專題07：解三角形（五大題型）-2024年新高考新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

8.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（）
A. B. 2C. D.
題型一：正弦、余弦定理
【典例例題】
例1.（2024上·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)證明：；
(2)若，求的值．
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·新高考）（多選）在中，，，，則可能為（）
A．B．C．D．
2.（2024春·四川雅安）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，，則（）
A．B．C．D．
3.（2024春·江蘇南通）記的內(nèi)角A，B的對(duì)邊分別為a，b，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2024春·廣東深圳）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，且雙曲線的離心率為，則（）
A．B．C．D．
題型二：三角形面積公式
【典例例題】
例1.（2024春·貴州黔東南）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知．
(1)求；
(2)若，求的面積．
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·浙江）記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且滿足.
(1)證明：；
(2)若的面積為，求；
2．（2024春·陜西）在中，為邊上一點(diǎn)，，且的面積為．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)若，求的值．
3．（2024春·江西）在中，已知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且的面積為，點(diǎn)D是線段上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，．
(1)若，求c；
(2)若，求的值．
題型三：正弦、余弦定理在幾何中的應(yīng)用
【典例例題】
例1.（2024春·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)）在平面四邊形中，，，對(duì)角線與交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
（1）若，求的長(zhǎng)；
（2）若，求
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·山東濟(jì)南）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知.
(1)求；
(2)若，且邊上的高為，求的周長(zhǎng).
2．（2024春·黑龍江齊齊哈爾）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求；
(2)若的面積為，求邊上的中線長(zhǎng).
3．（2024春·安徽合肥）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.
(1)求角C；
(2)若，求角的平分線的長(zhǎng)度.
題型四：解三角形最值問(wèn)題
【典例例題】
例1.（2024春·廣東省）已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·陜西安康）在中，角的對(duì)邊分別是，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面積的最大值.
2．（2024春·北京）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足，．
(1)求的大?。?br>(2)已知是的中線，求的最大值．
3．（2024春·山東威海）在中，角所對(duì)的邊分別為記的面積為，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
4.（2024春·四川德陽(yáng)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，求的面積范圍.
題型五：解三角形實(shí)例應(yīng)用
【典例例題】
例1.（2024春·上海靜安）如下圖，某公園東北角處有一座小山，山頂有一根垂直于水平地平面的鋼制筆直旗桿，公園內(nèi)的小山下是一個(gè)水平廣場(chǎng)（虛線部分）．某高三班級(jí)數(shù)學(xué)老師留給同學(xué)們的周末作業(yè)是：進(jìn)入該公園，提出與測(cè)量有關(guān)的問(wèn)題，在廣場(chǎng)上實(shí)施測(cè)量，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．老師提供給同學(xué)們的條件是：已知米，規(guī)定使用的測(cè)量工具只有一只小小的手持激光測(cè)距儀（如下圖，該測(cè)距儀能準(zhǔn)確測(cè)量它到它發(fā)出的激光投射在物體表面上的光點(diǎn)之間的距離）．

(1)甲同學(xué)來(lái)到通往山腳下的筆直小路上，他提出的問(wèn)題是：如何測(cè)量小山的高度？于是，他站在點(diǎn)處，獨(dú)立的實(shí)施了測(cè)量，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決了問(wèn)題．請(qǐng)寫(xiě)出甲同學(xué)的解決問(wèn)題方案，并用假設(shè)的測(cè)量數(shù)據(jù)（字母表示）表示出小山的高度；
(2)乙同學(xué)是在一陣大風(fēng)過(guò)后進(jìn)入公園的，廣場(chǎng)上的人紛紛議論：旗桿似乎是由于在根部處松動(dòng)產(chǎn)生了傾斜．她提出的問(wèn)題是：如何檢驗(yàn)旗桿是否還垂直于地面？并且設(shè)計(jì)了一個(gè)不用計(jì)算就能解決問(wèn)題的獨(dú)立測(cè)量方案．請(qǐng)你寫(xiě)出她的方案，并說(shuō)明理由；
(3)已知（1）中的小路是東西方向，且與點(diǎn)所確定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同學(xué)已經(jīng)斷定旗桿大致向廣場(chǎng)方向傾斜．如果你是該班級(jí)的同學(xué)，你會(huì)提出怎樣的有實(shí)際意義的問(wèn)題？請(qǐng)寫(xiě)出實(shí)施測(cè)量與解決問(wèn)題的方案，并說(shuō)明理由（如果需要，可通過(guò)假設(shè)的測(cè)量數(shù)據(jù)或運(yùn)算結(jié)果列式說(shuō)明，不必計(jì)算）．
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·貴州）如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽(yáng)市南明區(qū)甲秀路，是該市的標(biāo)志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來(lái)閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復(fù)原名、現(xiàn)存建筑是宣統(tǒng)元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進(jìn).某研究小組將測(cè)量甲秀樓最高點(diǎn)離地面的高度，選取了與該樓底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得甲秀樓頂端的仰角為，則甲秀樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）
A．B．C．D．
2．（2024春·吉林）如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救. 甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為（）
A．B．
C．D．
3.（2024春·湖南長(zhǎng)沙）海邊近似平直的海岸線上有兩處碼頭、，且.現(xiàn)有一觀光艇由出發(fā)，同時(shí)在處有一小艇出發(fā)向觀光艇補(bǔ)充物資，其速度為觀光艇的兩倍，在處成功攔截觀光艇，完成補(bǔ)給.若兩船都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，觀光艇行駛向海洋的方向任意的情況下，小艇總可以設(shè)定合適的出發(fā)角度，使得行駛距離最小，則攔截點(diǎn)距離海岸線的最遠(yuǎn)距離為 .
4．（2024春·北京海淀）一艘輪船在江中向正東方向航行，在點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔在一直線上，并與航線成30角.輪船沿航線前進(jìn)1000米到達(dá)處，此時(shí)觀測(cè)到燈塔在北偏西方向，燈塔在北偏東方向.則此時(shí)輪船到燈塔之間的距離為米.
一、單項(xiàng)選擇
1.（2024春·廣東汕頭市）銳角中，若，則（）
A. B. C. D.
2．（2024春·湖南長(zhǎng)沙）在中，角所對(duì)的邊分別為，，若表示的面積，則的最大值為（）
A．B．C．D．
3．（2024春·重慶）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則的值為（）
A．B．C．D．3
填空題
4．（2024春·江西南昌）鄂州十景之一“二寶塔”中的文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至今已有四百六十多年的歷史，該塔為八角五層樓閣式磚木混合結(jié)構(gòu)塔.現(xiàn)在在塔底共線三點(diǎn)、、處分別測(cè)塔頂?shù)难鼋菫?、、，且m，則文星塔高為 m.

5．（2024春·山東濟(jì)南）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，，則外接圓的半徑為．
6．（2024春·安徽）馬爾代夫群島是世界上風(fēng)景最為優(yōu)美的群島之一，如圖所示，為了測(cè)量?jī)勺鶏u之間的距離，小船從初始位置出發(fā)，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現(xiàn)在船往東航行2百海里到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得在的北偏西的方向上，船再返回到處后，由向西航行百海里到達(dá)處，測(cè)得在的北偏東的方向上，則兩座島之間的距離為百海里.

7．（2024春·江西南昌）如圖是改革開(kāi)放四十周年大型展覽的展館——國(guó)家博物館．現(xiàn)欲測(cè)量博物館正門(mén)柱樓頂部一點(diǎn)P離地面的高度(點(diǎn)O在正門(mén)柱樓底部)．現(xiàn)分別從地面上的兩點(diǎn)A，B測(cè)得點(diǎn)P的仰角分別為，且，m，則 m.
8．（2024春·廣東東莞）中華人民共和國(guó)國(guó)歌有84個(gè)字，37小節(jié)，奏唱需要46秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個(gè)水平面上.要使國(guó)歌結(jié)束時(shí)國(guó)旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應(yīng)為（米/秒）
三、簡(jiǎn)答題
9．（2024春·河南信陽(yáng)）如圖，在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，為銳角．
(1)若，求；
(2)若，求．
10．（2024春·山西呂梁）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求；
(2)設(shè)的角平分線交于點(diǎn)，求的最小值．
11．（2024春·安徽合肥）在中，的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求；
(2)已知點(diǎn)在線段上，且，求長(zhǎng).
12．（2024春·浙江麗水）在凸四邊形中，記，四邊形的面積為S．已知．
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
(3)若，求四邊形面積的最大值．
13．（2024春·四川）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求角；
(2)若的角平分線交于，求的長(zhǎng).
14.（2024春·廣東省東莞市）中，角的對(duì)邊分別為，且．
（1）求；
（2）若，且D為△ABC外接圓劣弧上一點(diǎn)，求的取值范圍．

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