
1.理解函數(shù)奇偶性的定義;2.掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法;3.會應用奇、偶函數(shù)圖像的對稱性解決簡單問題.
知識點一 函數(shù)奇偶性的幾何特征思考 下列函數(shù)圖像中,關于y軸對稱的有哪些?關于原點對稱的呢?
問題導學 新知探究 點點落實
答案?、佗陉P于y軸對稱,③④關于原點對稱.一般地,圖像關于y軸對稱的函數(shù)稱為 函數(shù),圖像關于原點對稱的函數(shù)稱為 函數(shù).
知識點二 函數(shù)奇偶性的定義思考1 為什么不直接用圖像關于y軸(原點)對稱來定義函數(shù)的奇偶性?答案 因為很多函數(shù)圖像我們不知道,即使畫出來,細微之處是否對稱也難以精確判斷.思考2 利用點對稱來刻畫圖像對稱有什么好處?答案 好處有兩點:(1)等價:只要所有點均關于y軸(原點)對稱,則圖像關于y軸(原點)對稱,反之亦然.(2)可操作:要判斷點是否關于y軸(原點)對稱,只要代入解析式驗證即可,不知道函數(shù)圖像也能操作.
函數(shù)奇偶性的概念:(1)偶函數(shù):如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi) 一個x,都有 ,那么函數(shù)f(x)就叫作偶函數(shù).其實質(zhì)是函數(shù)f(x)上任一點(x,f(x))關于y軸的對稱點(-x,f(x))也在f(x)圖像上.(2)奇函數(shù):如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi) 一個x,都有 ,那么函數(shù)f(x)就叫作奇函數(shù).其實質(zhì)是函數(shù)f(x)上任一點(x,f(x))關于原點的對稱點(-x,-f(x))也在f(x)圖像上.
f(-x)=-f(x)
知識點三 奇偶性與單調(diào)性思考 觀察偶函數(shù)y=x2與奇函數(shù)y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上的單調(diào)性,你有何猜想?答案 偶函數(shù)y=x2在(-∞,0)和(0,+∞)上的單調(diào)性相反;奇函數(shù)y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上的單調(diào)性相同.
一般地,(1)若奇函數(shù)f(x)在[a,b]上是增函數(shù),且有最大值M,則f(x)在[-b,-a]上是 函數(shù),且有最小值 .(2)若偶函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),則f(x)在(0,+∞)上是 .(3)知道了函數(shù)的奇偶性,我們可以先研究函數(shù)的一半,再利用對稱性了解其另一半,從而減少工作量.
題型探究 重點難點 個個擊破
類型一 如何證明函數(shù)的奇偶性
證明 因為它的定義域為{x|x∈R且x≠1},∴對于定義域內(nèi)的-1,其相反數(shù)1不在定義域內(nèi),
(2)證明f(x)=(x+1)(x-1)是偶函數(shù);證明 函數(shù)的定義域為R,因函數(shù)f(x)=(x+1)(x-1)=x2-1,又因f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函數(shù)為偶函數(shù).
證明 定義域為{-1,1},因為對定義域內(nèi)的每一個x,都有f(x)=0,
即該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
證明 定義域為{x|x≠0}.若x0,∴f(-x)=1,f(x)=-1,∴f(-x)=-f(x);若x>0,則-x0,則-x0.解 xf(x)>0即圖像上橫坐標、縱坐標同號.結合圖像可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).
反思與感悟 鑒于奇(偶)函數(shù)圖像關于原點(y軸)對稱,可以用這一特性去畫圖、求值,求解析式,研究單調(diào)性.
試畫出f(x)的圖像,并指出其單調(diào)區(qū)間.解 顯然當x>0時,f(x)>0.又y=x2+1為偶函數(shù),y=x為奇函數(shù),
1.函數(shù)f(x)=0(x∈R)是( )A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
2.函數(shù)f(x)= 的奇偶性是( )A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
3.函數(shù)f(x)=x(-1
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