理科數(shù)學(xué)（模擬一）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
已知集合，則
（A）（B）（C）（D）
歐拉公式(為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”。根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象
（A）向左平移個周期（B）向右平移個周期
（C）向左平移個周期（D）向右平移個周期
某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是
（A）（B）（C）（D）
如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體各面中直角三角形的個數(shù)是
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
等比數(shù)列的前項和為，下列結(jié)論一定成立的是
（A）若，則
（B）若，則
（C）若，則
（D）若，則
我們可以用隨機模擬的方法估計π的值，如下程序框圖表示其基本步驟（函數(shù)RAND是產(chǎn)生隨機數(shù)的函數(shù)，它能隨機產(chǎn)生內(nèi)的任何一個實數(shù)），若輸出的結(jié)果為527，則由此可估計π的近似值
（A）126 （B） 3.132 （C）3.151 （D） 3.162
函數(shù)的部分圖像為
（D）（
（C）（
（A（B）（C）（D）
已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，若三棱錐體積的最大值為2，則球的表面積為
（A）（B）（C）（D）
已知雙曲線（）的左、右焦點分別為，，是右支上的一點，與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為．若，則的離心率是
（A）（B）（C）（D）
向量，，對，，則
（A）（B）（C）（D）
函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是
（A）（B）（C）（D）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。
展開式中的常數(shù)項為．
甲和乙玩一個猜數(shù)游戲，規(guī)則如下：已知五張紙牌上分別寫有（）五個數(shù)字，現(xiàn)甲、乙兩人分別從中各自隨機抽取一張，然后根據(jù)自己手中的數(shù)推測誰手上的數(shù)更大．甲看了看自己手中的數(shù)，想了想說：我不知道誰手中的數(shù)更大；乙聽了甲的判斷后，思索了一下說：我也不知道誰手中的數(shù)更大．假設(shè)甲、乙所作出的推理都是正確的，那么乙手中的數(shù)是.
不等式組的解集記作，實數(shù)滿足如下兩個條件：
①；②.
則實數(shù)的取值范圍為.
“斐波那契”數(shù)列由十三世紀意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱之為神奇數(shù)．具體數(shù)列為：，即從該數(shù)列的第三項數(shù)字開始，每個數(shù)字等于前兩個相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列的前項和，若，則__________．（用表示）
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
（12分）
的內(nèi)角的對邊分別為，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的面積．
（12分）
（18題圖）
如圖，多面體中，面為正方形，，，，二面角的余弦值為，且．
（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
（12分）
某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標準，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸x（mm）之間近似滿足關(guān)系式（b、c為大于0的常數(shù)）．按照某項指標測定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時為優(yōu)等品．現(xiàn)隨機抽取6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：
（Ⅰ）現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機變量的分布列和期望；
（Ⅱ）根據(jù)測得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表：
（?。└鶕?jù)所給統(tǒng)計量，求y關(guān)于x的回歸方程；
（ⅱ）已知優(yōu)等品的收益（單位：千元）與的關(guān)系為，則當(dāng)優(yōu)等品的尺寸x為何值時，收益的預(yù)報值最大？（精確到0.1）
附：對于樣本，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，.
（12分）
已知橢圓的上頂點為，點，是上且不在軸上的點，直線與交于另一點.若的離心率為，的最大面積等于.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直線分別與軸交于點，試判斷是否為定值.
（12分）
已知函數(shù)，．曲線與在原點處的切線相同.
（Ⅰ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍．
請考生在第、題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分。
（10分）選修：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系. 曲線的極坐標方程為，為曲線上異于極點的動點，點在射線上，且成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求點的軌跡的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知,是曲線上的一點且橫坐標為，直線與交于兩點，試求的值．
（10分）選修：不等式選講
已知，
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）若時，的解集為空集，求的取值范圍．
理科數(shù)學(xué)參考答案
選擇題 DBDAC CDDDA CD
填空題 13、 4 14、 15、 16、
解答題
17.（1）（2）的面積為2
18.（1）∵，，，由勾股定理得：-------1分
又正方形中，且
∴面---------------3分
∵面，∴平面平面--------------4分
（2）解：由（Ⅰ）知是二面角的平面角----------5分
作于，則，
且由平面平面，平面平面，面得：
面--------------6分
取中點，連結(jié)，則-----------------7分
如圖，建立空間直角坐標系，
則、、、
∴，的一個方向向量---8分
設(shè)面的一個法向量，
則，
取，得：-----------------9分
又面一個法向量為：---------------10分
∴----------11分
設(shè)面與面所成二面角為，由為銳角得：
19.（1）解：由已知，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)，即
則隨機抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品 ------------1分
現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，則取到優(yōu)等品的件數(shù)
，，
，-------------3分
的分布列為
-----------------5分
（2）解：對（）兩邊取自然對數(shù)得，
令，得，且， -------------6分
（?。└鶕?jù)所給統(tǒng)計量及最小二乘估計公式有，
- --------------7分
，得，故 -----8分
所求y關(guān)于x的回歸方程為--------------9分
（ⅱ）由（?。┛芍?，，則
由優(yōu)等品質(zhì)量與尺寸的比，即令，
當(dāng)時，取最大值- -------------12分
即優(yōu)等品的尺寸（mm），收益的預(yù)報值最大.
20 （1）由題意，可得的最大面積為，即.……①
又……② 2分
……③ 3分
聯(lián)立①②③，解得，，
故的方程. 4分
（2）設(shè)直線的方程為，，. 5分
聯(lián)立方程組消去，得，6分
整理，得，7分
由韋達定理，得，8分
又直線的方程為，所以，9分
直線的方程為，所以，10分
所以 11分
，
即為定值12分
21.（1），減區(qū)間，增區(qū)間 ……………………5分
（2） ……………………12分
22（1）解：（1）設(shè)，，
則由成等比數(shù)列，可得，………………………………1分
即，．………………………………2分
又滿足，即，………………………………3分
∴，………………………………4分
化為直角坐標方程為．………………………………5分
（2）依題意可得，故，即直線傾斜角為，……………………6分
∴直線的參數(shù)方程為………………………………7分
代入圓的直角坐標方程，得，……………………8分
故，，………………………………9分
∴．………………………………10分
23．選修：不等式選講
(1)當(dāng)時，化為，…………1
所以解集為或．…………5分
(2)由題意可知，即為時，恒成立． …………6分
當(dāng)時，，得；…………8分
當(dāng)時，，得，
綜上，．…………10分
尺寸x（mm）
38
48
58
68
78
88
質(zhì)量y (g)
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
質(zhì)量與尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
75.3
24.6
18.3
101.4

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