高三數(shù)學(xué)考前沖刺押題模擬卷02（2024新題型）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（新高考通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知向量，，則（）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】
根據(jù)向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得正確答案.
【詳解】.
故選：A
2．已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為?方差為，若樣本數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，方差為，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平均數(shù)和方差的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.
【詳解】由方差的性質(zhì)，得，，…，的方差為，
故，解得．由，可知.
由平均數(shù)的性質(zhì)，得，，…，的平均數(shù)為，
故，
解得.
故選：D．
3．如圖，垂直于正方形所在平面，則以下關(guān)系錯(cuò)誤的是（）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】B
【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈酌鏋檎叫?br>所以
因?yàn)槠矫?，平?br>所以，
而，
所以平面，
又因?yàn)槠矫?br>所以平面平面，故A正確；
對(duì)于C，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?br>所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
而，所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?br>由選項(xiàng)C可得平面，
而平面
所以平面平面，故D正確.
對(duì)于B，平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤.
故選：B
4．函數(shù)的圖象大致為（）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，求得為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.
【詳解】
由函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
故選：C.
5．已知常數(shù)為正數(shù)，函數(shù)的最小值為4，則函數(shù)的最小值為（）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】
利用基本不等式求得參數(shù)，再化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】
因?yàn)?，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.
故選：A.
6．不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】由得，
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，
故由得，
所以，解得.
故選：B.
7．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，在點(diǎn)處的切線交軸于，交軸于，若，則直線的斜率為（）
A．－2B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程可先含參表示N，T坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義可判定為等腰三角形，根據(jù)其性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】
易知，設(shè)，
則在點(diǎn)處的切線方程為，
所以，顯然N為中點(diǎn)，
由拋物線定義可知，
即為以F為頂點(diǎn)的等腰三角形，所以，即，
所以直線的斜率為.
故選：D
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題通過設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的切線方程含參表示N，T坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義可判定為等腰三角形，根據(jù)其性質(zhì)計(jì)算即可.解析幾何問題首先是幾何題，所以利用幾何特征可減少計(jì)算量，提高效率.
8．設(shè)，，，，若滿足條件的與存在且唯一，則（）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】先由，可得，再根據(jù)，結(jié)合兩角差的正弦公式求出，進(jìn)而可求出，再根據(jù)唯一性可求出，再求出，結(jié)合兩角差的正切公式求出，即可得解.
【詳解】由，得，即，
所以，
所以，所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闈M足條件的與存在且唯一，所以唯一，
所以，
所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>則，解得，
所以.
故選：B.
選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知曲線C：，則（）
A．存在m，使C表示圓
B．當(dāng)時(shí)，則C的漸近線方程為
C．當(dāng)時(shí)，則C的焦點(diǎn)是，
D．當(dāng)C表示雙曲線時(shí)，則或
【答案】AD
【分析】由圓方程的特征得到，從而判斷A；利用雙曲線漸近線公式判斷B；由題意得，從而由橢圓方程特征得到焦點(diǎn)在軸上，進(jìn)而判斷C；由雙曲線方程的特征得到，從而判斷D.
【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)，即時(shí)，為圓，故A正確；
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故漸近線方程為，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，顯然C的焦點(diǎn)在軸上，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，當(dāng)C表示雙曲線時(shí)，，則或，故D正確.
故選：AD.
10．已知隨機(jī)事件，滿足，，，則（）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】利用條件概率公式和相互獨(dú)立事件的概率公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，?br>所以，
所以，即，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)棰?，?br>又因?yàn)椋?，所?br>代入①可得：，所以，
，所以，故B正確；
對(duì)于C，，故C不正確；
對(duì)于D，，故D不正確；
故選：AB.
11．已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，則下列說法正確的是（）
A．B．為偶函數(shù)
C．D．2是函數(shù)的一個(gè)周期
【答案】ABD
【分析】對(duì)A：借助賦值法，令，計(jì)算即可得；對(duì)B：借助賦值法，令，結(jié)合偶函數(shù)定義即可得；對(duì)C：計(jì)算出，其與不滿足該關(guān)系即可得；對(duì)D：借助賦值法，令，結(jié)合的值與周期函數(shù)的定義計(jì)算即可得.
【詳解】對(duì)A：令，則有，又，
故有，故，故A正確；
對(duì)B：令，則有，又，
故有，即，又其定義域?yàn)椋?br>故為偶函數(shù)，故B正確；
對(duì)C：令，，則有，
故，又，不符合，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：令，則有，
由，故，則，故，
兩式作差并整理得，故2是函數(shù)的一個(gè)周期，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，對(duì)D選項(xiàng)，需借助，再令，從而消掉所給式子中的一項(xiàng)，再結(jié)合周期函數(shù)的定義得解.
填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設(shè)，為虛數(shù)單位．若集合，且，則．
【答案】
【分析】利用集合交集的結(jié)果，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)列式，從而得解.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，解得.
故答案為：.
13．若的面積為，且為鈍角，則；的取值范圍是．
【答案】
【分析】
由三角形面積公式可得，可求出；再根據(jù)為鈍角限定出，利用正弦定理可得，可得其范圍是.
【詳解】根據(jù)題意可得面積，
可得，即，
又易知為銳角，可得；
由正弦定理可得，
因?yàn)闉殁g角，可得，所以；
可得，因此；
故答案為：；；
14．在三棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)M在該三棱錐的外接球O的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則三棱錐的體積最大值為
【答案】
【分析】通過已知條件可分析出球心為中點(diǎn)，再由確定點(diǎn)在半徑為1的圓上，從而確定點(diǎn)到平面的距離為定值，求出的面積最大值，即可確定三棱錐的體積最大值.
【詳解】
該三棱錐的外接球O為的中點(diǎn)，下證：
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以?br>又，即，所以，
即三棱錐的外接球球心為的中點(diǎn)，球半徑.
點(diǎn)M在該三棱錐的外接球O的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，
在△中，由正弦定理可得△的外接圓的半徑為，
球心到平面的距離為，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以到平面的距離為，
，
要使三棱錐的體積最大，只需△的面積最大即可.
在△中由余弦定理可得：
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 三棱錐的體積取到最大值.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是通過空間中線線垂直確定球心位置，二是利用正弦定理確定點(diǎn)的軌跡，才能求得三棱錐體積最大值.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
某市設(shè)有12個(gè)監(jiān)測(cè)站點(diǎn)監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），其中在輕度污染區(qū)、中度污染區(qū)、重度污染區(qū)分別設(shè)有3，6，3個(gè)監(jiān)測(cè)站點(diǎn)，以這12個(gè)站點(diǎn)測(cè)得的AQI的平均值為依據(jù)，播報(bào)該市的空氣質(zhì)量．
(1)若某日播報(bào)的AQI為120，已知輕度污染區(qū)AQI的平均值為80，中度污染區(qū)AQI的平均值為116，求重度污染區(qū)AQI的平均值；
(2)如圖是2018年9月的30天中，AQI的概率分布直方圖，其中分段區(qū)間分別為[48，72），[72，96），[96，120），…，[216，240），9月份僅有1天的AQI在[144，150）內(nèi)．
①該市市民小孟總是星期日查看官方公布的本市的AQI，如果AQI小于150，小孟就去體育館踢球，以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的頻率為概率，求小孟星期日去踢球的概率；
②“雙創(chuàng)”活動(dòng)中，驗(yàn)收小組把該市的空氣質(zhì)量作為一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，從當(dāng)月的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中抽取3天的數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，設(shè)抽取到的AQI不小于150的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

【答案】(1)168
(2)①，②分布列見解析，
【分析】（1）由平均值的計(jì)算公式求解.
（2）①由概率分布直方圖，計(jì)算AQI小于150的天數(shù)，可求概率；②由X可能的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，寫出分布列并計(jì)算.
【詳解】（1）設(shè)重污染區(qū)AQI的平均值為x，
則，解得，
即重污染區(qū)AQI的平均值為168．分
（2）①由題意知，AQI在內(nèi)的天數(shù)為1，
由頻率分布直方圖可知，AQI在的天數(shù)為，
故2018年9月份的30天中AQI小于150的天數(shù)為1+17＝18，又，
則小孟星期日去踢球的概率為．分
②由題意知，X服從參數(shù)為N＝30，M＝12，n＝3的超幾何分布，
X的所有可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
則X的分布列為
數(shù)學(xué)期望．分
16．（15分）
已知函數(shù)．
(1)若，當(dāng)時(shí)，求證：為單調(diào)遞減函數(shù)；
(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）若，當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，令，解不等式即可求出答案.
（2）在上恒成立轉(zhuǎn)化為，
令，求在的最小值即可.
【詳解】（1）若，則，
，
因?yàn)?，?br>，，
，在為單調(diào)遞減函數(shù)；分
（2），即，
令，，
則，
令，
，，，單調(diào)遞減，
，，單調(diào)遞增，
而，，
故在恒成立，
故在恒成立，
所以在為減函數(shù)，
所以，故，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．分
（15分）
如圖，由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，，平面平面
（I）求證：；
（II）若M為中點(diǎn)，求證：平面；
（III）在線段BC上（含端點(diǎn)）是否存在點(diǎn)P，使直線DP與平面所成的角為？若存在，求得值，若不存在，說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)不存在這樣的點(diǎn)P.
【詳解】（I）由，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而可證明；（II）由于，建立空間直角坐標(biāo)系，利用的方向向量與平面的法向量數(shù)量積為零可得平面；（III）由（II）可知平面的法向量，設(shè)，利用空間向量夾角余弦公式列方程可求得，從而可得結(jié)論.
詳解：證明：（I）在直三棱柱中，
∵平面 ∴
∵平面平面，且平面平面
∴平面
∴ 分
（II）在直三棱柱中，
∵平面，∴
又，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，
，，，，

設(shè)平面的法向量
∵ ∴ 令則
∵為的中點(diǎn)，∴
∵ ∴
又平面，∴平面
（III）由（II）可知平面的法向量
設(shè)
則
若直線DP與平面所成的角為，
則
解得
故不存在這樣的點(diǎn)P，使得直線DP與平面所成的角為分
點(diǎn)睛：本題主要考查利用空間向量的證明與求值，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
（17分）．
設(shè)動(dòng)點(diǎn)每次沿?cái)?shù)軸的正方向移動(dòng)，且第次移動(dòng)1個(gè)單位的概率為，移動(dòng)2個(gè)單位的概率為已知表示動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上第次移動(dòng)后表示的數(shù)，在第一次移動(dòng)前動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸的原點(diǎn)處．
(1)若，，求的概率；
(2)若每次移動(dòng)2個(gè)單位的概率都是移動(dòng)1個(gè)單位的概率的2倍．
①求的概率；
②求動(dòng)點(diǎn)能移動(dòng)到自然數(shù)處的概率
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】
（1）利用獨(dú)立事件的概率公式可得結(jié)果.
（2）利用獨(dú)立事件的概率公式及獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率公式，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式及累加法求通項(xiàng)可得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?，，?br>所以，
即概率為；分
（2）
由題意得，∴，，
（i）因?yàn)?，即在次移?dòng)中恰有次移動(dòng)2個(gè)單位，
所以，分
（ii）由題意得，，且，
所以，即，
則數(shù)列是等比數(shù)列，公比，而，
所以
=
所以．分
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是通過獨(dú)立事件概率得出，利用數(shù)列構(gòu)造法及累加法求出結(jié)果.
（17分）
有一個(gè)半徑為4的圓形紙片，設(shè)紙片上一定點(diǎn)到紙片圓心的距離為，將紙片折疊，使圓周上一點(diǎn)與點(diǎn)重合，以點(diǎn)所在的直線為軸，線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)記折痕與的交點(diǎn)的軌跡為曲線，求曲線的方程；
(2)若直線：（）與曲線交于，兩點(diǎn)．
（ⅰ）當(dāng)為何值時(shí)，為定值，并求出該定值；
（ⅱ），為切點(diǎn)，作曲線的兩條切線，當(dāng)兩條切線斜率均存在時(shí)，若其交點(diǎn)在直線上，探究：此時(shí)直線是否過定點(diǎn)，若過，求出該定點(diǎn)；若不過，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)（ⅰ），定值為5；（ⅱ）過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
【分析】（1）利用橢圓的定義判斷軌跡，即可求出方程．（2）（?。┞?lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，寫出關(guān)于的表達(dá)式分析可得．（ⅱ）求出在，兩點(diǎn)處的切線方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，并分別代入到兩條切線方程，進(jìn)而表示出直線的方程，即可得到定點(diǎn)．
【詳解】（1）由題意可知，，
所以點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)，4為長軸長的橢圓，
所以曲線的方程，即橢圓方程為．分
（2）（?。┯上茫?，
由，得．
設(shè)，，則，，
所以
，
當(dāng)為定值時(shí)，即與無關(guān)，
令，得，此時(shí)恒成立，
即當(dāng)時(shí)，為定值，且定值為5．分
（ⅱ）設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為，
由消去，
整理得，
由，
化簡(jiǎn)得，
因?yàn)椋?br>所以，
故在點(diǎn)處的切線方程為，整理可得，①
同理可得，在點(diǎn)處的切線方程為．②
設(shè)，將其代入①②，得，，
所以直線的方程為，即，
令，得
故直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為．分
X
0
1
2
3
P

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