A. 是一個半徑為的圓B. 是一條與相交的直線
C. 上的點到的距離均為D. 是兩條平行直線
題型一：平面向量的線性運算
【典例例題】
例1.（2024春·廣東汕頭市）在平行四邊形中，點是上靠近的四等分點，與交于點，則（ ）
A. B.
C. D.
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·江西南昌）在中，點D是線段AB上靠近B的四等分點，點E是線段CD上靠近D的三等分點，則（ ）
A．B．C．D．
2.（2024春·遼寧遼陽）在中，，D為AB的中點，，P為CD上一點，且，則（ ）
A．B．C．D．
3.（2024春·江蘇南京）如圖1，兒童玩具紙風(fēng)車的做法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，取一張正方形紙折出“十”字折痕，然后把四個角向中心點翻折，再展開，把正方形紙兩條對邊分別向中線對折，把長方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折，然后把立起來的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，這樣，紙風(fēng)車的主體部分就完成了，如圖2，是一個紙風(fēng)車示意圖，則（ ）
A．B．
C．D．
故選：C．
題型二：平面向量的數(shù)量積運算
【典例例題】
例1.（2024春·湖南長沙） 已知單位向量，滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·河北衡水）若都為非零向量，且，，則向量的夾角為（ ）
A. B. C. D.
2.（2024春·廣東?。┮阎橇阆蛄颗c滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
3.（2024春·新疆）已知向量，，，且，則（ ）
A. B. C. D.
4.（2024春·河南鄭州）已知向量在方向上的投影向量的模為，向量在方向上的投影向量的模為1，且，則向量與向量的夾角為（ ）
A. B. C. D.
題型三：平面向量的坐標(biāo)表示及運算
【典例例題】
例1.（2024春·北京朝陽）在中，，當(dāng)時，的最小值為.若，，其中，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·湖北?。┰谒倪呅沃校膫€頂點A，B，C，D的坐標(biāo)分別是，，，，E，F(xiàn)分別為的中點，則（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
2.（2024春·江西?。┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知向量與關(guān)于x軸對稱，向量，則滿足不等式的點的集合用陰影表示為（ ）
A．B．
C．D．
3.（2024春·安徽合肥） 已知向量，，若與共線，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
4.（2024春·廣東省東莞市）已知向量，，則使成立的一個充分不必要條件是______________．
題型四：平面向量在幾何中的應(yīng)用
【典例例題】
例1.（2024春·黑龍江）在中，若，則的面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·廣東惠州市）如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為___________（用向量來表示）.

2.（2024春·江西省）在中，已知D為邊BC上一點，，．若的最大值為2，則常數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
3.（2024·江西）如圖，正六邊形的邊長為，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點M在正六邊形的邊上運動，動點A，B在圓O上運動且關(guān)于圓心O對稱，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024春·云南保山）如圖，已知正方形的邊長為4，若動點在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
一、單項選擇
1.（2024春·廣東?。┮阎蛄浚?，且，則（ ）
A.2 B.3 C.4 D.
2.（2024春·新疆）已知向量，，則“//”是 ”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3．（2024·江西南昌）在中，是邊上一點，且，則（ ）
A．B．
C．D．
4.（2024春·湖南衡陽）已知圓的半徑為1，過圓外一點作一條切線與圓相切于點，，為圓上一個動點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．

5．（2024春·廣東廣州）如圖所示，O點在內(nèi)部，分別是邊的中點，且有，則的面積與的面積的比為（ ）
A．B．C．D．
二、多選
6.（2024春·廣西桂林）已知是夾角為的單位向量，，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量為
7.（2024春·貴州）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A．若，且，則為直角三角形
B．若，，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個，則
C．若平面內(nèi)有一點滿足：，且，則為等邊三角形
D．若，則為鈍角三角形
8．（2024春·湖北武漢）已知向量，，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．的最大值為6D．若，則
三、填空題
9.（2024春·廣東華僑中學(xué)）已知，，且，則在上的投影向量為_______.
10.（2024春·廣東深圳市）已知單位向量滿足，則__________.
11.（2024春·吉林）已知向量，，則______．
12.（2024春·安徽）等邊三角形的邊長是，分別是與的中點，則__________.
13．（2024春·河北衡水）在中，是邊的中點，，過點的直線交直線分別于兩點，且，則 .
14．（2024春·陜西西安）在中，在上，且，在上，且.若，則 .
15．（2024春·天津和平）如圖，在中，，過點的直線分別交直線于不同的兩點，記，用表示 ；設(shè)，若，則的最小值為 ．
16．（2024春·天津）在梯形中，分別為線段和線段上的動點，且，則的取值范圍為 ．
17．（2024春·廣西）在矩形中，，，，，過M點作交于N點，若E，F(xiàn)分別是和上動點，且，則的最小值為 .
18．（2024春·北京大興）如圖是六角螺母的橫截面，其內(nèi)圈是半徑為1的圓，外框是以為中心，邊長為2的正六邊形，則到線段的距離為 ；若是圓上的動點，則的取值范圍是 .

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