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廣西高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（　?。?br /> A．{2，5} B．（6，+∞） C．（0，5） D．（1，5）
2．復(fù)數(shù)的實部與虛部分別為（　?。?br /> A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i
3．設(shè)a=log25，b=log26，，則（　　）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a(chǎn)＞b＞c
4．設(shè)向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），若+=λ（λ∈R），則λ+x的值是（　?。?br /> A．﹣ B． C．﹣ D．
5．已知tanα=3，則等于（　?。?br /> A． B． C． D．2
6．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為（　?。?br /> A． B．2 C． D．0
7．將函數(shù)y=cos（2x+）的圖象向左平移個單位后，得到f（x）的圖象，則（　?。?br /> A．f（x）=﹣sin2x B．f（x）的圖象關(guān)于x=﹣對稱
C．f（）= D．f（x）的圖象關(guān)于（，0）對稱
8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，n=4，則輸出的s等于（　?。?br />
A．94 B．99 C．45 D．203
9．直線y=2b與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分別交于B，C兩點，A為右頂點，O為坐標原點，若∠AOC=∠BOC，則該雙曲線的離心率為（　?。?br /> A． B． C． D．
10．2015年年歲史詩大劇《羋月傳》風(fēng)靡大江南北，影響力不亞于以前的《甄嬛傳》．某記者調(diào)查了大量《羋月傳》的觀眾，發(fā)現(xiàn)年齡段與愛看的比例存在較好的線性相關(guān)關(guān)系，年齡在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的愛看比例分別為10%，18%，20%，30%，t%．現(xiàn)用這5個年齡段的中間值x代表年齡段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根據(jù)前四個數(shù)據(jù)求得x關(guān)于愛看比例y的線性回歸方程為，由此可推測t的值為（　?。?br /> A．33 B．35 C．37 D．39
11．某幾何體是組合體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　?。?br />
A． +8π B． +8π C．16+8π D． +16π
12．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）對x∈[1，3]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A．[2，e] B．[，+∞） C．[，e] D．[，]　
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13．（x﹣1）7的展開式中x2的系數(shù)為　　．
14．已知曲線C由拋物線y2=8x及其準線組成，則曲線C與圓（x+3）2+y2=16的交點的個數(shù)為　　．
15．若體積為4的長方體的一個面的面積為1，且這個長方體8個頂點都在球O的球面上，則球O表面積的最小值為　?。?br /> 16．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何．”這道題講的是有一個三角形沙田，三邊分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計算，則該沙田的面積為　　平萬千米．　
三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．某體育場一角的看臺共有20排座位，且此看臺的座位是這樣排列的：第一排由2個座位，從第二排起每一排都比前一排多1個座位，記an表示第n排的座位數(shù)．
（1）確定此看臺共有多少個座位；
（2）設(shè)數(shù)列{2n?an}的前20項的和為S20，求log2S20﹣log220的值．
18．已知某智能手機制作完成之后還需要依次通過三道嚴格的審核程序，第﹣道審核、第二道審核、第三道審核通過的概率分別為，每道程序是相互獨立的，且一旦審核不通過就停止審核，每部手機只有三道程序都通過才能出廠銷售．
（1）求審核過程中只通過兩道程序的概率；
（2）現(xiàn)有3部智能手機進人審核，記這3部手機可以出廠銷售的部數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
19．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1與側(cè)面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．
（1）求證：AB1⊥CC1；
（2）若AB1=3，A1C1的中點為D1，求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．

20．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，|F1F2|=2，|DE|=，若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點N（，）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）試探討△AOB的面積S是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．

21．已知函數(shù)f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b為常數(shù)．
（1）若x=1是函數(shù)y=xf（x）的一個極值點，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）有2個零點，f（g（x））有6個零點，求a+b的取值范圍．
　請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22．在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x﹣）2+（y+1）2=9，以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）直線OP：θ=（p∈R）與圓C交于點M，N，求線段MN的長．
　
[選修4-5：不等式選講]
23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M為不等式f（x）＞0的解集．
（1）求M；
（2）求證：當x，y∈M時，|x+y+xy|＜15．
　
廣西高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）試題解析
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（　?。?br /> A．{2，5} B．（6，+∞） C．（0，5） D．（1，5）
【考點】子集與真子集．
【分析】求解二次不等式化簡A，然后可得集合A的真子集．
【解答】解：因為A={x|x2＜5x}={x|0＜x＜5}，
所以是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（1，5）．
故選：D．　
2．復(fù)數(shù)的實部與虛部分別為（　　）
A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i
【考點】復(fù)數(shù)的基本概念．
【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù)z得答案．
【解答】解： =，
∴z的實部與虛部分別為7，﹣3．
故選：A．　
3．設(shè)a=log25，b=log26，，則（　?。?br /> A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a(chǎn)＞b＞c
【考點】對數(shù)值大小的比較．
【分析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接求解．
【解答】解：∵log24=2＜a=log25＜b=log26＜log28=3，
=3，
∴c＞b＞a．
故選：A．　
4．設(shè)向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），若+=λ（λ∈R），則λ+x的值是（　?。?br /> A．﹣ B． C．﹣ D．
【考點】平面向量的坐標運算．
【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算與向量相等，列出方程組求出λ和x的值，即可求出λ+x的值．
【解答】解：向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），
∴+=（﹣2，7），
又+=λ（λ∈R），
∴，
解得λ=﹣，x=﹣14；
∴λ+x=﹣﹣14=﹣．
故選：C．　
5．已知tanα=3，則等于（　?。?br /> A． B． C． D．2
【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．
【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切，即可計算得解．
【解答】解：∵tanα=3，
∴===．
故選：B．　
6．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為（　?。?br /> A． B．2 C． D．0
【考點】簡單線性規(guī)劃．
【分析】首先畫出可行域，根據(jù)事情是區(qū)域內(nèi)的點與原點連接的直線的斜率的最大值，求之即可．
【解答】解：由已知得到可行域如圖：則表示區(qū)域內(nèi)的點與原點連接的直線的斜率，所以與C連接的直線斜率最大，且C（2，3），所以的最大值為；
故選：A．
　
7．將函數(shù)y=cos（2x+）的圖象向左平移個單位后，得到f（x）的圖象，則（　　）
A．f（x）=﹣sin2x B．f（x）的圖象關(guān)于x=﹣對稱
C．f（）= D．f（x）的圖象關(guān)于（，0）對稱
【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．
【分析】利用誘導(dǎo)公式、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
【解答】解：將函數(shù)y=cos（2x+）的圖象向左平移個單位后，得到f（x）=cos[2（x+）+]
=cos（2x+）=﹣sin（2x+）的圖象，故排除A；
當x=﹣時，f（x）=1，為最大值，故f（x）的圖象關(guān)于x=﹣對稱，故B正確；
f（）=﹣sin=﹣sin=﹣，故排除C；
當x=時，f（x）=﹣sin=﹣≠0，故f（x）的圖象不關(guān)于（，0）對稱，故D錯誤，
故選：B．　
8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，n=4，則輸出的s等于（　?。?br />
A．94 B．99 C．45 D．203
【考點】程序框圖．
【分析】輸入x和n的值，求出k的值，比較即可．
【解答】解：第一次運算：s=2，s=5，k=2；
第二次運算：s=5+2=7，s=16，k=3；
第三次運算：s=16+3=19，s=41，k=4；
第四次運算：s=41+4=45，s=94，k=5＞4，
輸出s=94，
故選：A．
9．直線y=2b與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分別交于B，C兩點，A為右頂點，O為坐標原點，若∠AOC=∠BOC，則該雙曲線的離心率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．
【分析】利用條件得出∠AOC=60°，C（b，2b），代入雙曲線﹣=1，可得﹣4=1，b=a，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=60°，
∴C（b，2b），
代入雙曲線﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a，
∴c==a，
∴e==，
故選D．　
10．2015年年歲史詩大劇《羋月傳》風(fēng)靡大江南北，影響力不亞于以前的《甄嬛傳》．某記者調(diào)查了大量《羋月傳》的觀眾，發(fā)現(xiàn)年齡段與愛看的比例存在較好的線性相關(guān)關(guān)系，年齡在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的愛看比例分別為10%，18%，20%，30%，t%．現(xiàn)用這5個年齡段的中間值x代表年齡段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根據(jù)前四個數(shù)據(jù)求得x關(guān)于愛看比例y的線性回歸方程為，由此可推測t的值為（　?。?br /> A．33 B．35 C．37 D．39
【考點】線性回歸方程．
【分析】計算前四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，代入線性回歸方程求出k的值，再由回歸直線方程求出x=32時的值即可．
【解答】解：前四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
=×（12+17+22+27）=19.5，
=×（10+18+20+30）=19.5，
代入線性回歸方程=kx﹣4.68，
得19.5=k×19.5﹣4.68，
解得k=1.24，
∴線性回歸方程為=1.24x﹣4.68；
當x=32時， =1.24×32﹣4.68≈35，
由此可推測t的值為35．
故選：B．
11．某幾何體是組合體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　?。?br />
A． +8π B． +8π C．16+8π D． +16π
【考點】由三視圖求面積、體積．
【分析】由三視圖知該幾何體是下面為半圓柱體、上面為四棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度、并判斷出位置關(guān)系，由柱體、錐體的體積公式即可求出幾何體的體積．
【解答】解：根據(jù)三視圖可知幾何體是下面為半個圓柱、上面為一個四棱錐的組合體，
且四棱錐的底面是俯視圖中小矩形的兩條邊分別是2、4，
其中一條側(cè)棱與底面垂直，高為2，
圓柱的底面圓半徑為2、母線長為4，
所以該幾何體的體積為
V=×2×4×2+×π×22×4=+8π．
故選：A．　
12．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）對x∈[1，3]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A．[2，e] B．[，+∞） C．[，e] D．[，]
【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．
【分析】由條件利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得0≤ax﹣lnx≤2對x∈[1，3]恒成立．令g（x）=ax﹣lnx，則由 g′（x）=a﹣=0，求得x=．
分類討論求得g（x）的最大值和最小值，從而求得a的范圍．
【解答】解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，
若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）對x∈[1，3]恒成立，
則2f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）對x∈[1，3]恒成立，即f（ax﹣lnx﹣1）≥f（1）對x∈[1，3]恒成立．
∴﹣1≤ax﹣lnx﹣1≤1 對x∈[1，3]恒成立，
即0≤ax﹣lnx≤2對x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=ax﹣lnx，則由 g′（x）=a﹣=0，求得x=．
①當≤1，即 a＜0 或a≥1時，g′（x）≥0在[1，3]上恒成立，g（x）為增函數(shù)，
∵最小值g（1）=a≥0，最大值g（3）=3a﹣ln3≤2，∴0≤a≤，
綜合可得，1≤a≤．
②當≥3，即0＜a≤時，g′（x）≤0在[1，3]上恒成立，g（x）為減函數(shù)，
∵最大值 g（1）=a≤2，最小值g（3）=3a﹣ln3≥0，∴≤a≤2，
綜合可得，a無解．
③當1＜＜3，即＜a＜1時，在[1，）上，g′（x）＜0恒成立，g（x）為減函數(shù)；
在（，3]上，g′（x）＞0恒成立，g（x）為增函數(shù)．
故函數(shù)的最小值為g（）=1﹣ln，∵g（1）=a，g（3）=3a﹣ln3，g（3）﹣g（1）=2a﹣ln3．
若 2a﹣ln3＞0，即ln＜a＜1，∵g（3）﹣g（1）＞0，則最大值為g（3）=3a﹣ln3，
此時，由1﹣ln≥0，g（3）=3a﹣ln3≤2，求得≤a≤，綜合可得，ln＜a＜1．
若2a﹣ln3≤0，即＜a≤ln3=ln，∵g（3）﹣g（1）≤0，則最大值為g（1）=a，
此時，最小值1﹣ln≥0，最大值g（1）=a≤2，求得≤a≤2，
綜合可得≤a≤ln．
綜合①②③可得，1≤a≤或ln＜a＜1或≤a≤ln，
即≤a≤，
故選：D．　
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13．（x﹣1）7的展開式中x2的系數(shù)為　﹣21　．
【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．
【分析】利用通項公式即可得出．
【解答】解：通項公式Tr+1=，令7﹣r=2，解得r=5．
∴（x﹣1）7的展開式中x2的系數(shù)為﹣=﹣21．
故答案為：﹣21．　
14．已知曲線C由拋物線y2=8x及其準線組成，則曲線C與圓（x+3）2+y2=16的交點的個數(shù)為　4　．
【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．
【分析】分別求出拋物線y2=8x及其準線與圓（x+3）2+y2=16的交點的個數(shù)，即可得到結(jié)論．
【解答】解：圓的圓心坐標為（﹣3，0），半徑為4，拋物線的頂點為（0，0），焦點為（2，0），
所以圓（x+3）2+y2=16與拋物線y2=8x的交點個數(shù)為2．
圓心到準線x=﹣2的距離為1，小于半徑，直線與圓有兩個交點，
綜上所述，曲線C與圓（x+3）2+y2=16的交點的個數(shù)為4．
故答案為：4．　
15．若體積為4的長方體的一個面的面積為1，且這個長方體8個頂點都在球O的球面上，則球O表面積的最小值為　18π?。?br /> 【考點】球的體積和表面積．
【分析】設(shè)長方體的三度為a，b，c，則ab=1，abc=4，可得c=4，長方體的對角線的長度，就是外接球的直徑，求出直徑的最小值，即可求出球O表面積的最小值．
【解答】解：設(shè)長方體的三度為a，b，c，則ab=1，abc=4，∴c=4．
長方體的對角線的長度，就是外接球的直徑，所以2r=≥=3，
當且僅當a=b時，r的最小值為，
所以球O表面積的最小值為：4πr2=18π．
故答案為：18π．　
16．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何．”這道題講的是有一個三角形沙田，三邊分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計算，則該沙田的面積為　21　平萬千米．
【考點】正弦定理；余弦定理．
【分析】由題意畫出圖象，并求出AB、BC、AC的長，由余弦定理求出cosB，由平方關(guān)系求出sinB的值，代入三角形的面積公式求出該沙田的面積．
【解答】解：由題意畫出圖象：
且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米，
AC=15里=7500米，
在△ABC中，由余弦定理得，
cosB===，
所以sinB==，
則該沙田的面積：即△ABC的面積S=
=
=21000000（平方米）=21（平方千米），
故答案為：21．
　
三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．某體育場一角的看臺共有20排座位，且此看臺的座位是這樣排列的：第一排由2個座位，從第二排起每一排都比前一排多1個座位，記an表示第n排的座位數(shù)．
（1）確定此看臺共有多少個座位；
（2）設(shè)數(shù)列{2n?an}的前20項的和為S20，求log2S20﹣log220的值．
【考點】數(shù)列的求和．
【分析】（1）由題意可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可求得an=2+（n﹣1）=n+1，（1≤n≤20），由此看臺共有座位個數(shù)為S20，由等差數(shù)列前n項和公式即可求得S20．
（2）由（1）可知2n?an=（n+1）?2n，利用“錯位相減法”即可求得數(shù)列{2n?an}的前20項的和為S20，代入根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求得log2S20﹣log220的值．
【解答】解：（1）由題意可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
首項a1=2，公差d=1，
∴an=2+（n﹣1）=n+1，（1≤n≤20），
∴由等差數(shù)列前n項和公式可知：此看臺共有S20===230；
（2）由2n?an=（n+1）?2n，
數(shù)列{2n?an}的前20項和S20=2?2+3?22+4?23+…+21?220，
∴2S20=2?22+3?23+4?24+…+21?221，
兩式相減得：﹣S20=2?2+22+23+…+220﹣21?221，
=2+﹣21?221，
=﹣20?221，
∴S20=20?221，
log2S20﹣log220=log220?221﹣log220=log220+log2221﹣log220=21．
∴l(xiāng)og2S20﹣log220=21．　
18．已知某智能手機制作完成之后還需要依次通過三道嚴格的審核程序，第﹣道審核、第二道審核、第三道審核通過的概率分別為，每道程序是相互獨立的，且一旦審核不通過就停止審核，每部手機只有三道程序都通過才能出廠銷售．
（1）求審核過程中只通過兩道程序的概率；
（2）現(xiàn)有3部智能手機進人審核，記這3部手機可以出廠銷售的部數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【考點】離散型隨機變量的期望與方差；古典概型及其概率計算公式；離散型隨機變量及其分布列．
【分析】（1）設(shè)“審核過程中只通過兩道程序”為事件A，則P（A）=．
（2）每部該智能手機可以出廠銷售的概率為．由題意可得X可取0，1，2，3，則X～B．
【解答】解：（1）設(shè)“審核過程中只通過兩道程序”為事件A，則．
（2）每部該智能手機可以出廠銷售的概率為．由題意可得X可取0，1，2，3，
則X～B.，．所以X的分布列為：
X
0
1
2
3
P




故（或）．
19．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1與側(cè)面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．
（1）求證：AB1⊥CC1；
（2）若AB1=3，A1C1的中點為D1，求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．

【考點】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．
【分析】（1）連結(jié)AC1，則△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1中點O，連結(jié)OA，OB1，則CC1⊥OA，CC1⊥OB1，由此能證明CC1⊥AB1．
（2）分別以O(shè)B1，OC1，OA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．
【解答】證明：（1）連結(jié)AC1，則△ACC1，△B1C1C都是正三角形，
取CC1中點O，連結(jié)OA，OB1，
則CC1⊥OA，CC1⊥OB1，
∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，
∵AB1?平面OAB1，∴CC1⊥AB1．
解：（2）由（1）知OA=OB1=3，
又AB1=3，∴OA2+OB12=AB12，
∴OA⊥OB1，OA⊥平面B1C1C，
如圖，分別以O(shè)B1，OC1，OA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則C（0，﹣，0），B1（3，0，0），A（0，0，3），C1（0，，0），A1（0，2，3），D1（0，，），
設(shè)平面CAB1的法向量=（x，y，z），
∵=（3，0，﹣3），=（1，﹣，1），
∴，取x=1，得=（），
設(shè)平面AB1D1的法向量=（a，b，c），
∵=（0，，﹣），=（﹣3，，），
∴，取b=1，得=（），
∴cos＜＞===，
由圖知二面角C﹣AB1﹣D1的平面角為鈍角，
∴二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值為﹣．
　
20．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，|F1F2|=2，|DE|=，若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點N（，）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）試探討△AOB的面積S是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．

【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．
【分析】（1）由D，E是橢圓的兩個頂點，|F1F2|=2，|DE|=，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則P（，y1），Q（），由OP⊥OQ，即=0，當直線AB的斜率不存在時，S=1．當直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，m≠0，
聯(lián)立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式能求出△ABC的面積為1．
【解答】解：（1）∵F1，F(xiàn)2為橢圓C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦點，
D，E是橢圓的兩個頂點，|F1F2|=2，|DE|=，
∴，解得a=2，b=1，c=，
∴橢圓C的標準方程為=1．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則P（，y1），Q（），
由OP⊥OQ，即=0，（*）
①當直線AB的斜率不存在時，S=|x1|×|y1﹣y2|=1．
②當直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，m≠0，
聯(lián)立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△=16（4k2+1﹣m2），，
同理，，代入（*），整理，得4k2+1=2m2，
此時，△=16m2＞0，
AB=|x1﹣x2|=，
h=，∴S=1，
綜上，△ABC的面積為1．　
21．已知函數(shù)f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b為常數(shù)．
（1）若x=1是函數(shù)y=xf（x）的一個極值點，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）有2個零點，f（g（x））有6個零點，求a+b的取值范圍．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．
【分析】（1）求得函數(shù)y=xf（x）的導(dǎo)數(shù)，由極值的概念可得a=12，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，運用點斜式方程可得切線的方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，以及極值，由零點個數(shù)為2，可得a=3，作出y=f（x）的圖象，令t=g（x），由題意可得t=﹣1或t=，即f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b都有3個實數(shù)解，由圖象可得﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即可得到所求a+b的范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=4x2+﹣a，
則y=xf（x）=4x3+1﹣ax的導(dǎo)數(shù)為y′=12x2﹣a，
由題意可得12﹣a=0，解得a=12，
即有f（x）=4x2+﹣12，
f′（x）=8x﹣，
可得曲線在點（1，f（1））處的切線斜率為7，切點為（1，﹣7），
即有曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+7=7（x﹣1），
即為y=7x﹣14；
（2）由f（x）=4x2+﹣a，導(dǎo)數(shù)f′（x）=8x﹣，
當x＞時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x＜0或0＜x＜時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得x=處取得極小值，且為3﹣a，
由f（x）有兩個零點，可得3﹣a=0，即a=3，零點分別為﹣1，．
令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=﹣1或，
則f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b，
由題意可得f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b都有3個實數(shù)解，
則﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即b＜﹣1且b＜，
可得b＜﹣1，即有a+b＜2．
則a+b的范圍是（﹣∞，2）．
　
請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22．在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x﹣）2+（y+1）2=9，以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）直線OP：θ=（p∈R）與圓C交于點M，N，求線段MN的長．
【考點】簡單曲線的極坐標方程．
【分析】（1）利用直角坐標方程化為極坐標方程的方法，求圓C的極坐標方程；
（2）利用|MN|=|ρ1﹣ρ2|，求線段MN的長．
【解答】解：（1）（x﹣）2+（y+1）2=9可化為x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，
故其極坐標方程為ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．…
（2）將θ=代入ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，得ρ2﹣2ρ﹣5=0，
∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=﹣5，
∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|==2．…
　
[選修4-5：不等式選講]
23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M為不等式f（x）＞0的解集．
（1）求M；
（2）求證：當x，y∈M時，|x+y+xy|＜15．
【考點】絕對值不等式的解法．
【分析】（1）通過討論x的范圍，解關(guān)于x的不等式，求出M的范圍即可；
（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)證明即可．
【解答】解：（1）f（x）=，
當x＜﹣2時，由x﹣3＞0得，x＞3，舍去；
當﹣2≤x≤時，由3x+1＞0得，x＞﹣，即﹣＜x≤；
當x＞時，由﹣x+3＞0得，x＜3，即＜x＜3，
綜上，M=（﹣，3）；
（2）證明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，
∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15．
　

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