第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（十二大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc168586131" 01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc168586131 \h 2
\l "_Tc168586132" 02 知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc168586132 \h 3
\l "_Tc168586133" 03 考點(diǎn)突破·題型探究 PAGEREF _Tc168586133 \h 4
\l "_Tc168586134" 知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 PAGEREF _Tc168586134 \h 4
\l "_Tc168586135" 知識(shí)點(diǎn)2：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟 PAGEREF _Tc168586135 \h 5
\l "_Tc168586136" 解題方法總結(jié) PAGEREF _Tc168586136 \h 5
\l "_Tc168586137" 題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像 PAGEREF _Tc168586137 \h 6
\l "_Tc168586138" 題型二：求單調(diào)區(qū)間 PAGEREF _Tc168586138 \h 9
\l "_Tc168586139" 題型三：已知含參函數(shù)在區(qū)間上的遞增或遞減，求參數(shù)范圍 PAGEREF _Tc168586139 \h 11
\l "_Tc168586140" 題型四：已知含參函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)范圍 PAGEREF _Tc168586140 \h 13
\l "_Tc168586141" 題型五：已知含參函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間或減區(qū)間，求參數(shù)范圍 PAGEREF _Tc168586141 \h 16
\l "_Tc168586142" 題型六：不含參數(shù)單調(diào)性討論 PAGEREF _Tc168586142 \h 19
\l "_Tc168586143" 題型七：導(dǎo)函數(shù)為含參一次函數(shù)的單調(diào)性分析 PAGEREF _Tc168586143 \h 21
\l "_Tc168586144" 題型八：導(dǎo)函數(shù)為含參準(zhǔn)一次函數(shù)的單調(diào)性分析 PAGEREF _Tc168586144 \h 22
\l "_Tc168586145" 題型九：導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)單調(diào)性分析 PAGEREF _Tc168586145 \h 23
\l "_Tc168586146" 題型十：導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)單調(diào)性分析 PAGEREF _Tc168586146 \h 28
\l "_Tc168586147" 題型十一：導(dǎo)函數(shù)為含參準(zhǔn)二次函數(shù)型的單調(diào)性分析 PAGEREF _Tc168586147 \h 32
\l "_Tc168586148" 題型十二：分段分析法討論函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc168586148 \h 35
\l "_Tc168586149" 04真題練習(xí)·命題洞見 PAGEREF _Tc168586149 \h 38
\l "_Tc168586150" 05課本典例·高考素材 PAGEREF _Tc168586150 \h 40
\l "_Tc168586151" 06易錯(cuò)分析·答題模板 PAGEREF _Tc168586151 \h 45
\l "_Tc168586152" 易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì) “導(dǎo)數(shù)值符號(hào)” 與 “函數(shù)單調(diào)性” 關(guān)系理解不透徹 PAGEREF _Tc168586152 \h 45
\l "_Tc168586153" 答題模板：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc168586153 \h 46
知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
1、函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．
2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．
【診斷自測(cè)】（2024·高三·上海松江·期末）函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由圖象可知，在區(qū)間上，
在區(qū)間上，
所以不等式的解集為.
故選：C
知識(shí)點(diǎn)2：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）如果導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，則需要單獨(dú)討論的部分．如果導(dǎo)函數(shù)恒正或恒負(fù)，則無需單獨(dú)討論；
（3）求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)；
（4）用的零點(diǎn)將的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（5）如果找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段.
【診斷自測(cè)】（2024·湖南懷化·二模）已知，則的單調(diào)增區(qū)間為．
【答案】/
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.
故答案為：
解題方法總結(jié)
1、使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的．例如，在上，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
2、若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立．因?yàn)椋椿?，?dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立．這說明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件．于是有如下結(jié)論：
單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；單調(diào)遞減．

題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像
【典例1-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，在同一直角坐標(biāo)系中，與的大致圖象不可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由可得
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，在第一象限上遞減，對(duì)應(yīng)圖象在第四象限且遞增，故A項(xiàng)符合；
對(duì)于在第一象限上與的圖象在上都單調(diào)遞增，故且，則.
又由可得，即與的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)應(yīng)大于1，顯然C項(xiàng)不符合，B, D項(xiàng)均符合.
故選：C.
【典例1-2】（2024·廣東廣州·一模）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圖可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，由此排除BD選項(xiàng).
當(dāng)時(shí)，從左向右，是遞增、遞減、遞增，
對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)為，由此排除C選項(xiàng)，
所以A選項(xiàng)正確.
故選：A
【方法技巧】
原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）．
【變式1-1】（2024·高三·陜西西安·期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由的圖象可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，
所以不等式的解集為.
故選：A
【變式1-2】（2024·北京海淀·一模）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，.設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，且為偶函數(shù)，故，
由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合圖象可得當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，
則由，有，解得，
亦可得，或，或，或，
由可得或，即，
由可得，即，
由，可得，即或（舍去，不在定義域內(nèi)），
由，可得，
綜上所述，關(guān)于x的不等式的解集為.
故選：D.
題型二：求單調(diào)區(qū)間
【典例2-1】（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，,
由，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
故答案為：.
【典例2-2】函數(shù)的嚴(yán)格遞減區(qū)間是 .
【答案】.
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
令，則且，即的嚴(yán)格遞減區(qū)間為.
故答案為： .
【方法技巧】
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：
（1）求的定義域
（2）求出．
（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標(biāo)出．
（4）在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的減區(qū)間．若一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個(gè)，則這些單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”隔開．
【變式2-1】（2024·四川巴中·一模）已知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若當(dāng)時(shí)，且.則的單調(diào)增區(qū)間為 .
【答案】
【解析】因?yàn)闀r(shí)，則，
又，則，即，
所以，
令，即，即，
又，則，解得，
令，即，即，
即，解得，
所以在單調(diào)遞增，
又為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
所以的單調(diào)增區(qū)間為.
故答案為：
【變式2-2】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
由得或（因?yàn)?，故舍去）?br>所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．
故答案為：
【變式2-3】函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
【答案】
【解析】由題意知，.
即，，因?yàn)?，所以?br>所以在中，，
所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故答案為：
題型三：已知含參函數(shù)在區(qū)間上的遞增或遞減，求參數(shù)范圍
【典例3-1】已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，令，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
故，所以的取值范圍是.
故選：D.
【典例3-2】已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
∵在，上為增函數(shù)；上為減函數(shù),
∴兩根分別位于和中，
得，即，解得.
故選：B
【方法技巧】
已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解．
【變式3-1】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即，則在上恒成立，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故.
故選：A.
【變式3-2】（2024·高三·廣東汕頭·期中）設(shè)，若函數(shù)在遞增，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在遞增，
所以在上恒成立，
則，即在上恒成立，
由函數(shù)單調(diào)遞增得，
又，所以，所以，
所以即，解得，
所以的取值范圍是.
故選：B
【變式3-3】（2024·陜西西安·三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
令，
則，
所以在上遞增，又，
所以.
所以的取值范圍是.
故選：B
【變式3-4】（2024·高三·江蘇南通·期中）已知函數(shù)的減區(qū)間為，則 .
【答案】3
【解析】由題意可得，，解集為，則.
故答案為：3
題型四：已知含參函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)范圍
【典例4-1】（2024·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．
C．D．m>1
【答案】B
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，
令，得，
因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，
所以，解得：
故選：B.
【典例4-2】已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意，故在上有零點(diǎn)，令，令，得，令，
則，由，得，單調(diào)遞增，又由，得，
故，所以，的取值范圍
故選：A
【方法技巧】
已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，通常用分離變量法求解參變量范圍．
【變式4-1】函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函數(shù)，
則，
記，
∵在上不單調(diào)，
當(dāng)時(shí)不滿足；
當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，，
∴或，
故選：C．
【變式4-2】函數(shù)在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意，，因在上不單調(diào)，
故導(dǎo)函數(shù)在上必有變號(hào)零點(diǎn).
令，得，再令，則，
由，得即在上單調(diào)遞增，所以，
故只需，即，
對(duì)于A，是的真子集,故 A選項(xiàng)是一個(gè)充分不必要條件，
而其他選項(xiàng)中，的范圍都不是的真子集，故都不正確.
故選:A．
【變式4-3】若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C． D．不存在這樣的實(shí)數(shù)k
【答案】B
【解析】由題意得，在區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
又的根為，且在或兩側(cè)異號(hào)，
而區(qū)間的區(qū)間長度為2，故只有2或-2在區(qū)間內(nèi)，
∴或，
∴或，故A，C，D錯(cuò)誤.
故選：B.
【變式4-4】函數(shù)在R上不單調(diào)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，而，
要使在R上不單調(diào)，則 .
故選：D
題型五：已知含參函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間或減區(qū)間，求參數(shù)范圍
【典例5-1】已知函數(shù)在上有增區(qū)間，則a的取值范圍是 .
【答案】
【解析】等價(jià)于存在使得成立，即成立，即得解.由題得，
因?yàn)楹瘮?shù)在上有增區(qū)間，
所以存在使得成立，
即成立，
因?yàn)闀r(shí)，，
所以.
故答案為：
【典例5-2】若函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為．
【答案】
【解析】，等價(jià)于在有解，即在有解，
即在有解，所以，
令，
則，即在上是增函數(shù)，
∴，所以.
故答案為：.
【方法技巧】
已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解．
【變式5-1】若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】，
由題意知，在上有實(shí)數(shù)解，
即有實(shí)數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，顯然滿足，
當(dāng)時(shí)，只需
綜上所述
故答案為：
【變式5-2】若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的最大值為．
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，由題意有解，即有解，令,,
時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞增；
時(shí),該函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)取得最大值,
所以．
【變式5-3】（2024·高三·湖北襄陽·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若在的定義域內(nèi)存在一個(gè)區(qū)間在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“漸緩增區(qū)間”．若對(duì)于函數(shù)，區(qū)間是其一個(gè)漸緩增區(qū)間，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【解析】對(duì)于函數(shù)，
，令，
則，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
所以恒成立，即恒成立，又，
所以，
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以恒成立，
所以，解得，
綜合得.
故答案為：.
【變式5-4】若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則的取值范圍是．
【答案】
【解析】，則，
函數(shù)在區(qū)間上存在減區(qū)間，只需在區(qū)間上有解，
即在區(qū)間上有解，
又，則，
所以在區(qū)間上有解，
所以，，令，，
則，
令，則在區(qū)間恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
即，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
題型六：不含參數(shù)單調(diào)性討論
【典例6-1】（2024·河北保定·二模）已知函數(shù).若，討論的單調(diào)性；
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，所以，
設(shè)，因?yàn)?、都在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以時(shí)，單調(diào)遞減；
時(shí)，單調(diào)遞增.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【典例6-2】（2024·高三·天津·開學(xué)考試）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
【解析】當(dāng)時(shí)，若，則，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．
【方法技巧】
確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，而用“，”或“和”隔開．
【變式6-1】已知函數(shù)．
判斷的單調(diào)性，并說明理由；
【解析】
令，
在上遞增，，，
在上單調(diào)遞增.
【變式6-2】（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)，若，求的單調(diào)區(qū)間.
【解析】若，則的定義域?yàn)椋?br>且，
令，解得；令，解得；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性．
【解析】當(dāng)時(shí)，可得，其中，則，
設(shè)，則，
令，可得恒成立，
所以為上的增函數(shù)，且，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以，所以在上單調(diào)遞增．
【變式6-4】函數(shù).當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>，記，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
題型七：導(dǎo)函數(shù)為含參一次函數(shù)的單調(diào)性分析
【典例7-1】已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】由題意可知的定義域?yàn)椋遥?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間.
當(dāng)時(shí)，令解得，
令，解得；令，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
【典例7-2】已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】（1）函數(shù)的定義域是，
因，
①若，則在上單調(diào)遞增；
②若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
【方法技巧】
導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)，首先討論一次項(xiàng)系數(shù)為0的情形，易于判斷；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【變式7-1】（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，其中.討論的單調(diào)性；
【解析】因?yàn)?，易知其定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，由，得到，
所以，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間.
【變式7-2】設(shè)函數(shù)．討論的單調(diào)性；
【解析】的定義域?yàn)?，?br>若，則，在上單調(diào)遞增．
若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
題型八：導(dǎo)函數(shù)為含參準(zhǔn)一次函數(shù)的單調(diào)性分析
【典例8-1】（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù),討論的單調(diào)性；
【解析】由題知，
令，則，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
【典例8-2】（2024·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù).討論的單調(diào)性；
【解析】的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【方法技巧】
導(dǎo)函數(shù)的形式為含參準(zhǔn)一次函數(shù)，首先對(duì)定號(hào)，然后討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【變式8-1】已知函數(shù).討論的單調(diào)性；
【解析】
函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>令，解得，
則有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
【變式8-2】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性;
【解析】，
當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
題型九：導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)單調(diào)性分析
【典例9-1】已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
①當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，
在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
③當(dāng)時(shí)，恒成立，
在上單調(diào)遞增，
④當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，
在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
【典例9-2】已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>又，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得（舍去），；
當(dāng)，，在上單調(diào)遞減；
，，在上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【方法技巧】
若導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.
【變式9-1】已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】由題知，，，
①當(dāng)時(shí)，，
則時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是；
②當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；
③當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是；
④當(dāng)時(shí)，，在和上，單調(diào)遞增；
在上，單調(diào)遞減；
故的增區(qū)間是和，減區(qū)間是，
綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．
【變式9-2】已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，，令得，令得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，令得（舍去），或，
令得，令得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，令得或，
若時(shí)，，
令得或，令得，
故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
若時(shí)，，此時(shí)恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
若時(shí)，，
令得或，令得，
故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
【變式9-3】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性．
【解析】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，
則，
故曲線在處的切線方程為．
（2）的定義域?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，則，
令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，則有：
若，則，令，則單調(diào)遞增；
令，則或單調(diào)遞減；
若，則，令，則單調(diào)遞增；
令，則或單調(diào)遞減；
若，則單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．
【變式9-4】已知函數(shù)，．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋深}意得,
當(dāng)時(shí), ，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去）,
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
題型十：導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)單調(diào)性分析
【典例10-1】已知函數(shù)．討論的單調(diào)性
【解析】，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，令，則．
若，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．
若，即時(shí)，方程的根為，
當(dāng)時(shí)，或，在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
【典例10-2】已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得．
由于在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減．
【方法技巧】
若導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域討論.
【變式10-1】討論函數(shù)，的單調(diào)性
【解析】因?yàn)?，所以?br>即，
當(dāng)時(shí)，，令，解得，
所以時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
令，，
當(dāng)時(shí)，令，則，，
所以方程有、兩個(gè)根，解得，，
因?yàn)?，，所以，?br>所以不在定義域內(nèi)，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，，單調(diào)遞增；
時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，即時(shí)，方程有、兩個(gè)根，
解得，，
因?yàn)椋?，所以，?br>，又因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，，單調(diào)遞增，
時(shí)，，單調(diào)遞減；
綜上所述：時(shí)，在是單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
時(shí)，在和上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增；
時(shí)，在單調(diào)遞減.
【變式10-2】（2024·高三·廣西·開學(xué)考試）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性．
【解析】，
（i）當(dāng)時(shí)，，由，得；由，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，的判別式，
若，①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，，方程的二根，
由，得或，由，得，
函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
若，①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，，方程的二根，
由，得，由，得或，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【變式10-3】設(shè)函數(shù),求的單調(diào)區(qū)間.
【解析】，，
若，則，則恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增.
當(dāng)或,由解得，
當(dāng)時(shí)，列表如下：
當(dāng)時(shí)，列表如下：
綜上, 當(dāng)時(shí),在遞減，在遞增，在遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，在遞增.
題型十一：導(dǎo)函數(shù)為含參準(zhǔn)二次函數(shù)型的單調(diào)性分析
【典例11-1】已知函數(shù),其中.求的單調(diào)區(qū)間．
【解析】,
令，即解不等式:,
① 當(dāng)時(shí),解得:,
故的單調(diào)區(qū)間為：
② 當(dāng)時(shí), ,所以解得:,
故的單調(diào)區(qū)間為：
③ ,則,常值函數(shù)不具備單調(diào)性.
④ 時(shí),解得:或,
故的單調(diào)區(qū)間為：
綜上，當(dāng)時(shí), 在遞減，在遞增，在遞減;
當(dāng)時(shí), 在遞減，在遞增，在遞增，在遞減；
當(dāng)時(shí),則,常值函數(shù)不具備單調(diào)性;
當(dāng)時(shí), 在遞增，在遞減，在遞減，在遞增.
【典例11-2】已知函數(shù).討論的單調(diào)性；
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
若，則，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上遞增，在上遞減；
若，令，解得，
若，即，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上遞減，在上遞增；
若，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上遞增，在上遞減；
若，即，則在上恒成立，函數(shù)在上遞增；
若，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
【方法技巧】
若導(dǎo)函數(shù)為含參準(zhǔn)二次函數(shù)型，首先對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行因式分解，求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.
【變式11-1】已知函數(shù)，.若，討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】
.
①當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)時(shí)，令，解得或，
當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【變式11-2】已知函數(shù)．時(shí)，討論的單調(diào)性．
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以，
所以
令可得，或，
若時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
若，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
若，，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以在上單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為，
當(dāng)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為，
若時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有遞減區(qū)間，
題型十二：分段分析法討論函數(shù)的單調(diào)性
【典例12-1】已知函數(shù)（，且）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【解析】定義域?yàn)?，（，且），則.
當(dāng)時(shí)，，，
若，則，，得，于是，
若，則，，得，于是，
∴當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，
若，則，，得，于是，
若，則，，得，于是，
∴當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減；
綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【典例12-2】已知函數(shù)，.
(1)若，求a的取值范圍；
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)性；
【解析】（1）由題意知的定義域?yàn)镽.
①當(dāng)時(shí)，由得，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，
所以，因此.
②當(dāng)時(shí)，若，因?yàn)?，不合題意.所以，此時(shí)恒成立.
③當(dāng)時(shí)，，此時(shí).
綜上可得，a的取值范圍是.
（2）設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，
所以，即在上恒成立. 所以.
又由（1）知，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增.
【方法技巧】
分段討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù).
【變式12-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).判斷函數(shù)的單調(diào)性.
【解析】因?yàn)椋x域?yàn)椋?br>，
令，因?yàn)?，則，
可得在上單調(diào)遞減，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【變式12-2】（2024·高三·湖北·期中）已知函數(shù)，．討論函數(shù)在上的單調(diào)性．
【解析】，
，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，
，
在上為減函數(shù)．
又，
在上存在唯一零點(diǎn)，使得，
∴當(dāng)時(shí)，遞增；
當(dāng)時(shí)，遞減．
綜上：當(dāng)時(shí)，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，遞增；
當(dāng)時(shí)，，遞減，其中為方程的根．
【變式12-3】設(shè)函數(shù)，其中，討論的單調(diào)性.
【解析】由
①時(shí)，由，令，解得，
所以時(shí)，時(shí)，，
則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
②時(shí)，由，
（i）時(shí)，因?yàn)?，則在單調(diào)遞增，
（ii）時(shí)，，解得或，
所以時(shí)，時(shí)，，
則在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
（iii）時(shí)，由，
所以時(shí)，時(shí)，，
則在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
綜上：時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
1．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【解析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：C．
2．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，
則，即在區(qū)間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
3．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
據(jù)此可得，
所以函數(shù)在處的切線方程為，即.
（2）由函數(shù)的解析式可得，
滿足題意時(shí)在區(qū)間上恒成立.
令，則，
令，原問題等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，
則，
當(dāng)時(shí)，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時(shí)，不合題意;
令，則，
當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.
當(dāng)時(shí)，由可得，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，
注意到，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
由于，故當(dāng)時(shí)，，不合題意.
綜上可知：實(shí)數(shù)得取值范圍是.
1．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：
（1）；
（2）
【解析】（1）,
令，
所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
（2），
令，
所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
2．證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．
【解析】因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．
3．利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證：，，
【解析】∵等價(jià)于，
∴可令，則，在上，
∴在上單調(diào)遞增，即，
∴在上恒成立，則，得證.
4．利用信息技術(shù)工具，根據(jù)給定的a，b，c，d的值，可以畫出函數(shù)的圖象，當(dāng)，，，時(shí)，的圖象如圖所示，改變a，b，c，d的值，觀察圖象的形狀：
（1）你能歸納函數(shù)圖象的大致形狀嗎？它的圖象有什么特點(diǎn)？你能從圖象上大致估計(jì)它的單調(diào)區(qū)間嗎？
（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，并求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．
【解析】（1）時(shí)，有如下圖所示的幾種情況，其圖象大致為“S”型，當(dāng)圖象存在駝峰，即存在極值點(diǎn)，則必有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值；當(dāng)不存在駝峰時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增或單調(diào)減，如下圖所示：
題設(shè)中的函數(shù)的圖象，有：在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.
（2）1、當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則，即單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，若，則，，
∴時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則，即單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，若，則，，
∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；
2、當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
3、當(dāng)、時(shí)，：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
4、當(dāng)、、時(shí)，：無單調(diào)性.
5．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，時(shí)，，
由得，由得，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
6．作函數(shù)的大致圖象．
【解析】，定義域?yàn)閯t，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí)，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，，所以，又，，所以函數(shù)的大致圖象如下所示：
易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì) “導(dǎo)數(shù)值符號(hào)” 與 “函數(shù)單調(diào)性” 關(guān)系理解不透徹
易錯(cuò)分析：一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)增（減）的充要條件是這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上恒大（?。┯诘扔?，且導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0．一定要注意導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上恒大（?。┯?僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)增（減）的充分條件．
【易錯(cuò)題1】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立；
即在上恒成立；
即在上恒成立；
所以，
故選：C
【易錯(cuò)題2】“當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)”為真命題的的一個(gè)取值是．
【答案】5（答案不唯一，只要是大于4的實(shí)數(shù)即可）
【解析】∵，∴，
函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，
∴在區(qū)間上有解,∵，∴,
∴,
故答案為：5（答案不唯一，只要是大于4的實(shí)數(shù)即可）.
答題模板：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性
1、模板解決思路
利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的重點(diǎn)在于準(zhǔn)確判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，當(dāng)函數(shù)含參數(shù)時(shí)，則根據(jù)參數(shù)取值范圍進(jìn)行分類討論．
2、模板解決步驟
第一步：求的定義域
第二步：求出．
第三步：令，求出其全部根，把全部的根在軸上標(biāo)出．
第四步：在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的減區(qū)間．若一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個(gè)，則這些單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”隔開．
【典例1】已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】易知定義域?yàn)?，令得或?br>①當(dāng)，即時(shí)，令得或，令得；
故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
②當(dāng)，即時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)，即時(shí)，令得或，
令得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
在，上單調(diào)遞增.
【典例2】已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間.
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
由可得或，
①當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，
②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
③當(dāng)時(shí)，由可得，由可得.
故當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
2023年乙卷（文）第20題，12分
2023年乙卷（理）第16題，5分
2023年II卷第6題，5分
2022年甲卷第12題，5分
2022年I卷第7題，5分
2021年浙江卷第7題，5分
高考對(duì)函數(shù)單調(diào)性的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．高考在本節(jié)內(nèi)容上無論試題怎樣變化，我們只要把握好導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具這一點(diǎn)，將函數(shù)的單調(diào)性本質(zhì)問題利用圖像直觀明了地展示出來，其余的就是具體問題的轉(zhuǎn)化了．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．
（2）能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）．

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