TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8924" 題型01 “馬爾科夫鏈”模型 PAGEREF _Tc8924 \h 1
\l "_Tc21416" 題型02基礎分布：兩點分布 PAGEREF _Tc21416 \h 2
\l "_Tc11597" 題型03基礎分布：超幾何分布 PAGEREF _Tc11597 \h 4
\l "_Tc3761" 題型04基礎分布：二項分布 PAGEREF _Tc3761 \h 6
\l "_Tc18493" 題型05基礎分布：正態(tài)分布 PAGEREF _Tc18493 \h 7
\l "_Tc18527" 題型06基礎比賽型分布列 PAGEREF _Tc18527 \h 9
\l "_Tc12248" 題型07復雜條件比賽型分布列 PAGEREF _Tc12248 \h 10
\l "_Tc14145" 題型08三人、多人比賽型分布列 PAGEREF _Tc14145 \h 12
\l "_Tc18234" 題型09 傳球模式 PAGEREF _Tc18234 \h 13
\l "_Tc17827" 題型10 藥物檢驗方案比較 PAGEREF _Tc17827 \h 14
\l "_Tc7320" 題型11 證明或者求數(shù)列型分布列 PAGEREF _Tc7320 \h 15
\l "_Tc18842" 高考練場 PAGEREF _Tc18842 \h 17

題型01 “馬爾科夫鏈”模型
【解題攻略】
【典例1-1】乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
【典例1-2】（2023下·遼寧高三校聯(lián)考 ）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉換的隨機過程.該過程要求具備“無記憶”的性質：下一狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲乙兩個口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復進行次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為，則下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．數(shù)列是等比數(shù)列D．的數(shù)學期望
【變式1-1】（2024·全國·高三專題練習）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉換的隨機過程．該過程要求具備“無記憶”的性質：下一狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關．甲、乙兩口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復進行次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為．
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求證：的數(shù)學期望為定值．
【變式1-2】（2023上·貴州黔西·高三興義第一中學校聯(lián)考階段練習）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，因俄國數(shù)學家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關，與第，，，…次狀態(tài)無關，即.已知甲盒子中裝有2個黑球和1個白球，乙盒子中裝有2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復次這樣的操作.記甲盒子中黑球個數(shù)為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為.
(1)求，和，；
(2)證明：為等比數(shù)列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
.
題型02基礎分布：兩點分布
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·河北唐山高三開灤第一中學?？茧A段練習）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃命中率均為0.6，乙每次投籃命中率均為0.8，由抽簽確定第1次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
(1)求第2次投籃的人是乙的概率.
(2)求第次投籃的人是甲的概率.
(3)設隨機事件Y為甲投籃的次數(shù)，，1，2，……，n，求.
【典例1-2】（2023下·北京高三?？茧A段練習）地區(qū) 進行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評價工作，將本次成績轉化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的成績全部介于40至100之間，將數(shù)據(jù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)在這50名學生中用分層抽樣的方法從成績在的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取3人，記為3人中成績在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；
(3)轉化為百分制后，規(guī)定成績在的為A等級，成績在的為B等級，其它為C等級．以樣本估計總體，用頻率代替概率．從所有參加考試的同學中隨機抽取3人，求獲得等級的人數(shù)不少于2人的概率.
【變式1-1】（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）某高校“植物營養(yǎng)學專業(yè)”學生將雞冠花的株高增量作為研究對象，觀察長效肥和緩釋肥對農(nóng)作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對應1,2,3三組.觀察一段時間后，分別從1,2,3三組隨機抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.
假設用頻率估計概率，且所有雞冠花生長情況相互獨立.
(1)從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，估計株高增量為厘米的概率；
(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學期望；
(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫出方差，，的大小關系.（結論不要求證明）
【變式1-2】（2022高三課時練習）一個袋中有除顏色外其余完全相同的3個白球和4個紅球．
(1)從袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出紅球，則有求X的分布列；
(2)從袋中任意摸出兩個球，用“0”表示兩個球全是白球，用“”表示兩個球不全是白球，求Y的分布列．
題型03基礎分布：超幾何分布
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·陜西西安·一模）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）.
(1)設其中兩只小鼠中在對照組中小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學期望；
(2)測得40只小鼠體重如下（單位：）：（已按從小到大排好）
對照組：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
實驗組：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)，并完成下面列聯(lián)表：
（ii）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.
附：，其中.
【典例1-2】（23·24高三上·北京西城· ）生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地中學生和大學生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學生和80名大學生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結果如下：
假設大學生和中學生對跑步軟件的喜愛互不影響.
(1)從該地區(qū)的中學生和大學生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；
(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學生中隨機抽取人，再從這人中隨機抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；
(3)記樣本中的中學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關系.（結論不要求證明）
【變式1-1】（2023·四川雅安·一模）某工廠注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設計并試運行了甲、乙兩條生產(chǎn)線．現(xiàn)對這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進行評估，在這兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機抽取了300件進行測評，并將測評結果（“優(yōu)”或“良”）制成如下所示列聯(lián)表：
(1)通過計算判斷，是否有的把握認為產(chǎn)品質量與生產(chǎn)線有關系？
(2)現(xiàn)對產(chǎn)品進行進一步分析，在測評結果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取了6件產(chǎn)品．若在這6件產(chǎn)品中隨機抽取3件，求這3件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的件數(shù)的分布列和數(shù)學期望．
附表及公式：
其中．
【變式1-2】（2023·全國·模擬預測）課堂上，老師為了講解“利用組合數(shù)計算古典概型的問題”，準備了x（）個不同的盒子，上面標有數(shù)字1，2，3，…，每個盒子準備裝x張形狀相同的卡片，其中一部分卡片寫有“巨額獎勵”的字樣，另一部分卡片寫有“謝謝惠顧”的字樣．第1個盒子放有1張“巨額獎勵”，張“謝謝惠顧”，第2個盒子放有2張“巨額獎勵”，張“謝謝惠顧”，…，以此類推．游戲時，老師在所有盒子中隨機選取1個盒子后，再讓一個同學上臺每次從中隨機抽取1張卡片，抽取的卡片不再放回，連續(xù)抽取3次．
(1)若老師選擇了第3個盒子，，記摸到“謝謝惠顧”卡片的張數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學期望；
(2)若，求該同學第3次抽到“謝謝惠顧”的概率．
.
題型04基礎分布：二項分布
【解題攻略】
【典例1-1】（2024·遼寧·一模）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.
(1)求的值;
(2)以頻率估計概率，完成下列問題.
(i)若從所有花卉中隨機抽株，記高度在內的株數(shù)為，求 的分布列及數(shù)學期望；
(ii)若在所有花卉中隨機抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多 1株高度低于的概率.
【典例1-2】（2022高三上·河南·專題練習）為了調查某地區(qū)程序員的工資情況，研究人員隨機抽取了該地區(qū)20名程序員作調查，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如下所示（單位：元），其中，經(jīng)計算得，
(1)求被調查的這20名程序員的平均工資；
(2)在（1）的條件下，可以算得，求“，，，”的方差；
(3)以被調查的這20名程序員的工資情況估計該地區(qū)所有程序員的工資情況，若在該地區(qū)所有程序員中隨機抽取4人，記工資在8000元以上的人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學期望．
【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）“男男女女向前沖”是一項熱播的闖關類電視節(jié)目．該節(jié)目一共設置了四關，由以往的數(shù)據(jù)得，男生闖過一至四關的概率依次是，女生闖過一至四關的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小組前往參加闖關挑戰(zhàn)（個人賽）．
(1)求甲闖過四關的概率；
(2)設隨機變量為該四人小組闖過四關的人數(shù)，求．
【變式1-2】（2024·山東日照·一模）隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術的應用領域也將會更加廣泛，它將會成為改變人類社會發(fā)展的重要力量．某科技公司發(fā)明了一套人機交互軟件，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結果進行應答．在對該交互軟件進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則軟件正確應答的概率為；若出現(xiàn)語法錯誤，則軟件正確應答的概率為．假設每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為．
(1)求一個問題能被軟件正確應答的概率；
(2)在某次測試中，輸入了個問題，每個問題能否被軟件正確應答相互獨立，記軟件正確應答的個數(shù)為X，的概率記為，則n為何值時，的值最大？
題型05基礎分布：正態(tài)分布
【解題攻略】
【典例1-1】（2024·陜西西安·一模）某市為提升中學生的環(huán)境保護意識，舉辦了一次“環(huán)境保護知識競賽”，分預賽和復賽兩個環(huán)節(jié)，預賽成績排名前三百名的學生參加復賽．已知共有12000名學生參加了預賽，現(xiàn)從參加預賽的全體學生中隨機地抽取100人的預賽成績作為樣本，得到頻率分布直方圖如圖：

(1)規(guī)定預賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預賽成績不低于60分的學生中隨機地抽取2人，求至少有1人預賽成績優(yōu)良的概率，并求預賽成績優(yōu)良的人數(shù)X的分布列及數(shù)學期望；
(2)由頻率分布直方圖可認為該市全體參加預賽學生的預賽成績Z服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學生預賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），且，已知小明的預賽成績?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計小明是否有資格參加復賽？
附：若，則，，；．
【典例1-2】（23·24高三上·江西· ）面試是求職者進入職場的一個重要關口，也是機構招聘員工的重要環(huán)節(jié).某科技企業(yè)招聘員工，首先要進行筆試，筆試達標者進入面試，面試環(huán)節(jié)要求應聘者回答3個問題，第一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識，每道題答對得4分，答錯不得分.
(1)若一共有100人應聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布，規(guī)定為達標，求進入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少（結果四舍五入保留整數(shù)）；
(2)某進入面試的應聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題是否答對互不影響，求該應聘者的面試成績Y的數(shù)學期望.
附：若（），則，，.
【變式1-1】（2022·全國·模擬預測）某校隨機抽取了100名本校高一男生進行立定跳遠測試，根據(jù)測試成績得到如下的頻率分布直方圖.
(1)若該校高一男生的立定跳遠成績X（單位：厘米）服從正態(tài)分布，其中為上面樣本數(shù)據(jù)的平均值（每組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值代替）.在該校所有高一男生中任意選取4人，記立定跳遠成績在厘米以上（包含）的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；
(2)已知該校高二男生有800名，男生立定跳遠成績在250厘米以上得滿分.若認為高二男生立定跳遠成績也服從（1）中所求的正態(tài)分布，請估計該校高二男生立定跳遠得滿分的人數(shù)（結果保留整數(shù)）.
附：若，則，
，.
【變式1-2】（2024·全國·一模）正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機變量的概率分布．對于一個給定的連續(xù)型隨機變量，定義其累積分布函數(shù)為．已知某系統(tǒng)由一個電源和并聯(lián)的，，三個元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運行，電源及各元件之間工作相互獨立．
(1)已知電源電壓（單位：）服從正態(tài)分布，且的累積分布函數(shù)為，求；
(2)在數(shù)理統(tǒng)計中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔或等待時間．已知隨機變量（單位：天）表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為.
（ⅰ）設，證明：；
（ⅱ）若第天元件發(fā)生故障，求第天系統(tǒng)正常運行的概率．
附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．
題型06基礎比賽型分布列
【解題攻略】
【典例1-1】（23·24高二上·陜西漢中· ）某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學進行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負方記0分，先得3分者獲勝，比賽結束．
(1)求進行3局比賽決出冠亞軍的概率；
(2)若甲以領先乙時，記表示比賽結束時還需要進行的局數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．
【典例1-2】（2022·河南·模擬預測）羽毛球看似小巧，但羽毛球運動卻有著豐富的文化內涵，簡潔的場地?幾個人的組合，就可以帶來一場充滿樂趣?斗智斗勇?健身休閑的競技比賽，參與者可以根據(jù)自己的年齡?性別?身體條件?技術水平，選擇適合自己的運動強度和競技難度.小胡和小李兩名員工經(jīng)常利用業(yè)余時間進行羽毛球比賽，規(guī)定每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，誰先獲得5分就獲勝，比賽結束，假設每局比賽小胡獲勝的概率都是，各局比賽的結果相互獨立.
(1)求比賽結束時恰好打了6局的概率；
(2)若現(xiàn)在是小胡的比分落后，記表示結束比賽還需打的局數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.
【變式1-1】（21·22高三上·廣西玉林·階段練習）甲乙兩隊進行籃球比賽，約定賽制如下：誰先贏四場則最終獲勝，已知每場比賽甲贏的概率為，輸?shù)母怕蕿椋?br>(1)求甲最終獲勝的概率；
(2)記最終比賽場次為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．
【變式1-2】（20·21高二下·重慶北碚·階段練習）某校在高二下學期的5月份舉辦了全年級的排球比賽，共21支隊伍，其中包括20支學生隊伍，以及一支教師隊伍，其比賽規(guī)則為：20支學生隊伍，進行兩輪淘汰賽，選出5支學生隊伍直接進入八強，再從被淘汰的15支學生隊伍中，用隨機抽樣的抽簽方法選出2支學生隊伍，這7學生支隊伍與教師隊伍一起參加后面的八強淘汰賽，經(jīng)過三輪淘汰賽產(chǎn)生最后的冠軍.若學生隊伍間的比賽雙方獲勝的概率均為，教師隊伍與學生隊伍之間的比賽，教師隊伍獲勝的概率為.
（1）求A班在前兩輪淘汰賽直接晉級（不通過抽簽）八強的概率；
（2）設教師隊伍參加比賽的輪次為X，求X的分布列和期望.
.
題型07復雜條件比賽型分布列
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·廣東·二模）甲、乙兩名圍棋學員進行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為α，乙獲勝的概率為β，兩人平局的概率為，且每局比賽結果相互獨立．
(1)若，，，求進行4局比賽后甲學員贏得比賽的概率；
(2)當時，
（i）若比賽最多進行5局，求比賽結束時比賽局數(shù)X的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比賽不限制局數(shù)，寫出“甲學員贏得比賽”的概率（用α，β表示），無需寫出過程．
【典例1-2】（2023·全國·三模）國學小組有編號為1，2，3，…，的位同學，現(xiàn)在有兩個選擇題，每人答對第一題的概率為、答對第二題的概率為，每個同學的答題過程都是相互獨立的，比賽規(guī)則如下：①按編號由小到大的順序依次進行，第1號同學開始第1輪出賽，先答第一題；②若第號同學未答對第一題，則第輪比賽失敗，由第號同學繼繼續(xù)比賽；③若第號同學答對第一題，則再答第二題，若該生答對第二題，則比賽在第輪結束；若該生未答對第二題，則第輪比賽失敗，由第號同學繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學不答第一題；④若比賽進行到了第輪，則不管第號同學答題情況，比賽結束．
(1)令隨機變量表示名同學在第輪比賽結束，當時，求隨機變量的分布列；
(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第號同學未答對第二題，則第輪比賽失敗，第號同學重新從第一題開始作答．令隨機變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪比賽結束．
①求隨機變量的分布列；
②證明：單調遞增，且小于3．
【變式1-1】（22·23高三上·廣東廣州· ）甲、乙兩隊同學利用課余時間進行籃球比賽，規(guī)定每一局比賽中獲勝方記為2分，失敗方記為0分，沒有平局.誰先獲得8分就獲勝，比賽結束.假設每局比賽甲隊獲勝的概率為.
(1)求比賽結束時恰好打了6局的概率；
(2)若現(xiàn)在是甲隊以的比分領先，記表示結束比賽所需打的局數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.
【變式1-2】（20·21高三下·重慶北碚·階段練習）甲、乙兩人進行對抗比賽，每場比賽均能分出勝負．已知本次比賽的主辦方提供8000元獎金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎金同時比賽終止；②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽繼續(xù)進行各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．已知每場比賽甲贏的概率為p（0＜p＜1），乙贏的概率為1-p，且每場比賽相互獨立．
（1）當時，假設比賽不會意外終止，記比賽場次為隨機變量Y，求Y的分布列；
（2）當時，若已進行了5場比賽，其中甲贏了3場，乙贏了2場，此時比賽因意外終止，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎金，求甲獲得的獎金金額；
（3）規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機事件為小概率事件，我們可以認為該事件不可能發(fā)生，否則認為該事件有可能發(fā)生．若本次比賽，且在已進行的3場比賽中甲贏2場、乙贏1場，請判斷：比賽繼續(xù)進行乙贏得全部獎金是否有可能發(fā)生，并說明理由．
【變式1-3】（2022·山東濟南·一模）第56屆世界乒乓球錦標賽將于2022年在中國成都舉辦，國球運動又一次掀起熱潮.現(xiàn)有甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得1分.
(1)已知某局比賽中雙方比分為8：8，此時甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時乙得分的概率為，各球的結果相互獨立，求該局比賽甲以11：9獲勝的概率；
(2)已知在本場比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結果相互獨立.兩人又進行了X局后比賽結束，求X的分布列與數(shù)學期望.
題型08三人、多人比賽型分布列
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·模擬預測）某單位開展職工文體活動，其中跳棋項目比賽分為初賽和決賽，經(jīng)過初賽后，甲、乙、丙三人進入決賽．決賽采用以下規(guī)則：①抽簽確定先比賽的兩人，另一人輪空，后面每局比賽由前一局勝者與輪空者進行，前一局負者輪空；②甲、乙進行比賽，甲每局獲勝的概率為，甲、丙進行比賽，甲每局獲勝的概率為，乙、丙進行比賽，乙每局獲勝的概率為；③先取得兩局勝者為比賽的冠軍，比賽結束．假定每局比賽無平局且每局比賽互相獨立．通過抽簽，第一局由甲、乙進行比賽．
(1)求甲獲得冠軍的概率．
(2)記比賽結束時乙參加比賽的局數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．
【典例1-2】（22·23高二下·江蘇連云港· ）甲、乙、丙三人進行乒乓球單打比賽，約定：隨機選擇兩人打第一局，獲勝者與第三人進行下一局的比賽，先獲勝兩局者為優(yōu)勝者，比賽結束．已知每局比賽均無平局，且甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，乙贏丙的概率為．
(1)若甲、乙兩人打第一局，求比賽局數(shù)的概率分布列；
(2)求甲成為優(yōu)勝者的概率；
(3)為保護甲的比賽熱情，由甲確定第一局的比賽雙方，請你以甲成為優(yōu)勝者的概率大為依據(jù)，幫助甲進行決策．
【變式1-1】（23·24高三下·浙江·開學考試）甲?乙?丙三位同學進行乒乓球比賽，約定賽制如下：每場比賽勝者積2分，負者積0分；比賽前根據(jù)相關規(guī)則決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空；積分首先累計到4分者獲得比賽勝利，比賽結束.已知甲與乙比賽時，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時，乙獲勝的概率為.
(1)若，求比賽結束時，三人總積分的分布列與期望；
(2)若，假設乙獲得了指定首次比賽選手的權利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優(yōu)指定策略.
【變式1-2】（21·22高二下·陜西咸陽·階段練習）為了豐富業(yè)余生活，甲、乙、丙三人進行羽毛球比賽．比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩人參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的人與未參加此場比賽的人進行下一場的比賽；③依次循環(huán)，直到有一個人首先獲得兩場勝利，則本次比賽結束，此人為本次比賽的冠軍．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為．假設甲和乙進行第一場比賽．
(1)若甲、乙、丙三人共進行了3場比賽，求丙獲得冠軍的概率；
(2)若甲、乙、丙三人共進行了4場比賽，求甲獲得冠軍的概率
【變式1-3】（2023·河北滄州·三模）甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.
(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；
(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.
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題型09 傳球模式
【典例1-1】（23·24高三上·山東威?！?）甲、乙、丙人做傳球練習，球首先由甲傳出，每個人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設表示經(jīng)過次傳遞后球傳到乙手中的概率.
(1)求，；
(2)證明：是等比數(shù)列，并求；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數(shù)為，求．
【典例1-2】（2023·河北·模擬預測）某排球教練帶領甲、乙兩名排球主力運動員訓練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運動員，然后該運動員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運動員，則這次有的概率再傳給該運動員，有的概率傳給另一位運動員.已知教練第一次傳給了甲運動員，且教練第次傳球傳給甲運動員的概率為.
(1)求，；
(2)求的表達式；
(3)設，證明：.
【變式1-1】（2023·云南昆明·模擬預測）從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓練.訓練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；
(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個人相互做傳球訓練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為.
①直接寫出，，的值；
②求與的關系式，并求出.
【變式1-2】（23·24高三上·山東青島·開學考試）某籃球賽事采取四人制形式.在一次戰(zhàn)術訓練中，甲、乙、丙、丁四名隊員進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三人中的任何一人.次傳球后，記事件“乙、丙、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為.
(1)求；
(2)當時，記乙、丙、丁三人中接過傳出來的球的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望；
(3)當時，證明：.
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題型10 藥物檢驗方案比較
【典例1-1】（21·22高二下·浙江紹興· ）某市為篩查新冠病毒，需要檢驗核酸樣本是否為陽性，現(xiàn)有且份核酸樣本，可采用以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗：對k份樣本逐份檢驗，需要檢驗k次；②混合檢驗：將k份樣本混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則k份樣本全為陰性，因而這k份樣本只需檢驗1次；若檢驗結果為陽性，為了確定其中的陽性樣本，就需重新采集核酸樣本后再對這k份新樣本進行逐份檢驗，此時檢驗總次數(shù)為k+1次.假設在接受檢驗的核酸樣本中，每份樣本的檢驗結果是相互獨立的，且每份樣本結果為陽性的概率是.
(1)若對k份樣本采用逐份檢驗的方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗就檢驗出2份陽性的概率（結果用p表示）；
(2)若k=20，設采用逐份檢驗的方式所需的檢驗次數(shù)為X，采用混合檢驗的方式所需的檢驗次數(shù)為Y，試比較與的大小.
【典例1-2】（22·23高三上·河北·階段練習）新型冠狀病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID-19），簡稱“新冠肺炎”，是指2019新型冠狀病毒感染導致的肺炎.2019年12月以來，部分醫(yī)院陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了多例不明原因肺炎病例，證實為2019新型冠狀病毒感染引起的急性呼吸道傳染病，為防止該病癥的擴散與傳染，某檢測機構在某地區(qū)進行新冠病毒疾病調查，需要對其居民血液進行抽樣化驗，若結果呈陽性，則患有該疾病；若結果為陰性，則未患有該疾病.現(xiàn)有個人，每人一份血液待檢驗，有如下兩種方案：方案一：逐份檢驗，需要檢驗n次；方案二：混合檢驗，將n份血液分別取樣，混合在一起檢驗，若檢驗結果呈陰性，則n個人都未患有該疾病；若檢驗結果呈陽性，再對n份血液逐份檢驗，此時共需要檢驗次.
(1)若，且其中兩人患有該疾病，
①采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定患病兩人的概率；
②將這10人平均分成兩組，則這兩患者分在同一組的概率；
(2)已知每個人患該疾病的概率為.
（i）采用方案二，記檢驗次數(shù)為X，求檢驗次數(shù)X的期望；
（ii）若，判斷方案一與方案二哪種方案檢查的次數(shù)更少？并說明理由.
【變式1-1】（21·22高二下·山西太原·階段練習）為加強進口冷鏈食品監(jiān)管，某省于2020年底在全省建立進口冷鏈食品集中監(jiān)管專倉制度，在口岸、目的地市或縣（區(qū)、市）等進口冷鏈食品第一入境點，設立進口冷鏈食品集中監(jiān)管專倉，集中開展核酸檢測和預防性全面消毒工作，為了進一步確定某批進口冷凍食品是否感染病毒，在入關檢疫時需要對其采樣進行化驗，若結果呈陽性，則有該病毒；若結果呈陰性，則沒有該病毒，對于份樣本，有以下兩種檢驗方式：一是逐份檢驗，則需檢驗n次：二是混合檢驗，將k份樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結果為陰性，那么這k份全為陰性，因而檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份究竟哪些為陽性，就需要對它們再次取樣逐份檢驗，則k份檢驗的次數(shù)共為次若每份樣本沒有該病毒的概率為，而且樣本之間是否有該病毒是相互獨立的．
(1)若，求2份樣本混合的結果為陽性的概率．
(2)若，取得4份樣本，考慮以下兩種檢驗方案：
方案一：采用混合檢驗：
方案二：平均分成兩組，每組2份樣本采用混合檢驗．
若檢驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”，試問方案一、二哪個更“優(yōu)”？請說明理由．
【變式1-2】（2022·山東菏澤·一模）新冠疫情在西方國家大流行，國際衛(wèi)生組織對某國家進行新型冠狀病毒感染率抽樣調查．在某地抽取n人，每人一份血樣，共份，為快速有效地檢驗出感染過新型冠狀病毒者，下面給出兩種方案：
方案甲：逐份檢驗，需要檢驗n次；
方案乙：混合檢驗，把受檢驗者的血樣分組，假設某組有份，分別從k份血樣中取出一部分血液混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則說明這k個人全部為陰性，因而這k個人的血樣只要檢驗這一次就夠了；若檢驗結果為陽性，為了明確這k個人中究竟哪些人感染過新型冠狀病毒，就要對這k個人的血樣再逐份檢驗，因此這k個人的總檢驗次數(shù)就為．
假設在接受檢驗的人中，每個人血樣檢驗結果是陽性還是陰性是相互獨立的，且每個人血樣的檢驗結果是陽性的概率為．
(1)若，，用甲方案進行檢驗，求5人中恰有2人感染過新型冠狀病毒的概率；
(2)記為用方案乙對k個人的血樣總共需要檢驗的次數(shù)．
①當，時，求；
②從統(tǒng)計學的角度分析，p在什么范圍內取值，用方案乙能減少總檢驗次數(shù)？（參考數(shù)據(jù)：）
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題型11 證明或者求數(shù)列型分布列
【典例1-1】（19·20高二·全國·單元測試）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴重急性呼吸綜合征（）等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.
（1）若，試求p關于k的函數(shù)關系式；
（2）若p與干擾素計量相關，其中（）是不同的正實數(shù)，滿足且（）都有成立.
（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；
（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值
【典例1-2】（2020·湖北襄陽·模擬預測）在孟德爾遺傳理論中，稱遺傳性狀依賴的特定攜帶者為遺傳因子，遺傳因子總是成對出現(xiàn)，例如，豌豆攜帶這樣一對遺傳因子：使之開紅花，使之開白花，兩個因子的相互組合可以構成三種不同的遺傳性狀：為開紅花，和一樣不加區(qū)分為開粉色花，為開白色花，生物在繁衍后代的過程中，后代的每一對遺傳因子都包含一個父本的遺傳因子和一個母本的遺傳因子，而因為生殖細胞是由分裂過程產(chǎn)生的，每一個上一代的遺傳因子以的概率傳給下一代，而且各代的遺傳過程都是相互獨立的，可以把第代的遺傳設想為第次試驗的結果，每一次試驗就如同拋一枚均勻的硬幣，比如對具有性狀的父本來說，如果拋出正面就選擇因子，如果拋出反面就選擇因子，概率都是，對母本也一樣，父本、母本各自隨機選擇得到的遺傳因子再配對形成子代的遺傳性狀，假設三種遺傳性狀，（或），在父本和母本中以同樣的比例出現(xiàn)，則在隨機雜交試驗中，遺傳因子被選中的概率是，遺傳因子被選中的概率是，稱、分別為父本和母本中遺傳因子和的頻率，實際上是父本和母本中兩個遺傳因子的個數(shù)之比，基于以上常識回答以下問題：
（1）如果植物的上代父本、母本的遺傳性狀都是，后代遺傳性狀為，（或），的概率分別是多少？
（2）對某一植物，經(jīng)過實驗觀察發(fā)現(xiàn)遺傳性狀具有重大缺陷，可人工剔除，從而使得父本和母本中僅有遺傳性狀為，（或）的個體，在進行第一代雜交實驗時，假設遺傳因子被選中的概率為，被選中的概率為，其中、為定值且，求雜交所得子代的三種遺傳性狀，（或），所占的比例，，；
（3）繼續(xù)對（2）中的植物進行雜交實驗，每次雜交前都需要剔除的個體.假設得到的第代總體中3種遺傳性狀，（或），所占的比例分別為：，，，設第代遺傳因子和的頻率分別為和，已知有以下公式，，
（?。┳C明是等差數(shù)列；
（ⅱ）求，，的通項公式，如果這種剔除某種遺傳性狀的隨機雜交實驗長期進行下去，會有什么現(xiàn)象發(fā)生？
【變式1-1】（2020·江西宜春·模擬預測）超級細菌是一種耐藥性細菌，產(chǎn)生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒，痙攣，昏迷甚至死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份血液再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.
（1）運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求P關于k的函數(shù)關系式；
（2）若P與抗生素計量相關，其中，，…，（）是不同的正實數(shù)，滿足，對任意的（），都有.
（i）證明：為等比數(shù)列；
（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
，，，
【變式1-2】（19·20高三上·河南·階段練習）超級細菌是一種耐藥性細菌，產(chǎn)生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒，痙攣，昏迷，甚至死亡.
某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗次；（2）混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為
現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為
（1）運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求關于的函數(shù)關系式；
（2）若與抗生素計量相關，其中是不同的正實數(shù)，滿足，對任意的，都有
（i）證明：為等比數(shù)列；
（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
高考練場
1.（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用．其數(shù)學定義為：假設我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．
現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．
假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．
當賭徒手中有n元（，）時，最終輸光的概率為，請回答下列問題：
(1)請直接寫出與的數(shù)值．
(2)證明是一個等差數(shù)列，并寫出公差d．
(3)當時，分別計算，時，的數(shù)值，并結合實際，解釋當時，的統(tǒng)計含義．
2.（2019下·遼寧葫蘆島高三統(tǒng)考 ）隨著網(wǎng)絡和智能手機的普及與快速發(fā)展，許多可以解答各學科問題的搜題軟件走紅.有教育工作者認為：網(wǎng)搜答案可以起到拓展思路的作用，但是對多數(shù)學生來講，容易產(chǎn)生依賴心理，對學習能力造成損害.為了了解網(wǎng)絡搜題在學生中的使用情況，某校對學生在一周時間內進行網(wǎng)絡搜題的頻數(shù)進行了問卷調查，并從參與調查的學生中抽取了男、女學生各50人進行抽樣分析，得到如下樣本頻數(shù)分布表：
將學生在一周時間內進行網(wǎng)絡搜題頻數(shù)超過20次的行為視為“經(jīng)常使用網(wǎng)絡搜題”，不超過20次的視為“偶爾或不用網(wǎng)絡搜題”.
（1）根據(jù)已有數(shù)據(jù)，完成下列列聯(lián)表（單位：人）中數(shù)據(jù)的填寫，并判斷是否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下有把握認為使用網(wǎng)絡搜題與性別有關？
（2）將上述調查所得到的頻率視為概率，從該校所有參與調查的學生中，采用隨機抽樣的方法每次抽取一個人，抽取4人，記經(jīng)常使用網(wǎng)絡搜題的人數(shù)為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
3.（2023·四川成都·二模）某貧困縣在政府“精準扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展茶葉種植.該縣農(nóng)科所為了對比兩種不同品種茶葉的產(chǎn)量，在試驗田上分別種植了兩種茶葉各20畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)（單位：千克）都在內，根據(jù)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)得到頻率分布直方圖如下：
(1)從種茶葉畝產(chǎn)的20個數(shù)據(jù)中任取兩個，記這兩個數(shù)據(jù)中不低于56千克的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；
(2)在頻率分布直方圖中，若平均數(shù)大于中位數(shù)，則稱為“右拖尾分布”，若平均數(shù)小于中位數(shù)，則稱為“左拖尾分布”，試通過計算判斷種茶葉的畝產(chǎn)量屬于上述哪種類型.
4.（2024·福建龍巖·一模）2023年秋季，支原體肺炎在我國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人.某市醫(yī)院傳染病科從該市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽查了200人，并調查其患病情況，將調查結果整理如下：
(1)試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有關？
(2)用樣本估計總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽取3人，設抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.
附：.
5.（2023·全國·模擬預測）某公司為了解市場對其開發(fā)的新產(chǎn)品的需求情況，共調查了250名顧客，采取100分制對產(chǎn)品功能滿意程度、產(chǎn)品外觀滿意程度分別進行評分，其中對產(chǎn)品功能滿意程度的評分服從正態(tài)分布，對產(chǎn)品外觀滿意程度評分的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定評分90分以上（不含90分）視為非常滿意.
(1)本次調查對產(chǎn)品功能非常滿意和對產(chǎn)品外觀非常滿意的各有多少人？（結果四舍五入取整數(shù)）
(2)若這250人中對兩項都非常滿意的有2人，現(xiàn)從對產(chǎn)品功能非常滿意和對產(chǎn)品外觀非常滿意的人中隨機抽取3人，設3人中兩項都非常滿意的有X人，求X的分布列和數(shù)學期望.
（附：若，則，）
6.（2021·山東濱州·二模）為落實中央“堅持五育并舉，全面發(fā)展素質教育，強化體育鍛煉”的精神，某高中學校鼓勵學生自發(fā)組織各項體育比賽活動，甲?乙兩名同學利用課余時間進行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，首先獲得5分者獲勝，比賽結束.假設每局比賽甲獲勝的概率都是.
（1）求比賽結束時恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分領先時，記X表示到結束比賽時還需要比賽的局數(shù)，求X的分布列及期望.
7.（2022·江蘇·二模）某地舉行象棋比賽，淘汰賽階段的比賽規(guī)則是：兩人一組，先勝一局者進入復賽，敗者淘汰.比賽雙方首先進行一局慢棋比賽，若和棋，則加賽快棋；若連續(xù)兩局快棋都是和棋，則再加賽一局超快棋，超快棋只有勝與負兩種結果.在甲與乙的比賽中，甲慢棋比賽勝與和的概率分別為，，快棋比賽勝與和的概率均為，超快棋比賽勝的概率為，且各局比賽相互獨立.
(1)求甲恰好經(jīng)過三局進入復賽的概率；
(2)記淘汰賽階段甲與乙比賽的局數(shù)為X，求X的概率分布列和數(shù)學期望.
8.（21·22高三上·安徽安慶· ）1971年“乒乓外交”翻開了中美關系的新篇章，2021年休斯敦世乒賽中美兩國選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊含的友誼?尊重?合作的精神，使“乒乓外交”的內涵和外延得到了進一步的豐富和創(chuàng)新，幾十年來，乒乓球運動也成為國內民眾喜愛的運動之一，今有小王?小張?小馬三人進行乒乓球比賽，規(guī)則為：先由兩人上場比賽，另一人做裁判，敗者下場做裁判，另兩人上場比賽，依次規(guī)則循環(huán)進行比賽.由抽簽決定小王?小張先上場比賽，小馬做裁判.根據(jù)以往經(jīng)驗比賽：小王與小張比賽小王獲勝的概率為，小馬與小張比賽小張獲勝的概率為，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為.
(1)比賽完3局時，求三人各勝1局的概率；
(2)比賽完4局時，設小馬做裁判的次數(shù)為X，求X的分布列和期望.
9.（22·23高二下·江蘇常州· ）從甲?乙?丙等5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓練.訓練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量，求的分布列；
(2)若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，
①直接寫出的值；
②求與的關系式，并求.
10.（21·22高二上·山東德州· ）在實驗室中，研究某種動物是否患有某種傳染疾病，需要對其血液進行檢驗．現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：一是逐份檢驗，則需要檢驗n次；二是混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，如果檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份究竟哪些為陽性，就需要對它們再次取樣逐份檢驗，那么這k份血液的檢驗次數(shù)共為次．假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的．且每份樣本是陽性結果的概率為．
(1)假設有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢測出來的概率；
(2)假設有4份血液樣本，現(xiàn)有以下兩種方案：
方案一：4個樣本混合在一起檢驗；
方案二：4個樣本平均分為兩組，分別混合在一起檢驗．
若檢驗次數(shù)的期望值越小，則方案越優(yōu)．
現(xiàn)將該4份血液樣本進行檢驗，試比較以上兩個方案中哪個更優(yōu)？
11.（2019·全國·高考真題）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．
(i)證明：為等比數(shù)列；
(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．
馬爾可夫鏈：若，即未來狀態(tài)只受當前狀態(tài)
馬爾科夫不等式
設為一個非負隨機變量，其數(shù)學期望為，則對任意，均有，
馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數(shù)學期望間的關系．
證明：當為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：
設的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標所對應的求和．的影響，與之前的無關.
兩點分布，又稱0,1分布：
0
1
1-
= ，= .
株高增量（單位：厘米）
第1組雞冠花株數(shù)
9
20
9
2
第2組雞冠花株數(shù)
4
16
16
4
第3組雞冠花株數(shù)
13
12
13
2
超幾何分布：
若在一次實驗中事件發(fā)生的概率為 ，則在次獨立重復實驗中，在第次首次發(fā)生的概率為 ，， 。
（4）超幾何分布：總數(shù)為的兩類物品，其中一類為件，從中取件恰含中的件， ，其中為與的較小者，，稱 服從參數(shù)為的超幾何分布，記作 ，此時有公式
合計
對照組
實驗組
合計
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
跑步軟件一
跑步軟件二
跑步軟件三
跑步軟件四
中學生
80
60
40
20
大學生
30
20
20
10
良
優(yōu)
合計
甲生產(chǎn)線
40
80
120
乙生產(chǎn)線
80
100
180
合計
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
二項分布
若在一次實驗中事件發(fā)生的概率為，則在次獨立重復實驗中恰好發(fā)生次概率 ，稱服從參數(shù)為的二項分布，記作 ，=，.
正態(tài)分布
（1）若是正態(tài)隨機變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達式為 ， （其中是參數(shù)，且，）。
其圖像如圖13-7所示，有以下性質：
= 1 \* GB3 ①曲線在軸上方，并且關于直線對稱；
= 2 \* GB3 ②曲線在處處于最高點，并且此處向左右兩邊延伸時，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；
= 3 \* GB3 ③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”；
= 4 \* GB3 ④圖像與軸之間的面積為1.
（2）= ，= ，記作 .
當時， 服從標準正態(tài)分布，記作 .
（3） ，則在， ，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態(tài)分布的原則。
比賽模式，要考慮：
比賽幾局？
“誰贏了”；
有沒有平局
贏了的必贏最后一局；
比賽為啥結束？
有沒有“抽簽
復雜條件比賽模式， 以及多線程，多圖分類，多重條件分流型，采用分類討論。注意討論時要按照統(tǒng)一的
標準，不多討論，也不遺漏討論
多人比賽或者傳球模型，一般情況下涉及到獨立事件與互斥事件的識別，及概率運算，離散型隨機變量的分布列和期望，如果符合常見的二項分布，超幾何分布等等分布，直接用概率公式進行運算。如果限制條件較多，可以進行羅列方式進行分類討論計算
一周時間內進行網(wǎng)絡搜題的頻數(shù)區(qū)間
男生頻數(shù)
女生頻數(shù)
[0,10]
18
4
(10,20]
10
8
(20,30]
12
13
(30,40]
6
15
(40,50]
4
10
經(jīng)常使用網(wǎng)絡搜題
偶爾或不用網(wǎng)絡搜題
合計
男生
女生
合計
P(x2≥m)
0.050
0.010
0.001
m
3.841
6.635
10.828
有慢性疾病
沒有慢性疾病
未感染支原體肺炎
60
80
感染支原體肺炎
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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