10. 已知復(fù)數(shù)均不為0，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【詳解】設(shè)、；
對(duì)A：設(shè)，則，
，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B： ，又，即有，故B正確；
對(duì)C：，則，
，，則，
即有，故C正確；
對(duì)D：
，
，
故，故D正確.
故選：BCD.
題型一：復(fù)數(shù)的概念
【典例例題】
例1．（2024春·江蘇南京）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，則，有.
故選：A
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟）復(fù)數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（ ）
A．6B．C．D．7
【答案】C
【詳解】復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，則，
由為實(shí)數(shù)，得，解得，又，
顯然，由為純虛數(shù)，得，解得，
所以.
故選：C
2．（2024上·河南焦作）已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題意可得：，
所以的虛部為．
故選：B.
3.（2024春·江蘇南通）已知，是方程的兩個(gè)復(fù)根，則（ ▲ ）.
A. 2B. 4C. 2iD. 4i
【答案】B
4.（2024春·上?！じ呷_學(xué)考試）下列命題不正確的為（ ）
A．若復(fù)數(shù)，的模相等，則，是共軛復(fù)數(shù)
B．，都是復(fù)數(shù)，若是虛數(shù)，則不是的共軛復(fù)數(shù)
C．復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是
D．，，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為線段
【答案】A
【詳解】對(duì)于A，若復(fù)數(shù)，的模相等，則，還可能是相等的復(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若和是共軛復(fù)數(shù)，則相加為實(shí)數(shù)，不會(huì)為虛數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則，從而，所以，
反之若，則由得，所以，
所以復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)，
由復(fù)數(shù)的幾何意義可知表示點(diǎn)到點(diǎn)和距離之和為2，
而點(diǎn)和之間距離為2，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為線段，故D正確.
故選：A
題型二：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
【典例例題】
例1.（2024春·新高考）（多選）已知復(fù)數(shù)，滿足，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【詳解】，，
，，
所以，，
故選:ABD
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·江蘇南通）（多選）已知復(fù)數(shù)，設(shè)，當(dāng)x取大于0的一組實(shí)數(shù)、、、、時(shí)、所得的y值依次為另一組實(shí)數(shù)、、、、，則（ ▲ ）.
A. 兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同B. 兩組數(shù)據(jù)的極差相同
C. 兩組數(shù)據(jù)的方差相同D. 兩組數(shù)據(jù)的均值相同
【答案】BC
2.（2024春·廣東?。┰O(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．B．C．2D．8
【答案】B
【解析】，
，
因此．
故選：B
3．（2024春·云南保山）（多選）已知，則下列正確的是（ ）
A．B．在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
C．D．
【答案】AC
【詳解】對(duì)于A，由，所以，故A正確；
對(duì)于B，由，所以，故在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
在第三象限，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，所以，
則，故C正確；
對(duì)于D，，所以，故，故D錯(cuò)誤，
故選：AC.
4.（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知是兩個(gè)虛數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則與均為實(shí)數(shù)B．若與均為實(shí)數(shù)，則
C．若均為純虛數(shù)，則為實(shí)數(shù)D．若為實(shí)數(shù)，則均為純虛數(shù)
【答案】ABC
【詳解】設(shè)，．，．
若，則，，所以，，所以A正確；
若與均為實(shí)數(shù)，則，且，又，，所以，所以B正確；
若，均為純虛數(shù)，則，所以，所以C正確；
取，，則為實(shí)數(shù)，但，不是純虛數(shù)，所以D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義
【典例例題】
例1.（2024春·湖北?。ǘ噙x）設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A. B. 若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C. D. 若，則的最大值為2
【答案】ABD
【解析】
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，故，則，，故成立，故A正確，
對(duì)于B，，，顯然復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故B正確，
對(duì)于C，易知，，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，若，則，而，易得當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，故D正確.
故選：ABD
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·北京海淀）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，
則，，得，
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：D
2.（2024春·江蘇常州）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意得，，，
則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1.
故選：A．
3.（2024春·湖南長(zhǎng)沙）（多選）已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且O為復(fù)平面原點(diǎn)若．z1=32+12i（i為虛數(shù)單位），向量OA繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，且模伸長(zhǎng)為原來的2倍后與向量OB重合，則（ ）
A．z2的虛部為32B．點(diǎn)B在第二象限
C．z1+z2=2D．z2z1=2
【答案】BD
【詳解】因?yàn)閦1=32+12i， 所以z1對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為32,12，z1=1，
OA向量與x軸夾角為θ,tanθ=1232=33,θ=π6,

由題意可知，z2=2,且OB=2csθ+π2,sinθ+π2=?1,3，選項(xiàng)B正確；
z2=?1+3i，z2的虛部為3，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
z1+z2=32?1+12+3i，所以z1+z2=32?12+12+32=5，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
z2z1=z2z1=2，選項(xiàng)D正確；
故選：BD.
4.（2024春·湖北武漢）已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【解答】
解：設(shè)，，
由，
即，
則的軌跡為點(diǎn)，連線的中垂線：，
設(shè)，，
則的最小值等價(jià)于求的最小值，
點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，
所以，
故答案為．
單項(xiàng)選擇
1．（2024春·湖南衡陽）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，是方程的兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)根，則的值為（ ）
A．1B．C．2D．或2
【答案】D
【詳解】由，
得.
因?yàn)?，所以或?br>當(dāng)或，；
當(dāng)或，.
故選：D
2．（2024春·山西朔州）是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?
則.則其在第三象限.
故選：C
3．（2024春·重慶長(zhǎng)壽）設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模為（ ）
A．7B．1C．5D．25
【答案】C
【詳解】復(fù)數(shù)，則，
所以.
故選：C.
4．（2024春·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的實(shí)部為（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【詳解】由題意可得，
所以z的實(shí)部為．
故選：A．
5．（2024春·河南·模擬預(yù)測(cè)）（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：B.
6．（2024春·河北保定）若虛數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，且，則（ ）
A．6B．4C．2D．1
【答案】C
【詳解】依題意，設(shè)（且），
代入方程，得，
整理得．
所以，解得，
因?yàn)?，即，所以?br>故選：C．
7．（2024春·河南）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為（ ）
A．0B．2C．4D．8
【答案】C
【詳解】，
所以實(shí)部與虛部之和為.
故選：C
8．（2024春·黑龍江哈爾濱）已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．復(fù)數(shù)實(shí)部為1 B．復(fù)數(shù)虛部為0
C． D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
【答案】B
【詳解】由題意得：，
所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部為，虛部為0，即A錯(cuò)誤，B正確；
，故C錯(cuò)誤，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故D錯(cuò)誤，
故選：B.
多項(xiàng)選擇
9.（2024春·廣東省）已知是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A． B．若，則
C． D．若，則的最小值為1
【答案】CD
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，但，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，令，滿足，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)，則所以，則，所以，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)，則，
即，表示以為圓心，半徑為1的圓，
表示圓上的點(diǎn)到的距離，故的最小值為，故D正確.
故選：CD
10.（2024春·江西?。┤魪?fù)數(shù)，則（ ）
A．的共軛復(fù)數(shù)B．
C．復(fù)數(shù)的虛部為D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
【答案】ABD
【詳解】，則，故正確；
，故正確；復(fù)數(shù)的虛部為，故錯(cuò)誤；
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故正確.
故選：ABD
11.（2024春·九省聯(lián)考模擬）（多選）已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【詳解】設(shè)，，其中.
對(duì)于選項(xiàng)A: ，所以與不一定相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B: 因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以,故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C: 因?yàn)?
所有
因?yàn)椋?br>所以,故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?，所?br>，而與不一定相等,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：BC.
12.（2024春·重慶）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列命題正確的是（ ）
A． B．為純虛數(shù)
C． D．
【答案】ACD
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，故，A正確；
，當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)，B錯(cuò)誤；
，則，C正確；
，
，故，
則，D正確，
故選：ACD
13．（2024春·江西宜春）設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A．B．若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C．D．若，則的最大值為2
【答案】ABD
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，故，則，，故成立，故A正確，
對(duì)于B，，，顯然復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故B正確，
對(duì)于C，易知，，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，若，則，而，易得當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，故D正確.
故選：ABD

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