模塊一：一次函數(shù)的概念
知識精講
一次函數(shù)的概念
一般地，解析式形如（，是常數(shù)，且）的函數(shù)叫做一次函數(shù)；
一次函數(shù)的定義域是一切實數(shù)；
當(dāng)時，解析式就成為（是常數(shù)，且）這時，y是x
的正比例函數(shù)，所以正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例；
一般地，我們把函數(shù)（為常數(shù)）叫做常值函數(shù)．它的自變量由所討論的問
題確定．
例題解析
例1.下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)?
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
例2.（1）已知函數(shù)是一次函數(shù)，則k的取值范圍是_________；
（2）當(dāng)m=________時，函數(shù)是一次函數(shù)，且不是正比例函數(shù)．
例3.已知一個一次函數(shù)，當(dāng)自變量時，函數(shù)值為；當(dāng)時，．求這個函數(shù)的解析式．
例4.已知一次函數(shù)是一次函數(shù)，求實數(shù)k的值．
例5．（2020·上海市格致初級中學(xué)）如圖，正方形ABCD的頂點A、B落在x軸正半軸上，點C落在正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）上，點D落在直線y＝2x上，且點D的橫坐標(biāo)為a．
（1）直接寫出A、B、C、D各點的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）求出k的值；
（3）將直線OC繞點O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的直線將正方形ABCD的面積分成1：3兩個部分，求旋轉(zhuǎn)后得到的新直線解析式．
模塊二：一次函數(shù)的圖像
知識精講
一次函數(shù)的圖像：
一般地，一次函數(shù)（，是常數(shù)，且）的圖像是一條直線．一次函數(shù)的圖像也稱為直線，這時，我們把一次函數(shù)的解析式稱為這一直線的表達(dá)式．
畫一次函數(shù)的圖像時，只需描出圖像上的兩個點，然后過這兩點作一條直線．
一次函數(shù)的截距：
一條直線與y軸的交點的縱坐標(biāo)叫做這條直線在y軸上的截距，簡稱直線的截距，
一般地，直線（）與y軸的交點坐標(biāo)是，直線（）的截距是b．
一次函數(shù)圖像的平移：
一般地，一次函數(shù)（）的圖像可由正比例函數(shù)的圖像平移得到．當(dāng)時，向上平移個單位；當(dāng)時，向下平移個單位．
（函數(shù)平移口訣簡記為：“上加下減，左加右減”）
直線位置關(guān)系：
如果，那么直線與直線平行．
反過來，如果直線與直線平行，那么，．
例題解析
例1.若一次函數(shù)函數(shù)圖像過原點，求a的值，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像．
例2.若一次函數(shù)，當(dāng)x=2時，y=-1，且函數(shù)圖像的截距為-3，求函數(shù)的解析式．
例3.若一次函數(shù)y=-x +b的圖像的截距是-4，求將這個一次函數(shù)向左平移2個單位后的函數(shù)解析式．
例4.將直線y=x+1向右平移1個單位，相當(dāng)于將直線y=x+1向上平移了多少個單位?
例5.已知一次函數(shù)的圖像平行于直線y=x，且當(dāng)時，函數(shù)y的值是1，求這個函數(shù)解析式．
例6.若直線與直線平行，求m的值．
例7.根據(jù)下列條件，求解相應(yīng)的直線表達(dá)式．
（1）直線經(jīng)過（3，2）以及（1，1）；
（2）直線經(jīng)過（7，0）以及截距是14；
（3）直線經(jīng)過以及截距是．
例8.直線與已知直線平行，且不經(jīng)過第三象限，求的值．
例9.設(shè)點P(3，m)，Q(n，2)都在函數(shù)y=x+b的圖象上，求m+n的值．
例10.設(shè)一次函數(shù)的圖像過點P（3，2），它與軸、軸的正半軸分別交于A、B兩點，且OA+BO=12時，求一次函數(shù)的解析式．
例11.已知一次函數(shù)與的圖像在第四象限內(nèi)交于一點，求整數(shù)的值．
例12.已知兩個一次函數(shù)和；
（1）、為何值時，兩函數(shù)的圖像重合?
（2）、滿足什么關(guān)系時，兩函數(shù)的圖像相互平行?
（3）、取何值時，兩函數(shù)圖像交于軸上同一點，并求這一點的坐標(biāo)．
例13.（1）一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為48，求的值；
（2）一次函數(shù)的圖像與兩坐標(biāo)圍成的三角形的面積是10，截距是，求一次函數(shù)的解析式．
例14.（1）求直線與軸所圍成的三角形的面積；
（2）求直線與直線與軸所圍成的三角形的面積．
例15.如圖，已知由軸、一次函數(shù)的圖像及分別過點C（1，0）、D（4，0）
兩點作平行于軸的兩條直線所圍成的圖形ABDC的面積為7，試求這個一次函數(shù)的解析式．
模塊三：一次函數(shù)的性質(zhì)
知識精講
一次函數(shù)的增減性：
一般地，一次函數(shù)（為常數(shù)，）具有以下性質(zhì)：
當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量的值增大而增大，圖像為上升；
當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量的值增大而減小，圖像為下降．
2、一次函數(shù)圖像的位置情況：
直線（，）過且與直線平行，由直線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置情況可知：（要用圖像的平移推導(dǎo)可得）
當(dāng)，且時，直線經(jīng)過一、二、三象限；
當(dāng)，且時，直線經(jīng)過一、三、四象限；
當(dāng)，且時，直線經(jīng)過一、二、四象限；
當(dāng)，且時，直線經(jīng)過二、三、四象限．
例題解析
例1.如果一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一象限，且與軸負(fù)半軸相交，那么（ ）
， B．，b0D．，
例2.一次函數(shù)y=－2x+3的圖象不經(jīng)過的象限是 （ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
例3.根據(jù)下列條件填空：
（1）已知函數(shù)，當(dāng)?shù)扔赺_____時，它是一次函數(shù)，此時它的圖象經(jīng)過__________象限，y隨x的增大而_____________；
（2）如果一次函數(shù)和的圖象的交點在第一象限，則的取值范圍是_________；
（3）已知關(guān)于的一次函數(shù)的圖象與軸的交點在軸的上方，且隨 的增大而減小，則的取值范圍是________________．
例4.設(shè)，將一次函數(shù)與的圖像畫在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則有一組，取值，使得下列四幅圖中的一個為正確的是（ ）
AB C D
例5.若、是一元二次方程的兩個實根（），在一次函數(shù)中，隨的增大而減小，則一次函數(shù)的圖像一定經(jīng)過（）
A、第一、二、四象限B、第一、二、三象限
C、第二、三、四象限D(zhuǎn)、第一、三、四象限
例6.已知，而且，那么直線一定經(jīng)過（）
A、第一、二象限； B、第二、三象限； C、第三、四象限； D、第一、四象限
例7.在式子．
例8.已知一次函數(shù)中隨的增大而增大，它的圖像與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的直角三角形的面積不超過，反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，求滿足以上條件的的整數(shù)值．
例9.如圖，已知函數(shù)的圖象與軸交于點A，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B（0，），并且與軸以及的圖象分別交于點C、D；
（1）若點D的橫坐標(biāo)為1，求四邊形AOCD的面積（即圖中陰影部分的面積）；
（2）在第（1）小題的條件下，在軸上是否存在這樣的點P，使得以點P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形；如果存在，求出點P坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；
（3）若一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點D始終在第一象限，則系數(shù)的取值范圍是________（請直接寫出結(jié)果）．
例10．（2018·上海崇明區(qū)·八年級期中）已知：如圖，在直角坐標(biāo)平面中，點在軸的負(fù)半軸上，直線經(jīng)過點，與軸相交于點，點是點關(guān)于原點的對稱點，過點的直線軸，交直線于點，如果．
（1）求直線的表達(dá)式；
（2）如果點在直線上，且是等腰三角形，請求出點的坐標(biāo)．
例11．（2018·上海普陀區(qū)·）如圖，已知一次函數(shù)的圖像與x軸、軸分別交于點A、B，且BC∥AO，梯形AOBC的面積為10．
（1）求點A、B、C的坐標(biāo)；
（2）求直線AC的表達(dá)式．
例12．（2017·上海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線交y軸于點A，交x軸于點B，以線段AB為邊作菱形ABCD（點C、D在第一象限），且點D的縱坐標(biāo)為9．
（1）求點A、點B的坐標(biāo)；
（2）求直線DC的解析式；
（3）除點C外，在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否還存在點P，使點A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
例13.（2018·上海普陀區(qū)·）如圖，在直角坐標(biāo)xy系中，點A的坐標(biāo)是（2，0）、點B的坐標(biāo)是（0，2）、點C的坐標(biāo)是（0，3），若直線CD的解析式為y=-x+3，則S△ABD為___________.
隨堂檢測
1.根據(jù)下列與的關(guān)系式，判斷是否是關(guān)于的一次函數(shù)?
（1）；（2）；（3）．
2.已知：是一次函數(shù)，則m=_________．
3.已知一次函數(shù)（），把它的圖像向右平移3個單位，再向下平移5個單位，所得到的圖像與原來的圖像重合，則=___________．
4.已知表示關(guān)于x的一次函數(shù)；
（1）求函數(shù)解析式；（2）求，的值；（3）如果，求實數(shù)．
5.若直線的截距是4，且y隨x的增大而減小，求該直線的函數(shù)解析式．
6.若，請指出一次函數(shù)的圖像所經(jīng)過的象限．
7.已知是一次函數(shù)，且當(dāng)時，，試寫出滿足條件的和，并寫出解析式．
8.已知一次函數(shù)不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍．
9.已知直線，把這條直線沿軸向上平移5個單位，再沿軸向右平移3個單位，求兩次平移后的直線解析式?
10.根據(jù)下列要求求一次函數(shù)解析式：
（1）一次函數(shù)經(jīng)過A且其與y軸的截距為-2；
（2）一次函數(shù)的截距為-5，且與無交點；
（3）一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點．
11.已知一次函數(shù)（）與軸、軸圍成的三角形面積為24，且與直線平行，求此一次函數(shù)的解析式．
12.直線：過點B（-1，0）與軸交于點C，直線：與交于點P（2，5）且過點A（6，0），過點C與平行的直線交軸于點D；
（1）求直線CD的函數(shù)解析式；
（2）求四邊形APCD的面積．
13.如圖所示，直線與軸、軸分別交于點A和點B，D是軸上的一點，若將沿直線DA折疊，點B恰好落在軸正半軸上的點C處，求直線CD的解析式．
14.直線與軸、軸分別交于點A、點B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰，且，如果在第二象限內(nèi)有一點（，），且的面積與的面積相等，求的值．
15．（2019·上海市民辦新和中學(xué)八年級月考）如圖，已知直線交軸于點，軸于點，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落在雙曲線上．
（1）求的值；
（2）將繞的中點旋轉(zhuǎn)得到，請判斷點是否在雙曲線上，并說明理由.
16．（2018·上海虹口區(qū)·八年級期末）如圖，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象與x、y軸分別相交于點A、B，四邊形ABCD是正方形．
（1）求點A、B、D的坐標(biāo)；
（2）求直線BD的表達(dá)式．
17．（2017·上海）如圖,△AOB為正三角形,點B的坐標(biāo)為(2,0),過點C(－2,0)作直線l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等.求直線l的解析式.
18．（2018·上海市閔行區(qū)上虹中學(xué)）如圖，直線y＝k1x(x≥0)與雙曲線y＝(x＞0)相交于點P(2，4)．已知點A(4，0)，B(0，3)，連接AB，將Rt△AOB沿OP方向平移，使點O移動到點P，得到△A′PB′.過點A′作A′C∥y軸交雙曲線于點C，連接CP.
(1)求k1與k2的值；
(2)求直線PC的解析式；
(3)直接寫出線段AB掃過的面積．
19．（2020·上海同濟(jì)大學(xué)附屬實驗中學(xué)八年級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（0，3），點B（m，0），以AB為腰作等腰，如圖所示．

（1）若的值為5平方單位，求m的值；
（2）記BC交y軸于點D，CE⊥y軸于點E，當(dāng)y軸平分∠BAC時，求的值
（3）連接OC，當(dāng)OC＋AC最小時，求點C的坐標(biāo)．
第1講 一次函數(shù)的概念及圖像

模塊一：一次函數(shù)的概念
知識精講
一次函數(shù)的概念
一般地，解析式形如（，是常數(shù)，且）的函數(shù)叫做一次函數(shù)；
一次函數(shù)的定義域是一切實數(shù)；
當(dāng)時，解析式就成為（是常數(shù)，且）這時，y是x
的正比例函數(shù)，所以正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例；
一般地，我們把函數(shù)（為常數(shù)）叫做常值函數(shù)．它的自變量由所討論的問
題確定．
例題解析
例1.下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)?
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【難度】★
【答案】（2）、（3）、（4）、（6）．
【解析】判斷是否是一次函數(shù)，要整理成的形式，一次函數(shù)有要是一次，且是整式幾個注意點．（1）是二次函數(shù)，（5）是分式．
【總結(jié)】考查一次函數(shù)的基本概念，會判斷兩個量是否是一次函數(shù)關(guān)，一般要把關(guān)系式整理成概念的標(biāo)準(zhǔn)形式，找出對應(yīng)．
例2.（1）已知函數(shù)是一次函數(shù)，則k的取值范圍是_________；
（2）當(dāng)m=________時，函數(shù)是一次函數(shù)，且不是正比例函數(shù)．
【難度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）一次函數(shù)，所以；（2）一次函數(shù)其中，要是一次，所以，又因為是一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)，所以不能為0，
所以．
【總結(jié)】考查一次函數(shù)的基本概念中對于自變量一次的理解．
例3.已知一個一次函數(shù)，當(dāng)自變量時，函數(shù)值為；當(dāng)時，．求這個函數(shù)的解析式．
【難度】★★
【答案】．
【解析】設(shè)一次函數(shù)解析式為，將兩點代入解二元一次方程組， 解得：，所以這個函數(shù)的解析式為：．
【總結(jié)】考察兩點代入法求一次函數(shù)解析式，即兩點代入轉(zhuǎn)而解二元一次方程組．
例4.已知一次函數(shù)是一次函數(shù)，求實數(shù)k的值．
【難度】★★
【答案】．
【解析】由一次函數(shù)的概念可知：，且，解得：或，又因為，所以．
【總結(jié)】考察一次函數(shù)的基本概念，對于自變量一次的及自變量系數(shù)不為零同時要滿足的理解．
例5．（2020·上海市格致初級中學(xué)）如圖，正方形ABCD的頂點A、B落在x軸正半軸上，點C落在正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）上，點D落在直線y＝2x上，且點D的橫坐標(biāo)為a．
（1）直接寫出A、B、C、D各點的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）求出k的值；
（3）將直線OC繞點O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的直線將正方形ABCD的面積分成1：3兩個部分，求旋轉(zhuǎn)后得到的新直線解析式．
【答案】（1）點A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）k＝；（3）y＝（3±）x．
【分析】（1）點D的橫坐標(biāo)為a，則點D(a，2a)，則AB＝AD＝2a，進(jìn)而 求解；
（2）將C點坐標(biāo)代入y=kx即可求得k；
（3）根據(jù)題干，可求得直線OF的的解析式為，當(dāng)y=2a時，可求出點E( ，2a)，由S△DEF＝S正方形ABCD，可列方程進(jìn)而求出m．
【詳解】解：（1）點D的橫坐標(biāo)為a，則點D（a，2a），
則AB＝AD＝2a，則點A、B、C的坐標(biāo)分別為（a，0）、（3a，0）、（3a，2a），
故點A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；
（2）將點C的坐標(biāo)代入y＝kx得，2a＝3ak，解得k＝；
（3）設(shè)AF＝m，則點F（a，m），設(shè)直線OC旋轉(zhuǎn)后交AD于點F，交CD于點E，
則直線OF的表達(dá)式為，當(dāng)y＝2a時，y＝，
解得x=，故點E（，2a），由題意得：S△DEF＝S正方形ABCD＝，
即，解得：m＝，
則函數(shù)的表達(dá)式為y＝＝（3±）x．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、面積的計算等，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
模塊二：一次函數(shù)的圖像
知識精講
一次函數(shù)的圖像：
一般地，一次函數(shù)（，是常數(shù)，且）的圖像是一條直線．一次函數(shù)的圖像也稱為直線，這時，我們把一次函數(shù)的解析式稱為這一直線的表達(dá)式．
畫一次函數(shù)的圖像時，只需描出圖像上的兩個點，然后過這兩點作一條直線．
一次函數(shù)的截距：
一條直線與y軸的交點的縱坐標(biāo)叫做這條直線在y軸上的截距，簡稱直線的截距，
一般地，直線（）與y軸的交點坐標(biāo)是，直線（）的截距是b．
一次函數(shù)圖像的平移：
一般地，一次函數(shù)（）的圖像可由正比例函數(shù)的圖像平移得到．當(dāng)時，向上平移個單位；當(dāng)時，向下平移個單位．
（函數(shù)平移口訣簡記為：“上加下減，左加右減”）
直線位置關(guān)系：
如果，那么直線與直線平行．
反過來，如果直線與直線平行，那么，．
例題解析
例1.若一次函數(shù)函數(shù)圖像過原點，求a的值，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像．
【難度】★
【答案】．
【解析】一次函數(shù)的圖像過原點，即通過（0，0）點，且．把這點坐標(biāo)代入解析式求解可得，所以解析式是．
【總結(jié)】一次函數(shù)的解析式與圖像的關(guān)系，解析式中不為0的前提條件，以及圖像過原點的在解析式中的含義．
例2.若一次函數(shù)，當(dāng)x=2時，y=-1，且函數(shù)圖像的截距為-3，求函數(shù)的解析式．
【難度】★
【答案】．
【解析】截距是-3，則，又因為過（2，-1）點，代入求解，得解析式為．
【總結(jié)】考查一次函數(shù)截距的意義，和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法．
例3.若一次函數(shù)y=-x +b的圖像的截距是-4，求將這個一次函數(shù)向左平移2個單位后的函數(shù)解析式．
【難度】★
【答案】．
【解析】截距是-4，則，則解析式是，則平移后的解析式為：．
【總結(jié)】考察一次函數(shù)截距的意義，及函數(shù)圖像平移與解析式變化的關(guān)系，即“上加下減，左加右減”．
例4.將直線y=x+1向右平移1個單位，相當(dāng)于將直線y=x+1向上平移了多少個單位?
【難度】★★
【答案】個．
【解析】一次函數(shù)右移一個單位，解析式變?yōu)椋?br> 則相當(dāng)于向上平移個單位．
【總結(jié)】考察一次函數(shù)圖像平移與函數(shù)解析式變化的關(guān)系，即“上加下減，左加右減”．
例5.已知一次函數(shù)的圖像平行于直線y=x，且當(dāng)時，函數(shù)y的值是1，求這個函數(shù)解析式．
【難度】★★
【答案】．
【解析】設(shè)這個一次函數(shù)解析式為，由題易知，把點（-3，1）代入，可得．
所以這個一次函數(shù)解析式為．
【總結(jié)】考察兩條直線平行與一次函數(shù)解析式的關(guān)系，即兩條直線平行，相等．
例6.若直線與直線平行，求m的值．
【難度】★★
【答案】．
【解析】因為兩條直線平行，所以可知相等且不相等，即，解得：；
因為不相等，所以．
【總結(jié)】考察兩條直線平行與一次函數(shù)解析式的關(guān)系，兩條直線平行，即無交點，而重合是兩條直線有無數(shù)個交點，所以兩條直線平行的含義是相等且不相等．
例7.根據(jù)下列條件，求解相應(yīng)的直線表達(dá)式．
（1）直線經(jīng)過（3，2）以及（1，1）；
（2）直線經(jīng)過（7，0）以及截距是14；
（3）直線經(jīng)過以及截距是．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）設(shè)直線的解析式為，把（3，2）和（1，1）代入，可得：，，
所以直線的解析式為；
設(shè)直線的解析式為，截距是14，則，再把（7，0）代入，可得．
所以直線的解析式為；
設(shè)直線的解析式為，截距是，則，再把（-3，0）代入，
可得，所以直線的解析式為．
【總結(jié)】考察兩點代入法求解一次函數(shù)解析式的方法及截距的含義，兩點代入法求解一次函數(shù)的解析式可轉(zhuǎn)化為求解二元一次方程，從而求出對應(yīng)的．
例8.直線與已知直線平行，且不經(jīng)過第三象限，求的值．
【難度】★★
【答案】．
【解析】兩條直線平行，則可知相等，即，可得：或，則截距為或．又因為圖像不經(jīng)過第三象限，所以舍去，即舍去，所以．
【總結(jié)】考察一次函數(shù)的的基本概念以及的符號與圖像所過象限的關(guān)系．
例9.設(shè)點P(3，m)，Q(n，2)都在函數(shù)y=x+b的圖象上，求m+n的值．
【難度】★★
【答案】5．
【解析】把點P(3，m)，Q(n，2)代入解析式y(tǒng)=x+b中，可得，兩式子相減，得，整理得．
【總結(jié)】考察一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)圖像上的點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)解析式．
例10.設(shè)一次函數(shù)的圖像過點P（3，2），它與軸、軸的正半軸分別交于A、B兩點，且OA+BO=12時，求一次函數(shù)的解析式．
【難度】★★
【答案】或．
【解析】由題易知，A點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為，且A、B兩點都在軸、軸的正 半軸上，所以，又點P（3，2）在此函數(shù)圖像上，代入可得，
兩個式子聯(lián)立求解，可得：，解得：或，對應(yīng)的或3．
所以該一次函數(shù)的解析式為或．
【總結(jié)】本題主要考查一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點問題，注意分類討論．
例11.已知一次函數(shù)與的圖像在第四象限內(nèi)交于一點，求整數(shù)的值．
【難度】★★★
【答案】1，0，1．
【解析】將兩個解析式聯(lián)立求解可得：，，所以交點坐標(biāo)為，
因為交點在第四象限內(nèi)，所以，解不等式得：，
所以整數(shù)的值為1，0，1．
【總結(jié)】考查對兩個一次函數(shù)的交點坐標(biāo)問題，并且注意每個象限內(nèi)的點的橫縱坐標(biāo)的符號特征．
例12.已知兩個一次函數(shù)和；
（1）、為何值時，兩函數(shù)的圖像重合?
（2）、滿足什么關(guān)系時，兩函數(shù)的圖像相互平行?
（3）、取何值時，兩函數(shù)圖像交于軸上同一點，并求這一點的坐標(biāo)．
【難度】★★★
【答案】（1）；（2）且；（3），，坐標(biāo)為（2，0）．
【解析】（1）由題可知，兩個一次函數(shù)的比例系數(shù)和常數(shù)項都相等，即，
解得：；
兩個一次函數(shù)的圖像平行，則比例系數(shù)相等，常數(shù)不相等，所以，
即，且；
兩個一次函數(shù)的圖像交于軸上一點，即兩個一次函數(shù)與軸的交點重合，先分
別求出與軸的交點，令，得，同理可得，由題可知，，
即，交點坐標(biāo)為（-2，0）．
【總結(jié)】主要考查兩個一次函數(shù)圖像的平行、重合的關(guān)系與區(qū)別以及兩條直線交點的含義．
例13.（1）一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為48，求的值；
（2）一次函數(shù)的圖像與兩坐標(biāo)圍成的三角形的面積是10，截距是，求一次函數(shù)的解析式．
【難度】★★★
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）一次函數(shù)與兩軸圍成的三角形面積公式是，所以，解得：；
（2）同理可知，，解得：，所以一次函數(shù)的解析式為或 ．
【總結(jié)】一次函數(shù)與兩軸圍成的面積公式，注意雙解的情況．
例14.（1）求直線與軸所圍成的三角形的面積；
（2）求直線與直線與軸所圍成的三角形的面積．
【難度】★★★
【答案】（1）12；（2）．
【解析】（1）聯(lián)立，解得交點坐標(biāo)為（-4，-6），又因為兩條直線與軸的交點坐標(biāo)分別為（0，-4）和（0，2），所以這兩條直線與軸圍成的三角形面積
為；
（2）聯(lián)立，解得交點坐標(biāo)為（1，-2），又因為兩條直線與軸的交點坐標(biāo)分別為（2，0）和，所以這兩條直線與軸圍成的面積為．
【總結(jié)】考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積的綜合應(yīng)用．
例15.如圖，已知由軸、一次函數(shù)的圖像及分別過點C（1，0）、D（4，0）
兩點作平行于軸的兩條直線所圍成的圖形ABDC的面積為7，試求這個一次函數(shù)的解析式．
【難度】★★★
【答案】．
【解析】由題易知的坐標(biāo)為（1,），的坐標(biāo)為（4，）所圍成的梯形的面積為=7，
解得：，所以一次函數(shù)的解析式是．
【總結(jié)】考查一次函數(shù)與面積的綜合應(yīng)用．
模塊三：一次函數(shù)的性質(zhì)
知識精講
一次函數(shù)的增減性：
一般地，一次函數(shù)（為常數(shù)，）具有以下性質(zhì)：
當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量的值增大而增大，圖像為上升；
當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量的值增大而減小，圖像為下降．
2、一次函數(shù)圖像的位置情況：
直線（，）過且與直線平行，由直線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置情況可知：（要用圖像的平移推導(dǎo)可得）
當(dāng)，且時，直線經(jīng)過一、二、三象限；
當(dāng)，且時，直線經(jīng)過一、三、四象限；
當(dāng)，且時，直線經(jīng)過一、二、四象限；
當(dāng)，且時，直線經(jīng)過二、三、四象限．
例題解析
例1.如果一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一象限，且與軸負(fù)半軸相交，那么（ ）
， B．，b0D．，
【難度】★
【答案】
【解析】一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一象限，且與軸負(fù)半軸相交，通過畫圖可知
．所以答案選．
【總結(jié)】考察一次函數(shù)的基本概念以及、的符號對一次函數(shù)圖像所過象限的決定作用．
例2.一次函數(shù)y=－2x+3的圖象不經(jīng)過的象限是 （ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【難度】★
【答案】．
【解析】一次函數(shù)中，，通過畫圖，可知該一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過第三象限，答案選
【總結(jié)】考察一次函數(shù)的基本概念、的符號對一次函數(shù)圖像所過象限的決定作用．
例3.根據(jù)下列條件填空：
（1）已知函數(shù)，當(dāng)?shù)扔赺_____時，它是一次函數(shù)，此時它的圖象經(jīng)過__________象限，y隨x的增大而_____________；
（2）如果一次函數(shù)和的圖象的交點在第一象限，則的取值范圍是_________；
（3）已知關(guān)于的一次函數(shù)的圖象與軸的交點在軸的上方，且隨 的增大而減小，則的取值范圍是________________．
【難度】★★
【答案】（1）；一、三、四；增大；（2）；（3）．
【解析】(1)由題可知，要是一次函數(shù)則要滿足，解得：．此時函數(shù)解析式為，它的圖像經(jīng)過第一、三、四象限，且隨的增大而增大；
（2）聯(lián)立與，可得交點坐標(biāo)為，因為交點在第一象限，則，所以的取值范圍是．
（3）由題易知，一次函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)為，且，又隨的增大而減小，所以，從而可得．
【總結(jié)】考查一次函數(shù)的基本概念及、對一次函數(shù)圖像所過象限及變化趨勢的影響．
例4.設(shè)，將一次函數(shù)與的圖像畫在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則有一組，取值，使得下列四幅圖中的一個為正確的是（ ）
AB C D
【難度】★★
【答案】D
【解析】選項中，由圖像可知，且圖像過一、二、三象限，可知，而另一條直線的解析式為與軸的交點為在軸下方，則與上面那條直線矛盾，所以錯誤；選項中，兩條直線與軸的交點坐標(biāo)都在軸上方，可知，
且，這與題目中的矛盾，所以B錯誤；選項中，由題易知，上面那條直線解析
式為，下面那條直線解析式為，且．與軸交點都為（2，0）， 分別代入可得，解得：，與已知不符，所以錯誤；
選項中，由圖可知，而兩條直線有一條是隨的增大而減小即作為，
中有一個小于0，正好相符，且滿足題目中的條件，故選項D正確．
【總結(jié)】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)及、對一次函數(shù)圖像所過象限的影響．
例5.若、是一元二次方程的兩個實根（），在一次函數(shù)中，隨的增大而減小，則一次函數(shù)的圖像一定經(jīng)過（）
A、第一、二、四象限B、第一、二、三象限
C、第二、三、四象限D(zhuǎn)、第一、三、四象限
【難度】★★
【答案】
【解析】由題易知，又在一次函數(shù)中，隨的增大而減小，可知，所以，所以一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限．故選
【總結(jié)】一次函數(shù)的基本概念，，對一次函數(shù)圖像所過象限及變化趨勢的影響．
例6.已知，而且，那么直線一定經(jīng)過（）
A、第一、二象限； B、第二、三象限； C、第三、四象限； D、第一、四象限
【難度】★★★
【答案】
【解析】由題可得三式相加得，
，，可得，
當(dāng)，，所以或-1．
當(dāng)時，經(jīng)過第一、二、三象限，當(dāng)時，，
圖像經(jīng)過第二、三、四象限．兩種情況下，圖像第一定經(jīng)過第二、三象限．故選
【總結(jié)】考察一次函數(shù)的圖像特征及、對一次函數(shù)圖像所過象限的影響．
例7.在式子．
【難度】★★★
【答案】14或-6．
【解析】由題可知存在如下幾種種情況，
（1）當(dāng)時，，則，解得：，則；
（2）當(dāng)，則，：，則； （3）當(dāng)時，，是個常值函數(shù)，不隨的變化而變化，與題目不符．
【總結(jié)】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，注意分類討論．
例8.已知一次函數(shù)中隨的增大而增大，它的圖像與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的直角三角形的面積不超過，反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，求滿足以上條件的的整數(shù)值．
【難度】★★★
【答案】整數(shù)值為1或2．
【解析】一次函數(shù)中隨的增大而增大，可知，它的圖像與兩坐標(biāo)軸構(gòu)的直角三角形面積不超過可知；又反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，可知，解不等式可得：，故整數(shù)解為1或者2．
【總結(jié)】考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積問題．
例9.如圖，已知函數(shù)的圖象與軸交于點A，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B（0，），并且與軸以及的圖象分別交于點C、D；
（1）若點D的橫坐標(biāo)為1，求四邊形AOCD的面積（即圖中陰影部分的面積）；
（2）在第（1）小題的條件下，在軸上是否存在這樣的點P，使得以點P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形；如果存在，求出點P坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；
（3）若一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點D始終在第一象限，則系數(shù)的取值范圍是________（請直接寫出結(jié)果）．
【難度】★★★
【答案】(1)；（2），（0，5），；（3）．
【解析】（1）由題易知的坐標(biāo)為（0，1），點的橫坐標(biāo)為1，代入，得，即(1，2)；因為點的坐標(biāo)為（0，-1），且經(jīng)過點和點，
代入得：，解得：，
則一次函數(shù)的解析式為，繼而可求出點的坐標(biāo)為（，0）．
故陰影部分的面積為：
=．
（2）假設(shè)點的坐標(biāo)為，則．
分三類情況討論：?當(dāng)時，以點為圓心，為半徑畫圓，與軸的交點即為所求點．所以的坐標(biāo)為；?當(dāng)時，以點為圓心，為半徑畫圓，與軸的交點即為所求點，所以點的坐標(biāo)為（0，5）；?當(dāng)時，點即為線段的中垂線與軸的交點，則，解得：，即的坐標(biāo)，綜上，點的坐標(biāo)為或（0，5）或；（3）因為點的坐標(biāo)為（0，-1），可知中的，可得．
聯(lián)立，可得交點坐標(biāo)為，因為點在第一象限內(nèi)，
所以，解不等式組，得．
【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查一次函數(shù)的形式與面積的綜合應(yīng)用．
例10．（2018·上海崇明區(qū)·八年級期中）已知：如圖，在直角坐標(biāo)平面中，點在軸的負(fù)半軸上，直線經(jīng)過點，與軸相交于點，點是點關(guān)于原點的對稱點，過點的直線軸，交直線于點，如果．
（1）求直線的表達(dá)式；
（2）如果點在直線上，且是等腰三角形，請求出點的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）先求出點M的坐標(biāo)，從而可得OM的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得OA的長，從而可得點A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先根據(jù)對稱性得出點B的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點之間的距離公式可得的長，然后根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況建立等式求解即可．
【詳解】（1）對于，當(dāng)時，，則點的坐標(biāo)為
，設(shè)，∵。
在中，，
則有，解得，即，∴點的坐標(biāo)為
∵直線經(jīng)過點。∴，解得
故直線的表達(dá)式為；
（2）點是點關(guān)于原點的對稱點，點的坐標(biāo)為
設(shè)直線上的點坐標(biāo)為，則
，
由等腰三角形的定義，分以下三種情況：
①當(dāng)時，是等腰三角形，則，解得或
或
此時，點D的坐標(biāo)為或
②當(dāng)時，是等腰三角形
則，解得或
或
此時，點D的坐標(biāo)為或（與點重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）
③當(dāng)時，是等腰三角形
則，解得
，此時，點的坐標(biāo)為
綜上，點的坐標(biāo)為點或．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的幾何應(yīng)用、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的定義等知識點，較難的是題（2），依據(jù)題意，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．
例11．（2018·上海普陀區(qū)·）如圖，已知一次函數(shù)的圖像與x軸、軸分別交于點A、B，且BC∥AO，梯形AOBC的面積為10．
（1）求點A、B、C的坐標(biāo)；
（2）求直線AC的表達(dá)式．
【答案】（1）A(-2,0)，B(0,4)，C（-3，4）；（2）y=-4x-8
【解析】分析：（1）令x與y分別為0，代入函數(shù)解析式即可求出B、A兩點坐標(biāo)，再根據(jù)梯形的面積公式可求出C點的坐標(biāo)；
（2）結(jié)合A、C兩坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式.
詳解：（1）當(dāng)x=0時，y=4,∴B(0,4),當(dāng)y=0時，即2x+4=0，解得，x=-2，
∴A(-2,0),∴OA=2，OB=4，∵梯形AOBC的面積為10，∴ ．
解得，∴點C（-3，4）.
（2）設(shè)直線AC的表達(dá)式為（），
則，解得∴直線AC的表達(dá)式為．
點睛：本題主要考查一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.運(yùn)用點的坐標(biāo)表示出線段的長，并結(jié)合梯形面積建立方程是解題的關(guān)鍵.
例12．（2017·上海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線交y軸于點A，交x軸于點B，以線段AB為邊作菱形ABCD（點C、D在第一象限），且點D的縱坐標(biāo)為9．
（1）求點A、點B的坐標(biāo)；
（2）求直線DC的解析式；
（3）除點C外，在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否還存在點P，使點A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）點A（0，4）；點B（，0）．（2）直線DC的解析式為．（3）點P的坐標(biāo)為（，﹣5）或（﹣，13）．
【解析】（1）分別令一次函數(shù)中x=0、y=0，求出與之對應(yīng)的y、x的值，由此即可得出點A、B的坐標(biāo)；
（2）過點D作DE⊥y軸，垂足為E，由點D的縱坐標(biāo)為9即可得出AE的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=AD，結(jié)合勾股定理即可求出點D的坐標(biāo)，由DC∥AB可設(shè)直線DC的解析式為，代入點D的坐標(biāo)求出b值即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，點C時以BD為對角線找出的點，再分別以AB、AD為對角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（對角線互相平分）結(jié)合點A、B、D的坐標(biāo)即可得出點P的坐標(biāo)．
解：（1）令中x=0，則y=4，∴點A（0，4）；
令中y=0，則﹣x+4=0，解得：x=2，∴點B（2，0）．
（2）過點D作DE⊥y軸，垂足為E，如圖1所示．∵點D的縱坐標(biāo)為9，OA=4，
∴AE=5．∵四邊形是ABCD是菱形，
∴AD=AB=，
∴DE==，∴D（，9）．
∵四邊形是ABCD是菱形，∴DC∥AB，∴設(shè)直線DC的解析式為，
∵直線DC過點D（，9），∴b=11，∴直線DC的解析式為．
（3）假設(shè)存在．以點A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形還有兩種情況（如圖2）：
①以AB為對角線時，∵A（0，4），B（2，0），D（，9），
∴點P（0+2﹣，4+0﹣9），即（，﹣5）；
②以AD為對角線時，∵A（0，4），B（2，0），D（，9），
∴點P（0+﹣2，4+9﹣0），即（﹣，13）．
故除點C外，在平面直角坐標(biāo)系xOy中還存在點P，使點A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形，點P的坐標(biāo)為（，﹣5）或（﹣，13）．
“點睛”本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)、勾股定理以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析，解題的關(guān)鍵是：（1）分別代入x=0，y=0，求出與之對應(yīng)的y、x的值；（2）求出點D的坐標(biāo)；（3）分別以AB、AD為對角線求出點P的坐標(biāo).本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（對角線互相平分），結(jié)合三個頂點的坐標(biāo)求出另一頂點坐標(biāo)是關(guān)鍵.
例13.（2018·上海普陀區(qū)·）如圖，在直角坐標(biāo)xy系中，點A的坐標(biāo)是（2，0）、點B的坐標(biāo)是（0，2）、點C的坐標(biāo)是（0，3），若直線CD的解析式為y=-x+3，則S△ABD為___________.
【答案】1
【解析】分析：先求出直線AB的解析式，根據(jù)直線AB與直線CD的k值相等可得出它們平行，根據(jù)平行線間的距離處處相等可得出，即可得出答案.
詳解：設(shè)直線AB的解析式為，
∵A的坐標(biāo)是（2，0）、點B的坐標(biāo)是（0，2）、∴，解得，
∴直線AB的解析式為，∵直線CD的解析式為y=-x+3，
∴AB//CD，∴，
∵點A的坐標(biāo)是（2，0）、點B的坐標(biāo)是（0，2）、點C的坐標(biāo)是（0，3），
∵BC=1，AO=2，∴，∴
故答案為：1.
點睛：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)及求平面直角坐標(biāo)系中三角形的面積.解題的關(guān)鍵在于利用轉(zhuǎn)化思想將求△ABD的面積轉(zhuǎn)化為求△ABC的面積的問題.
隨堂檢測
1.根據(jù)下列與的關(guān)系式，判斷是否是關(guān)于的一次函數(shù)?
（1）；（2）；（3）．
【難度】★
【答案】（1）、（3）是；（2）不是．
【解析】一次函數(shù)要符合的形式．所以（1）是；（2）不是；（3）是．
【總結(jié)】考察一次函數(shù)的基本概念
2.已知：是一次函數(shù)，則m=_________．
【難度】★
【答案】3．
【解析】一次函數(shù)要符合的形式．由題易知，
解得：，綜上，．
【總結(jié)】考察一次函數(shù)的基本概念．
3.已知一次函數(shù)（），把它的圖像向右平移3個單位，再向下平移5個單位，所得到的圖像與原來的圖像重合，則=___________．
【難度】★
【答案】．
【解析】函數(shù)的平移：上加下減，左加右減．根據(jù)題意可知向右平移三個單位得，
再向下平移5個單位得，所得到的圖像與原來的圖像重合，
即，整理可得：，即，．
【總結(jié)】考察一次函數(shù)圖像的平移與解析式變化的關(guān)系．
4.已知表示關(guān)于x的一次函數(shù)；
（1）求函數(shù)解析式；（2）求，的值；（3）如果，求實數(shù)．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）一次函數(shù)的形式是，所以，綜合可得，所以一次函數(shù)的解析式為；
（2）；；
（3）由題可知，，可得：．
【總結(jié)】考察一次函數(shù)的基本概念．利用一次函數(shù)關(guān)系式已知自變量求變量的值，和已知變量的值求自變量的值．
5.若直線的截距是4，且y隨x的增大而減小，求該直線的函數(shù)解析式．
【難度】★★
【答案】．
【解析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可知，綜合可得：．
所以該直線的解析式為．
【總結(jié)】一次函數(shù)中截距的含義，以及一次函數(shù)的性質(zhì)．
6.若，請指出一次函數(shù)的圖像所經(jīng)過的象限．
【難度】★★
【答案】第一、二、四象限．
【解析】由，可知，所以，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，，可知圖像經(jīng)過第一、二、四象限．
【總結(jié)】考察的符號與一次函數(shù)圖像的關(guān)系．
7.已知是一次函數(shù)，且當(dāng)時，，試寫出滿足條件的和，并寫出解析式．
【難度】★★
【答案】，，．
【解析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可知的系數(shù)要為0，即，得．
代入可得，因為，代入可得，
即．
【總結(jié)】一次函數(shù)的基本概念以及利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式．
8.已知一次函數(shù)不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍．
【難度】★★
【答案】．
【解析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可知圖像不經(jīng)過第二象限，那么該一次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限就分為兩種情況，經(jīng)過第一三象限或者經(jīng)過第一三四象限，綜上，可知，
所以可得．
【總結(jié)】考查一次函數(shù)中圖像的關(guān)系．
9.已知直線，把這條直線沿軸向上平移5個單位，再沿軸向右平移3個單位，求兩次平移后的直線解析式?
【難度】★★
【答案】．
【解析】根據(jù)一次函數(shù)圖形平移規(guī)律：上加下減，左加右減．可知把這條直線沿軸上移5個單位，得，再沿軸右移3個單位，得．
【總結(jié)】考察一次函數(shù)圖像的平移與解析式之間的關(guān)系．
10.根據(jù)下列要求求一次函數(shù)解析式：
（1）一次函數(shù)經(jīng)過A且其與y軸的截距為-2；
（2）一次函數(shù)的截距為-5，且與無交點；
（3）一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】設(shè)一次函數(shù)的解析式為，
（1）因為截距為-2，所以，把（2,3）代入，即．
所以一次函數(shù)的解析式為；
（2）由截距為-5，可知解析式中的，與無交點，可知兩條直線平行，
即，所以所求一次函數(shù)解析式為；
（3）把點代入中，得，
聯(lián)立求解，可得：．
【總結(jié)】考察截距的意義以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．
11.已知一次函數(shù)（）與軸、軸圍成的三角形面積為24，且與直線平行，求此一次函數(shù)的解析式．
【難度】★★
【答案】．
【解析】由一次函數(shù)與兩軸圍成的直角三角形面積公式為，與直線平行可知 相等，即，代入面積公式，，得，
所以一次函數(shù)的解析式為．
【總結(jié)】考察一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積問題，注意分類討論．
12.直線：過點B（-1，0）與軸交于點C，直線：與交于點P（2，5）且過點A（6，0），過點C與平行的直線交軸于點D；
（1）求直線CD的函數(shù)解析式；
（2）求四邊形APCD的面積．
【難度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由經(jīng)過點，代入得：，解得，
所以一次函數(shù)的解析式為．所以的坐標(biāo)為（0，）．同理，由經(jīng)
過點和，可得，所以．所以設(shè)與平行的直線的直線解析式為，因為過點（0，），可得：，
即所求函數(shù)解析式為；
（2）由的解析式為可得的坐標(biāo)為（）．
由此可知
．
【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查一次函數(shù)與面積的結(jié)合．
13.如圖所示，直線與軸、軸分別交于點A和點B，D是軸上的一點，若將沿直線DA折疊，點B恰好落在軸正半軸上的點C處，求直線CD的解析式．
【難度】★★★
【答案】．
【解析】一次函數(shù)解析式是，可知的坐標(biāo)為（2，0），
的坐標(biāo)為（）．在中，，
可得，．因為沿直線折疊，
點落在軸上的點，所以，點的坐標(biāo)為（6，0），且．
在中，，，可得，即的坐標(biāo)為．
由（6，0），，設(shè)一次函數(shù)解析式為，
代入可得，，解得，所以直線的解析式是．
【總結(jié)】本題主要考查一次函數(shù)與幾何的綜合，注意利用幾何圖形的性質(zhì)解題．
14.直線與軸、軸分別交于點A、點B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰，且，如果在第二象限內(nèi)有一點（，），且的面積與的面積相等，求的值．
【難度】★★★
【答案】．
【解析】由題意知，，可求出，又因為是等腰直角三角形，
所以．過點()做平行于軸的直線，交軸與點，
則坐標(biāo)為（）；交線段于點，則點縱坐標(biāo)為，代入的解析式，
得：，解得：，所以（），且．
過點作直線的垂線段，垂足為，則的坐標(biāo)為（）．因為，
且，所以
=2，解得：．
【總結(jié)】本題主要考查一次函數(shù)與幾何的綜合，注意利用幾何圖形的性質(zhì)解題．
15．（2019·上海市民辦新和中學(xué)八年級月考）如圖，已知直線交軸于點，軸于點，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落在雙曲線上．
（1）求的值；
（2）將繞的中點旋轉(zhuǎn)得到，請判斷點是否在雙曲線上，并說明理由.
【答案】（1）（2）點P在雙曲線上，理由見解析
【分析】(1)由△AOB≌△ACB求得C點坐標(biāo),代入雙曲線即可求得k值
(2)由B點找出關(guān)于AC中點的對稱點即P點,得出P點坐標(biāo),判斷是否在雙曲線上
【詳解】(1)由△AOB≌△ACB,BC=OB,AC=AO,則令y=0,x=3;x=0,y=,
即A(3,0)B(0,)設(shè)C(x,y) ，解得 ，
代入雙曲線k=xy= ；
(2)設(shè)AC中點為D,則D點坐標(biāo)D為:
即 ,再設(shè)P點坐標(biāo)(x,y) ,解得:
把坐標(biāo)代入雙曲線y= 等式成立,故點P在雙曲線上．
【點睛】此題考查一次函數(shù)綜合題，解題關(guān)鍵在于利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形全等
16．（2018·上海虹口區(qū)·八年級期末）如圖，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象與x、y軸分別相交于點A、B，四邊形ABCD是正方形．
（1）求點A、B、D的坐標(biāo)；
（2）求直線BD的表達(dá)式．
【答案】（1）A（﹣2，0），點B（0，4），D（2，﹣2）；（2）y＝﹣3x+4．
【分析】(1)由于ー次函數(shù)y=2x+4的圖象與x、y軸分別相交于點A、B,所以利用函數(shù)解析式即可求出AB兩點的坐標(biāo),然后過D作DH⊥x軸于H點,由四邊形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AHD=90°,AB=AD,接著證明△ABO≌△DAH,最后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到DH=AO=2,AH=BO=4,從而求出點D的坐標(biāo);
（2）利用待定系數(shù)法即可求解
【詳解】解：（1）∵當(dāng)y＝0時，2x+4＝0，x＝﹣2．∴點A（﹣2，0）．
∵當(dāng)x＝0時，y＝4．∴點B（0，4）．過D作DH⊥x軸于H點，
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠AOB＝∠AHD＝90°，AB＝AD．
∴∠BAO+∠ABO＝∠BAO+∠DAH，∴∠ABO＝∠DAH．∴△ABO≌△DAH．
∴DH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴OH＝AH﹣AO＝2．∴點D（2，﹣2）．
（2）設(shè)直線BD的表達(dá)式為y＝kx+b．∴ 解得 ，
∴直線BD的表達(dá)式為y＝﹣3x+4．
【點睛】此題考查一次函數(shù)綜合題，利用全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵
17．（2017·上海）如圖,△AOB為正三角形,點B的坐標(biāo)為(2,0),過點C(－2,0)作直線l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等.求直線l的解析式.
【答案】所以直線l的解析式為.
試題分析：根據(jù)S△DCO=S△ADE可知S△DCO+S四邊形DOBE=S△ADE+S四邊形DOBE，從而得到S△BCE=S△AOB，根據(jù)△AOB為正三角形求出三角形的高，從而求出A點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出AB的解析式，根據(jù)S△BCE=S△AOB，求出A點縱坐標(biāo)，代入直線AB，可得E點橫坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出CD的解析式．
試題解析:由△ADE和△DCO的面積相等,可知△AOB和△CBE的面積相等,
而△AOB的面積為.設(shè)點E的坐標(biāo)為(),則△CBE的面積為2.
由,得.又由直線AB的解析式為,
而E在AB上,則,有得E的坐標(biāo)為().
又因為點C的坐標(biāo)為(－2,0), 所以直線l的解析式為.
18．（2018·上海市閔行區(qū)上虹中學(xué)）如圖，直線y＝k1x(x≥0)與雙曲線y＝(x＞0)相交于點P(2，4)．已知點A(4，0)，B(0，3)，連接AB，將Rt△AOB沿OP方向平移，使點O移動到點P，得到△A′PB′.過點A′作A′C∥y軸交雙曲線于點C，連接CP.
(1)求k1與k2的值；
(2)求直線PC的解析式；
(3)直接寫出線段AB掃過的面積．
【答案】（1）k1＝2，k2＝8；（2）；（3）22
試題分析：（1）把點P（2，4）代入直線y=k1x，把點P（2，4）代入雙曲線y=，可得k1與k2的值；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，求得C（6，），再運(yùn)用待定系數(shù)法，即可得到直線PC的表達(dá)式；
（3）延長A'C交x軸于D，過B'作B'E⊥y軸于E，根據(jù)△AOB≌△A'PB'，可得線段AB掃過的面積=平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積，據(jù)此可得線段AB掃過的面積．
試題解析：（1）把點P（2，4）代入直線y=k1x，可得4=2k1，∴k1=2，
把點P（2，4）代入雙曲線y=，可得k2=2×4=8；
（2）∵A（4，0），B（0，3），∴AO=4，BO=3，
如圖，延長A'C交x軸于D，由平移可得，A'P=AO=4，
又∵A'C∥y軸，P（2，4），∴點C的橫坐標(biāo)為2+4=6，當(dāng)x=6時，y==，即C（6，），
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，把P（2，4），C（6，）代入可得
，解得，∴直線PC的表達(dá)式為y=﹣x+；
（3）如圖，延長A'C交x軸于D，由平移可得，A'P∥AO，又∵A'C∥y軸，P（2，4），
∴點A'的縱坐標(biāo)為4，即A'D=4，如圖，過B'作B'E⊥y軸于E，∵PB'∥y軸，P（2，4），
∴點B'的橫坐標(biāo)為2，即B'E=2，又∵△AOB≌△A'PB'，
∴線段AB掃過的面積=平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22．
考點：1、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；2、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；3、坐標(biāo)與圖形變化﹣平移
19．（2020·上海同濟(jì)大學(xué)附屬實驗中學(xué)八年級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（0，3），點B（m，0），以AB為腰作等腰，如圖所示．

（1）若的值為5平方單位，求m的值；
（2）記BC交y軸于點D，CE⊥y軸于點E，當(dāng)y軸平分∠BAC時，求的值
（3）連接OC，當(dāng)OC＋AC最小時，求點C的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由求解的長，利用勾股定理列方程求解，結(jié)合的位置，即可得到答案；
（2）過作于，證明求解由等面積法得作 在上，利用勾股定理可得從而可得答案；
（3）由（2）同理可得：，證明在上，設(shè)直線與軸分別交于，過作于 使 連接交于 則此時最小，利用等腰三角形的性質(zhì)與中點坐標(biāo)公式得的坐標(biāo)，求解的解析式，再求直線與的交點坐標(biāo)即可．
【詳解】解：（1）
（負(fù)根舍去），又
在軸的負(fù)半軸上，
（2）過作于，



由勾股定理得：

作 在上，
軸平分∠BAC，

由勾股定理得：

（3）由（2）同理可得：，
在直線上，設(shè)直線與軸分別交于，
則
過作于 使 連接交于
則此時最小，為的中點，
設(shè)為 解得：
為 解得：
即當(dāng)最小時，
【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，分式的約分，利用平方根的含義解一元二次方程，軸對稱的性質(zhì)，求解一次函數(shù)的解析式及交點坐標(biāo)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

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