第Ⅰ卷（共60分）
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知全集，集合，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
2.已知，則的值是（ ）
A． B． C． D．
3.若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A．1215 B．135 C．18 D．9
4.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的值為55，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入（ ）
A． B． C． D．
5.等邊的邊長(zhǎng)為1，是邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則等于（ ）
A． B． C． D．
6.從裝有形狀大小相同的3個(gè)黑球和2個(gè)白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，則第三次抽得白球的概率等于（ ）
A． B． C． D．
7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式為：.弧田（如圖1陰影部分）由圓弧和其所對(duì)弦圍成，弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.類比弧田面積公式得到球缺(如圖2)近似體積公式：圓面積矢.球缺是指一個(gè)球被平面截下的一部分，廈門嘉庚體育館近似球缺結(jié)構(gòu)（如圖3)，若該體育館占地面積約為18000，建筑容積約為340000，估計(jì)體育館建筑高度(單位：)所在區(qū)間為（ ）
參考數(shù)據(jù):，，，
，.
A． B． C． D．
8.設(shè)滿足約束條件且的最大值為8，則的值是（ ）
A． B． C． D．2
9.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10.已知函數(shù)，若，則（ ）
A． B．
C． D．
11.拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A． B． C． D．
12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且，則的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13.已知復(fù)數(shù)滿足，則等于．
14.斜率為2的直線被雙曲線截得的弦恰被點(diǎn)平分，則的離心率是．
15.某四面體的三視圖如圖所示，則該四面體高的最大值是．
16.等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在其外接圓劣弧上，則的最大值為．
三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
17. 已知等差數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18.已知四棱錐的底面是直角梯形，，，為的中點(diǎn)，.
（1）證明:平面平面；
（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.
19.某市大力推廣純電動(dòng)汽車，對(duì)購(gòu)買用戶依照車輛出廠續(xù)駛里程的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，予以地方財(cái)政補(bǔ)貼.其補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表:
2017年底隨機(jī)調(diào)査該市1000輛純電動(dòng)汽車，統(tǒng)計(jì)其出廠續(xù)駛里程，得到頻率分布直方圖如圖所示.
用樣本估計(jì)總體，頻率估計(jì)概率，解決如下問(wèn)題：
（1）求該市純電動(dòng)汽車2017年地方財(cái)政補(bǔ)貼的均值；
（2）某企業(yè)統(tǒng)計(jì)2017年其充電站100天中各天充電車輛數(shù)，得如下的頻數(shù)分布表：
（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
2018年2月，國(guó)家出臺(tái)政策，將純電動(dòng)汽車財(cái)政補(bǔ)貼逐步轉(zhuǎn)移到充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)上來(lái).該企業(yè)擬將轉(zhuǎn)移補(bǔ)貼資金用于添置新型充電設(shè)備.現(xiàn)有直流、交流兩種充電樁可供購(gòu)置.直流充電樁5萬(wàn)元/臺(tái)，每臺(tái)每天最多可以充電30輛車，每天維護(hù)費(fèi)用500元/臺(tái)；交流充電樁1萬(wàn)元/臺(tái)，每臺(tái)每天最多可以充電4輛車，每天維護(hù)費(fèi)用80元/臺(tái).
該企業(yè)現(xiàn)有兩種購(gòu)置方案：
方案一:購(gòu)買100臺(tái)直流充電樁和900臺(tái)交流充電樁；
方案二:購(gòu)買200臺(tái)直流充電樁和400臺(tái)交流充電樁.
假設(shè)車輛充電時(shí)優(yōu)先使用新設(shè)備，且充電一輛車產(chǎn)生25元的收入，用2017年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別估計(jì)該企業(yè)在兩種方案下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn).（日利潤(rùn)日收入日維護(hù)費(fèi)用）
20.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，為的上頂點(diǎn)，的內(nèi)切圓面積為.
（1）求的方程；
（2）過(guò)的直線交于點(diǎn)，過(guò)的直線交于，且，求四邊形面積的取值范圍.
21.設(shè)函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）若在點(diǎn)處的切線與軸平行，且函數(shù)在時(shí)，其圖象上每一點(diǎn)處切線的傾斜角均為銳角，求的取值范圍.
請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線(為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
（1）求的極坐標(biāo)方程；
（2）射線的極坐標(biāo)方程為，若分別與交于異于極點(diǎn)的兩點(diǎn)，求的最大值.
23.選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)，其中.
（1）求函數(shù)的值域；
（2）對(duì)于滿足的任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒有解，求的取值范圍.
試卷答案
一、選擇題
1-5: CABCA 6-10: DBBCC 11、12：DD
二、填空題
13. 14. 15. 2 16.
三、解答題
17.解：（1）（法一）由，令，
得到
∵是等差數(shù)列，則，即
解得：
由于
∵，∴
（法二）∵是等差數(shù)列，公差為，設(shè)
∴
∴對(duì)于均成立
則，解得，
（2）由
18.（1）證明：由是直角梯形，，
可得
從而是等邊三角形，，平分
∵為的中點(diǎn)，，∴
又∵，∴平面
∵平面，∴平面平面
（2）法一：作于,連,
∵平面平面,平面平面
∴與平面平面
∴為與平面所成的角，，
又∵,∴為中點(diǎn),
以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
由得，
令得，
又平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角為，則
所求二面角的余弦值是.
解法二：作于點(diǎn),連，
∵平面平面，平面平面
∴平面
∴為與平面所成的角,
又∵,∴為中點(diǎn)，
作于點(diǎn),連,則平面，則，
則為所求二面角的平面角
由，得,∴,∴.
19.（1）依題意可得純電動(dòng)汽車地方財(cái)政補(bǔ)貼的分布列為：
純電動(dòng)汽車2017年地方財(cái)政補(bǔ)貼的平均數(shù)為(萬(wàn)元)
（2）由充電車輛天數(shù)的頻數(shù)分布表得每天需要充電車輛數(shù)的分布列：
若采用方案一，100臺(tái)直流充電樁和900臺(tái)交流充電樁每天可充電車輛數(shù)為
(輛）
可得實(shí)際充電車輛數(shù)的分布列如下表：
于是方案一下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)均值為
(元）
若采用方案二，200臺(tái)直流充電樁和400臺(tái)交流充電樁每天可充電車輛數(shù)為(輛）
可得實(shí)際充電車輛數(shù)的分布列如下表：
于是方案二下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)均值為(元)
20.解：（1）設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，得
設(shè)橢圓的焦距，則，
又由題意知，
所以，
所以，
結(jié)合及，解得，
所以的方程為.
（2）設(shè)直線的交點(diǎn)為，
則由知，點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓，其方程為.
該圓在橢圓內(nèi)，所以直線的交點(diǎn)在橢圓內(nèi)，從而四邊形面積可表示為.
①當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，.
②當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)，
聯(lián)立，得，
其中，
，
所以.
由直線的方程為，同理可得.
所以
.
令，所以，
令，
所以，
從而.
綜上所述，四邊形面積的取值范圍是.
21.解：法一：（1）當(dāng)時(shí)，，，
令，
①時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，不符合題意；
②時(shí)，令，，∴在單調(diào)遞增；令，，∴在單調(diào)遞減；
令，∴
又因?yàn)?，，且?br>所以時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).
即與的圖像的交點(diǎn)有兩個(gè).
法二：（1) ）當(dāng)時(shí)，，，
所以有兩個(gè)極值點(diǎn)就是方程有兩個(gè)解，
即與的圖像的交點(diǎn)有兩個(gè).
∵，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.有極大值
又因?yàn)闀r(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)與的圖像的交點(diǎn)有0個(gè)；
當(dāng)或時(shí)與的圖像的交點(diǎn)有1個(gè)；
當(dāng)時(shí)與的圖象的交點(diǎn)有2個(gè)；
綜上.
（2）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以且，因?yàn)椋?br>所以且；
在時(shí)，其圖像的每一點(diǎn)處的切線的傾斜角均為銳角，
即當(dāng)時(shí)，恒成立，即
，
令，∴
設(shè)，，因?yàn)?，所以，∴?br>∴在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，
∴，當(dāng)且時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增；
∴成立
當(dāng)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，，
所以存在有；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以有，不恒成立；
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
22.解：（1），∵，
故的極坐標(biāo)方程：.
的直角坐標(biāo)方程：，
∵，故的極坐標(biāo)方程:.
（2）直線分別與曲線聯(lián)立，得到
，則，
，則，
∴
令，則
所以，即時(shí)，有最大值.
23.解：（1）∵，∴
∴
故.
（2）∵，∴，
∵，∴，∴.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，∴
關(guān)于的不等式恒有解
即，故，又，所以.

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