2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來(lái)，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
專題29綜合與實(shí)踐
1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列），為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長(zhǎng)．
(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，求的長(zhǎng)．
②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．
2．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】
（1）如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．
①求證：；
②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【模型遷移】
（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

3．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）課本再現(xiàn)
(1)定理證明：為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過(guò)程．
己知：在中，對(duì)角線，垂足為．
求證：是菱形．

(2)知識(shí)應(yīng)用：如圖，在中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，．

①求證：是菱形；
②延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的值．
4．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題．
(1)下面是該問(wèn)題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）
當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，
如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有 ③ ；
已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為 ④ 點(diǎn)．
(2)如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）
5．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題情境：如圖1，在中，，是邊上的中線．如圖2，將的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別沿折疊后均與點(diǎn)D重合，折痕分別交于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，H．

猜想證明：
(1)如圖2，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
問(wèn)題解決；
(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿折疊，使得頂點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，折痕分別交于點(diǎn)M，N，的對(duì)應(yīng)線段交于點(diǎn)K，求四邊形的面積．
6.（重慶中考真題）在中，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，使得．
（1）如圖，當(dāng)時(shí)，連接，交于點(diǎn)．若平分，，求的長(zhǎng)；
（2）如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接．猜想與存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖，在（2）的條件下，連接，．若，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．
7．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問(wèn)題探究]
如圖1，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．在線段上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接．

①求證：；
②將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線段上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
③探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）[遷移探究]
如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

8．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接．
初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是_________，與的位置關(guān)系是_________．
特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接．

（1）求的度數(shù)；
（2）求的長(zhǎng)．
深入探究：（3）若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點(diǎn)在同一直線上時(shí)，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
9．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）【問(wèn)題呈現(xiàn)】
和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出，的位置關(guān)系：____________；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．
【拓展應(yīng)用】
(3)當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長(zhǎng)．
10．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的平分線所在直線交折線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在該折線上運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，連接．

(1)若點(diǎn)在上，求證：；
(2)如圖2．連接．
①求的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)時(shí)，的值；
②若點(diǎn)到的距離為，求的值；
(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到直線的距離．（用含的式子表示）．
11．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知是等邊三角形，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接交射線于點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，猜測(cè)線段與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，
①線段與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②如圖3，連接．設(shè)，若，求四邊形的面積．
12．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問(wèn)題探究：
(1)先將問(wèn)題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫出的大?。?br>(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．
問(wèn)題拓展：
(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．
13．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問(wèn)題；
(2)深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題．

①“善思小組”提出問(wèn)題：如圖3，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請(qǐng)你解答此問(wèn)題；

②“智慧小組”提出問(wèn)題：如圖4，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫出結(jié)果．

14．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．
已知，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，將以為對(duì)稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后進(jìn)行如下探究：
獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，．”
小紅：“若點(diǎn)為中點(diǎn)，給出與的長(zhǎng)，就可求出的長(zhǎng)．”
實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過(guò)探究后提出問(wèn)題1，請(qǐng)你回答：

問(wèn)題1：在等腰中，由翻折得到．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求證：；
（2）如圖2，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．
問(wèn)題解決：小明經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：若將問(wèn)題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問(wèn)題進(jìn)一步拓展．
問(wèn)題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長(zhǎng)．
15．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】
折紙，操作簡(jiǎn)單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過(guò)折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．
【動(dòng)手操作】如圖1，將矩形紙片對(duì)折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點(diǎn)B落在上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，得到折痕，點(diǎn)B，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，展平紙片，連接，，．

請(qǐng)完成：
(1)觀察圖1中，和，試猜想這三個(gè)角的大小關(guān)系；
(2)證明（1）中的猜想；
【類比操作】如圖2，N為矩形紙片的邊上的一點(diǎn)，連接，在上取一點(diǎn)P，折疊紙片，使B，P兩點(diǎn)重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點(diǎn)B，P分別落在，上，得到折痕l，點(diǎn)B，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，展平紙片，連接，．

請(qǐng)完成：
(3)證明是的一條三等分線．
16．（湖南中考真題）如圖，在中，點(diǎn)為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接，，，．
（1）如圖①，若，證明：．
（2）如圖②，若，，求的值．
（3）如圖③，若，是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
17．（江蘇中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．
(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；
(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE，分別去CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫出線段QN掃過(guò)的面積．
18.問(wèn)題提出：
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別E、F，在圖1中與線段CE相等的線段是 ；
問(wèn)題探究：
（2）如圖2，AB是半圓O的直徑，AB＝8，P是上一點(diǎn)，且＝2，連接PA，PB，∠APB的平分線交AB于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C分別作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分別為E、F，求線段CF的長(zhǎng)；
問(wèn)題解決：
如圖3，是某公園內(nèi)“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)示意圖，已知⊙O的直徑AB＝70m，點(diǎn)C在上，且CA＝CB．P為AB上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，連接AD、BD，過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分別為E、F．按設(shè)計(jì)要求，四邊形PEDF內(nèi)部為室內(nèi)活動(dòng)區(qū)，陰影部分是戶外活動(dòng)區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū)．設(shè)AP的長(zhǎng)為x(m)，陰影部分的面積為y(m2) ．
①求y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②按照“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長(zhǎng)度為30m時(shí)，整體布局比較合理．試求當(dāng)AP＝30m時(shí)，室內(nèi)活動(dòng)區(qū)（四邊形PEDF）的面積．

圖1 圖2 圖3
19.（2019?陜西）問(wèn)題提出：
（1）如圖1，已知△ABC，試確定一點(diǎn)D，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)畫出這個(gè)平行四邊形；
問(wèn)題探究：
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在該矩形中作出一個(gè)面積最大的△BPC，且使
∠BPC=90°，求滿足條件的點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離；
問(wèn)題解決：
（3）如圖3，有一座塔A，按規(guī)定，要以塔A為對(duì)稱中心，建一個(gè)面積盡可能大的形狀為平行四邊形的景區(qū)BCDE．根據(jù)實(shí)際情況，要求頂點(diǎn)B是定點(diǎn)，點(diǎn)B到塔A的距離為50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一個(gè)滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)BCDE？若可以，求出滿足要求的平行四邊形BCDE的最大面積；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．（塔A的占地面積忽略不計(jì)）
20.某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積，，之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究：
類比探究
（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為斜邊向外側(cè)作，，，若，則面積，，之間的關(guān)系式為 ；
推廣驗(yàn)證
（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側(cè)作任意，，，滿足，，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
拓展應(yīng)用
（3）如圖4，在五邊形中，，，，，點(diǎn)在上，，，求五邊形的面積.
21.【學(xué)習(xí)概念】有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱為對(duì)余線．
【理解運(yùn)用】
（1）如圖1，對(duì)余四邊形中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，連接AC，若AC＝AB，求sin∠CAD的值．
（2）如圖2，凸四邊形中，AD＝BD，AB⊥AC，當(dāng)2CD2＋CB2＝CA2時(shí)，判斷四邊形ABCD是否為對(duì)余四邊形，證明你的結(jié)論．
【拓展提升】在平面直角坐標(biāo)中，A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)，四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，點(diǎn)E在對(duì)余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC＝90°＋∠ABC，設(shè) ＝u，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t，請(qǐng)直接寫出u與t的函數(shù)解析式．
A
B
C
D
D
A
B
C
22.【性質(zhì)探究】
如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E．作DF⊥AE于點(diǎn)H，分別交AB，AC于點(diǎn)F，G．
（1）判斷△AFG的形狀并說(shuō)明理由；
（2）求證：BF＝2OG．
【遷移應(yīng)用】
（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當(dāng)時(shí)，求的值；
【拓展延伸】
（4）若DF交射線AB于點(diǎn)F，【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連結(jié)EF，當(dāng)△BEF的面積為矩形ABCD面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠BAE的值．
23.【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB＝90°．求證：．
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，點(diǎn)E在邊CD上，當(dāng)點(diǎn)F在AD延長(zhǎng)線上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH＝GH．
【拓展】如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB＋∠DEC＝180°，且，過(guò)E作EF交AD于點(diǎn)F，使∠EFA＝∠AEB，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G，求證：BG＝CG．
24.小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對(duì)頂角，∠ABC﹦∠CDE﹦90°，連接BD，AB﹦BD，點(diǎn)F是線段CE上一點(diǎn)．
探究發(fā)現(xiàn)：
（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)時(shí)，連接DF（如圖（2）），小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：BD⊥DF．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？___________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：若BD⊥DF，則點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
問(wèn)題解決：
（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長(zhǎng)．
圖（1） 圖（2） 備用圖

25.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥DA且DE＝DA．AE交BC于點(diǎn)F，連接CE．
（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)AD＝AF時(shí)，①求證：BD＝CF；②推斷：∠ACE＝_____°；
（2）探究證明：如圖2，當(dāng)AD≠AF時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦CE的度數(shù)是否為定值，并說(shuō)明理由；
（3）拓展運(yùn)用：如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作AE的垂線，交AE于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)K，若CK＝時(shí)，求DF的長(zhǎng)．

26.如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A=120°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接BE，點(diǎn)M，N，P分別為DE，BE，BC的中點(diǎn)．
（1）觀察猜想：
圖1中，線段MN與NP的數(shù)量關(guān)系是 ，∠MNP的大小是 ；
（2）探究證明：
把?ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MP、BD、CE，判斷?MNP的形狀，試說(shuō)明理由；
（3）拓展延伸：
把?ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=1，AB=3，請(qǐng)直接寫出?MNP面積的最大值．
圖1 圖2
27.問(wèn)題背景如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；
嘗試應(yīng)用如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F．點(diǎn)D在BC邊上，＝，求的值；
拓展創(chuàng)新如圖（3），D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝，直接寫出AD的長(zhǎng)．
（1） （2） （3）
28.已知：是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△，記旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)時(shí)，作，垂足為，與交于點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，作的平分線交于點(diǎn)．
①寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；
②求證：；
（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，若，求線段的最小值．（結(jié)果保留根號(hào)）.
29.問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．
小李同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FC到G，使CG＝AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是 ；
探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分別交AD、DC于E、F，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說(shuō)明理由；
探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由；
實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處．艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處．且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為70°．試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．
30.發(fā)現(xiàn)規(guī)律
（1）如圖①，△ABC與△ADE都是等邊三角形，直線BD，CE交于點(diǎn)F．直線BD，AC交于點(diǎn)H．求∠BFC的度數(shù)．
（2）已知：△ABC與△ADE的位置如圖②所示，直線BD，CE交于點(diǎn)F．直線BD，AC交于點(diǎn)H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度數(shù)．
應(yīng)用結(jié)論
（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK，連接NK，OK．求線段OK長(zhǎng)度的最小值．
31．（2021·山西中考真題）綜合與實(shí)踐，問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；
實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將沿著（為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
問(wèn)題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．該小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此的面積為20，邊長(zhǎng)，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫出結(jié)果．
32．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．①的值為 ；②∠AMB的度數(shù)為 ；
（2）類比探究 :如圖（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，連接AC，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．請(qǐng)計(jì)算的值及∠AMB的度數(shù)．
（3）拓展延伸:在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點(diǎn)M．若OD＝1，OB＝，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng)．
33．綜合與實(shí)踐
（1）觀察理解：如圖1，中，，，直線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，在直線同側(cè)，，，垂足分別為，，由此可得：，所以，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以? ）；（請(qǐng)?zhí)顚懭扰卸ǖ姆椒ǎ?br>（2）理解應(yīng)用：如圖2，，且，，且，利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積______；
（3）類比探究：如圖3，中，，，將斜邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，求的面積．
（4）拓展提升：如圖4，點(diǎn)，在的邊、上，點(diǎn)，在內(nèi)部的射線上，、分別是、的外角．已知，．求證：；
34．已知如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β
（1）如圖1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；
（2）如圖1，若BE與DF相交于點(diǎn)G，∠BGD＝45°，請(qǐng)寫出α、β所滿足的等量關(guān)系式；
（3）如圖2，若α＝β，判斷BE、DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
思考
我們知道，菱形的對(duì)角線互相垂直．反過(guò)來(lái)，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？
可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理；
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

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