專(zhuān)訓(xùn)1　一次函數(shù)的兩種常見(jiàn)應(yīng)用 名師點(diǎn)金： 一次函數(shù)的兩種常見(jiàn)應(yīng)用主要體現(xiàn)在解決實(shí)際問(wèn)題和幾何問(wèn)題上．能夠從函數(shù)圖像中得到需要的信息，并求出函數(shù)表達(dá)式從而解決實(shí)際問(wèn)題和幾何問(wèn)題，是一次函數(shù)應(yīng)用價(jià)值的體現(xiàn)，這種題型常與一些熱點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合，考查學(xué)生綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力． 利用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題 eq \a\vs4\al(題型1) 行程問(wèn)題 (第1題) 1．【中考·鄂州】甲、乙兩車(chē)從A城出發(fā)勻速行駛至B城，在整個(gè)行駛過(guò)程中，甲、乙兩車(chē)離開(kāi)A城的距離y(km)與甲車(chē)行駛的時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論： ①A，B兩城相距300 km； ②乙車(chē)比甲車(chē)晚出發(fā)1 h，卻早到1 h； ③乙車(chē)出發(fā)后2.5 h追上甲車(chē)； ④當(dāng)甲、乙兩車(chē)相距50 km時(shí)，t＝eq \f(5,4)或eq \f(15,4). 其中正確的結(jié)論有(　　) A．1個(gè)　　　B．2個(gè)　　　C．3個(gè)　　　D．4個(gè) 2．甲、乙兩地相距300 km，一輛貨車(chē)和一輛轎車(chē)先后從甲地出發(fā)駛向乙地．如圖，線(xiàn)段OA表示貨車(chē)離甲地的距離y(km)與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系，折線(xiàn)BCDE表示轎車(chē)離甲地的距離y(km)與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖像，解答下列問(wèn)題： (1)線(xiàn)段CD表示轎車(chē)在途中停留了________h； (2)求線(xiàn)段DE對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式； (3)求轎車(chē)從甲地出發(fā)后經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間追上貨車(chē)． (第2題) eq \a\vs4\al(題型2) 工程問(wèn)題 3．甲、乙兩組工人同時(shí)加工某種零件，乙組在工作中有一段時(shí)間停產(chǎn)更換設(shè)備，更換設(shè)備后，乙組的工作效率是原來(lái)的2倍．兩組各自加工零件的數(shù)量y(件)與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)圖像如圖所示． (1)求甲組加工零件的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)表達(dá)式． (2)求乙組加工零件總量a的值． (3)甲、乙兩組加工出的零件合在一起裝箱，每夠300件裝一箱，零件裝箱的時(shí)間忽略不計(jì)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間恰好裝滿(mǎn)第1箱？再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間恰好裝滿(mǎn)第2箱？【導(dǎo)學(xué)號(hào)：54274014】 (第3題) eq \a\vs4\al(題型3) 實(shí)際問(wèn)題中的分段函數(shù) 4．某種鉑金飾品在甲、乙兩個(gè)商場(chǎng)銷(xiāo)售．甲標(biāo)價(jià)為477元/g，按標(biāo)價(jià)出售，不優(yōu)惠；乙標(biāo)價(jià)為530元/g，但若買(mǎi)的鉑金飾品質(zhì)量超過(guò)3 g，則超出部分可打八折． (1)分別寫(xiě)出到甲、乙兩個(gè)商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)該種鉑金飾品所需費(fèi)用y(元)和質(zhì)量x(g)之間的函數(shù)表達(dá)式； (2)李阿姨要買(mǎi)一個(gè)質(zhì)量不少于4 g且不超過(guò)10 g的此種鉑金飾品，到哪個(gè)商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)合算？ 5.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一．為了增強(qiáng)居民的節(jié)水意識(shí)，某市自來(lái)水公司對(duì)居民用水采用以戶(hù)為單位分段計(jì)費(fèi)辦法收費(fèi)．即一個(gè)月用水10 t以?xún)?nèi)(包括10 t)的用戶(hù)，每噸收水費(fèi)a元；一個(gè)月用水超過(guò)10 t的用戶(hù)，10 t水仍按每噸a元收費(fèi)，超過(guò)10 t的部分，按每噸b(b＞a)元收費(fèi)．設(shè)一戶(hù)居民月用水x t，應(yīng)交水費(fèi)y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示． (1)求a的值；某戶(hù)居民上月用水8 t，應(yīng)交水費(fèi)多少元？ (2)求b的值，并寫(xiě)出當(dāng)x＞10時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式． (第5題) 利用一次函數(shù)解決幾何問(wèn)題 eq \a\vs4\al(題型4) 利用圖像解幾何問(wèn)題 6．如圖①所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在正方形的邊上沿A→B→C→D運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，△APD的面積為S(cm2)，S與t的函數(shù)圖像如圖②所示，請(qǐng)回答下列問(wèn)題： (1)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為_(kāi)_______s，在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為_(kāi)_______cm/s，△APD的面積S的最大值為_(kāi)_______cm2； (2)求出點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)S與t之間的函數(shù)表達(dá)式； (3)當(dāng)t為何值時(shí)，△APD的面積為10 cm2? (第6題) eq \a\vs4\al(題型5) 利用分段函數(shù)解幾何問(wèn)題(分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想) 7．在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始按A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D.如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路程為x，△APD的面積為y.(當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或D重合時(shí)，y＝0)【導(dǎo)學(xué)號(hào)：54274015】 (1)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式； (2)畫(huà)出此函數(shù)的圖像． (第7題) 答案 1．B 2．解：(1)0.5 (2)設(shè)線(xiàn)段DE對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b(2.5≤x≤4.5)． 將D(2.5，80)，E(4.5，300)的坐標(biāo)分別代入y＝kx＋b可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(80＝2.5k＋b，,300＝4.5k＋b.)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝110，,b＝－195.)) 所以y＝110x－195(2.5≤x≤4.5)． (3)設(shè)線(xiàn)段OA對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝k1x(0≤x≤5)． 將A(5，300)的坐標(biāo)代入y＝k1x可得300＝5k1， 解得k1＝60.所以y＝60x(0≤x≤5)． 令60x＝110x－195，解得x＝3.9. 故轎車(chē)從甲地出發(fā)后經(jīng)過(guò)3.9－1＝2.9(h)追上貨車(chē)． 3．解：(1)設(shè)甲組加工零件的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx，因?yàn)楫?dāng)x＝6時(shí)，y＝360，所以k＝60， 即甲組加工零件的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝60x(0≤x≤6)． (2)a＝100＋100÷2×2×(4.8－2.8)＝300. (3)當(dāng)工作2.8 h時(shí)共加工零件100＋60×2.8＝268(件)，　 所以裝滿(mǎn)第1箱的時(shí)刻在2.8 h后． 設(shè)經(jīng)過(guò)x1 h恰好裝滿(mǎn)第1箱． 則60x1＋100÷2×2(x1－2.8)＋100＝300，解得x1＝3. 從x＝3到x＝4.8這一時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩組共加工零件(4.8－3)×(100＋60)＝288(件)，　 所以x>4.8時(shí)，才能裝滿(mǎn)第2箱，此時(shí)只有甲組繼續(xù)加工． 設(shè)裝滿(mǎn)第1箱后再經(jīng)過(guò)x2 h裝滿(mǎn)第2箱． 則60x2＋(4.8－3)×100÷2×2＝300，解得x2＝2. 故經(jīng)過(guò)3 h恰好裝滿(mǎn)第1箱，再經(jīng)過(guò)2 h恰好裝滿(mǎn)第2箱． 4．解：(1)y甲＝477x， y乙＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(530x（0≤x≤3），,424x＋318（x＞3）.))　 (2)當(dāng)477x＝424x＋318時(shí)， 解得x＝6， 即當(dāng)x＝6時(shí)，到甲、乙兩個(gè)商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)所需費(fèi)用相同； 當(dāng)477x6， 又x≤10，于是當(dāng)6＜x≤10時(shí)，到乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)合算． 5．解：(1)當(dāng)x≤10時(shí)，由題意知y＝ax.將x＝10，y＝15代入，得15＝10a，所以a＝1.5. 故當(dāng)x≤10時(shí)，y＝1.5x.當(dāng)x＝8時(shí)，y＝1.5×8＝12. 故應(yīng)交水費(fèi)12元． (2)當(dāng)x＞10時(shí)，由題意知y＝b(x－10)＋15.將x＝20，y＝35代入， 得35＝10b＋15，所以b＝2.故當(dāng)x＞10時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x－5. 點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是從圖像中找出有用的信息，用待定系數(shù)法求出表達(dá)式，再解決問(wèn)題． 6．解：(1)6；2；18 (2)PD＝6－2(t－12)＝30－2t，S＝eq \f(1,2)AD·PD＝eq \f(1,2)×6×(30－2t)＝90－6t， 即點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)S與t之間的函數(shù)表達(dá)式為S＝90－6t(12≤t≤15)． (3)當(dāng)0≤t≤6時(shí)易求得S＝3t，將S＝10代入，得3t＝10，解得t＝eq \f(10,3)；當(dāng)12≤t≤15時(shí)，S＝90－6t，將S＝10代入，得90－6t＝10，解得t＝eq \f(40,3).所以當(dāng)t為eq \f(10,3)或eq \f(40,3)時(shí)，△APD的面積為10 cm2. 7．解：(1)點(diǎn)P在邊AB，BC，CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式不相同，故應(yīng)分段求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式． ①當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，即0≤x＜3時(shí)， y＝eq \f(1,2)×4x＝2x； ②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)，即3≤x＜7時(shí)， y＝eq \f(1,2)×4×3＝6； ③當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，即7≤x≤10時(shí)， y＝eq \f(1,2)×4(10－x)＝－2x＋20. 所以y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為 y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x?。?≤x＜3），,6　（3≤x＜7），,－2x＋20　（7≤x≤10）.)) (2)函數(shù)圖像如圖所示． (第7題) 點(diǎn)撥：本題考查了分段函數(shù)在動(dòng)態(tài)幾何中的運(yùn)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想．根據(jù)點(diǎn)P在邊AB，BC，CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式不相同，分段求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，再畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖像．

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