TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc9698" 題型01等差等比公式法求和 PAGEREF _Tc9698 \h 1
\l "_Tc12233" 題型02 等差、等比、裂項、三角型分組求和 PAGEREF _Tc12233 \h 3
\l "_Tc27388" 題型03 中心對稱型倒序求和 PAGEREF _Tc27388 \h 5
\l "_Tc6750" 題型04難度較大的錯位相消求和 PAGEREF _Tc6750 \h 8
\l "_Tc26167" 題型05 奇偶討論、正負相間型求和 PAGEREF _Tc26167 \h 11
\l "_Tc15835" 題型06 插入數(shù)型求和 PAGEREF _Tc15835 \h 13
\l "_Tc27093" 題型07 分段型數(shù)列求和 PAGEREF _Tc27093 \h 16
\l "_Tc24553" 題型08裂項相消型求和 PAGEREF _Tc24553 \h 19
\l "_Tc6041" 題型09裂項歸類：降冪分離型 PAGEREF _Tc6041 \h 21
\l "_Tc19188" 題型10裂項歸類：分子是分母差的線性型 PAGEREF _Tc19188 \h 24
\l "_Tc26897" 題型11裂項歸類：指數(shù)等差型裂項 PAGEREF _Tc26897 \h 26
\l "_Tc20445" 題型12裂項歸類：指數(shù)與等差“同構(gòu)”型 PAGEREF _Tc20445 \h 28
\l "_Tc23295" 題型13正負型裂項：正負基礎(chǔ)型 PAGEREF _Tc23295 \h 30
\l "_Tc12859" 題型14 正負型裂項：等差裂和型 PAGEREF _Tc12859 \h 33
\l "_Tc23820" 題型15正負型裂項：指數(shù)裂和型 PAGEREF _Tc23820 \h 36
\l "_Tc15290" 題型16裂項歸類：三角函數(shù)型 PAGEREF _Tc15290 \h 39
\l "_Tc28728" 題型17 通項分段求和 PAGEREF _Tc28728 \h 42
\l "_Tc22360" 高考練場 PAGEREF _Tc22360 \h 44

題型01等差等比公式法求和
【解題攻略】
【典例1-1】（2024上·四川自貢·高三統(tǒng)考）設(shè)是等差數(shù)列，若．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和及其最值．
【答案】(1)
(2)數(shù)列的前項和為，最大值為，無最小值
【分析】（1）先求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可得解；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的前項和即可求出數(shù)列的前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值.
【詳解】（1）設(shè)公差為，
由，
得，解得，
所以；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，
則，
函數(shù)的對稱軸為，
所以，無最小值.
【典例1-2】（2024上·湖北·高三湖北省武漢市漢鐵高級中學(xué)校聯(lián)考）已知是等差數(shù)列的前項和，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)(2)12
【分析】（1）設(shè)出數(shù)列的公差，利用兩個條件列出方程組，求出首項、公差，代入通項公式即得；
（2）根據(jù)（1）求出的數(shù)列基本量易得，解不等式求得的范圍即得.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因為，所以，解得.
所以．
（2）由（1）可知：，所以.
令，得，解得：舍去），
因為，所以的最小值是12.
【變式1-1】（2024上·河南·高三校聯(lián)考）已知公比不為1的等比數(shù)列滿足，且是等差數(shù)列的前三項.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式結(jié)合等差中項列式求得，即可得結(jié)果；
（2）由（1）可知：等差數(shù)列的首項為，公差為，結(jié)合等差數(shù)列得通項公式和求和公式運算求解.
【詳解】（1）設(shè)的公比為，
因為成等差數(shù)列，則，
即，解得或1（舍去），
所以.
（2）由（1）可知的前三項為，
則等差數(shù)列的首項為，公差為，
所以，即.
所以.
【變式1-2】（2023上·海南省直轄縣級單位·高三?？迹┰诘炔顢?shù)列中，已知：，.
(1)求數(shù)列的公差及通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和的最小值，并指出此時正整數(shù)的值.
【答案】(1)公差為2，(2)的最小值為，此時的值為2
【分析】（1）設(shè)出公差，利用等差數(shù)列通項公式基本量計算出公差，得到通項公式；
（2）計算出，得到最小值及此時的的值.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，
，，
所以等差數(shù)列的公差為，通項公式.
（2）因為，
所以，
當(dāng)時，有最小值，此時正整數(shù)的值為.
題型02 等差、等比、裂項、三角型分組求和
【解題攻略】
【典例1-1】（23·24上·徐匯·）若數(shù)列滿足條件：存在正整數(shù)k，使得對一切，都成立，則稱數(shù)列為k級等差數(shù)列；
(1)已知數(shù)列為2級等差數(shù)列，且前四項分別為2，0，4，3，求的值；
(2)若（），且是3級等差數(shù)列，求的最小正值，及此時數(shù)列的前3n項和；
【答案】(1)(2)最小值，，
【分析】（1）利用2級等差數(shù)列定義即可得數(shù)列的偶數(shù)項和奇數(shù)項分別成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義即可求得；
（2）根據(jù)定義可得，再由兩角和與差的正弦公式即可得，解得的最小正值為，利用分組求和以及等差數(shù)列前項和公式即可得，.
【詳解】（1）若數(shù)列為2級等差數(shù)列，則；
即可知數(shù)列的偶數(shù)項和奇數(shù)項分別成等差數(shù)列，
利用等差數(shù)列定義可得，
；
所以；
（2）若是3級等差數(shù)列，則；
所以可得，；
即，
解得或；
若對于恒成立，可得，
若，可得，即
所以，
因此的最小正值為，此時；
由于；
所以，
即可得，
【典例1-2】（22·23上·廣安·）已知數(shù)列滿足.等比數(shù)列的公比為3，且.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的定義即可求出數(shù)列通項；
（2）根據(jù)分組求和與裂項求和法以及等比數(shù)列的求和公式即可求出
【詳解】（1）數(shù)列滿足，
是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
，，
等比數(shù)列的公比為3，且，
，
（2），
【變式1-1】（23·24上·成都·階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項和，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)題意分析可知是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式運算求解；
（2）由（1）可得，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運算求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則；
當(dāng)時，由，得，兩式相減得；
所以是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以.
（2）由（1）可知：，
則
，
所以數(shù)列的前項和.
【變式1-2】（23·24上·鹽城·）設(shè)數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，，且，設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由與的關(guān)系求通項，注意驗證時是否成立；
（2）由等比中項形式證明等比數(shù)列，求解數(shù)列的基本量，再求通項，進而化簡，再分組求和，分別利用裂項相消法與等比數(shù)列求和公式求和即可.
【詳解】（1）已知，，則當(dāng)時，，則有
當(dāng)時，，也適合上式，∴ ．
（2）∵ ，且， ∴ ，∴ 數(shù)列是等比數(shù)列，又，∴ 公比，
∴ ，∴ ，
∴
題型03 中心對稱型倒序求和
【解題攻略】
【典例1-1】（22·23·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．
(1)計算的值．
(2)求數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）直接計算可得答案；
（2）由（1）的計算結(jié)果，當(dāng)時，利用倒序相加法可得答案.
【詳解】（1）；
（2）由題知，當(dāng)時，，
又，兩式相加得
，所以，
又不符合，所以.
【典例1-2】（21·22·全國·專題練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的圖象上任意兩點，且，已知點的橫坐標(biāo)為．
(1)求證：點的縱坐標(biāo)為定值；
(2)若且求；
【答案】(1)證明見解析；(2).
【分析】（1）利用中點坐標(biāo)公式的表示，得到，然后代入求中點的縱坐標(biāo)的過程，根據(jù)對數(shù)運算法則，可以得到常數(shù)；
（2）利用（1）中所求，當(dāng)時，，可以采用倒序相加法，求和即可.
【詳解】（1）證明：設(shè)，因為，故可得，
由知，故，
故.
故點的縱坐標(biāo)為定值.
（2）由（1）知
，
兩式相加得：
，
故.
【變式1-1】（20·21·全國·課時練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求的值；
(3)令，求數(shù)列的前2020項和.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由題意可得：，由即可求解；
（2）求出的表達式，由指數(shù)的運算即可求解；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，利用倒序相加法即可求解.
【詳解】（1）因為點均在函數(shù)的圖象上，
所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，適合上式，所以.
（2）因為，所以，
所以.
（3）由（1）知，可得，
所以，①
又因為，②
因為，以①②，得，所以.
【變式1-2】（20·21·全國·課時練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項和．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由題意可得，然后利用可求出數(shù)列的通項公式；
（2）由題意可得，然后利用倒序相加法可求得結(jié)果
【詳解】（1）∵點均在函數(shù)的圖象上，
∴．當(dāng)時，；
當(dāng)時，，適合上式，∴．
（2）∵，∴．
又由（1）知，∴．
∴，①
又，②
①+②，，∴．
題型04難度較大的錯位相消求和
【解題攻略】
【典例1-1】（23·24上·廈門·）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，，且既是和的等差中項，又是其等比中項.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)記，其中，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由題設(shè)求得且的公差，再應(yīng)用等差、等比中項的性質(zhì)列方程求的基本量，進而寫出對應(yīng)通項公式；
（2）運用分組求和，結(jié)合裂項相消、錯位相減及等比數(shù)列前n項和公式求.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，，，
所以，解得，則，
既是和的等差中項，又是其等比中項，
所以，則，解得，即，
所以，.
（2）∵，，
∴.
，
①，
②，
①②得：
∴，∴.
【典例1-2】．（23·24上·無錫·）各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和記為，已知，且對一切都成立．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成等差數(shù)列，將插入的個數(shù)之和記為，其中．求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，可得，進而可得，再利用退一相減法可得；
（2）利用等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)可得，再利用錯位相減法可得前項和.
【詳解】（1）由，得，所以，
所以，當(dāng)時，，
所以，所以，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；
（2）由已知在和之間插入個數(shù)，這個數(shù)組成等差數(shù)列，
所以，設(shè)數(shù)列的前項和為，
則，
，
所以，
所以.
【變式1-1】（23·24上·溫州·）已知數(shù)列的前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，點在直線上，，求以及的最小值.
【答案】(1)(2)，的最小值為1
【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系可得是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，進而結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求解即可；
（2）由題設(shè)可得，進而得到數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，進而可得，結(jié)合和的關(guān)系可得，進而利用錯位相減法求和可得，進而利用作差法可得，即數(shù)列為遞增數(shù)列，進而求解.
【詳解】（1）由，當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，
整理得，即，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.
（2）因為點在直線上所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，即，所以當(dāng)時，.
所以，，則，所以，
則，兩式相減得，，
即，所以，
又，即，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以當(dāng)時，取得最小值.
【變式1-2】（23·24上·丹東·）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，數(shù)列是等比數(shù)列，且
(1)求和的通項公式；
(2)記，其中，求數(shù)列的前項的和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由已知條件建立基本量方程或方程組求解即可；
（2）分奇數(shù)項與偶數(shù)項分組求和，分別利用裂項相消法與錯位相減法求和.
【詳解】（1）數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，，
解得，數(shù)列的通項公式．
數(shù)列是等比數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的公比為，
解得，數(shù)列的通項公式為：．
（2）由（1）可知，，
，
令，
，
，
，
，，
數(shù)列的前項和．
.
題型05 奇偶討論、正負相間型求和
【解題攻略】
【典例1-1】（2024上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考）已知等差數(shù)列的公差為，且，設(shè)為的前項和，數(shù)列滿足.
(1)若，且，求；
(2)若數(shù)列也是公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，依次求出，列出不等式求解即得.
（2）設(shè)，由已知求出，借助恒成立求出，再按奇偶分類并結(jié)合分組求和法求解即得.
【詳解】（1）依題意，，，
則，由，得，解得，而，
所以.
（2）由是公差為的等差數(shù)列，設(shè)，
又，
于是對任意恒成立，
即對任意恒成立，
則，又，解得，從而，，
當(dāng)為偶數(shù)時，
；
當(dāng)為奇數(shù)時，
，
所以.
【典例1-2】（2024上·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？迹┮阎獢?shù)列滿足，且對任意正整數(shù)n都有．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，，（），若且，求集合A中所有元素的和．
【答案】(1)(2)135
【分析】（1）利用累加法可得答案；
（2）求出，，由，得，，…，滿足題意，得，，，，滿足題意，從而求得答案.
【詳解】（1）因為，所以，
可得
，即；
（2），
當(dāng)n為偶函數(shù)，，
，
，∴，
則，，…，滿足題意，
，，
∴，，，，滿足題意，
∴A中所有元素和為．
【變式1-1】（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析，(2)
【分析】（1）由題意構(gòu)造出形式即可得；
（2）借助裂項相消法求和即可得.
【詳解】（1）因為，且，
所以，即，
又，所以數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以，所以；
（2）由（1）知，所以，
所以
，故.
【變式1-2】（2024上·江蘇·高三）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且對一切都成立.若是公差為2的等差數(shù)列，.
(1)求數(shù)列與的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用的關(guān)系結(jié)合條件及等比數(shù)列的定義可得，再根據(jù)等差數(shù)列的概念計算求；
（2）利用分組求和及等比數(shù)列求和公式計算即可.
【詳解】（1）由，且對一切都成立，
可得，
又，所以，
則，
所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則.
又是公差為2的等差數(shù)列，，所以，
則.
綜上.
（2）由上可知，
故
.
題型06 插入數(shù)型求和
【解題攻略】
【典例1-1】（2024·全國·武鋼三中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，.
(1)求，的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，將中的項按原有順序依次插入到數(shù)列中，使與之間插入2項，形成新數(shù)列，求此新數(shù)列前面20項的和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根據(jù)條件先求解出的公差，則的通項公式可求；將的通項公式求出，則的通項公式可知；
（2）先分析前項的組成情況，然后采用分組求和求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，所以，
所以，所以，
又因為，所以.
（2）將及其后中的兩項看成一組，故需要組再加上第組的前兩項，
所以
.
【典例1-2】（2018下·江蘇南京·高三南京外國語學(xué)校?？迹┰O(shè)等比數(shù)列的前項和為；數(shù)列滿足（，）．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）①試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；②在①結(jié)論下，若對每個正整數(shù)，在與之間插入個2，符到一個數(shù)列．設(shè)是數(shù)列的前項和，試求滿足的所有正整數(shù)．
【答案】（1）；（2）見解析
【詳解】分析：（1）求出數(shù)列的首項和公比，即可求數(shù)列的通項公式；（2）①求出數(shù)列的前幾項，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程即可求出；②討論的取值，根據(jù)的關(guān)系進行求解即可．
詳解：（1）當(dāng)時，，，
則公比，則
（2）①當(dāng)時，得 時，得；時，得，
則由，得．
而當(dāng)時，由得．
由，知此時數(shù)列為等差數(shù)列．
②由題意知，
則當(dāng)時，，不合題意，舍去；
當(dāng)時，，所以成立；
當(dāng)時，若，則，不合題意，舍去；從而必是數(shù)列中的某一項，
則：
又，所以 ，
即，所以
因為為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以上式無解．
即當(dāng)時，
綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有．
【變式1-1】（2023上·上海普陀·高三上海市晉元高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列滿足（為正整數(shù)，為常數(shù)），則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，為公方差.
(1)已知數(shù)列，的通項公式分別為：，，判斷上述兩個數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說明理由；
(2)若數(shù)列是首項為1，公方差為2的等方差數(shù)列，在（1）的條件下，在與之間依次插入數(shù)列中的項構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前30項的和.
【答案】(1)是等方差數(shù)列；數(shù)列不是等方差數(shù)列；理由見解析(2)1622
【分析】（1）根據(jù)等方差數(shù)列的定義分別判斷，，即可得結(jié)論；
（2）由題意確定數(shù)列中前30項中含有的前7項和數(shù)列的前23項，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前n項和公式，即可求得答案.
【詳解】（1）是等方差數(shù)列；數(shù)列不是等方差數(shù)列；理由如下：
對于數(shù)列：，有，
故數(shù)列是等方差數(shù)列；
對于：，，
因為不是常數(shù)，故數(shù)列不是等方差數(shù)列；
（2）由題意知數(shù)列是首項為1，公方差為2的等方差數(shù)列，
故，而，所以；
是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
而新數(shù)列中項（含）前共有項，
令，結(jié)合，解得，
故數(shù)列中前30項含有的前7項和數(shù)列的前23項，
所以數(shù)列中前30項的和.
【變式1-2】（2022上·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1=1且滿足，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，滿足2Sn+1=3bn.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和Sn；
(3)若在bk與bk+1之間依次插入數(shù)列{an}中的k項構(gòu)成新數(shù)列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求數(shù)列{cn}中前50項的和T50.
【答案】(1),(2)(3)
【分析】（1）利用平方差公式將變形，得出數(shù)列是等差，可求出數(shù)列的通項；利用消去得到與的遞推關(guān)系，得出數(shù)列是等比數(shù)列，可求出通項；
（2）根據(jù)等差等比數(shù)列的求和公式求解即可；
（3）分析中前50項中與各有多少項，分別求和即可．
【詳解】（1）由得：∵
是首項，公差為2的等差數(shù)列∴又當(dāng)時，得
當(dāng)，由…①
…②
由①－②整理得：，∵，∴，∴，
∴數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，故；
（2）
（3）依題意知：新數(shù)列中，（含）前面共有：項．
由，（）得：，
∴新數(shù)列中含有數(shù)列的前9項：，，……，，含有數(shù)列的前41項：，，，……，；
∴．
.
題型07 分段型數(shù)列求和
【解題攻略】
【典例1-1】已知數(shù)列的前n項和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可得，進而得，由累加法即可求解；
（2）根據(jù)分組求和，由等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.
（1）
因為，所以，①
當(dāng)時，，②
①-②得：，即，
所以，所以，由，可得，
當(dāng)時，，符合上式，所以．
（2）由題意得，則
，
所以．
【典例1-2】已知數(shù)列，的前n項和分別為，，，．
(1)求及數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項和．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）先根據(jù)得到，再結(jié)合，求出數(shù)列，的通項公式；
（2）在第一問的基礎(chǔ)上利用分組求和進行求解.
（1）在中，
當(dāng)n＝1時，b1﹣a1＝0，
當(dāng)n?2時，，
顯然b1﹣a1＝0適合上式，
所以，，
又，
所以兩式相減得，兩式相加得
且a1＝1，b1＝1；
（2）因為，結(jié)合（1）中所求，，
故
【變式1-1】已知等差數(shù)列前項和為（），數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若，設(shè)數(shù)列的前項和為，求.
【答案】(1)，；(2)
【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為（），根據(jù)等差等比數(shù)列通項公式基本量的計算可得結(jié)果；
(2)求出，代入可得，再分組求和，利用裂項求和方法和等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為（），
∵，，，，
∴，
∴，，∴，；
（2）由（1）知，，
∴，
∴
.
【變式1-2】已知數(shù)列的前項和為，且滿足，等差數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)定義，記，求數(shù)列的前20項和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根據(jù)，作差即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項公式，再設(shè)數(shù)列的公差為，即可得到方程組，解得、，從而求出的通項公式；
（2）根據(jù)通項公式判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可得到的通項公式，再用分組求和法計算可得.
【詳解】（1）解：因為，當(dāng)時，解得，
當(dāng)時，所以，即，
所以，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以；
設(shè)數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，
所以.
（2）解：因為，即數(shù)列為遞增數(shù)列，
即數(shù)列單調(diào)遞減，
，，，，，，
，，，，，，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
所以，
所以.
題型08裂項相消型求和
【解題攻略】
【典例1-1】（23·24上·福州·）已知是數(shù)列的前n項和，．
(1)求數(shù)列的通項公式
(2)設(shè)為數(shù)列前n項的和，若對一切恒成立，求實數(shù)的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)利用代入即可求得通項公式；
(2)裂項相消求得的前項和，再結(jié)合基本不等式求最值.
【詳解】（1）因為是數(shù)列的前n項和，且，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足通項公式，所以的通項公式為.
（2）因為為數(shù)列前n項的和，令，
則，
，因為對一切恒成立，
則，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
所以,所以實數(shù)的最大值為.
【典例1-2】（23·24上·威海·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合探討數(shù)列的特征，再求出通項公式即得.
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項相消法求和，再借助單調(diào)性推理即得.
【詳解】（1）依題意，當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，
整理得，即有，兩式相減得，
因此數(shù)列為等差數(shù)列，由，，得公差，
所以數(shù)列的通項公式．
（2）由（1）知，，
因此
，
則，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，即有，而，
所以．
【變式1-1】（23·24上·閔行·）等差數(shù)列的前項和為，已知，且.
(1)求和；
(2)設(shè)，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）設(shè)公差為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即可求出和；
（2）由（1）可得，利用裂項相消法求出，即可得解.
【詳解】（1）設(shè)公差為，由，且，可得，
解得，所以，.
（2）由（1）可得，
所以
，
因為恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.
【變式1-2】（23·24上·佛山·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項的和為，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．
(1)證明：數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列的前項的和為，若，證明．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合與之間的關(guān)系進行求解證明即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合裂項相消法進行求解證明即可.
【詳解】（1）因為數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以．
從而可得．
當(dāng)時，．
即可得，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列；
（2）根據(jù)第（1）問數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列可得，
從而可得．
所以數(shù)列的通項公式．
所以．
從而可得．
所以成立．
題型09裂項歸類：降冪分離型
【解題攻略】
【典例1-1】．（22·23下·十堰·階段練習(xí)）設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項和為，并且對于所有的正整數(shù)，與2的等差中項等于與2的等比中項.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用已知與2的等差中項等于與2的等比中項，推出 并由此得出，進而得的遞推關(guān)系，從而推得數(shù)列的通項公式；
（2）要證，即證，將看作每項都減去1，故令，利用的通項公式求得，并利用裂項相消法求和，進而得證.
【詳解】（1）由題意，有 ，整理得，
則，所以，
, ,
整理得 ，
由題意知 ，∴,
∴數(shù)列為等差數(shù)列，其中，公差,
∴，
即通項公式為；
（2）要證，
即證，
，令,
則，
故
，
∴.
【典例1-2】（22·23下·河池·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，可求出數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）求出，由裂項相消法求解即可.
【詳解】（1）由當(dāng)時，，
當(dāng)時，滿足上式，所以，
（2）
，
故．
【變式1-1】（23·24上·深圳·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，，且．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)的前n項和為，求．
(3)記數(shù)列的前n項和為，若恒成立，求的最小值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)及，可得到是首項為，公差為2的等差數(shù)列，結(jié)合定義法求通項公式即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求得，結(jié)合裂項相消法求和即可；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)果得到，進而得到當(dāng)時，，結(jié)合隨的增大而增大，得到最值，即可得到，進而得到答案.
【詳解】（1）因為，
所以當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，
兩式相減得，，
化簡得，，
因為，所以，則，
即是首項為，公差為2的等差數(shù)列，
所以的通項公式為
（2）由（1）知，，因為，
所以，
所以
（3）由（1）知，，所以，
所以當(dāng)時，，因為隨的增大而增大，
所以，，
所以，所以的最小值為
【變式1-2】（23·24上·南昌·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)證明：對任意的為自然對數(shù)的底數(shù).
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）變形不等式，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，再求出函數(shù)的最大值即得.
（2）由（1）的信息可得，令，再利用不等式性質(zhì)、對數(shù)運算、數(shù)列求和推理即得.
【詳解】（1）函數(shù)，則不等式，令，
求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)遞減，
因此當(dāng)時，，依題意，，
所以實數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）知，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，而當(dāng)時，，
因此，于是
，即有，
所以.
題型10裂項歸類：分子是分母差的線性型
【解題攻略】
【典例1-1】（22·23·秦皇島·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，.
(1)求數(shù)列的通項公式以及前項和；
(2)數(shù)列的前項和為，求證：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式運算、等比數(shù)列通項公式和求和公式運算即可求解.
（2）利用裂項相消法求出，而，從而得出證明.
【詳解】（1）設(shè)的公比為，由題意，可得，解得，
所以，所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以，
因為，所以，得證.
【典例1-2】（23·24上·湖北·一模）已知正項數(shù)列的前項和，滿足：．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）由，把用1代入算出首項，再用退位相減法發(fā)現(xiàn)其為等差數(shù)列，則數(shù)列通項可求；
（2）由（1）可先算出，代入求得通項并裂項，再求和即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時，，解得．
當(dāng)時，由①，可得，②
①②得：，即．
，
．
是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列的通項公式．
（2）由（1）可得，
，
，，，，，
，
.
【變式1-1】（22·23·?？凇つM預(yù)測）已知等差數(shù)列，其前項和滿足為常數(shù).
(1)求及的通項公式；
(2)記數(shù)列 ，求前項和的.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）計算出的值，根據(jù)等差中項的性質(zhì)可列方程解出的值，再利用與的關(guān)系即可求解；
（2）運用裂項相消法即可求解.
【詳解】（1）由題意，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
則，，
因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，
即，解得，
則，滿足，
所以的通項公式為．
（2）由（1）可得，，則，
所以
．
【變式1-2】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前項和為，，.
(1)求及；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算可得公差和首項，即可求解，
（2）根據(jù)裂項求和即可求解.
【詳解】（1）設(shè)公差為，則由，可得：
，解得，
所以，
（2），
故
題型11裂項歸類：指數(shù)等差型裂項
【解題攻略】
【典例1-1】（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項和為，，當(dāng)，且時，．
(1)證明：為等比數(shù)列；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，若，求正整數(shù)的最小值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)3.
【分析】（1）由題設(shè)，結(jié)合已知得到在上都成立，即可證結(jié)論；
（2）由（1）得，裂項相消法求，根據(jù)不等式關(guān)系得，即可確定正整數(shù)的最小值.
【詳解】（1）當(dāng)時，，即，
又，故在上都成立，且，
所以是首項、公比均為2的等比數(shù)列.
（2）由（1）知：，則，
所以，
則，即，
所以，可得，而，故，正整數(shù)的最小值為3.
【典例1-2】（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？迹┮阎獢?shù)列的首項，且滿足.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)記，求數(shù)列的前項和，證明：.
【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式，可得，結(jié)合等比數(shù)列定義，即可證明結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論求出，可得的表達式，利用裂項求和法，即可求得，繼而證明結(jié)論.
【詳解】（1）證明：由題意知數(shù)列的首項，且滿足，
故，
由于，故，故，
故數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得，故，
故，
故
，
由于，故.
【變式1-1】（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）記為正項數(shù)列的前項和，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）由退位相減可得，又可得，繼而可知數(shù)列為等比數(shù)列，則通項可求；
（2）由（1）可得、繼而可求，并將其裂項再求和，即可證明不等式.
【詳解】（1）因為，所以，當(dāng)時，，
兩式相減得，，化簡可得，
所以，即，又可得，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，可得
（2）由（1）可知，，
所以，則，，
，
，因為，所以，則.
【變式1-2】（2023上·江蘇南通·高三海安高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項，且滿足，記.
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)記，證明；數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，要證是等比數(shù)列，即證為常數(shù)；
（2）由（1）可知數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法求和，整理變形即可證得.
【詳解】（1）因為，
所以，，所以，
因為，，所以，因為，
因為，
又因為當(dāng)時，所以，所以，
所以是以5為首項，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）可得，因為，
所以.
題型12裂項歸類：指數(shù)與等差“同構(gòu)”型
【解題攻略】
【典例1-1】（22·23·河南·三模）已知數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求數(shù)列的通項；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先將題目中的表達式邊同時除以可證得是以為首項，為公差的等差數(shù)列，由此求出，再結(jié)合，即可得出答案；
（2）先求出，再由裂項相消法求解即可.
【詳解】（1）因為，兩邊同時除以，
所以，所以，
所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，也滿足上式，
所以.
（2）由（1）可得，，
則
.
【典例1-2】（23·24上·合肥·階段練習(xí)）在數(shù)和之間插入個實數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記作，令.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用等比數(shù)列的基本性質(zhì)結(jié)合倒序相乘法可求得，結(jié)合對數(shù)的運算可得出數(shù)列的通項公式；
（2）計算得出，利用裂項相消法可求得.
【詳解】（1）解：在數(shù)和之間插入個實數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，
設(shè)插入的這個數(shù)分別為、、、，
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，，所以，，
易知，所以，，則.
（2）解：，
所以，.
【變式1-1】（22·23下·撫順·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）先求出，再利用，得是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求解即可；
（2）由題意可得，利用裂項相消求解即可.
【詳解】（1）解：因為，，①
所以當(dāng)時，解得，
當(dāng)時，，即②，
由①-②可得，即，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比，
所以數(shù)列的通項公式為：；
（2）解：由（1），
所以，
所以
【變式1-2】（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．
(1)求的通項公式；
(2)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，求證：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）利用等差數(shù)列通項和求和公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得通項公式；
（2）由（1）可得，采用裂項相消法可求得，進而分析得到結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，解得：，
.
（2）由（1）得：，
，，.
題型13正負型裂項：正負基礎(chǔ)型
【解題攻略】
【典例1-1】（22·23下·德州·）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為正項等比數(shù)列，且滿足，，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，由題意可得出，解方程求出，再由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可得出答案；
（2）先求出，再由裂項相消法和等比數(shù)列的前項和公式求解即可.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，
則，解得：，
所以數(shù)列的通項公式為；
數(shù)列的通項公式.
（2），
數(shù)列的前項和．
.
【典例1-2】（22·23下·武漢·）設(shè)數(shù)列前n項和為，，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列前n項和為，問是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)已知與的關(guān)系可得，當(dāng)時，.然后可得出的奇數(shù)項和偶數(shù)項均分別為等差數(shù)列，根據(jù)求得的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，得出答案；
（2）裂項化簡可得，求解可得為偶數(shù)時，求出此時的最大值.然后得出為奇數(shù)時，，比較即可得出答案.
【詳解】（1）由已知可得，①
當(dāng)時，②
①-②得，.
因為，所以.
又，
所以，，，…，，…是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，
所以；
當(dāng)時，有，，
所以，
所以，，，…，，…是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，
所以.
所以，.
（2）由（1）可得，.
則當(dāng)n為偶數(shù)時，
，顯然單調(diào)遞減，所以有；
當(dāng)n為奇數(shù)時，
.又，
所以存在最大值，且最大值為.
【變式1-1】（22·23高三下·湖北·）已知數(shù)列的前n項和.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前2n項和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用時關(guān)系求通項公式，注意驗證情況，即可得通項公式；
（2）應(yīng)用分組、裂項相消法求.
【詳解】（1）由時，
又時也滿足該等式，故.
（2）由，
則
.
因此.
【變式1-2】設(shè)數(shù)列的前項和為，且.（1）求、、的值；
（2）求出及數(shù)列的通項公式；
（3）設(shè)，求數(shù)列的前項和為.
上海市上海師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題
【答案】（1），，；（2），；
（3）當(dāng)為奇數(shù)，；當(dāng)為偶數(shù)，.
【詳解】(1)，時，，
時，，解得，
時，，解得，同理可得：，
（2）由（1）可得：，，化為，猜想，時，代入，左邊；右邊,所以左邊=右邊，猜想成立，時也成立，
時，，時，也成立，；
當(dāng)時，，又，
數(shù)列的通項公式為.
（3），
為偶數(shù)時，數(shù)列的前項和為：
.
為奇數(shù)時，數(shù)列的前項和為：
.
綜上所述，當(dāng)為奇數(shù)，；當(dāng)為偶數(shù)，.
.
題型14 正負型裂項：等差裂和型
【解題攻略】
【典例1-1】（22·23下·荊州·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，的前項和分別為，.若的公差為整數(shù)，且，求.
【答案】(1)或（）
(2)當(dāng)為正偶數(shù)時，，當(dāng)為正奇數(shù)時，
【分析】（1）設(shè)出公差d，根據(jù)已知條件列出相應(yīng)的等式即可求解.
（2）由題意可以先求出的通項公式，再對n進行討論即可求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，∴，
∵，，成等比，∴，
即，得，解得或，∴當(dāng)時，；
當(dāng)時，；∴或（）.
（2）因為等差數(shù)列的公差為整數(shù)，由（1）得，
所以，則，
∴.
①當(dāng)為偶數(shù)時
.
②當(dāng)為奇數(shù)時
.
所以當(dāng)為正偶數(shù)時，，當(dāng)為正奇數(shù)時，.
【典例1-2】（22·23·三明·三模）已知數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，的前項和為，證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）取倒數(shù)結(jié)合等差數(shù)列的通項計算即可；
（2）利用裂項法求得，結(jié)合，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）因為，，所以，
所以.所以，
所以為等差數(shù)列，首項為，公差，
所以，所以
（2）證明：因為，
所以.
所以，
因為，所以，即.
【變式1-1】（22·23下·武漢·）設(shè)數(shù)列前n項和為，，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列前n項和為，問是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)已知與的關(guān)系可得，當(dāng)時，.然后可得出的奇數(shù)項和偶數(shù)項均分別為等差數(shù)列，根據(jù)求得的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，得出答案；
（2）裂項化簡可得，求解可得為偶數(shù)時，求出此時的最大值.然后得出為奇數(shù)時，，比較即可得出答案.
【詳解】（1）由已知可得，①
當(dāng)時，②
①-②得，.
因為，所以.又，
所以，，，…，，…是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，
所以；
當(dāng)時，有，，所以，
所以，，，…，，…是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，
所以.所以，.
（2）由（1）可得，.
則當(dāng)n為偶數(shù)時，
，
顯然單調(diào)遞減，所以有；
當(dāng)n為奇數(shù)時，
.又，
所以存在最大值，且最大值為.
【變式1-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項積為．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析；；
(2)（或）
【分析】（1）由前項積定義可得，再由等差數(shù)列定義即可得出證明，并求得數(shù)列的通項公式為；
（2）利用裂項相消法求和，對的奇偶進行分類討論即可得.
【詳解】（1）由題意得當(dāng)時，．
因為，所以，解得以．
當(dāng)時，，即，因此．
所以數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，可得．
所以．
（2）由題意知
．
當(dāng)為偶數(shù)時，
；
當(dāng)為奇數(shù)時，
．
所以（或）
.
題型15正負型裂項：指數(shù)裂和型
【解題攻略】
【典例1-1】（21·22高三下·重慶沙坪壩·）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和為.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)作差得到，從而得到，即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）得，利用裂項相消法計算可得.
【詳解】（1）因為①，當(dāng)時，解得，
當(dāng)時②，
①②得，即，
所以，則，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，則.
（2）由（1）可得，
所以
.
【典例1-2】（22·23高三下·黑龍江哈爾濱·）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若存在，使，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）依題意可得，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）由（1）可得，再分為偶數(shù)和奇數(shù)兩類情況并結(jié)合裂項求和法討論即可.
【詳解】（1）證明：因為，
所以，即，
因為，所以，
故數(shù)列是以12為首項，3為公比的等比數(shù)列，
所以，則.
（2）解：由（1）知，
所以.
當(dāng)為偶數(shù)時，
，
因為是單調(diào)遞減的，所以.
當(dāng)為奇數(shù)時，
，
又是單調(diào)遞增的，因為，所以.
要使存在，使，只需，即，故的取值范圍是.
【變式1-1】（22·23下·武清·階段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列，公比大于，其前項和為，是等差數(shù)列，已知，，，.
(1)求和的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為.
（i）求；
（ii）求.
【答案】(1)；(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用等比數(shù)列、等差數(shù)列通項公式化簡已知等式即可求得公比和公差，由此可得；
（2）（i）由等比數(shù)列求和公式和分組求和法可求得；
（ii）采用裂項相消法，分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下求解可得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，
由得：，又，
，解得：（舍）或，；
，解得：，
，解得：，，
.
（2）（i）由（1）得：，
；
（ii）由（i）得：，
當(dāng)為偶數(shù)時，；
當(dāng)奇數(shù)時，；
綜上所述：.
【變式1-2】（23·24上·黔東南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.
(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)令，求的前n項和.
【答案】(1)證明見解析，(2)
【分析】（1）通過構(gòu)造可證為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式可得，然后可得；
（2）將數(shù)列通項公式變形為，直接求和可得.
【詳解】（1）證明：由，所以，
所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，即
（2）由（1）知：，所以.又，
.
題型16裂項歸類：三角函數(shù)型
【典例1-1】（2023·山東威?！ざ＃┮阎?n＋2個數(shù)排列構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，其中第1個數(shù)為1，第2n＋2個數(shù)為8，設(shè)．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項和．
【答案】(1)證明見詳解(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)分析可得，再結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；
（2）根據(jù)兩角差的正切公式整理得，結(jié)合裂項相消法運算求解.
【詳解】（1）由題意可得：，且，可得，
所以，可得，則，
所以數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列.
（2）由（1）可得，則，
整理得，
則
，所以數(shù)列的前100項和.
【典例1-2】（22·23上·蕪湖·）已知是數(shù)列的前項和，．且
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，已知數(shù)列滿足，求的前項的和
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合變形，構(gòu)造數(shù)列求解作答.
（2）由（1）的結(jié)論，利用差角的正弦公式變形，再利用錯位相減法求解作答.
【詳解】（1）因為，，當(dāng)時，，
兩式相減得：，即，變形得，
于是得數(shù)列是常數(shù)列，因此，即，
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）由（1）知，，
，
所以.
【變式1-1】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列各項均為正數(shù)，的前n項和記作，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）當(dāng)時，有相減得,結(jié)合各項均為正數(shù)，并因式分解即可求解.
（2）由（1）得，結(jié)合可知，由裂項相消法即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，有相減得，即，各項均為正數(shù)，
所以，
又當(dāng)時，，
解得或(舍)，
所以對任意正整數(shù)n，均有，
故是以首項為1，公差以1的等差數(shù)列，
所以．
（2）由于，
故，
由（1）得，
記前n項和為，則
，所以.
【變式1-2】（2023上·湖北武漢·高三湖北省武昌實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項和，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先用與的關(guān)系以及遞推公式求出，再利用累乘法即可求得通項公式；
（2）由（1）結(jié)論代入可得，利用三角函數(shù)兩角差公式化簡可得，再利用累加法即可求得數(shù)列的前n項和.
【詳解】（1）數(shù)列中，，為前n項和，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，①，
②，
由②-①得：，，
即，
當(dāng)時，，遞推可得：，，，，
由累乘法可得：，
，又因為，所以，即，經(jīng)檢驗，當(dāng)時符合上式，
所以；
（2）由（1）可知，，所以：
，
所以
；
所以數(shù)列的前n項和.
題型17 通項分段求和
【典例1-1】在公差為2的等差數(shù)列中，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前20項和．
【答案】(1)(2)270
【分析】（1）由題意可求出，即可求出數(shù)列的通項公式；
（2）利用分組法求數(shù)列的前20項和（1）
由，得，所以，
故．
（2）因為，
所以，
又，，，
所以
．
【典例1-2】在公差不為0的等差數(shù)列中，前n項和為，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，，求數(shù)列的前12項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的首項和公差，進一步求出數(shù)列的通項公式；
（2）利用并項求和法及等比數(shù)列求和公式計算可得；
（1）
設(shè)等差數(shù)列中，首項為，公差為（），
由，，
所以，，
解得，所以；
（2）解：因為，，
所以，，即，
，即
，即
，即
，即
，
所以
【變式1-1】（2024上·浙江杭州·高三杭州高級中學(xué)校考）已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，的前項和為，求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系化簡求解即可；
（2）采用分組求和的方式計算即可.
【詳解】（1）①②
①-②整理得 數(shù)列是正項數(shù)列，
當(dāng)時，
數(shù)列是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列， ；
（2）由題意知， ，
故
.
【變式1-2】（2024上·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考）已知遞增的等比數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）已知等比數(shù)列，依據(jù)題意求出基本量即可.
（2）討論奇偶項，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和即可.
【詳解】（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，成等差數(shù)列，
，即，
化簡整理，得，
解得（舍去），或，首項，
.
（2）由（1）可得
則數(shù)列的前項和為
高考練場
1.（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且.
(1)求的通項公式；
(2)記為的前項和，若，求的最小值.
【答案】(1)(2)27
【分析】（1）設(shè)出公差，根據(jù)通項公式基本量計算得到方程，求出首項和公差，得到通項公式；
（2）利用等差數(shù)列求和公式得到不等式，求出答案.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，
，
解得
故.
（2），
令，即，
，即，解得或（舍去），
故的最小值為27.
2.（23·24上·六安·階段練習(xí)）已知首項為1的正項等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和為．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等差中項結(jié)合等比數(shù)列的通項公式運算求解；
（2）由（1）可知：，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，
因為，，成等差數(shù)列則，
即：，解得或（舍去）所以數(shù)列的通項公式，.
（2）由（1）可知：，
則
，所以.
3.（20·21上·開封·階段練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若記，2，3，，，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由得到，然后變形為，利用等差數(shù)列的定義求解.
（2）由（1）得到，由，利用倒序相加法求解.
【詳解】（1）因為，所以由得，
所以，，所以是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，
所以，所以.
（2）由（1）知，則，
，，
所以，
，，兩式相加，得：
，所以.
4.（23·24上·邢臺·）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）計算，根據(jù)得到，確定等比數(shù)列，計算即可.
（2）利用累乘法得到，再根據(jù)錯位相減法得到，構(gòu)造數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性計算最值得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)時，，解得.
當(dāng)時，，相減得，即，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，驗證時成立，
故；
（2），，故.
，兩式相減可得：
，
所以，.令，，，
故，且，，，
是從第二項開始單調(diào)遞減數(shù)列，.
故.
5.（2024上·山西晉城·高三晉城市第一中學(xué)校校考）已知數(shù)列是各項為正數(shù)的數(shù)列，前n項和記為，，()，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用與的關(guān)系，以取代構(gòu)造等式，兩式作差得遞推關(guān)系，再變形可證明數(shù)列是等差數(shù)列，進而求出通項；
（2）分奇偶討論，利用并項求和法求解前n項和.
【詳解】（1）由題意得①，且，當(dāng)時，，
解得或(舍去)，當(dāng)時，②·∴①②得，
∴，∵，∴，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，∴.
所以數(shù)列的通項公式為；
（2）由（1）得，
則當(dāng)，且時，
，
n為偶數(shù)時，
，
n為奇數(shù)時，則為偶數(shù)，由上式可知，，
所以.所以，.
6.（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┤魯?shù)列滿足（n為正整數(shù)，p為常數(shù)），則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，p為公方差．
(1)已知數(shù)列的通項公式分別為判斷上述兩個數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說明理由；
(2)若數(shù)列是首項為1，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，求正整數(shù)m的值；
(3)在（1）?（2）的條件下，若在與之間依次插入數(shù)列中的項構(gòu)成新數(shù)列，，求數(shù)列中前50項的和．
【答案】(1)數(shù)列為等方差數(shù)列，數(shù)列不是等方差數(shù)列，理由見解析；(2)40(3)11522
【分析】（1）根據(jù)等方差數(shù)列的定義，即可判斷；
（2）首先求得數(shù)列的通項公式，再根據(jù)數(shù)列的通項公式，結(jié)合對數(shù)換底公式，
即可求解；
（3）首先確定的取值，再根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列求和公式，即可求解.
【詳解】（1）因為（常數(shù)），
所以數(shù)列為等方差數(shù)列，1為公方差；
因為，
所以數(shù)列不是等方差數(shù)列．
（2）由題意得，，
顯然
，解得．
（3）由題意得：新數(shù)列中，（含）
前共有：項，由，得，
所以新數(shù)列中的前50項含有數(shù)列的前9項，含有數(shù)列的前41項，
即
7.（2024上·陜西榆林·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列滿足，，記.
(1)求，；
(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(3)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，(2)證明見解析(3)
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系代入即可求解，
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義求證即可，
（3）由等差數(shù)列求和公式即可求解.
【詳解】（1），；
（2），所以數(shù)列是首項為19，公差為的等差數(shù)列；
（3）.
8.（23·24上·河南·）對數(shù)列，記為數(shù)列的前n項交替和；
(1)若，求的前n項交替和；
(2)若數(shù)列的前n項交替和為，求的前n項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）按項數(shù)的奇偶分類討論求交替和，偶數(shù)項時可并項求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和，奇數(shù)項時轉(zhuǎn)化為偶數(shù)項求解；
（2）求解通項，再裂項相消法求和.
【詳解】（1）當(dāng)，時，
；
當(dāng)，時，則為偶數(shù)，
則
；
所以.（或）
（2）當(dāng)時，；
當(dāng)時，，不符合上式；
則，
所以，，
則，
且當(dāng)時，，
設(shè)的前n項和為，
則
.
9.（22·23上·全國·單元測試）已知數(shù)列滿足：，數(shù)列滿足：．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）當(dāng)時，，和題干中式子相減得到，驗證時也滿足，從而得到的通項公式；
（2）變形得到，利用裂項相消法，分組求和法求和.
【詳解】（1）①，
當(dāng)時，②，
兩式相減得．
化簡可得．
當(dāng)時，由題設(shè)得，，代入上式也符合．
所以數(shù)列的通項公式為．
（2）將的通項公式代入題設(shè)條件可得，
．故的前項和得，
．
10.（2023上·天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正項數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列前n項和；
(3)若，數(shù)列的前項和為，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用，求得數(shù)列的通項公式.
（2）由（1）得，然后利用錯位相減法求得前n項和
（3）由（1）求得的表達式，然后利用裂項求和法求得的前項和，利用差比較法證得數(shù)列遞增，進而求得的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，由，得，得，
由，得，兩式相減，
得，即，
即
因為數(shù)列各項均為正數(shù)，所以，所以
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.
因此，，即數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）得，
兩式相減得
，，.
（3）由（1）知，所以.
所以.
所以
.
令，則
所以是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列遞增，
所以，又，所以的取值范圍為.
11.（23·24上·昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）運用累乘法求出的通項公式；
（2）先運用裂項法求出的解析式，再運用縮放法證明.
【詳解】（1）由已知，
所以，
當(dāng)時，滿足條件，所以；
（2）由于，所以，
所以，
所以，顯然在上為增函數(shù)，，又，所以；綜上，.
12.（23·24上·黔東南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.
(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)令，求的前n項和.
【答案】(1)證明見解析，(2)
【分析】（1）通過構(gòu)造可證為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式可得，然后可得；
（2）將數(shù)列通項公式變形為，直接求和可得.
【詳解】（1）證明：由，
所以，
所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，
所以，即
（2）由（1）知：，所以.
又，
13.（22·23·三明·三模）已知數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，的前項和為，證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）取倒數(shù)結(jié)合等差數(shù)列的通項計算即可；
（2）利用裂項法求得，結(jié)合，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）因為，，所以，
所以.所以，所以為等差數(shù)列，首項為，公差，
所以，所以
（2）證明：因為，
所以.
所以，
因為，所以，即.
14.（23·24上·和平·開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的公比，若，且，，分別是等差數(shù)列第1，3，5項.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和；
(3)記，求的最大值和最小值.
【答案】(1)，(2)(3)最大值為，最小值為
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識求得.
（2）利用錯位相減求和法求得.
（3）利用裂項求和法，結(jié)合對進行分類討論，由此求得的最大值和最小值.
【詳解】（1）依題意，，，解得，所以，
則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
所以.
（2），，，
兩式相減得，.
（3）
，
，
當(dāng)為偶數(shù)時，，令（為偶數(shù)），則是單調(diào)遞增數(shù)列，
最小值為，且.
當(dāng)為奇數(shù)是，，令（為奇數(shù)），則是單調(diào)遞減數(shù)列，
最大值為，且.綜上所述，的最大值為，最小值為.
15.（22·23高三上·江蘇南通·）已知為正項數(shù)列的前n項和，且，當(dāng)時，.
(1)證明為等差數(shù)列，并求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析，(2)
【分析】（1）將整理為，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得到為等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的通項公式得到，最后利用求即可；
（2）由（1）得到，，然后根據(jù)得到，最后利用裂項相消和分組求和求即可.
【詳解】（1）因為，所以，所以為等差數(shù)列.
因為，所以，所以，
所以當(dāng)時，
，
當(dāng)時，，所以.
（2）因為，所以.
因為，
所以.
所以
.
16.（2024上·山東臨沂·高三統(tǒng)考）已知為等差數(shù)列，，記分別為數(shù)列的前項和，.
(1)求的通項公式;
(2)求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于等差數(shù)列的首項和公差的方程組，列式求解；
（2）根據(jù)數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列與的關(guān)系，利用分組轉(zhuǎn)化的方法，即可求和.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，

，整理得，解得；
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，
；
當(dāng)為奇數(shù)時，，
，
當(dāng)時，上式也成立；
.
結(jié)束 對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解
等差數(shù)列有關(guān)公式：
通項公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d＝eq \f(n?a1＋an?,2).
等比數(shù)列有關(guān)公式：
通項公式：an＝a1qn－1；
(2)前n項和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
分組求和
1.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減
2.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減
3.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減
倒序求和
如果一個數(shù)列，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。比較常見于等差數(shù)列，以及具有中心對成的函數(shù)型數(shù)列求和
錯位相減法：形如an＝，用錯位相減法求解．
錯位相減法求數(shù)列的前n項和
（1）適用條件
若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和．
（2）基本步驟
（3）思維結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖示如下

（4）注意事項
①在寫出與的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出；
②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．
等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．
①
②
得：．
整理得：．
（5）萬能公式：
形如的數(shù)列求和為，
其中，，
（6）公式秒殺:
(錯位相減都可化簡為這種形式,對于求解參數(shù)與,可以采用將前1項和與前2項和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出結(jié)果或者作為檢驗對錯的依據(jù).)
正負相間求和：
1.奇偶項正負相間型求和，可以兩項結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。
2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的奇數(shù)項通項。
插入數(shù)型
1.插入數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列
在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，可通過構(gòu)造新數(shù)列來求解
個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，公差記為，所以：
插入數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列
在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，可通過構(gòu)造新數(shù)列來求解
個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，公差記為，所以：
插入數(shù)混合型
混合型插入數(shù)列，其突破口在于：在插入這些數(shù)中，數(shù)列提供了多少項，其余都是插入進來的。
分段數(shù)列求和：
1.分奇偶討論，各自新數(shù)列求和。注意奇數(shù)項與偶數(shù)項各自項數(shù)。
2.要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項：
（1）可構(gòu)建新數(shù)列；
（2）可“跳項”求和
常見的裂項相消法求和類型
(1)；（2） ； （3）；（4）；
分式型：，，等；
分離常數(shù)型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂項，可以考慮通過分離常數(shù)，把分子次冪降下來。
分式型分子裂差法
如果數(shù)列通項滿足“分子是分母差的線性關(guān)系”即
指數(shù)裂項法
指數(shù)與等差數(shù)列“同構(gòu)”
正負相間求和：
1.奇偶項正負相間型求和，可以兩項結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。
2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的奇數(shù)項通項。
正負型等差裂和型
正負型：等指數(shù)裂和型

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