專題7-1 直線與圓綜合應(yīng)用歸類（14題型+解題攻略）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（新高考通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc15774" 題型01 含參直線過定點(diǎn) PAGEREF _Tc15774 \h 1
\l "_Tc16253" 題型02 含參雙直線型 PAGEREF _Tc16253 \h 4
\l "_Tc3565" 題型03 圓切線型含參動(dòng)直線 PAGEREF _Tc3565 \h 6
\l "_Tc14120" 題型04圓綜合：弦長最值 PAGEREF _Tc14120 \h 9
\l "_Tc3014" 題型05圓綜合：切線最值 PAGEREF _Tc3014 \h 11
\l "_Tc13101" 題型06圓綜合：三角形面積最值 PAGEREF _Tc13101 \h 13
\l "_Tc19109" 題型07圓綜合：四邊形最值 PAGEREF _Tc19109 \h 16
\l "_Tc8930" 題型08 圓綜合：切線轉(zhuǎn)化 PAGEREF _Tc8930 \h 20
\l "_Tc10026" 題型09 圓綜合：將軍飲馬型最值 PAGEREF _Tc10026 \h 22
\l "_Tc30852" 題型10圓綜合：切點(diǎn)弦 PAGEREF _Tc30852 \h 25
\l "_Tc6738" 題型11圓綜合：切點(diǎn)弦過定點(diǎn) PAGEREF _Tc6738 \h 28
\l "_Tc8709" 題型12圓綜合：切點(diǎn)弦最值 PAGEREF _Tc8709 \h 31
\l "_Tc30599" 題型13直線與圓綜合：兩圓公切線 PAGEREF _Tc30599 \h 33
\l "_Tc21854" 題型14 直線與圓綜合：超難壓軸小題選 PAGEREF _Tc21854 \h 35
\l "_Tc29743" 高考練場 PAGEREF _Tc29743 \h 37

題型01 含參直線過定點(diǎn)
【解題攻略】
【典例1-1】（2023上·重慶開州·高三重慶市開州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，若，則（）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】都為平面內(nèi)的點(diǎn)集，即兩點(diǎn)集對應(yīng)的幾何圖形無公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合解決問題.
【詳解】集合
表示平面內(nèi)一條直線，但不包含點(diǎn)；
由，得，
不論取何值，直線恒過，
對于的每一個(gè)取值，集合
都表示平面內(nèi)過定點(diǎn)的一條直線.
當(dāng)時(shí)，集合表示的直線的方程為，
此時(shí)直線與直線重合，有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，即，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，直線與直線不重合，相交于點(diǎn)，
又，即，滿足題意.
故選：D.
【典例1-2】（2020下·高三課時(shí)練習(xí)）若，且，則直線必不過（）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】對分成，，，去分母觀察，
化簡可求得，再判斷直線不過第幾象限.
【詳解】由，則，，，相加得，
又，得，即直線為，即，
顯然直線不過第四象限.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生的觀察、分析能力，由比較整齊的式子，求得，再利用直線的性質(zhì)，判斷不過第幾象限.
【變式1-1】（2024上·天津·高三天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考）直線：與圓：交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線：與兩坐標(biāo)軸分別交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為（）
A．B．9C．10D．
【答案】D
【分析】，過定點(diǎn)，，，由垂徑定理易知，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，計(jì)算出點(diǎn)到的最大距離為，據(jù)此即可求出面積的最大值.
【詳解】因?yàn)閳A：，所以，
因?yàn)椋?，即，所以過定點(diǎn)，
直線：，令，則；令，則，
則，，，作出圖象如圖所示：
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，
所以點(diǎn)到的最大距離為，
所以面積的最大值為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得到點(diǎn)的軌跡，再求出該圓上的點(diǎn)到定直線距離的最大值，從而得到面積最大值.
【變式1-2】．（2024上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考）在平面直角坐標(biāo)系中，直線：被圓：截得的最短弦的長度為（）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】先求出直線過定點(diǎn)，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)直線時(shí)，弦長最短，求解即可.
【詳解】直線：過定點(diǎn)，
圓：，圓心，半徑
因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)直線時(shí)，
弦長最短為，
故選：C

【變式1-3】（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考）設(shè)點(diǎn)，直線：，當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時(shí)，直線的斜率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】整理直線的方程，可得直線恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大時(shí)，即可求解.
【詳解】∵直線：，
∴可將直線方程變形為，
由，解得，
由此可得直線恒過點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大時(shí)，
，則由，得.
故選：A.
題型02 含參雙直線型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023上·浙江紹興·高三紹興一中?？迹┮阎?，，三點(diǎn)，直線l1：與直線l2：相交于點(diǎn)P，則的最大值（）
A．72B．80C．88D．100
【答案】C
【分析】分析兩直線特征，恒過定點(diǎn)，聯(lián)立兩直線方程，消去，得到交點(diǎn)的軌跡方程，然后借助于的坐標(biāo)范圍，求出的最大值.
【詳解】直線l1：變形為直線恒過定點(diǎn)，
直線l2：直線恒過定點(diǎn)，
直線l1：與直線l2：相交于點(diǎn)P，
聯(lián)立，消去，得
所以是以為圓心，半徑為2的圓上一點(diǎn)，設(shè)且，
，
所以的最大值為88，
故選：C.
【典例1-2】（2024上·全國·高三）過定點(diǎn)的直線與過定點(diǎn)的直線交于點(diǎn)（與不重合），則面積的最大值為（）
A．4B．C．2D．
【答案】B
【分析】根據(jù)方程可得定點(diǎn)A、B，并且可判斷兩直線垂直，然后利用基本不等式可得.
【詳解】動(dòng)直線化為，可知定點(diǎn)，
動(dòng)直線化為，令，
解得，可知定點(diǎn)，
又，
所以直線與直線垂直，為交點(diǎn)，
.
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
即面積的最大值為.
故選：B.
【變式1-1】（2023上·全國·高三）已知，，直線：與直線：相交于點(diǎn)，則的面積最大值為（）
A．10B．14C．18D．20
【答案】B
【分析】根據(jù)直線和的方程得到點(diǎn)為以為直徑的圓上的點(diǎn)，然后根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的面積最大，然后求最大值即可.
【詳解】
直線的方程可整理為，令，解得，
所以直線恒過定點(diǎn)，
直線的方程可整理為，令，解得，
所以直線恒過定點(diǎn)，
因?yàn)?，所以?br>所以點(diǎn)為以為直徑的圓上的點(diǎn)，
，中點(diǎn)為，
則點(diǎn)的軌跡方程為，
，
所以當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的面積最大，
，直線的方程，即，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，圓心直線的距離為，半徑為，
則，
所以的面積最大值為.
故選：B.
【變式1-2】（2024上·全國·高三）設(shè)，若過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是（）
A．B．2C．3D．5
【答案】A
【分析】先確定兩直線所過的定點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可判斷它們垂直，結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】依題意，直線過定點(diǎn)，直線可整理為，故直線過定點(diǎn)，
又因?yàn)橹本€和直線始終垂直，為兩直線交點(diǎn)，
所以，
則，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是.
故選：A.
【變式1-3】AB中點(diǎn)為Q，則的值為（）
A．B．C．D．與m的取值有關(guān)
【答案】A
【分析】求解直線經(jīng)過的定點(diǎn)，根據(jù)兩直線垂直，即可根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解.
【詳解】由于經(jīng)過的定點(diǎn)為，所以，
直線變形為，所以經(jīng)過定點(diǎn)，故，
且兩直線垂直，因此為直角三角形，所以，
故選：A

題型03 圓切線型含參動(dòng)直線
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·湖南懷化·高三校考）在直角坐標(biāo)系中，全集，集合，已知集合A的補(bǔ)集所對應(yīng)區(qū)域的對稱中心為M，點(diǎn)P是線段（，）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為（）
A．24B．C．14D．
【答案】B
【分析】根據(jù)集合可判斷出集合表示圓,再畫圖,根據(jù)做對稱點(diǎn)的方法轉(zhuǎn)換的周長,再求最小值即可.
【詳解】∵點(diǎn)到直線的距離,
∴直線始終與圓相切,
∴集合A表示除圓以外所有的點(diǎn)組成的集合,
∴集合表示圓,其對稱中心如圖所示：設(shè)是點(diǎn)關(guān)于直線線段（）的對稱點(diǎn),設(shè),則由求得,可得.設(shè)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為,易得,則直線,和線段的交點(diǎn)為P,則此時(shí),的周長為,為最小值.
【典例1-2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線系，對于下列四個(gè)結(jié)論：
（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，或；
（2）當(dāng)時(shí)，直線傾斜角為；
（3）中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；
（4）存在定點(diǎn)不在中任意一條直線上．
其中正確的是（）
A．①②B．③④C．②③D．②④
【答案】D
【分析】由直線斜率不存在可判斷（1），由直線斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷（2），化簡消參可知直線系表示圓的切線的集合，故不經(jīng)過某一定點(diǎn)，由點(diǎn)不在直線上可知（4）正確.
【詳解】，
（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則，解得或或，故（1）錯(cuò)誤；
（2）當(dāng)時(shí)，直線方程為：，
斜率，即，傾斜角，故（2）正確；
（3）由直線系
可令，消去可得，
故直線系表示圓的切線的集合，故（3）不正確．
（4）因?yàn)閷θ我猓嬖诙c(diǎn)不在直線系中的任意一條上，故（4）正確；
故選：D．
【變式1-1】（2021·廣東·福田外國語高中高三階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_______．
【答案】
【分析】實(shí)數(shù)滿足表示點(diǎn)在直線上，可以看作點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，最小值是原點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解.
【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足＝1
所以表示直線上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
故的最小值為原點(diǎn)到直線的距離，
即，故的最小值為1.
【變式1-2】（2021·上?！とA師大二附中高三階段練習(xí)）直線系，直線系A(chǔ)中能組成正三角形的面積等于______.
【答案】或
【分析】應(yīng)用輔助角公式可得且，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)有，易知其幾何意義：直線系A(chǔ)是圓上所有點(diǎn)的切線集合，分析可知直線構(gòu)成正三角形有無數(shù)個(gè)，但面積值只有兩個(gè)；將圓心移至原點(diǎn)、取簡化模型，設(shè)為，應(yīng)用切線的性質(zhì)及點(diǎn)線距離公式求參數(shù)b，進(jìn)而求出正三角形的兩個(gè)面積值.
【詳解】直線系A(chǔ)：可變形為，
∴，而，
，即，其幾何意義為圓外的點(diǎn)的集合，直線系是圓的切線的包絡(luò)，即圓上所有點(diǎn)的切線集合，如圖所示.
把圓心平移到原點(diǎn)，由過圓上一點(diǎn)的切線方程為.
而圓的參數(shù)形式為，，
令，則以為切點(diǎn)的切線方程為，即.
由圓心到切線的距離等于半徑，有，即，
故當(dāng)時(shí)，直線系是圓上所有點(diǎn)的切線方程系，也是圓的包絡(luò)線.
顯而易見，所有直線系中的直線構(gòu)成正三角形有無數(shù)個(gè)，但是面積的值只有兩個(gè).
如取，如圖所示，設(shè)直線的方程為.
圓心到直線的距離等于半徑，則，
，則，
當(dāng)，，，則.
當(dāng)，，，則.
將圓向右平移3個(gè)單位即為，不改變正三角形的面積，直線系A(chǔ)中組成正三角形的面積：或.故答案為：或
題型04圓綜合：弦長最值
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相交于M，N兩點(diǎn).則的最小值為（）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【分析】先求出圓心和半徑，以及直線的定點(diǎn)，利用圓的幾何特征可得到當(dāng)時(shí)，最小
【詳解】由圓的方程，可知圓心，半徑，
直線過定點(diǎn)，
因?yàn)?，則定點(diǎn)在圓內(nèi)，
則點(diǎn)和圓心連線的長度為，
當(dāng)圓心到直線距離最大時(shí)，弦長最小，此時(shí)，
由圓的弦長公式可得，
故選：C
【典例1-2】．（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考）已知圓，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】由題意得直線過定點(diǎn)且點(diǎn)在圓內(nèi)，由結(jié)合弦長公式可得結(jié)果．
【詳解】圓：的圓心，半徑
直線即，則直線經(jīng)過定點(diǎn)
由,得點(diǎn)在圓內(nèi)
設(shè)圓心到直線的距離為，則，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）
則，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）
則的最小值為4.
故選：C.
【變式1-1】（2022秋·廣東廣州·高三校聯(lián)考）直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）
A．6B．4C．D．
【答案】D
【分析】先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再由弦長公式可分析出當(dāng)時(shí)，最小，從而可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榭苫癁椋?br>令，解得，
所以直線恒過定點(diǎn)，該點(diǎn)在圓內(nèi)，
因?yàn)?，所以要求的最小值，即求圓心到直線的最大距離，
顯然當(dāng)時(shí)，最大，最小，
又因?yàn)閳A，所以圓心，，則，
故此時(shí).
故選：D.
【變式1-2】．（2022秋·新疆烏魯木齊·高三烏市一中?？迹﹫A截直線所得的弦長最短時(shí)，實(shí)數(shù) （）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根據(jù)直線方程得到直線經(jīng)過定點(diǎn)，通過比較點(diǎn)到圓心的距離和半徑的大小得到點(diǎn)在圓的內(nèi)部，再利用幾何的方法得到時(shí)弦長最短，最后利用垂直關(guān)系求解即可.
【詳解】圓，即，圓心為，半徑，
直線，即，故直線恒過定點(diǎn)，
又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，
設(shè)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，有最大值，即
又直線被圓截得弦長為，所以當(dāng)時(shí)弦長最短，
此時(shí)時(shí)，又，所以，即.故選：B.
【變式1-3】（2022秋·浙江寧波·高三?？迹┮阎獔A：，則動(dòng)直線：所截得弦長的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得動(dòng)直線過定點(diǎn)，再根據(jù)時(shí)，弦長最短和動(dòng)直線過圓心時(shí)，弦長最長求解.
【詳解】解：由，解得，
則動(dòng)直線：過定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，弦長最短，此時(shí)，
所以最短弦長為，
當(dāng)動(dòng)直線過圓心時(shí)，弦長最長，即為直徑，所以所截得弦長的取值范圍是，故選：D
題型05圓綜合：切線最值
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·吉林·長春市第二中學(xué)高三）已知為直線上一點(diǎn)，過作圓的切線，則切線長最短時(shí)的切線方程為__________．
【答案】或
【分析】利用切線長最短時(shí)，取最小值找點(diǎn)：即過圓心作直線的垂線，求出垂足點(diǎn)．就切線的斜率是否存在分類討論，結(jié)合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．
【詳解】設(shè)切線長為，則，所以當(dāng)切線長取最小值時(shí)，取最小值，
過圓心作直線的垂線，則點(diǎn)為垂足點(diǎn)，此時(shí)，直線的方程為，
聯(lián)立，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
①若切線的斜率不存在，此時(shí)切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；
②若切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即.
由題意可得，化簡得，解得，
此時(shí)，所求切線的方程為，即.
綜上所述，所求切線方程為或，
故答案為或
【典例1-2】（2022·河南·修武一中高三開學(xué)考試（文））已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】求出的最小值，由切線長公式可結(jié)論．
【詳解】圓半徑為，，
因?yàn)樵谥本€即上，圓心到點(diǎn)的最小值為，所以．
故選：B．
【變式1-1】（2021·全國·高三課時(shí)練習(xí)）由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，則切線段長的最小值為 ______ .
【答案】
【分析】過點(diǎn)引圓的切線，切線段長，轉(zhuǎn)化成通過直線上的點(diǎn)到圓心距離最小值求解.
【詳解】記圓的圓心為點(diǎn)，半徑，過點(diǎn)直線上的任一點(diǎn)引圓的切線，切線段長，只需最小即可，
由題：圓心到直線的距離為，圓的半徑為1，故切線長的最小值為.
故答案為：
【變式1-2】（2022·廣東·鶴山市鶴華中學(xué)高三開學(xué)考試）已知直線平分圓的面積，過圓外一點(diǎn)向圓做切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】本題考查圓有關(guān)的最值問題，根據(jù)條件得到，在中，，利用二次函數(shù)性質(zhì)得到答案．
【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以圓心，半徑，
因?yàn)橹本€平分圓的面積，
所以圓心在直線上，故，
即，在中，
，
當(dāng)時(shí)，最小為16，最小為4．
故選：A．
【變式1-3】（2022·四川·瀘縣五中高三（文））已知直線是圓的一條對稱軸，過點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓的對稱性，結(jié)合圓的切線性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式、勾股定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】由圓，可知該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
因?yàn)橹本€是圓的一條對稱軸，
所以圓心在直線上，所以有，
因?yàn)檫^點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，
所以。所以，故選：C
.
題型06圓綜合：三角形面積最值
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·浙江·金鄉(xiāng)衛(wèi)城中學(xué)高三）如圖是直線在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，直線交坐標(biāo)軸正方向于兩點(diǎn)，則面積的最小值是（）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】設(shè)，利用圓切線的性質(zhì)得、，若即有，進(jìn)而求A、B的坐標(biāo)，利用三角形面積公式及二次函數(shù)的性質(zhì)求面積最小值即可.
【詳解】設(shè)，則，整理得；
同理，，若，
∴，可得，且，即，
∴且，
∴當(dāng)時(shí)，有最小.
故選：B
【典例1-2】（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：與圓：()相離，過直線上的動(dòng)點(diǎn)做圓的一條切線，切點(diǎn)為，若面積的最小值是，則（）
A．1B．C．1或D．2
【答案】C
【分析】求出圓心到直線的距離，即可得切線長的最小值，從而得面積最小值，由此可得半徑．
【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)最小時(shí)，最?。?br>的最小值為，所以，解得或，
又直線與圓相離，所以，所以或．
故選：C．
【變式1-1】.（2022·江蘇·高三單元測試）已知圓，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的外接圓的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先確定的面積最小時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)，再由是直角三角形求出外接圓的圓心和半徑，即可求出外接圓方程.
【詳解】
由題可知，，半徑，圓心，所以，要使的面積最小，即最小，的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最小，直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為，由，解得，所以，因?yàn)槭侵苯侨切?，所以斜邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為，而，所以的外接圓圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.
故選：C.
【變式1-2】（2021·四川·成都外國語學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知定直線的方程為，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的一條切線，是切點(diǎn)，是圓心，若面積的最小值為，則面積最小時(shí)直線的斜率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知當(dāng)時(shí)，的面積取最小值，求得，即圓心到直線的距離為，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的值.
【詳解】由題意可得直線的方程為，圓的圓心，半徑為，
如圖，
又，所以，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，此時(shí)，
可得，，則，解得.
故選：B.
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）過x軸上一點(diǎn)P向圓作圓的切線，切點(diǎn)為A、B，則面積的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解法一由點(diǎn)P離原點(diǎn)越遠(yuǎn)趨向無窮遠(yuǎn)處時(shí)，的面積趨向于無窮大；當(dāng)點(diǎn)P趨近于原點(diǎn)時(shí)，的面積逐漸變小，利用極限法，由點(diǎn)P與原點(diǎn)重合求解；解法二設(shè)，
，由求解.
【詳解】解法一（極限法）：如圖所示，
若點(diǎn)P離原點(diǎn)越遠(yuǎn)趨向無窮遠(yuǎn)處時(shí)，越來越長，、也隨著越來越長，
顯然的面積趨向于無窮大；當(dāng)點(diǎn)P趨近于原點(diǎn)時(shí)，的面積逐漸變小，
當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)重合時(shí)，，且此時(shí)的為正三角形，面積最小，
其最小面積為，解法二（直接解法）：設(shè)，則，，
設(shè)，則有，，于是，
，顯然上式是的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：A.
題型07圓綜合：四邊形最值
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，與是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則四邊形的最小面積為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，并利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出的最小值，然后利用勾股定理計(jì)算出、的最小值，最后利用三角形的面積公式可求出四邊形面積的最小值．
【詳解】如下圖所示：
由切線的性質(zhì)可知，，，且，
，
當(dāng)取最小值時(shí)，、也取得最小值，
顯然當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，且該最小值為點(diǎn)到直線
的距離，即，
此時(shí)，，
四邊形面積的最小值為，故選A.
【典例1-2】（2022·全國·高三課時(shí)練習(xí)）已知圓，直線，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，（切點(diǎn)為，），當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，直線的方程為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)四邊形的面積為，求出四邊形的面積最小時(shí)，四邊形是正方形，求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為即得解.
【詳解】
設(shè)四邊形的面積為，，，
所以，當(dāng)最小時(shí)，就最小，，所以．此時(shí).
所以，四邊形是正方形，由題得直線的方程為，
聯(lián)立得，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由題得直線的斜率為
所以直線的方程為，化簡得直線的方程為.故選：C
【變式1-1】（2020·安徽·定遠(yuǎn)縣私立啟明民族中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知是圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，記四邊形的面積為，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意得到圓心，半徑；圓心，半徑，，，當(dāng)位于圖形中的位置時(shí)，四邊形面積最小，過作圓的切線，切點(diǎn)分別為，連接，可得出，且，則中，根據(jù)勾股定理得：，此時(shí)，當(dāng)位于圖形中的位置時(shí)，四邊形面積最大，同理得到，綜上，的范圍為，故選A.
【變式1-2】（2021·全國·高三）從直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則最大時(shí)，四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知當(dāng)時(shí)，最大，計(jì)算出、，進(jìn)而可計(jì)算得出四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積.
【詳解】圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接、、，則，
設(shè)，則，，則，
當(dāng)取最小值時(shí)，，此時(shí)，
，，，故，
此時(shí)，.
故選：B.
【變式1-3】（2022·全國·高三課時(shí)練習(xí)）已知P是直線l：3x－4y＋11＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是（）
A．B．2C．D．2
【答案】C
【分析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為，半徑為1，由于四邊形PACB面積等于，，故求解最小值即可，又最小為圓心到直線的距離，即可得出四邊形PACB面積的最小值.
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為，半徑為r＝1，
圓心到直線l：3x－4y＋11＝0的距離
所以圓C與直線l相離.
根據(jù)對稱性可知，四邊形PACB的面積為
要使四邊形PACB的面積最小，則只需最小.
又最小值為圓心到直線l：3x－4y＋11＝0的距離．
所以四邊形PACB面積的最小值為．
故選：C．
題型08 圓綜合：切線轉(zhuǎn)化
【解題攻略】
【典例1-1】.（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）已知圓,直線,若直線上存在點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．[,]
C．D．）
【答案】D
【分析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P的軌跡方程為，則原問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于等于半徑，據(jù)此求解關(guān)于k的不等式即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【詳解】圓C（2,0），半徑r＝，設(shè)P（x，y），
因?yàn)閮汕芯€，如下圖，PA⊥PB，由切線性質(zhì)定理，知：
PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四邊形PACB為正方形，所以，｜PC｜＝2，
則：，即點(diǎn)P的軌跡是以（2,0）為圓心，2為半徑的圓.
直線過定點(diǎn)（0，－2），直線方程即，
只要直線與P點(diǎn)的軌跡（圓）有交點(diǎn)即可，即大圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，
即：，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是）.本題選擇D選項(xiàng).
【典例1-2】（2022·安徽省宣城中學(xué)高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)P是直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓C：的兩條切線PM，PN，M，N為切點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖畲笾禐闀r(shí)，則r的值為
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】結(jié)合題意，找出該角取最大值的時(shí)候PC的長度，建立方程，計(jì)算結(jié)果，即可．
【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像，可知
當(dāng)取到最大值的時(shí)候，則也取到最大值，而，當(dāng)PC取到最小值的時(shí)候，取到最大值，故PC的最小值為點(diǎn)C到該直線的最短距離，故，故，解得，故選D．
【變式1-1】（2021·山東德州·高三）已知點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，若的最大值為120°，則的值為（）
A．B．C．4D．6
【答案】B
【分析】由切線得四邊形的性質(zhì)，要使得最大，則最小，的最小值即為圓心到直線的距離，再由已知角的大小可求得．
【詳解】由題意，，，
所以最大時(shí)，最?。?br>由題意知，又，
所以，．故選：B．
【變式1-2】（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，直線：，若在直線上任取一點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，，則最小時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將最小轉(zhuǎn)化為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.
【詳解】由得，
所以圓心，半徑，
在中，，
當(dāng)最小時(shí)，最小，最大，最小，此時(shí)，
的最小值為圓心到直線的距離：，此時(shí)，，
因?yàn)椋?，所以圓心到直線的距離為，
所以兩平行直線與之間的距離為，
因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，
所以原點(diǎn)到直線的距離為.
故選：A
【變式1-3】（2021·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，若直線：上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足：過點(diǎn)作圓C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實(shí)數(shù)m的值為（）
A．1B．C．3D．7
【答案】C
【解析】根據(jù)四邊形PMCN為正方形可得，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離為可求得結(jié)果.
【詳解】由可知圓心，半徑為，
因?yàn)樗倪呅蜳MCN為正方形，且邊長為圓的半徑，所以，
所以直線：上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，即，
所以圓心到直線的距離為，
所以，解得或（舍）.
故選：C
題型09 圓綜合：將軍飲馬型最值
【典例1-1】（2019·江西南昌·校聯(lián)考二模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先求出點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，點(diǎn)到圓心的距離減去半徑即為最短.
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，
的中點(diǎn)為，故解得，
要使從點(diǎn)A到軍營總路程最短，即為點(diǎn)到軍營最短的距離，
“將軍飲馬”的最短總路程為，故選A.
【典例1-2】（2022上·山西太原·高三山西大附中校考階段練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在平面區(qū)域?yàn)?，河岸線所在直線方程為.假定將軍從點(diǎn)處出發(fā)，只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則將軍可以選擇最短路程為 .
【答案】
【分析】求出點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，根據(jù)對稱性，原問題轉(zhuǎn)化成求到營區(qū)的最短距離，利用圓的幾何性質(zhì)即可得解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，
解得，所以，
將軍從P出發(fā)到達(dá)直線上點(diǎn)A再到營區(qū)，，
所以本題問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到營區(qū)的最短距離，
根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得最短距離為.
故答案為：
【變式1-1】（2022下·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，平面上兩點(diǎn)，在直線上取兩點(diǎn)使，且使的值取最小，則的坐標(biāo)為．
【答案】
【分析】求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，過作平行于的直線為，將的值轉(zhuǎn)化為的最小值，利用數(shù)形結(jié)合以及根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，求解出的坐標(biāo).
【詳解】關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則有.過作平行于的直線為，由得，即此時(shí)直線為.過作，則，則.由于是常數(shù)，要使的值取最小，則的值取最小，即三點(diǎn)共線時(shí)最小.設(shè)，由得，即，解得（舍去.），即.設(shè)，則，解得，即，設(shè)，.由得，得，解得或（舍去），故.
故答案為：.
【變式1-2】（2023上·湖南益陽·高三桃江縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺(tái)，黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，軍營所在的位置為，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】確定關(guān)于的對稱點(diǎn)，設(shè)飲馬點(diǎn)為，利用求最短路程.
【詳解】若是關(guān)于的對稱點(diǎn)，則，
設(shè)飲馬點(diǎn)為，如下圖示，

由圖知：，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，
所以.故選：C
【變式1-3】（2023上·山西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺(tái)之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流，，其方程分別為，，點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）
A．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7
B．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7
C．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是
D．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是
【答案】AC
【分析】確定關(guān)于，的對稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)距離最小判斷A、B；確定關(guān)于，的對稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)距離最小判斷C、D；
【詳解】由關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別為，而，

從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是，A對；
從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是，B錯(cuò)；
由關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別為，

從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程，C對；
從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是，D錯(cuò).
故選：AC
題型10圓綜合：切點(diǎn)弦
【解題攻略】
【典例1-1】（2022秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓M：，直線l：，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，當(dāng)最小時(shí)，直線AB的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知結(jié)合四邊形面積公式及三角形面積公式可得，說明要使最小，則需最小，此時(shí)PM與直線l垂直．寫出PM所在直線方程，與直線l的方程聯(lián)立，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出以PM為直徑的圓的方程，再與圓M的方程聯(lián)立可得AB所在直線方程．
【詳解】解：因?yàn)閳A，即為，
所以圓心，半徑．．
要使最小，則需最小，此時(shí)PM與直線l垂直．直線PM的方程為，即，
聯(lián)立，解得，即．則以PM為直徑的圓O的方程為．
直線AB為圓M與圓O公共弦所在直線，聯(lián)立
相減可得直線AB的方程為．故選：A．
【典例1-2】（2022秋·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？迹┮阎獔A與直線，過l上任意一點(diǎn)P向圓C引切線，切點(diǎn)為A，B，若線段長度的最小值為，則實(shí)數(shù)m的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，則，則由題意可求得，從而可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實(shí)數(shù)m的值
【詳解】圓，設(shè)，則，
因?yàn)?，所以，又，所以，又?br>所以，即，又，所以．故選：D．
【變式1-1】（2023秋·江蘇·高三南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線與平行時(shí)，（）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合面積法求解作答.
【詳解】連接，由切圓于知，，
因?yàn)橹本€與平行，則，，而圓半徑為，
于是，由四邊形面積，得，
所以. 故選：C
【變式1-2】（2023春·河南南陽·高三統(tǒng)考）過坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得為等邊三角形，可得結(jié)果.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
其圓心為，半徑為1，由題意知，,,,,
所以,所以.所以,且,
所以為等邊三角形，所以.故選:C．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓，過直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，則，可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實(shí)數(shù)m的值.
【詳解】圓，設(shè)，則，則，，
則，所以圓心到直線的距離是，
，得，．故選：A．
題型11圓綜合：切點(diǎn)弦過定點(diǎn)
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·全國·高三單元測試）已知圓的圓心為原點(diǎn)，且與直線相切.點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)引圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，如圖所示，則直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由圓的圓心為原點(diǎn)且與直線相切即得圓的方程，又，是它的切線，可知，一定在以為直徑為圓心的圓上，即為兩圓的公共弦，即可求出直線的方程，進(jìn)而找到定點(diǎn)
【詳解】依題意知，圓的半徑且圓心為?！鄨A的方程為
∵，是圓的兩條切線∴，，即，在以為直徑的圓上
若設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為
∴以為直徑的圓的方程為，，化簡得，
∵為兩圓的公共弦∴直線的方程為，，即
∴直線恒過定點(diǎn)故選：A
【典例1-2】（2021·江蘇·高三單元測試）已知圓：，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線?，?為切點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由切線性質(zhì)得四點(diǎn)共圓，是其直徑，可得圓方程，是此圓與圓的公共弦，因此只要兩圓方程相減可得直線方程，由方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】由題意，設(shè)，則以為直徑的圓方程為，即，
由得，這就是直線的方程，
直線方程整理為，由，得，
所以直線過定點(diǎn)．故選：B．
【變式1-1】（2021·山西·太原市第六十六中學(xué)校高三）已知點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別是A，B，則直線AB恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.
【答案】
【分析】先設(shè)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)P、A、O、B四點(diǎn)共圓，求出P、A、O、B四點(diǎn)確定的圓的方程，聯(lián)立后得到AB所在直線方程，再求直線AB恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則∵過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別是A，B，
∴，∴P、A、O、B四點(diǎn)共圓，其中OP為直徑。所以圓心坐標(biāo)為，半徑長為
∴P、A、O、B四點(diǎn)確定的圓的方程為：?；癁橐话惴匠虨椋杭磁c聯(lián)立，求得AB所在直線方程為：①
其中，代入①中，得：所以解得：
直線AB恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知過點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，則直線必過定點(diǎn)（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通過過點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，能得到是以為直徑的圓和圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得直線的方程，從而求得直線恒過定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】圓的方程可化為，所以圓心.
則以為直徑的圓的圓心為，設(shè)以為直徑的圓的半徑為，則.
所以以為直徑的圓的方程為.過點(diǎn)作圓的切點(diǎn)分別為，,兩圓的交點(diǎn)為,,即兩圓的公共弦為.將兩圓的方程相減可得直線的方程為，即.令得.
所以直線必過定點(diǎn).故選：A.
【變式1-3】（2022·四川省資陽市雁江區(qū)伍隍中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知圓：，點(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，其中、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)?、是圓的兩條切線，所以，因此點(diǎn)、在以為直徑的圓上，因?yàn)辄c(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)，點(diǎn)，
因此的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，
，因此以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
，而圓：，
得：，即為直線的方程，
由
，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，故選：D
題型12圓綜合：切點(diǎn)弦最值
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）若為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)引圓的兩條切線，（切點(diǎn)為，），則線段的長度的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先設(shè)圓，圓心，，根據(jù)題意得到當(dāng)最小時(shí)，最小，利用余弦定理即可得到，再根據(jù)點(diǎn)在直線無限遠(yuǎn)取值時(shí)，，直徑，即可得到答案.
【詳解】設(shè)圓，，圓心，，
要使的長度最小，則最小，即最小.因?yàn)椋援?dāng)最小時(shí)，最小.又因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，最小.
因?yàn)?，所以?
則.當(dāng)點(diǎn)在直線無限遠(yuǎn)取值時(shí)，，直徑，所以.故選：C
【典例1-2】（2022·江蘇·高三課時(shí)練習(xí)）過圓：外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則（）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】本題首先可結(jié)合題意繪出圖像，然后根據(jù)圓的方程得出，再然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及勾股定理得出、，最后通過等面積法即可得出結(jié)果.
【詳解】如圖，結(jié)合題意繪出圖像：因?yàn)閳A：，直線、是圓的切線，
所以，，，，因?yàn)?，所以，?br>根據(jù)圓的對稱性易知，則，解得，，
故選：C.
【變式1-1】（2022·江西·上高三中高三階段練習(xí)（文））若為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)引圓：的兩條切線，（切點(diǎn)為，），則的最小值是（）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】由題可得要使最小，即最小，即最小，求出的最小值，得出，再由余弦定理即可求出.
【詳解】圓：化為，則圓心，半徑，
要使最小，則要使最小，即最小，，
當(dāng)最小時(shí)，最小，，則當(dāng)最小時(shí)，最小，
，，，
.故選：B.
【變式1-2】（2020·四川·宜賓市教科所高三（文））已知圓和圓，過圓上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為，則線段長度的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用表示出弦長，然后由的取值范圍求得結(jié)論．
【詳解】如圖，，，，
∴由得，，
∵，，∴，
∴，故選：C．
【變式1-3】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)滿足，過作單位圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則線段長度的取值范圍是______.
【答案】.
【分析】設(shè)，由圓的切點(diǎn)弦所在直線方程可知的方程為，進(jìn)而可求圓心到距離，從而求出弦長，結(jié)合已知可求出弦長的取值范圍.
【詳解】解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)過點(diǎn)與圓相切直線的斜率，
則過點(diǎn)與圓相切直線方程為，即，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程或滿足.
綜上所述，過點(diǎn)與圓相切直線方程為；
同理，過點(diǎn)與圓相切直線方程為，設(shè)，
則直線的方程為，此時(shí)圓心到距離.
所以.由可知，
，則，所以.故答案為: .
題型13直線與圓綜合：兩圓公切線
【典例1-1】（2020·江西·南昌市新建區(qū)第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））圓與圓的公切線有（）條．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】求得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，根據(jù)圓圓的位置關(guān)系的判定方法，得出兩圓的位置關(guān)系，即可求解.
【詳解】由題意，圓與圓，
可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，
則，
所以，可得圓相交，
所以兩圓共有兩條切線.故選：B.
【典例1-2】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，兩圓與相交于A、B兩點(diǎn)，且在點(diǎn)A處兩圓的切線互相垂直，則線段AB的長度為（）
A．3B．4C．D．
【答案】B
【分析】由圓的幾何性質(zhì)兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，且過對方圓心，O1A⊥AO2，利用勾股定理可得m的值，再用等面積法，求線段AB的長度．
【詳解】解：由題知，，半徑分別為，
根據(jù)兩圓相交，可得圓心距大于兩圓的半徑之差而小于半徑之和，
即．
又，所以有，
，
再根據(jù)，
求得，
故選：B．
【變式1-1】（2019·四川·成都七中高一）若圓:與圓:相交于，兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，則公共弦的長度是______.
【答案】
【分析】根據(jù)兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，得出是直角三角形，求出，然后兩圓相減求出公共弦的直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到公共弦的距離，進(jìn)而求出公共弦長.
【詳解】由題意，圓圓心坐標(biāo)，半徑，圓圓心坐標(biāo),半徑，
因?yàn)閮蓤A相交于點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，所以是直角三角形，，所以，
由兩點(diǎn)間距離公式，，所以，解得，
所以圓：，兩圓方程相減，得，即，所以公共弦：，
圓心到公共弦的距離，故公共弦長
故答案為：
【變式1-2】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）已知：與：相交于A，B兩點(diǎn)，若兩圓在A點(diǎn)處的切線互相垂直，且，則的方程為___________．
【答案】
【分析】由題意畫出已知兩個(gè)圓的圖象，利用圓的性質(zhì)可以得到兩切線互相垂直時(shí)過對方的圓心，再利用直角三角形進(jìn)行求解．
【詳解】
由題意作出圖形分析得：由圓的幾何性質(zhì)兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，且過對方圓心O、，
則在中，，，，斜邊上的高為，
由三角形等面積法可得：，
由勾股定理可得：，
由以上兩式可解得：，，可得圓的方程為：．
故答案為：.
【變式1-3】（2021·全國·高三課時(shí)練習(xí)）若圓：與圓：相交于，兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，則線段的長為______．
【答案】
【分析】由切線互相垂直可知，進(jìn)而可得，再結(jié)合三角形面積可得解.
【詳解】根據(jù)題意，圓：的圓心為，半徑；
圓：的圓心為：，半徑．
由圓：與圓：相交于，兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，
則有，可得．
由，
得故答案為：．
題型14 直線與圓綜合：超難壓軸小題選
【典例1-1】（2022·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎獔A和兩點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則a的最小值為（）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成圓與圓C有公共交點(diǎn)，再利用圓與圓的位置關(guān)系即可求出結(jié)果.
【詳解】由，得點(diǎn)P在圓上，故點(diǎn)P在圓上，又點(diǎn)P在圓C上，所以，兩圓有交點(diǎn)，
因?yàn)閳A的圓心為原點(diǎn)O，半徑為a，圓C的圓心為，半徑為1，
所以，又，所以，
解得，所以a的最小值為4.
故選：C.
【典例1-2】（2023·山東·山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得圓的方程，再利用求得點(diǎn)M滿足的圓的方程，進(jìn)而利用兩圓有公共點(diǎn)列出關(guān)于a的不等式，解之即可求得a的取值范圍.
【詳解】圓心C的橫坐標(biāo)為a，則圓心C的坐標(biāo)為，
則圓的方程，
設(shè)，由，
可得，整理得，
則圓與圓有公共點(diǎn)，
則，
即，解之得.
故選：D
【變式1-1】（2023春·湖北·高三黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）直線與分別與圓交于、和、，則四邊形面積的最大值為（）
A．B．C．10D．15
【答案】D
【分析】由題意可得，設(shè)點(diǎn)到弦、的距離分別為、，，再由基本不等式求解即可.
【詳解】顯然，且兩直線同時(shí)過定點(diǎn)，點(diǎn)在圓內(nèi)，
設(shè)點(diǎn)到弦、的距離分別為、，則，
，
四邊形面積
故選：D.
【變式1-2】（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓和兩點(diǎn)，，若圓C上至少存在一點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意，圓：與圓O：位置關(guān)系為相交，內(nèi)切或內(nèi)含，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】圓C：的圓心，半徑，
∵圓C上至少存在一點(diǎn)P，使得，
∴圓：與圓O：位置關(guān)系為相交，內(nèi)切或內(nèi)含，如圖所示，
又圓O：的圓心，半徑，
則，即，∴．故選：B．
【變式1-3】（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在圓運(yùn)動(dòng)，若對任意點(diǎn)，在直線上均存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長度的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由恒成立可知，始終在以為直徑的圓內(nèi)或圓上，求出點(diǎn)到直線的距離即得線段長度的最小值.
【詳解】如圖，
由題可知，圓心為點(diǎn)，半徑為1，
若直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，
則始終在以為直徑的圓內(nèi)或圓上，點(diǎn)到直線的距離為，
所以長度的最小值為.
故選：D
高考練場
1.．（2024上·四川巴中·高三統(tǒng)考）若曲線與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】曲線的方程可化為，表示以為圓心，1為半徑的上半圓，曲線表示兩條直線與，而直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線與半圓有2個(gè)除外的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合及斜率公式、直線與圓相切的結(jié)論即可求解.
【詳解】由得，
則曲線表示以為圓心，1為半徑的上半圓，
曲線表示兩條直線與，
顯然直線過圓心，則其與有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴直線與半圓有2個(gè)除外的交點(diǎn)，
由得，
則直線過定點(diǎn)，，
當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，
圓心到直線的距離，即，
解得或（舍），
所以時(shí)，直線與半圓有2個(gè)除外的交點(diǎn)，
此時(shí)曲線與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn).
故選：C.
2.（2023上·四川成都·高三四川省成都市西北中學(xué)校考階段練習(xí)）巳知直線與直線分別過定點(diǎn)A，B，且交于點(diǎn)P，則面積的最大值是（）
A．5B．8C．10D．16
【答案】B
【分析】根據(jù)直線垂直的判定說明，結(jié)合兩直線所過的定點(diǎn)確定的軌跡，進(jìn)而求面積的最大值.
【詳解】由，即，
由過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，
所以在以為直徑的圓上，且，要使面積最大，離最遠(yuǎn)即可，
故面積的最大值是.
故選：B
3.（2021·浙江省青田縣中學(xué)高三）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)，集合，任意的點(diǎn)，則的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】分析可得點(diǎn)軌跡，根據(jù)軌跡即可得解.
【詳解】原點(diǎn)到直線的距離，
所以直線上點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上或圓外，，所以的取值范圍是
故答案為：
4.（2021秋·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，若圓C：（）上存在兩點(diǎn)，使得，則r的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中點(diǎn)，可得出，設(shè)，可求得，再由可求得的取值范圍.
【詳解】取的中點(diǎn)，則．
因?yàn)?，則，
設(shè)，則．
因?yàn)辄c(diǎn)、，則，
所以，得．
因?yàn)?，則，解得，
故選：C．
5.（2022·全國·高三課時(shí)練習(xí)）已知圓，直線，點(diǎn)P為直線l上任意一點(diǎn)，過P作圓C的一條切線，切點(diǎn)為A，則切線段的最小值為（）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】由，結(jié)合的最小值為點(diǎn)C到直線l的距離求解.
【詳解】圓C的圓心為，則，其中，
的最小值為點(diǎn)C到直線l的距離，即，
所以當(dāng)取最小時(shí)，也取最小，即，
故選：B
6.（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知定直線l的方程為，點(diǎn)Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作圓的一條切線，是切點(diǎn)，C是圓心，若面積的最小值為，則此時(shí)直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值為（）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】由題意可得直線l的方程為，再求出圓C的圓心坐標(biāo)與半徑，由面積的最小值為求得，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解k，可得直線l的方程，進(jìn)一步求得直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值．
【詳解】解：由題意可得直線l的方程為，
圓C的圓心，半徑為1，
如圖：
，又，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，
此時(shí)，可得，，則，解得，
則直線l的方程為，則直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值為．
故選：B．
7.（2019·安徽·蕪湖一中高三（理））由直線上的一點(diǎn)向圓：引切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形面積的最小值為
A．1B．C．D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)分析可得四邊形面積，又由，據(jù)此分析可得當(dāng)取得最小值時(shí)，切線長取得最小值，此時(shí)四邊形PACB面積取得最小值，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，連接，圓：的圓心為，半徑，
設(shè)，則四邊形面積，又由，
則當(dāng)取得最小值時(shí)，切線長取得最小值，此時(shí)四邊形面積取得最小值，
而的最小值為圓心到直線的距離，設(shè)其最小值為，則，
則；故四邊形面積的最小值為；故選：C．
8.（2021·全國·高三單元測試）已知圓，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線交線段為坐標(biāo)原點(diǎn)）的垂直平分線于點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可知，當(dāng)且僅當(dāng)為圓的切線時(shí)，取等號(hào)，求出切線長即可得結(jié)論．
【詳解】圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：
圓是以為圓心，1為半徑的圓
為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線交線段為坐標(biāo)原點(diǎn)）的垂直平分線于點(diǎn)，
當(dāng)且僅當(dāng)為圓的切線時(shí)，取等號(hào)此時(shí)，，故選：．
9.（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在平面區(qū)域?yàn)?，河岸線所在直線方程為.假定將軍從點(diǎn)處出發(fā)，只要到達(dá)軍營所在區(qū)域邊界即為回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為 .
【答案】/
【分析】點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則最小值即為點(diǎn)到圓心的距離與半徑的差，求出即可.
【詳解】設(shè)：，圓心為，半徑為
點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為則，解得，即
則“將軍飲馬”的最短總路程為.故答案為：
10.（2022秋·福建莆田·高三莆田第六中學(xué)校考階段練習(xí)）過直線上一動(dòng)點(diǎn)，向圓引兩條切線，為切點(diǎn)，線段的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】得到四點(diǎn)共圓，且為直徑，求出以為直徑的圓的方程，與聯(lián)立求出相交弦所在直線的方程，得到其過的定點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合求出
要想線段取得最小值，只需，即為的中點(diǎn)時(shí)，利用勾股定理求出答案.
【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為因?yàn)?，故四點(diǎn)共圓，且為直徑，
設(shè)，則，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
故以為直徑的圓的方程為，整理得：，
與相減得：直線的方程為，
整理為，令，解得：，即直線恒過點(diǎn)，
要想線段取得最小值，只需，即為的中點(diǎn)，其中，
則，故選：B
11.（2022·江蘇·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A?B，則直線必過定點(diǎn)（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用圓與圓的位置關(guān)系求得直線的方程，從而求得定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】設(shè)，圓的圓心為，一般方程為①，
線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以以線段為直徑的圓的方程為，整理得②，
①-②并化簡得，即，.
所以定點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A
12.（2022·山西·運(yùn)城市景勝中學(xué)高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在直線l：上，過點(diǎn)P作圓C：的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB的最小值為（）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】易得P，A，C，B四點(diǎn)共圓，該圓以PC為直徑，求出相交圓公共弦所在直線方程，由弦長公式利用二次函數(shù)求最值．
【詳解】圓C：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，
點(diǎn)P在直線l：上，設(shè)，則易得P，A，C，B四點(diǎn)共圓，該圓以PC為直徑，
方程為：，即，與圓C的方程相減，
得到弦AB所在直線的方程為：，則圓心C到直線AB的距離，當(dāng)時(shí)，取得最大值，由勾股定理，d取得最大值時(shí)，取得最小值，且．故選：B
13..（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知大圓與小圓相交于，兩點(diǎn)，且兩圓都與兩坐標(biāo)軸相切，則____
【答案】
【分析】由題意可知大圓與小圓都在第一象限，進(jìn)而設(shè)圓的圓心為，待定系數(shù)得或，再結(jié)合兩點(diǎn)間的距離求解即可.
【詳解】由題知，大圓與小圓都在第一象限，設(shè)與兩坐標(biāo)軸都相切的圓的圓心為，
其方程為，將點(diǎn)或代入，解得或，
所以，，可得，，
所以．故答案為：
14.（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓，點(diǎn)，若圓M上存在兩點(diǎn)B，C，使得是等邊三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】條件可轉(zhuǎn)化為存在點(diǎn)B使得，然后過點(diǎn)A作圓M的切線，切點(diǎn)為T，連接MT，則，然后可求出的范圍，然后可得答案.
【詳解】由題知，圓M和正組成的圖形關(guān)于直線AM對稱，

若存在點(diǎn)B，C滿足題意等價(jià)于存在點(diǎn)B使得，
過點(diǎn)A作圓M的切線，切點(diǎn)為T，連接MT，則，
又，所以，
則，解得．
故選：D
一般情況下，過定點(diǎn)
直線系：
過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線可設(shè)：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動(dòng)態(tài)”垂直。則直線交點(diǎn)必在定點(diǎn)線段為直徑的圓上。
每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點(diǎn)。
兩條動(dòng)直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是-1，確定兩條直線是否互相“動(dòng)態(tài)垂直”。
如果兩條動(dòng)直線“動(dòng)態(tài)垂直”，則兩直線交點(diǎn)必在兩條直線所過定點(diǎn)為直徑的圓上。
如果兩條動(dòng)直線交點(diǎn)在對應(yīng)的兩直線所過定點(diǎn)為直徑的圓上，則可以通過設(shè)角，三角代換，進(jìn)行線段的最值求解計(jì)算
圓的動(dòng)切線：
到直線系距離，每條直線的距離
，
直線系表示圓的切線集合，
直線與圓的位置關(guān)系：
(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：dr?相離．
(2)代數(shù)法：利用判別式Δ＝b2－4ac進(jìn)行判斷：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ

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