15. 已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直．
（1）求；
（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．
【答案】（1）
（2）單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，極小值
【解析】
【小問1詳解】
，則，
由題意可得，解得；
【小問2詳解】
由，故，
則，，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故有極大值，
有極小值.
題型一：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及幾何意義
【典例例題】
例1.（2024春·湖北?。┤酎c(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線時(shí)，，
則，而，解得，于是，
平行于的直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)到直線的最小距離即點(diǎn)到直線的距離．
故選：D
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·新高考）已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，則，
則，
所以，，
所以，，故.
故選：C.
2.（2024春·安徽蕪湖）若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為 .
【答案】
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且定義域?yàn)椋?br>所以，得到，
當(dāng)時(shí)，，，
所以滿足意義，故，所以，
故，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
故答案為：.
3．（2024春·重慶）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若，則在點(diǎn)處的切線方程為 ．（結(jié)果用含的表達(dá)式表示）
【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以，即?br>令，有，令，有，所以，
，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
由，令得，所以，
令得，所以，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，
即.
故答案為：.
4.（2024春·云南大理）（多選）激活函數(shù)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的重要組成部分，是一種添加到人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的函數(shù).函數(shù)是常用的激活函數(shù)之一，其解析式為，則（ ）
A．函數(shù)是奇函數(shù)
B．函數(shù)是減函數(shù)
C．對于實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
D．曲線存在與直線垂直的切線
【答案】AC
【詳解】定義域?yàn)椋?br>所以為奇函數(shù)，正確；
恒成立，所以函數(shù)是增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，且，
故當(dāng)時(shí)，與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
C正確；
，且，
所以，故曲線不存在與直線垂直的切線.錯(cuò)誤.
故選：AC.
題型二：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【典例例題】
例1.（2024春·安徽合肥）已知函數(shù).
(1)若，分析的單調(diào)性；
(2)若，證明：在，內(nèi)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，并且這兩個(gè)零點(diǎn)互為相反數(shù).
【答案】(1)在上單調(diào)遞增 (2)證明見解析
【詳解】（1）若，則.
設(shè)，則，令，得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以在上單調(diào)遞增.
（2）.
設(shè)，則，
令，解得，令，解得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
若，即，則，
又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在內(nèi)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為.
當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
由于，所以，
又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
的大致圖象如下:

設(shè)為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)，下面證明也是的零點(diǎn)，即.
因?yàn)椋?br>所以.
綜上，在，內(nèi)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，并且這兩個(gè)零點(diǎn)互為相反數(shù).
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·山東棗莊）已知定義在上的連續(xù)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【詳解】A項(xiàng)，在中，，函數(shù)為奇函數(shù)，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，則，
所以函數(shù)關(guān)于對稱，
所以，故A正確；
B項(xiàng)，令，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
所以，B正確；
C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
所以，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
則在取得最小值為1，
所以不存在，C錯(cuò)誤；
D項(xiàng)，由函數(shù)關(guān)于對稱，
當(dāng)時(shí)，令，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，則，
所以，，
令，，
所以函數(shù)單調(diào)遞減，，
所以，
所以，，
所以與的差大于與的差，
因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對稱，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，D正確；
故選：ABD.
2．（2024春·全國新高考）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)，分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，記，．
（?。┳C明：直線AB與曲線交于另一點(diǎn)C；
（ⅱ）在（i）的條件下，判斷是否存在常數(shù)，使得．若存在，求n；若不存在，說明理由．
附：，．
【答案】(1)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）存在，
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>則，
令得或，
當(dāng)與時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
（2）由（1）得，，
（ⅰ）直線的方程為，即，
由，得，
設(shè)，則，
令得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，?br>所以有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，，其中，
這表明方程的解集為，
即直線AB與曲線交于另一點(diǎn)C，且C的橫坐標(biāo)為，
（ⅱ）由（?。┑茫?，
假設(shè)存在常數(shù)，使得，則，
所以，代入可得．
設(shè)，則．令得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
因?yàn)?，，?br>所以存在唯一的，使得．
此時(shí)．
因此，存在常數(shù)，使得，且．
4.（2024春·陜西西安）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，對，不等式恒成立．
【答案】(1)答案見解析 (2)證明見解析
【詳解】（1）定義域?yàn)椋?br>由，得，
①時(shí)，，則在上為增函數(shù)；
②時(shí)，由，得，由，得，
則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，
則
，
∴要證原不等式成立，即證對恒成立，
令，則，
在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
對恒成立．
對恒成立．
題型三：函數(shù)的極值和最值
【典例例題】
例1.（2024春·廣東省）已知函數(shù)有極值點(diǎn)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及的取值范圍；
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且求的值.
【答案】(I)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，或；(II) ．
【詳解】(I)求單調(diào)區(qū)間先求導(dǎo)，，解得或，
令，解得
∴的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.
（II)極值點(diǎn)即為導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)得
即
解得或
∵或，則
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·黑龍江哈爾濱）已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，且滿足，在 處取極值，則下列說法中正確的是 （ ）
A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)
C．在處取極小值D．的最大值為4
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，所以，
因?yàn)樵谔帢O值，所以，解得，
所以，
所以且，
所以不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，所以A、B錯(cuò)誤；
對于C中，由B知，，
令，解得或，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在處取得極小值，所以C正確；
對于D中，令，則，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以D錯(cuò)誤.
故選：C.
2.（2024春·湖北武漢）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）證明：．
【答案】（1） （2）證明見解析
【解析】
【小問1詳解】
，，．
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
【小問2詳解】
由（1）得．
令函數(shù)，則，所以是增函數(shù)．
因?yàn)?，?br>所以存在，使得，即．
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
．
因?yàn)?，所以?br>所以．
故．
3.（2024春·江西贛州）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 (2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
∴，由，得，由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
（2）原條件等價(jià)于：在上存在實(shí)數(shù)解．
化為在上存在實(shí)數(shù)解，
令，
則，
∴在上，，得，故在上單調(diào)遞增，
∴的最小值為，
∴時(shí)，不等式在上存在實(shí)數(shù)解．
4．（2024春·河北衡水）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)在上單調(diào)遞減 (2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取得極大值，所以，
所以在上單調(diào)遞減；
（2），
設(shè)，則，
（i）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，又，
所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)；
（ii）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)；
（iii）當(dāng)時(shí)，開口向下，對稱軸為，
此時(shí)，故，使，
當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，
又，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以為的極小值點(diǎn)；
（iv）當(dāng)時(shí)，，使，
當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞減，
又，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以為的極大值點(diǎn)；
（v）當(dāng)時(shí)，由（1）知非極小值點(diǎn)．
綜上所述，．
題型四：導(dǎo)數(shù)的新穎題型
【典例例題】
例1.（2024春新高考）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.
(1)若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；
(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.
【答案】(1)是上的“3類函數(shù)”，理由見詳解.
(2) (3)證明過程見詳解.
【詳解】（1）對于任意不同的，
有，，所以，
，
所以是上的“3類函數(shù)”.
（2）因?yàn)椋?br>由題意知，對于任意不同的，都有，
不妨設(shè)，則，
故且，
故為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，
故任意，都有，
由可轉(zhuǎn)化為，令，只需
，令，在單調(diào)遞減，
所以，，故在單調(diào)遞減，
，
由可轉(zhuǎn)化為，令，只需
，令，在單調(diào)遞減，
且，，所以使，即，
即，
當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞減，
，
故.
（3）因?yàn)闉樯系摹?類函數(shù)”，所以，
不妨設(shè)，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>，
綜上所述，，，.
【變式訓(xùn)練】
1．（2024春·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動點(diǎn)； 若存在，使得，則稱為函數(shù)的二階不動點(diǎn)； 依此類推，可以定義函數(shù)的 階不動點(diǎn). 其中一階不動點(diǎn)簡稱不動點(diǎn)，二階不動點(diǎn)也稱為穩(wěn)定點(diǎn).
(1)已知，求的不動點(diǎn)；
(2)已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求證： “為函數(shù)的不動點(diǎn)”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)”的充分必要條件；
(3)已知，討論函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】(1)1 (2)證明見解析 (3)答案見解析
【詳解】（1）設(shè)，則恒成立，
故函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
又，故函數(shù)在R上有唯一零點(diǎn)，
即有唯一不動點(diǎn)1；
（2）證明：充分性：設(shè)為函數(shù)的不動點(diǎn)，則，
則，即為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，充分性成立；
必要性：設(shè)為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，即，
假設(shè)，而在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
若，則，與矛盾；
若，則，與矛盾；
故必有，即，
即，故為函數(shù)的不動點(diǎn)，
綜上， “為函數(shù)的不動點(diǎn)”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)”的充分必要條件；
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由（2）知的穩(wěn)定點(diǎn)與的不動點(diǎn)等價(jià)，故只需研究的不動點(diǎn)即可；
令，
則，則在上單調(diào)遞減，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)x無限接近于0時(shí)，趨向于負(fù)無窮小，且，
故存在唯一的，使得，即有唯一解，
所以此時(shí)有唯一不動點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
當(dāng)x趨向無窮大時(shí)，趨近于0，此時(shí)，
存在唯一，使得，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨向于負(fù)無窮大，當(dāng)x趨向正無窮大時(shí)，趨向于負(fù)無窮大，
設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，
又在時(shí)單調(diào)遞增，
故（i）當(dāng)時(shí)，即，
此時(shí)，方程有一個(gè)解，即有唯一不動點(diǎn)；
（ii）當(dāng)shi ，即，
此時(shí)，方程無解，即無不動點(diǎn)；
（iii）當(dāng)時(shí)，即，
此時(shí)，方程有兩個(gè)解，即有兩個(gè)不動點(diǎn)；
綜上，當(dāng)時(shí)或時(shí)，有唯一穩(wěn)定點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，無穩(wěn)定點(diǎn)；
當(dāng)，有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)；
2.（2024春·浙江寧波）在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長為，當(dāng)動點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）
(1)求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；
(2)求橢圓在處的曲率；
(3)定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．
【答案】(1)1 (2) (3)
【詳解】（1）．
（2），，，
故，，故．
（3），，故，其中，
令，，則，則，其中（不妨）
令，在遞減，在遞增，故；
令，
，令，
則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，
可得，即，
故有，
則在遞增，
又，，故，
故．
單項(xiàng)選擇
1．（2024春·江蘇常州）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，且對任意的滿足，則不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】構(gòu)建，則，
因?yàn)椋瑒t，即，
可知在上單調(diào)遞減，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故選：A．
2.（2024春·江西?。┰O(shè)、、滿足，，，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【詳解】、、且，，，則，
先比較與的大小關(guān)系，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
則，所以，，
則，
令，其中，則，
令，其中，所以，，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，
因?yàn)?，則，
所以，，
所以，，
因?yàn)椋裕?br>，
所以，對任意的，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋瑒t，故，
由基本不等式可得（，故取不了等號），所以，，
故選：A.
填空題
3．（2024春·陜西）已知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列說法正確的序號為 ．
①若，則函數(shù)在處的切線方程為；②m可能是負(fù)數(shù)；
③；④若存在，使得，則．
【答案】①④
【詳解】①若，則，，
，，
所以函數(shù)在處的切線方程為，即，說法①正確．
②，有，則，說法②錯(cuò)誤．
③，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，沒有極值，
當(dāng)時(shí)，由，解得，
所以在區(qū)間上，單調(diào)遞增，
在區(qū)間上，單調(diào)遞減，
所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，
而，
所以為定值，說法③錯(cuò)誤．
④若存在，使得，
即，得，
即，即，
由于，所以必存在，
對于，則有，
即，解得，所以說法④正確.
故答案為：①④
4.（2024春·新高考）已知若存在，使得成立，則的最大值為 .
【答案】
【詳解】因則，
由知時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.
由可得：且,故得：，
則，不妨設(shè)，則，
故當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，
即，故的最大值為.
故答案為：.
5.（2024春·江西?。┤簦O(shè)的零點(diǎn)分別為，則 ， .（其中表示a的整數(shù)部分，例如：）
【答案】
【詳解】令，則，利用對數(shù)恒等式，原式等價(jià)變?yōu)椋海?br>下令，于是，由可知在上遞減，
上遞增，在取到極小值，，且，，
可作出大致圖像如下：
結(jié)合圖像，可能有如下情形：
由的單調(diào)性可知，若均在中的一種時(shí)，則有.
記，，即在上遞增，由，則，故，使得；
顯然在上遞增，由，故時(shí)，，故時(shí)，；
又，故，使得，故時(shí)；
不可能均滿足，事實(shí)上，由，得到，這與矛盾.
于是時(shí)，由可以推出：.
設(shè)，，由在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，，即，故，使得，且時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，故，由，可得，由，根據(jù)基本不等式，（等號取不到），故，又，，故存在，使得；
，顯然，故，即；
，顯然，故，即.
由，故，使得.
注意到，故.
綜上討論，當(dāng)時(shí)原方程有兩個(gè)根：，；
雖說，，根據(jù)上述討論，在上無實(shí)根.即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)：，.
當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，，而在處無定義，不可能有，即時(shí)，無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，注意到且時(shí)，，又，故時(shí)，存在零點(diǎn)，即，使得，若，且，不妨設(shè)，由于均在上單調(diào)遞增，故，，在上遞減，在遞增，故，于是是唯一實(shí)根.
綜上所述，原函數(shù)有，，三個(gè)零點(diǎn)，.
故答案為：
（2024春·湖北?。┮阎?，，則在下列關(guān)系①②③
④中，能作為“”的必要不充分條件的是______（填正確的序號）.
【答案】②③
【解析】
【分析】利用基本不等式可判斷①；數(shù)形結(jié)合，作出的圖象，結(jié)合不等式相應(yīng)的幾何意義判斷②；利用放縮法說明，再用構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識說明，從而判斷③；構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合，說明兩命題之間的推理關(guān)系，判斷④.
【詳解】對于①，取，滿足，但不滿足，
即成立推不出，
由于，故，
而，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
即成立可推出成立，
故不是“”的必要不充分條件；
對于②，作出函數(shù)的圖象，如圖曲線，即將的圖像向右平移1個(gè)單位得到；

則（）表示幾何意義為曲線在第一象限內(nèi)和坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域部分（不含坐標(biāo)軸），
則中相應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域即上述區(qū)域；
而表示的幾何意義為直角三角形區(qū)域部分（不含坐標(biāo)軸），
顯然直角三角形區(qū)域部分（不含坐標(biāo)軸）對應(yīng)集合為曲線在第一象限內(nèi)和坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域部分（不含坐標(biāo)軸）相應(yīng)集合的真子集，
即是的必要不充分條件，
對于③，由得，故，（），
設(shè)，則，
則在上單調(diào)遞減，且，
則存在，使得，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
而，則在上恒成立，
即，故；
而當(dāng)成立時(shí)，不妨取，成立，
但不成立，故是的必要不充分條件；
對于④，當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則，顯然在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
又，
作出的大致圖象如圖：

由圖象可知存在，使得，
故當(dāng)時(shí)，只有唯一解，
若，則與條件不符；
即此時(shí)得不出，
即不是的必要條件，
故能作為“”的必要不充分條件的是②③，
故答案為：②③
簡答題
7．（2024春·全國）設(shè)函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.
【答案】(1)無最小值，最大值為 (2)證明見解析
【詳解】（1）由題意得，則.
令，解得；令，解得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
無最小值，最大值為.
（2），則，
又有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
欲證，即證，
原式等價(jià)于證明①.
由，得，則②.
由①②可知原問題等價(jià)于求證，
即證.
令，則，上式等價(jià)于求證.
令，則，
恒成立，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，
原不等式成立，即.
8．（2024春·天津?qū)幒樱┮阎瘮?shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【答案】(1) (2)答案見解析 (3)證明見解析
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
得，則，，
所以切線方程為，即；
（2），
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間，
當(dāng)時(shí)，令，得，單調(diào)遞增，
令，得，單調(diào)遞減，
綜合得：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（3），
則，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
即是方程的兩不等正根，
所以，得，
令，則，
得，
則，
所以
，
則，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
即.
9．（2024春·黑龍江）設(shè)函數(shù)，.
(1)已知對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)已知直線與曲線、分別切于點(diǎn)、，其中
①求證：；
②已知對任意恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1) (2)①證明見解析；②.
【詳解】（1）解：由已知可得，其中，
設(shè)，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
所以，；
令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）證明：①因?yàn)?，，則，，
所以，直線可表示為，即，
直線的方程也可表示為，即，
故有，所以，，
所以，，即，
設(shè)，其中，則，
令，其中，則對任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，，所以，存在，使得?br>當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，則，，
所以，函數(shù)在上無零點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，存在，使得?br>所以，，則；
解：②由①可知，，當(dāng)時(shí)，，
由可得，
設(shè)，其中，則對任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，，
所以，，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
10．（2024春·湖南長沙）給出下列兩個(gè)定義：
I.對于函數(shù)，定義域?yàn)?，且其在上是可?dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為，則稱該函數(shù)是“同定義函數(shù)”.
II.對于一個(gè)“同定義函數(shù)”，若有以下性質(zhì)：
①；②，其中為兩個(gè)新的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).
我們將具有其中一個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個(gè)性質(zhì)都具有的函數(shù)稱之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，將稱之為“自導(dǎo)函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)和是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫出其對應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；
(2)已知命題是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù)，命題.判斷命題是的什么條件，證明你的結(jié)論；
(3)已知函數(shù).
①若的“自導(dǎo)函數(shù)”是，試求的取值范圍；
②若，且定義，若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)既不充分也不必要條件；證明見解析
(3)
【詳解】（1）解：對于函數(shù)，則，
這兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，
所以函數(shù)為“同定義域函數(shù)”，此時(shí)，，
由函數(shù)的定義，對于，無法同時(shí)成立，
所以為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，其“自導(dǎo)函數(shù)”為，
對于函數(shù)，則，
因?yàn)檫@兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是“同定義函數(shù)”.
（2）解：若成立，，則，
設(shè)，則，所以為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，
又設(shè)，則，所以為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，
但不是常值函數(shù)，所以不是的必要條件；
若成立，則，所以，所以，
所以不成立，所以是的既不充分也不必要條件.
（3）解：①由題意，，且，
所以，所以；
②由題意，所以且，
令，
可得，且，
因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，且，
所以存在使得，
且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
（i）當(dāng)時(shí)，即，
所以，
此時(shí)，在上單調(diào)遞增，可得；
（ii）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又由，所以；
（iii）當(dāng)且時(shí)，，
所以函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，
若，即時(shí)，極大值點(diǎn)為；
若，即時(shí)，極大值點(diǎn)為，
則為函數(shù)的極大值或，
由當(dāng)時(shí)，，
令，則，
設(shè)，
則，
所以，即單調(diào)遞增，所以，
所以單調(diào)遞增，所以，
綜上可得，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
11．（2024春·云南昆明）懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：①，②和角公式：，③導(dǎo)數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．
(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；
(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)求的最小值．
【答案】(1)答案見解析 (2) (3)0
【詳解】（1）平方關(guān)系：；
和角公式：；
導(dǎo)數(shù)：．
理由如下：平方關(guān)系，
；
，
和角公式：
故；
導(dǎo)數(shù)：，；
（2）構(gòu)造函數(shù)，，由（1）可知，
i．當(dāng)時(shí)，由可知，
故，故單調(diào)遞增，
此時(shí)，故對任意，恒成立，滿足題意；
ii．當(dāng)時(shí)，令，，
則，可知單調(diào)遞增，
由與可知，存在唯一，使得，
故當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，
故對任意，，即，矛盾；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
（3），，
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，則，
令，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>即為偶函數(shù)，故在內(nèi)單調(diào)遞減，
則，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值0.
12．（2024春·江蘇常州）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線方程為．
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞增
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>由題有，即，解得
所以，，
當(dāng)時(shí)，，所以，
又當(dāng)時(shí)，，所以，
即在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（2）由對恒成立，
即對恒成立，
令，所以對恒成立，
則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，由于，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，所以符合題意，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則存在，使得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，則時(shí)，，不合題意，
綜上：的取值范圍為．

相關(guān)試卷

專題03：函數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)-2024年新高考數(shù)學(xué)新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義：

這是一份專題03：函數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)-2024年新高考數(shù)學(xué)新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義，文件包含專題三函數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)解析版docx、專題三函數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共49頁， 歡迎下載使用。

專題02：復(fù)數(shù)-2024年新高考數(shù)學(xué)新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義：

這是一份專題02：復(fù)數(shù)-2024年新高考數(shù)學(xué)新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義，文件包含專題二復(fù)數(shù)解析版docx、專題二復(fù)數(shù)docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共19頁， 歡迎下載使用。

專題01：集合與常用邏輯用語-2024年新高考數(shù)學(xué)新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義：

這是一份專題01：集合與常用邏輯用語-2024年新高考數(shù)學(xué)新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義，文件包含專題一集合與簡單邏輯用語解析版docx、專題一集合與簡單邏輯用語docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共25頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題10：直線與圓的方程（四大題型）-2024年新高考新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義

專題10：直線與圓的方程（四大題型）-2024年新高考新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義
專題02：復(fù)數(shù)-2024年新高考數(shù)學(xué)新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義

專題02：復(fù)數(shù)-2024年新高考數(shù)學(xué)新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義
專題01：集合與常用邏輯用語-2024年新高考數(shù)學(xué)新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義

專題01：集合與常用邏輯用語-2024年新高考數(shù)學(xué)新題型試卷結(jié)構(gòu)沖刺講義
高考數(shù)學(xué)(理數(shù))二輪專題課時(shí)練習(xí)04《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》（含解析）

高考數(shù)學(xué)(理數(shù))二輪專題課時(shí)練習(xí)04《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》（含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部