【知識必備】
1. 已知Sn求an
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))．
(2)Sn與an關系問題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
2.累加法、累乘法求an
(1)根據(jù)形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函數(shù))的遞推關系式求通項公式時，常用累加法求出an－a1與n的關系式，進而得到an的通項公式．
(2)根據(jù)形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的函數(shù))的遞推關系式求通項公式時，常用累乘法求出eq \f(an,a1)與n的關系式，進而得到an的通項公式．
3.構造法求an
觀察題干給出的遞推關系構造新的等差、等比數(shù)列求.
4.分奇偶求an
【題型精講】
【題型一 由數(shù)列的前n項和Sn求an 】
方法技巧 已知Sn求an
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))轉化為關于an的關系式，再求通項公式．
(2)Sn與an關系問題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
例1 (2023·四川·什邡中學模擬）數(shù)列的前項和，則它的通項公式是_______．
例2 (2023·全國·高三階段練習）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為___________.
例3 (2023·上海市七寶中學）設數(shù)列的前項和為，若，，則的通項公式為__________．
例4 (2023·全國·高三月考）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的通項公式。
例5 (2023·全國·高三課時練習）已知數(shù)列的首項，與前n項和之間滿足，求數(shù)列的通項公式．
【題型精練】
1．(2023·上海民辦南模中學高三階段練習）已知數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的通項公式為______．
2．(2023·全國高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，且，則的通項公式為______．
3. (2023·廣西·模擬預測）正項數(shù)列的前項和為，且有，則___________．
4. (2023·安徽宿州高三模擬）數(shù)列中，已知，且（且），則此數(shù)列的通項公式為__________.
5. (2023·湖南·長郡中學一模）已知正項數(shù)列的前n項和為，且，．求數(shù)列的通項公式
【題型二 利用累加法求an】
方法技巧 累加法求an
根據(jù)形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函數(shù))的遞推關系式求通項公式時，常用累加法求出an－a1與n的關系式，進而得到an的通項公式．
例6 (2023·江蘇江蘇·一模）已知數(shù)列，，且，，求數(shù)列的通項公式
例7 (2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項公式；
【題型精練】
1．(2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足，則=_______.
2．(2023·河南·靈寶市高三模擬）已知數(shù)列滿足，且,求數(shù)列的通項公式；
【題型三 利用累乘法求an】
方法技巧 累加法求an
根據(jù)形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的函數(shù))的遞推關系式求通項公式時，常用累乘法求出eq \f(an,a1)與n的關系式，進而得到an的通項公式．
例8 (2023·浙江高三模擬）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式是______
例9 (2023·全國·專題練習）設是首項為1的正項數(shù)列且，求數(shù)列的通項公式 .
【題型精練】
1．(2023·深圳實驗學校高中部高三模擬）數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項公式
2．(2023·吉林白山市高三模擬）在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；
【題型四 構造法求通項公式】
方法技巧 構造法求an
觀察遞推關系的形式，構造出一個新的等差、等比數(shù)列，求出新的數(shù)列的通項，間接的求出an。
例10 (2023·歷城二中月考）(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；
(2)已知a1＝1，an＋1＝eq \f(an,an＋1)，求an.
例11 (2023·珠海市第二中學高三模擬）設為數(shù)列的前項和，，且，求數(shù)列的通項公式；
例12 (2023·全國·高三專題練習）已知在數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
例13 (2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式.
【題型精練】
1．(2023·全國·高三課時練習）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全國·課時練習）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；
3．(2023·福建省長汀縣第一中學高三階段練習）已知數(shù)列滿足，，則的前n項和為___________.
4．(2023·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，，且，，，當取最小值時，__________．
【題型五 分奇偶求通項公式】
方法技巧 或型
構造隔項等差數(shù)列：兩式相減得；
構造隔項等比數(shù)列：兩式相除得
例14 ( 2022·山東省泰安市一模)在數(shù)列中，已知，記為的前項和，．
（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并寫出其通項公式；
（2）求數(shù)列的通項公式；
【題型精練】
1. (2023·云南·昆明一中月考）a1＝1，an＋1＋an＝2n,求數(shù)列的通項公式.
【題型六 周期數(shù)列求通項公式】
例15 (2023·鄂爾多斯市第一中學高三模擬）已知數(shù)列中，，()，則等于（ ）
A．B．C．D．2
【題型精練】
1. (2023·全國高三專題練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，若，=6，則S2020=____________.
2. (2023·安徽合肥市·高三二模）設是數(shù)列的前項和，若，，則
A．B．C．D．
6.3 數(shù)列求通項6大題型
【題型解讀】

【知識必備】
1. 已知Sn求an
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))．
(2)Sn與an關系問題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
2.累加法、累乘法求an
(1)根據(jù)形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函數(shù))的遞推關系式求通項公式時，常用累加法求出an－a1與n的關系式，進而得到an的通項公式．
(2)根據(jù)形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的函數(shù))的遞推關系式求通項公式時，常用累乘法求出eq \f(an,a1)與n的關系式，進而得到an的通項公式．
3.構造法求an
觀察題干給出的遞推關系構造新的等差、等比數(shù)列求.
4.分奇偶求an
【題型精講】
【題型一 由數(shù)列的前n項和Sn求an 】
方法技巧 已知Sn求an
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))轉化為關于an的關系式，再求通項公式．
(2)Sn與an關系問題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
例1 (2023·四川·什邡中學模擬）數(shù)列的前項和，則它的通項公式是_______．
答案：
【解析】
分析：根據(jù)即可求出結果.
【詳解】當時，，
當時，
經(jīng)檢驗當時不符合，
所以，
故答案為：，
例2 (2023·全國·高三階段練習）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為___________.
答案：
【解析】當時，.
當時，，①
.②
①②，得.
因為不滿足上式，所以
故答案為：
例3 (2023·上海市七寶中學）設數(shù)列的前項和為，若，，則的通項公式為__________．
答案：
【解析】由得：，即，
又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；
當時，；
當時，；
經(jīng)檢驗：不滿足；
故答案為：.
例4 (2023·全國·高三月考）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的通項公式。
答案：
【解析】當時，，即，解得或（舍）.
當時，，，
兩式相減得，
又數(shù)列的各項為正數(shù)，所以，
所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.
所以.
例5 (2023·全國·高三課時練習）已知數(shù)列的首項，與前n項和之間滿足，求數(shù)列的通項公式．
答案：
分析：
根據(jù)，結合當時，，運算即可得出答案.
【解析】 當時，，∴，即，
∴是以1為首項，2為公差的等差數(shù)，
∴，即，
所以當時，．
又當時，不滿足上式，
∴．
【題型精練】
1．(2023·上海民辦南模中學高三階段練習）已知數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的通項公式為______．
答案：
【解析】
分析：利用通項和前n項和的關系可求的通項公式.
【詳解】，整理得到，
故答案為：.
2．(2023·全國高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，且，則的通項公式為______．
答案：
【解析】
分析：利用求解即可
【詳解】當時，，得，
當時，由，得，
所以，
所以，所以，
所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
故答案為：
3. (2023·廣西·模擬預測）正項數(shù)列的前項和為，且有，則___________．
答案：
【解析】
分析：結合來求得.
【詳解】依題意，，
當時，，
當時，，
，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以.
故答案為：
4. (2023·安徽宿州高三模擬）數(shù)列中，已知，且（且），則此數(shù)列的通項公式為__________.
答案：
【解析】由得：
（且）
（且）即（且）
數(shù)列是第二項起公比為的等比數(shù)列，
（且）又不滿足上式，
5. (2023·湖南·長郡中學一模）已知正項數(shù)列的前n項和為，且，．求數(shù)列的通項公式
答案：
【解析】(1)∵，∴．
當時，，∴，∴，
∵，∴．
∴數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列．∵，∴為等差數(shù)列，通項公式為．
【題型二 利用累加法求an】
方法技巧 累加法求an
根據(jù)形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函數(shù))的遞推關系式求通項公式時，常用累加法求出an－a1與n的關系式，進而得到an的通項公式．
例6 (2023·江蘇江蘇·一模）已知數(shù)列，，且，，求數(shù)列的通項公式
答案：
【解析】因為，所有，
當時，，，……，，
相加得，所以，當時，也符合上式，所以數(shù)列的通項公式
例7 (2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項公式；
答案：
分析：
設，，則，用累加法可先求出，從而得到答案.
【解析】
因為
設，，則，
當時，
，
又也滿足，所以，由，則.
【題型精練】
1．(2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足，則=_______.
答案：
【解析】因為數(shù)列滿足，，
所以當時，.
所以，，因為，也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為，
故答案為：
2．(2023·河南·靈寶市高三模擬）已知數(shù)列滿足，且,求數(shù)列的通項公式；
答案：
【解析】因為，所以，
，…，所以．
又，所以，所以．又，也符合上式，所以．
【題型三 利用累乘法求an】
方法技巧 累加法求an
根據(jù)形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的函數(shù))的遞推關系式求通項公式時，常用累乘法求出eq \f(an,a1)與n的關系式，進而得到an的通項公式．
例8 (2023·浙江高三模擬）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式是______
答案：
【解析】∵∴，即，
∴，∴.n=1也適合故答案為：.
例9 (2023·全國·專題練習）設是首項為1的正項數(shù)列且，求數(shù)列的通項公式 .
答案：或
【解析】依題意，
所以，
當時，，所以.
當時，，
所以
，
也符合上式.
所以.
綜上所述，或.
【題型精練】
1．(2023·深圳實驗學校高中部高三模擬）數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項公式
答案：
【解析】因為①；
當時，②；
①減②得，即，所以，所以，所以
所以，，，……，，
所以，所以，又，所以，當時也成立，所以
故答案為：
2．(2023·吉林白山市高三模擬）在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；
答案：
【解析】依題意，，
即，
所以
.故答案為：
【題型四 構造法求通項公式】
方法技巧 構造法求an
觀察遞推關系的形式，構造出一個新的等差、等比數(shù)列，求出新的數(shù)列的通項，間接的求出an。
例10 (2023·歷城二中月考）(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；
(2)已知a1＝1，an＋1＝eq \f(an,an＋1)，求an.
【解析】 (1)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，
又a1＋1＝2≠0，于是可知{an＋1}為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.
即an＋1＝2n，∴an＝2n－1，∴所求通項公式為an＝2n－1.
(2)由an＋1＝eq \f(an,an＋1)得eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝1(常數(shù))，
又eq \f(1,a1)＝1，∴{eq \f(1,an)}為以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴eq \f(1,an)＝n，從而an＝eq \f(1,n)，即所求通項公式為an＝eq \f(1,n).
例11 (2023·珠海市第二中學高三模擬）設為數(shù)列的前項和，，且，求數(shù)列的通項公式；
答案：
【解析】，，
又，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，，
當時，，
故.
例12 (2023·全國·高三專題練習）已知在數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因為，，所以，整理得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．所以，解得．
故選：A
例13 (2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式.
答案：
【解析】∵，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，又，
∴，∴.
【題型精練】
1．(2023·全國·高三課時練習）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
對數(shù)列兩邊取倒數(shù)，然后構造等比數(shù)列，通過等比數(shù)列的通項公式即可求解.
【解析】
因為，所以兩邊取倒數(shù)得
，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列，
則，所以，
故.
故選：C.
2．(2023·全國·課時練習）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；
答案：．
【解析】由，得：，∴，
即數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，得．
3．(2023·福建省長汀縣第一中學高三階段練習）已知數(shù)列滿足，，則的前n項和為___________.
答案：
【解析】數(shù)列滿足，整理得：，所以，
又，故是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，所以的前項和
故答案為：
4．(2023·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，，且，，，當取最小值時，__________．
答案：
【解析】
由得：，
設，則，，
又，，
數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，
，又，
由二次函數(shù)性質知：當時，取得最小值.
故答案為：.
【題型五 分奇偶求通項公式】
方法技巧 或型
構造隔項等差數(shù)列：兩式相減得；
構造隔項等比數(shù)列：兩式相除得
例14 ( 2022·山東省泰安市一模)在數(shù)列中，已知，記為的前項和，．
（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并寫出其通項公式；
（2）求數(shù)列的通項公式；
【解析】解：（1），
，，即

數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
（2）由（1）可知，且，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，
當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，
【題型精練】
1. (2023·云南·昆明一中月考）a1＝1，an＋1＋an＝2n,求數(shù)列的通項公式.
【解析】∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2，
即數(shù)列{an}是奇數(shù)項與偶數(shù)項都是公差為2的等差數(shù)列．
當n為偶數(shù)時，a2＝1，故an＝a2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)－1))＝n－1.
當n為奇數(shù)時，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1為偶數(shù))，故an＝n.
綜上所述，an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n，n為奇數(shù)，,n－1，n為偶數(shù)，))n≥1，n∈N*.
【題型六 周期數(shù)列求通項公式】
例15 (2023·鄂爾多斯市第一中學高三模擬）已知數(shù)列中，，()，則等于（ ）
A．B．C．D．2
答案：A
【解析】∵，()，
，
，
，
，
…，
∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
，
，
故選：A.
【題型精練】
1. (2023·全國高三專題練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，若，=6，則S2020=____________.
答案：
【解析】，
，∴的連續(xù)3項的和為常數(shù)列，
故答案為：．
2. (2023·安徽合肥市·高三二模）設是數(shù)列的前項和，若，，則
A．B．C．D．
答案：B
【解析】在數(shù)列中，，，則，，，
以此類推可知，對任意的，，即數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，
，因此，.
故選：B.

相關試卷

高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))6.3數(shù)列求通項6大題型(精練)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))6.3數(shù)列求通項6大題型(精練)(原卷版+解析)，共20頁。

高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))6.2等比數(shù)列5大題型(精講)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))6.2等比數(shù)列5大題型(精講)(原卷版+解析)，共25頁。

高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))6.2等比數(shù)列5大題型(精練)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))6.2等比數(shù)列5大題型(精練)(原卷版+解析)，共18頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))6.1等差數(shù)列6大題型(精講)(原卷版+解析)

高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))6.1等差數(shù)列6大題型(精講)(原卷版+解析)
高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))6.1等差數(shù)列6大題型(精練)(原卷版+解析)

高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))6.1等差數(shù)列6大題型(精練)(原卷版+解析)
高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))1.3復數(shù)(精講)(原卷版+解析)

高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))1.3復數(shù)(精講)(原卷版+解析)
6.3數(shù)列求通項6大題型（精講）

6.3數(shù)列求通項6大題型（精講）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部