，參變分離可得在上恒成立，令，，求出函數(shù)的導函數(shù)，分、兩種情況討論，即可得到，令，，利用導數(shù)求出的最小值，即可得證.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且，
令，令，解得，因為，，
所以當時，即，
所以的單調遞增區(qū)間為；
當時，即，
所以的單調遞減區(qū)間為；
（2）若函數(shù)在上單調遞增，所以在上恒成立，
令，則，
即在上恒成立，
令，，
因為在上單調遞減，在上單調遞增，
所以在上單調遞減，所以，
所以，則，即實數(shù)的取值范圍為.
（3）因為，所以，解得，
所以，又在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
則，
所以當時，則在上單調遞增，此時顯然不恒成立；
當時，則當時，時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以時，
所以，
因為，所以，
令，，則，
所以當時，即單調遞減，當時，即單調遞增，
所以，所以.
【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．
5．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).
(1)若，求的單調區(qū)間；
(2)證明：；
(3)若，證明：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）當時，對求導，根據(jù)導數(shù)的符號確定單調區(qū)間；
（2）對求導，證明即可；
（3）由（2）可知，，即可得到，可證明，對求導，可得在單調遞增，則，再證明即可得證.
【詳解】（1）當時，，其中，
所以，且，
因為函數(shù)和都是減函數(shù)，故也是減函數(shù).
所以當時，單調遞增，當時，，
單調遞減，所以的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.
（2）根據(jù)題意可知，，
設，則單調遞減，
所以當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以.
（3）法一：若，則，
由（2）可知，，
所以，故，
此時，故，
所以，其中.
當時，，故當時，，
當時，若，則，
若，則，故，
所以當時，成立，故在單調遞增，
所以.
設，則，
因為函數(shù)和都是減函數(shù)，故也是減函數(shù)，
所以當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以.
綜上，當時，.
法二：
若，則，
由（2）可知，，
所以，故，
此時，故，
所以，其中，
.
成立，故在單調遞增，
所以.
設，則，
因為函數(shù)和都是減函數(shù)，故也是減函數(shù)，
所以當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以.
綜上，當時，.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).
6．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)．
(1)當時，討論函數(shù)的單調性；
(2)若為函數(shù)的導函數(shù)，有兩個零點．
（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；
（ⅱ）證明：．
【答案】(1)當時，在上單調遞減
(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義求出的解析式，再通過其導函數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調性；
（2）求出，把零點問題轉化成方程的根，再轉化成函數(shù)圖象的交點，根據(jù)圖象即可求出的范圍；把代入，通過兩個等式構造，結合的范圍即可證明.
【詳解】（1）因為，令，則，
所以（），
故（）.
當時，，
，
令，則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以，
故在上恒成立.
所以當時，在上單調遞減.
（2）（ⅰ）有兩個零點等價于有兩個不同的根.
而 （），
所以有兩個不同的根，
等價于有兩個不同的根，
等價于與有兩個不同的交點.
因為， （），
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以，
而當趨向正無窮時，趨向0，趨向0時，趨向負無窮，
為使與有兩個不同的交點，所以.
（ⅱ）有兩個零點，則
，.
即，.
所以，
即，
得，
所以.
因為，所以.
【點睛】方法點睛：判斷函數(shù)單調性時主要考慮其導函數(shù)的正負；零點問題常?？赊D化為方程的根；關于雙變量問題通常需要通過等式構造，找出其等式關系.
7．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知函數(shù).
(1)若在單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若，且，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在單調遞增，可得在上恒成立，分離參數(shù)，即在恒成立，由此構造函數(shù)，利用求解函數(shù)的最值可得答案.
（2）判斷的單調性，從而結合可判斷a的范圍，由此將證明的問題轉化為構造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調性解決證明不等式問題，從而可根據(jù)不等式以及的結構特征，分別采用分析的方法，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，可證明結論.
【詳解】（1）由函數(shù)在單調遞增，
求導得在上恒成立，
即在恒成立，令，則，
當，則在上單調遞增，
，則在上單調遞減，
而.
（2）因為，則，
當時，恒成立，則在上單調遞增，
此時不會滿足，不合題意；
當時，的解集為的解集為，
即的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為，
依題意：，解得，
設，則，要證，即證，即證，
即證，設，
則，即在上單調遞減，有，
即，則成立，因此成立.
要證，即證，即證，即證，
即證，
由，即證，
令，則，
設，求導得，
即在上單調遞增，則有，
即在上單調遞減，而，
當時，，
則當時，成立，故有成立，
所以.
【點睛】難點點睛：關于利用導數(shù)證明不等式問題，難度較大，此時要能根據(jù)已知結合要證明的不等式的結構特征，難點就在于構造恰當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)單調性或者最值問題解決.
8．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若有兩個極值點，（），求證：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）對函數(shù)求導，再構造函數(shù)，再通過對進行討論，得到的在區(qū)間上的正負，即可得出結果；
（2）利用（1）中的條件，得到兩個極值點間的關系，，從而可用表示出，即，再分不等式左邊和右邊兩種證明，通過構造函數(shù)，和，，再利用函數(shù)的單調性即可證明結果.
【詳解】（1）易知，又因為，
令，，
①當，即時，恒成立，所以，此時，在區(qū)間上是增函數(shù)；
②當，得到或，又，其對稱軸為，且，所以，
當時，，所以在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，此時在區(qū)間上是增函數(shù)；
當時，，且，由，
得到或，時，，時，
即時，，時，
此時，在上是減函數(shù)，
在上是增函數(shù).
綜上所述，當時，在上是增函數(shù)；
當時，在上是減函數(shù)，
在上是增函數(shù).
（2）由（1）知，當時，有兩個極值點，，
且滿足，，
所以，，.
所以.
先證左邊：.
考慮函數(shù)，，則，
所以在上是減函數(shù)，所以，
即，所以，
再證右邊：，
考慮函數(shù)，，則，
所以在上是減函數(shù)，所以，
即，所以.
綜上證得.
【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，屬于較難題.導數(shù)中通過雙極值點求解最值或證明不等式時，可通過雙極值點對應的等式將待求的式子或待證明的式子轉變?yōu)殛P于同一變量（注意變量的范圍）的式子，然后通過構造新函數(shù)，分析新函數(shù)的單調性后從而達到求解最值或證明不等式的目的.
9．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）已知函數(shù).
(1)討論的單調性；
(2)若在有兩個極值點，求證：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，結合一元二次方程知識分類討論，即可求得答案；
（2）法一：根據(jù)在有兩個極值點可得在上有兩個不等實數(shù)根，可確定范圍以及韋達定理，進而求得表達式，結合其表達式構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性，推出，即可證明結論；
法二和法三：結合（1）以及解法一，由表達式構造函數(shù)求導后，將a看作變量，將該導數(shù)整理變形或者利用導數(shù)中的切線不等式的重要結論判斷導數(shù)的正負，即可判斷函數(shù)單調性，即可證明結論.
【詳解】（1）的定義域為R，
，，對于，則，
當時，，在上單調遞增，
當時，由得，
當和時，，
當時，，
在單調遞增，在上單調遞減，
綜上，當時，在上單增，
當時，在上單調遞增，在上單調遞減；.
（2）法一：在上有兩個極值點，
則，即在上有兩個不等實數(shù)根，
即這兩個極值點即為（1）中，
，
由韋達定理知
，
，
，
由于，故在上單調遞減，則，
則，即，
令，
，
由于在上單調遞減，則，
故，在上單調遞增，，
即，即，
而要證明，即轉化為證明，
由以上結論可知，成立；
法二：結合以上分析可得
，
令，，
由于，則，則，
則
在上為減函數(shù)，則得證..
法三：，
設，則，
即在上單調遞增，故，則，
故，
則
，
故，在為減函數(shù)，
而，則得證.
【點睛】難點點睛：根據(jù)在有兩個極值點，證明不等式成立，首先要結合導數(shù)確定的范圍，繼而要表示出，由此構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，結合單調性解決問題，計算過程相當復雜，難度較大.
10．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預測）已知函數(shù)．
(1)試討論的單調性；
(2)若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析；
(2)．
【分析】（1）求出的導函數(shù)，討論與0的大小關系即可求解；
（2）由題意可得，設，當時，利用放縮、構造函數(shù)、求導可知滿足題意；當時，證明在上有唯一的零點即可.
【詳解】（1）的定義域為，
當時，在上單調遞增；
當時，，
當時，，所以在上單調遞增，
當時，，在上單調遞減．
當時，，
當時，，所以在上單調遞增，
當時，，在上單調遞減.
綜上所述，時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）由題意，即為，
設，
①當時，，
設，
則，
設，則，
所以在上單調遞增，
又，所以恒成立，即，
又，所以在上恒成立，從而在上單調遞增，
因為，所以，又，所以，滿足題意；
②當時，，
設，
則，
因為當時，，所以恒成立，
故在上單調遞增，
設，則，
所以在上單調遞增，
又，所以恒成立，即，從而，
所以當時，必有，
又，所以在上有唯一的零點，且當時，，
從而在上單調遞減，結合知當時，，
所以在上不能恒成立，不合題意.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．
【點睛】結論點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
【真題感知】
1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）當時，討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍.
【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.
【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導，分別令導數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）若有兩個零點，即有兩個解，將其轉化為有兩個解，令，求導研究函數(shù)圖象的走向，從而求得結果.
【詳解】（1）當時，，，
令，解得，令，解得，
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
（2）若有兩個零點，即有兩個解，
從方程可知，不成立，即有兩個解，
令，則有，
令，解得，令，解得或，
所以函數(shù)在和上單調遞減，在上單調遞增，
且當時，，
而時，，當時，，
所以當有兩個解時，有，
所以滿足條件的的取值范圍是：.
【點睛】本題考查的是有關應用導數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點有應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，也可以利用數(shù)形結合，將問題轉化為曲線和直線有兩個交點，利用過點的曲線的切線斜率，結合圖形求得結果.
2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設，討論函數(shù)在上的單調性；
(3)證明：對任意的，有．
【答案】(1)
(2)在上單調遞增.
(3)證明見解析
【分析】（1）先求出切點坐標，在由導數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；
（2）在求一次導數(shù)無法判斷的情況下，構造新的函數(shù)，再求一次導數(shù)，問題即得解；
（3）令，，即證，由第二問結論可知在[0,+∞）上單調遞增，即得證.
【詳解】（1）解：因為，所以，
即切點坐標為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
（2）解：因為，
所以，
令，
則，
∴在上單調遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調遞增.
（3）解：原不等式等價于，
令，，
即證，
∵，
，
由（2）知在上單調遞增，
∴，
∴
∴在上單調遞增，又因為，
∴，所以命題得證.
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調性；
（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．
【答案】(1)答案見解析；(2) 和.
【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調性；
(2)首先求得導數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
導函數(shù)的判別式，
當時，在R上單調遞增，
當時，的解為：，
當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
當時，單調遞增；
綜上可得：當時，在R上單調遞增，
當時，在，上
單調遞增，在上單調遞減.
(2)由題意可得：，，
則切線方程為：，
切線過坐標原點，則：,
整理可得：，即：，
解得：，則，
切線方程為：,
與聯(lián)立得，
化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為
解得,
，
綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.
【點睛】本題考查利用導數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調性研究中對導函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標時，要注意除了已經求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.
4．（2021·全國·高考真題）設函數(shù)，其中.
（1）討論的單調性；
（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.
【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調性.
（2）根據(jù)及（1）的單調性性可得，從而可求a的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
又，
因為，故，
當時，；當時，；
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）因為且的圖與軸沒有公共點，
所以的圖象在軸的上方，
由（1）中函數(shù)的單調性可得，
故即.
【點睛】方法點睛：不等式的恒成立問題，往往可轉化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉化中注意等價轉化.
5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.
【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調性即可；
(2)由題意結合(1)中函數(shù)的單調性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結論.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
當時，若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
當時，若，則單調遞增，
若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，若，則單調遞增，
若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
，
由于，，故，
結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
綜上可得，題中的結論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當時，，，
而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
當時，構造函數(shù)，則，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時：
，
當時，，
取，則，
即：，
而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
，
由于，，故，
結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
綜上可得，題中的結論成立.
【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用．
6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調性；
(2)當時，，求a的取值范圍；
(3)設，證明：．
【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)
(3)見解析
【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調性.
（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.
（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.
【詳解】（1）當時，，則，
當時，，當時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設，則，
又，設，
則，
若，則，
因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當時，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應該利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，注意結合端點處導數(shù)的符號合理分類討論，導數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構建數(shù)列不等式.4年考情
考題示例
考點分析
關聯(lián)考點
2023年新I卷，第19題,12分
含參分類討論求函數(shù)的單調區(qū)間
利用導數(shù)研究不等式恒成立問題
2023年新Ⅱ卷，第22題,12分
利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間
(不含參)
利用導數(shù)研究不等式恒成立問題
利用導數(shù)研究函數(shù)的零點
根據(jù)極值點求參數(shù)
2022年新I卷，第7題,5分
用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調性
比較指數(shù)寡的大小
比較對數(shù)式的大小
2022年新Ⅱ卷，第22題,12分
含參分類討論求函數(shù)的
單調區(qū)間
利用導數(shù)研究不等式恒成立問題
裂項相消法求和
2021年新I卷，第22題,12分
利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間
(不含參)
利用導數(shù)證明不等式
導數(shù)中的極值偏移問題
2021年新Ⅱ卷，第22題,12分
含參分類討論求函數(shù)的單調區(qū)間
利用導數(shù)研究函數(shù)的零點
條件
恒有
結論
函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導
＞0
f(x)在(a，b)上單調遞增
＜0
f(x)在(a，b)上單調遞減
＝0
f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)
4年考情
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結論
函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導
＞0
f(x)在(a，b)上單調遞增
＜0
f(x)在(a，b)上單調遞減
＝0
f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)
+
0
↗
極大值
↘
+
0
-
0
+
↗
極大值
↘
極小值
↗

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