第Ⅰ卷（共60分）
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設(shè)全集，，，則集合（ ）
A． B． C． D．
2．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．對任意非零實數(shù)，若的運算原理如圖所示，則的值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．設(shè)滿足約束條件，則的最大值為（ ）
A． B． C．4 D．5
5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）
A．18 B．24 C．32 D．36
6．《九章算術(shù)》中“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第6節(jié)的容積為（ ）
A． B． C． D．
7．曲線：如何變換得到曲線：（ ）
A．向右平移個單位 B．向右平移個單位
C．向左平移個單位 D．向左平移個單位
8．已知雙曲線的左右焦點分別為，以為圓心，為半徑的圓交的右支于兩點，若的一個內(nèi)角為，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
9．已知正三棱柱，側(cè)面的面積為，則該正三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C．D．
10．已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
11．設(shè)均為小于1的正數(shù)，且，則（ ）
A． B． C．D．
12．在數(shù)列中，，一個5行6列的數(shù)表中，第行第列的元素為
，則該數(shù)表中所有元素之和為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13．三位同學(xué)要從兩門課程中任選一門作為選修課，則兩門課程都有同學(xué)選擇的概率為.
14．在平行四邊形中，分別為邊的中點，若（），則.
15．二項式的展開式中各項系數(shù)的和為，則該展開式中系數(shù)最大的項為.
16．拋物線的焦點為，是拋物線上的兩個動點，線段的中點為，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則的最大值為.
三、解答題 （本大題共6題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．在中，邊上一點滿足，.
（1）若，求邊的長；
（2）若，求.
18．某網(wǎng)購平臺為了解某市居民在該平臺的消費情況，從該市使用其平臺且每周平均消費額超過100元的人員中隨機抽取了100名，并繪制右圖所示頻率分布直方圖，已知之間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.
（1）求的值；
（2）分析人員對100名調(diào)查對象的性別進(jìn)行統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，消費金額不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為消費金額與性別有關(guān)？
（3）分析人員對抽取對象每周的消費金額與年齡進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)他們線性相關(guān)，得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲，試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費金額為多少.（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替）
，其中
19．多面體中，，，是邊長為2的等邊三角形，四邊形是菱形，.
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．已知橢圓：的左右焦點分別為，且離心率為，點為橢圓上一動點，面積的最大值為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)分別為橢圓的左右頂點，過點作軸的垂線，為上異于點的一點，以為直徑作圓.若過點的直線（異于軸）與圓相切于點，且與直線相交于點，試判斷是否為定值，并說明理由.
21．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上存在最大值0，求函數(shù)在上的最大值；
（3）求證：當(dāng)時，.
請考生在22、23二題中任選一題作答，如果都做，則按所做的第一題記分.
22．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.
（1）若直線與相切，求的直角坐標(biāo)方程；
（2）若，設(shè)與的交點為，求的面積.
23．選修4-5：不等式選講
已知函數(shù).
（1）解不等式；
（2）記函數(shù)的最小值為，若均為正實數(shù)，且，求的最小值.
參考答案
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13． 14．2 15． 16．
三、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
17．解：（1）∵，∴在中，，
∴，
中，，由余弦定理可得，
所以
（2）在中，由正弦定理可得，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵
∴
∴
∴，化簡得，
，
∵，
∴.
18．解：（1）由頻率分布直方圖可知，，
由中間三組的人數(shù)成等差數(shù)列可知，
可解得
（2）周平均消費不低于300元的頻率為，
因此100人中，周平均消費不低于300元的人數(shù)為人.
所以列聯(lián)表為
所以有的把握認(rèn)為消費金額與性別有關(guān).
（3）調(diào)查對象的周平均消費為
，
由題意，∴
.
19.（1）證明：取的中點，連結(jié)，
是邊長為2的等邊三角形，所以，，
四邊形是菱形，∴，∵，
∴，
∵，∴，
∴
又，所以平面
平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，兩兩垂直，分別以為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
因為，所以四點共面，
得
設(shè)平面的一個法向量為，
由得，令
得
由題意知，，所以平面平面，
所以平面的一個法向量為
設(shè)二面角的大小為，則，
所以二面角的余弦值為.
20．（1）由題意可知
，解得
所以橢圓的方程為
（2）由（1）可知，
因為過與圓相切的直線分別切于兩點，所以，
所以，
設(shè)點，則，圓的半徑為
則直線的方程為
的方程設(shè)為，則
化簡得
由，得
所以點
所以點在橢圓上，
∴，即.
21．解：（1）由題意可知，，則，
當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，解得時，，時，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由（1）可知，且在處取得最大值，
，即，
觀察可得當(dāng)時，方程成立
令，
當(dāng)時，，當(dāng)時，
∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
∴，
∴當(dāng)且僅當(dāng)時，，
所以，由題意可知，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得最大值
（3）由（2）可知，若，當(dāng)時，，即，
可得，
令，即證
令，
∵
∴，又，∴
∴，在上單調(diào)遞減，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
所以.
22．解：（1）由可得的直角坐標(biāo)方程為
，即，
消去參數(shù)，可得，設(shè)，
則直線的方程為
由題意，圓心到直線的距離，解得
所以直線的直角坐標(biāo)方程為
（2）因為，所以直線方程為，
原點到直線的距離
聯(lián)立解得或
所以，所以.
23．解：（1）
所以等價于或或
解得或，所以不等式的解集為或
（2）由（1）可知，當(dāng)時，取得最小值，
所以，即
由柯西不等式，
整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，
所以的最小值為.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
選項
B
C
D
C
B
A
D
C
D
A
B
A

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