1．（4分）的倒數(shù)是（ ）
A．B．﹣5C．D．5
2．（4分）疫情管控放開，旅游業(yè)觸底反彈，文旅消費需求劇增．據(jù)四川省文化和旅游廳消息，2023年春主假日期間，四川省共接待游客5387.59萬人次，居全國第一，實現(xiàn)旅游收入242.16億元．其中數(shù)據(jù)5387.59萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A．5.38759×103B．5.38759×104
C．5.38759×106D．5.38759×107
3．（4分）若x≠y，下列分式化簡正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）如圖，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，只添加一個條件能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．BC＝CBB．AC＝BDC．AB＝CDD．∠ABC＝∠D
5．（4分）某班為了解學(xué)生對黨史的學(xué)習(xí)情況，隨機抽取了8名學(xué)生進行調(diào)查，他們讀書的本數(shù)分別是3、2、3、3、5、1、2、5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（4分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點M在上，則∠CME的度數(shù)為（ ）
A．36°B．45°C．60°D．75°
7．（4分）我國民間流傳著這樣一道題：只聞隔壁人分銀，不知多少銀和人；每人6兩多6兩，每人半斤少半斤．試問各位善算者，多少人分多少銀？（注：在古代，1斤＝16兩）設(shè)有x人，分銀y兩，則根據(jù)題意可列方程組為（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線x＝1，下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)c＜0
B．當(dāng)x＞﹣1時，y隨x的增大而增大
C．b2﹣4ac＜0
D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的近似解為x1≈﹣0.5，x2≈3.2
二、填空題（共5小題，每題4分）
9．（4分）計算：（﹣a2）5＝ ．
10．（4分）若反比例函數(shù)在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 ．
11．（4分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D，E是網(wǎng)格線的交點，那么△ADE的面積與△ABC的面積的比是 ．
12．（4分）分式方程＝﹣2的解是 ．
13．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AB，BC于點M，N；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點P；③作射線BP，交AC于點D．若AB＝5，BC＝3，則線段AD的長為 ．
三、解答題
14．（6分）（1）計算：．
（2）解不等式組：．
15．（8分）第31屆世界大學(xué)生運動會將于2023年7月28日在成都舉行，學(xué)校為了了解學(xué)生對“大運會”的熟悉程度，在全校范圍內(nèi)隨機抽查了部分學(xué)生進行調(diào)查統(tǒng)計，并將調(diào)查統(tǒng)計的結(jié)果分為A，B，C三類，A表示“非常熟悉”，B表示“比較熟悉”，C表示“不熟悉”，得到如下統(tǒng)計圖（B類有70人），請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）本次隨機調(diào)查的人數(shù)是 人；扇形圖中C類所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 度；
（2）若該校共有1500人，請你估計該校B類學(xué)生的人數(shù)．
（3）若參與調(diào)查的兩名男生和兩名女生中隨機抽取2名學(xué)生進行“大運會”相關(guān)知識問答，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
16．（8分）三角形具有穩(wěn)定性，很多展架利用該原理進行設(shè)計．如圖為一個展架的側(cè)面，展架底部與支架間的距離BD為62cm，展架與地面的夾角為72°，若支架頂部C剛好支在展架的三分之一處（即AB＝3AC），且CD＝BC，那么該展架AB的長為多少．（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
17．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，以CD為直徑作⊙O，交BC邊于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為點F．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）若AC＝6，CD＝5，求DF的長．
18．（10分）已知一次函數(shù)y1＝x+2與反比例函數(shù)y2＝的圖象交于A、B兩點，交y軸于點C．
（1）當(dāng)A點的橫坐標為4時，求反比例函數(shù)的表達式和點B的坐標；
（2）在（1）的條件下，若點A關(guān)于原點的對稱點為A'，求△AA′B的面積；
（3）探究：點P在y軸上，是否存在一點P，使得△ABP為等腰直角三角形，且直角頂點為點P．若存在，求出P點坐標及此時的k值；若不存在，請說明理由．
一、填空題（共5小題，每小題4分）
19．（4分）已知x2+3x+1＝0，則代數(shù)式的值為 ．
20．（4分）如圖，平面直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A，B，C，點A在y軸上，點B的坐標為（4，4），則該圓弧AC的長為 ．
21．（4分）有五張正面分別寫有數(shù)字﹣4，﹣3，0，2，3的卡片，五張卡片除了數(shù)字不同外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張，記卡片上的數(shù)字為n，則抽取的n既能使關(guān)于x的方程x2﹣2（n+1）x+n（n﹣3）＝0有實數(shù)根，又能使以x為自變量的二次函數(shù)y＝﹣x2+2nx+1，當(dāng)x＞2時，y隨x增大而減小的概率為 ．
22．（4分）在平面直角坐標系中，以P（t，0）為圓心，單位長1為半徑的圓與直線y＝kx﹣3相切于點M，直線y＝kx﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點N，當(dāng)MN取得最小值時，點A的坐標為 ．
23．（4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為，點C在函數(shù)的圖象上，若點A繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°，所得對應(yīng)點B剛好落在y軸的正半軸上，則線段AB的長為 ．
二、解答題
24．（8分）晚飯后，小萌和媽媽出門散步，兩人同時從家門口出發(fā)，小萌騎上新學(xué)會的平衡車，騎行3分鐘后，他發(fā)現(xiàn)媽媽沒有跟上，于是立刻掉頭，以1.5倍的速度回去接媽媽．媽媽步行的速度是60m/min，小萌與媽媽的距離y（m）與騎行的時間x（min）之間的關(guān)系如圖所示．
（1）求出AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）小萌掉頭后多久接到媽媽？
25．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx﹣2與拋物線y＝﹣x2+2相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．若拋物線y＝﹣x2+2的頂點為C，直線y＝kx﹣2與y軸交于點D．
（1）當(dāng)k＝3時，求A，B兩點的坐標；
（2）當(dāng)△ACD與△BCD的面積比為3：2時，k的值為多少；
（3）將拋物線位于直線AB上方部分沿AB翻折，頂點C的對應(yīng)點為E，△DEC的面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒有，請說明理由．
26．（12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，以A為中心，將線段AB順時針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜90°）得到線段AE，連接DE，BE．
（1）求∠DEB的度數(shù)．
（2）過點B作BF⊥DE于點F，連接CF，猜想線段DE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）設(shè)正方形的邊長為m，點G是DE的中點，當(dāng)CG⊥AE時，求BE的長．（用含m的代數(shù)式表示）
參考答案與試題解析
一、選擇題（共8小題，每題4分）
1．（4分）的倒數(shù)是（ ）
A．B．﹣5C．D．5
【解答】解：∵（﹣）×（﹣5）＝1，
∴﹣的倒數(shù)是﹣5，
故選：B．
2．（4分）疫情管控放開，旅游業(yè)觸底反彈，文旅消費需求劇增．據(jù)四川省文化和旅游廳消息，2023年春主假日期間，四川省共接待游客5387.59萬人次，居全國第一，實現(xiàn)旅游收入242.16億元．其中數(shù)據(jù)5387.59萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A．5.38759×103B．5.38759×104
C．5.38759×106D．5.38759×107
【解答】解：5387.59萬＝53875900＝5.38759×107．
故選：D．
3．（4分）若x≠y，下列分式化簡正確的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、≠，故本選項化簡不正確，不符合題意；
B、≠，故本選項化簡不正確，不符合題意；
C、≠，故本選項化簡不正確，不符合題意；
D、＝＝，本選項化簡正確，符合題意；
故選：D．
4．（4分）如圖，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，只添加一個條件能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．BC＝CBB．AC＝BDC．AB＝CDD．∠ABC＝∠D
【解答】解：A、BC＝CB是圖形中的隱含條件，判定△ABC≌△DCB還缺少一個條件，故A不符合題意；
B、AC＝BD，∠ABC和∠DCB分別是AC和DB的對角，不能判定△ABC≌△∠DCB，故B不符合題意；
C、由SAS判定△ABC≌△DCB，故C符合題意；
D、∠D和∠A是對應(yīng)角，應(yīng)該∠A＝∠D，由AAS判定△ABC≌△DCB，故D不符合題意．
故選：C．
5．（4分）某班為了解學(xué)生對黨史的學(xué)習(xí)情況，隨機抽取了8名學(xué)生進行調(diào)查，他們讀書的本數(shù)分別是3、2、3、3、5、1、2、5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為1、2、2、3、3、3、5、5，
排在中間的兩個數(shù)分別為3，3，故中位數(shù)為＝3
故選：B．
6．（4分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點M在上，則∠CME的度數(shù)為（ ）
A．36°B．45°C．60°D．75°
【解答】解：如圖：連接OC，OD，OE，
∵多邊形ABCDEF是正六邊形，
∴，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴．
故選：C．
7．（4分）我國民間流傳著這樣一道題：只聞隔壁人分銀，不知多少銀和人；每人6兩多6兩，每人半斤少半斤．試問各位善算者，多少人分多少銀？（注：在古代，1斤＝16兩）設(shè)有x人，分銀y兩，則根據(jù)題意可列方程組為（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：設(shè)有x人，分銀y兩，則可列方程組：
．
故選：D．
8．（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線x＝1，下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)c＜0
B．當(dāng)x＞﹣1時，y隨x的增大而增大
C．b2﹣4ac＜0
D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的近似解為x1≈﹣0.5，x2≈3.2
【解答】解：由圖象可得，
a＞0，b＜0，c＜0，
∴ac＜0，故選項A正確，符合題意；
當(dāng)1＞x＞﹣1時，y隨x的增大而減小，故選項B錯誤，不符合題意；
b2﹣4ac＞0，故選項C錯誤，不符合題意；
一元二次方程ax2+bx+c＝0的近似解為x1≈﹣0.5，x2≈3.5，故選項D錯誤，不符合題意；
故選：A．
二、填空題（共5小題，每題4分）
9．（4分）計算：（﹣a2）5＝ ﹣a10 ．
【解答】解：（﹣a2）5
＝（﹣1）5a2×5
＝﹣a10．
故答案為：﹣a10．
10．（4分）若反比例函數(shù)在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 m＜ ．
【解答】解：由題意得的圖象在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，
則2m﹣1＜0，
即m＜．
故答案為：m＜．
11．（4分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D，E是網(wǎng)格線的交點，那么△ADE的面積與△ABC的面積的比是 1：4 ．
【解答】解：設(shè)正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，則AD＝1，AB＝2，
根據(jù)勾股定理得AE＝＝2，AC＝＝4，
∴＝＝，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴△ADE的面積與△ABC的面積的比是1：4，
故答案為：1：4．
12．（4分）分式方程＝﹣2的解是 x＝1 ．
【解答】解：去分母得：2+x＝﹣1﹣2x+6，
解得：x＝1，
經(jīng)檢驗x＝1是分式方程的解，
故答案為：x＝1
13．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AB，BC于點M，N；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點P；③作射線BP，交AC于點D．若AB＝5，BC＝3，則線段AD的長為 ．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
過D點作DE⊥AB于E，如圖，則DE＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴?DE×5+?CD×3＝×3×4，
即5CD+3CD＝12，
∴CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣＝，
故答案為：．
三、解答題
14．（6分）（1）計算：．
（2）解不等式組：．
【解答】解：（1）
＝2﹣1﹣2×+2﹣
＝2﹣1﹣+2﹣
＝（2﹣1﹣1）+（﹣1+2）
＝1；
（2），
2x+5＞3（x﹣1），
解得：x＜8，
≥﹣1，
解得：x≥﹣，
∴﹣≤x＜8．
15．（8分）第31屆世界大學(xué)生運動會將于2023年7月28日在成都舉行，學(xué)校為了了解學(xué)生對“大運會”的熟悉程度，在全校范圍內(nèi)隨機抽查了部分學(xué)生進行調(diào)查統(tǒng)計，并將調(diào)查統(tǒng)計的結(jié)果分為A，B，C三類，A表示“非常熟悉”，B表示“比較熟悉”，C表示“不熟悉”，得到如下統(tǒng)計圖（B類有70人），請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）本次隨機調(diào)查的人數(shù)是 150 人；扇形圖中C類所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 120 度；
（2）若該校共有1500人，請你估計該校B類學(xué)生的人數(shù)．
（3）若參與調(diào)查的兩名男生和兩名女生中隨機抽取2名學(xué)生進行“大運會”相關(guān)知識問答，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）30÷20%＝150（人），
所以本次隨機調(diào)查的人數(shù)是150人；
C類的人數(shù)為150﹣30﹣70＝50（人），
所以扇形圖中C類所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為360°×＝120°；
故答案為：150，120°；
（2）1500×＝700（人），
估計該校B類學(xué)生的人數(shù)為700人；
（3）畫樹狀圖為：
共用12種等可能的結(jié)果，其中一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為8種，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
16．（8分）三角形具有穩(wěn)定性，很多展架利用該原理進行設(shè)計．如圖為一個展架的側(cè)面，展架底部與支架間的距離BD為62cm，展架與地面的夾角為72°，若支架頂部C剛好支在展架的三分之一處（即AB＝3AC），且CD＝BC，那么該展架AB的長為多少．（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【解答】解：作CE⊥BD于點E．
∴∠CEB＝90°．
∵BC＝CD，BD＝62cm．
∴BE＝BD＝31cm．
∵∠B＝72°，csB＝．
∴≈0.31，
解得：BC＝100（cm）．
∵AB＝3AC，
∴BC＝AB．
∴AB＝BC＝150（cm）．
答：該展架AB的長為約為150cm．
17．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，以CD為直徑作⊙O，交BC邊于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為點F．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）若AC＝6，CD＝5，求DF的長．
【解答】（1）證明：如圖，連接OE，DE，
∵CD是⊙O直徑，
∴∠CED＝90°，
即DE⊥BC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，
∴CD＝BD，
∴點E是BC的中點，
又∵點O是CD的中點，
∴OE是△BCD的中位線，
∴OE∥AB，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
∵OE是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：∵CD是直角三角形ABC斜邊中線，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝6，
∴BC＝＝8，
∵點E是BC的中點，
∴BE＝BC＝4，
在Rt△BDE中，BD＝5，BE＝4，
∴DE＝＝3，
∵S△BDE＝DE?BE＝BD?EF，即3×4＝5×EF，
∴EF＝，
在Rt△DEF中，DE＝3，EF＝，
∴DF＝＝．
18．（10分）已知一次函數(shù)y1＝x+2與反比例函數(shù)y2＝的圖象交于A、B兩點，交y軸于點C．
（1）當(dāng)A點的橫坐標為4時，求反比例函數(shù)的表達式和點B的坐標；
（2）在（1）的條件下，若點A關(guān)于原點的對稱點為A'，求△AA′B的面積；
（3）探究：點P在y軸上，是否存在一點P，使得△ABP為等腰直角三角形，且直角頂點為點P．若存在，求出P點坐標及此時的k值；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)點A（4，m），
∵一次函數(shù)y1＝x+2圖象過點A，
∴m＝×4+2＝4，
∴A（4，4），
∵反比例函數(shù)y2＝的圖象過點A（4，4），′
∴k＝4×4＝16，
∴反比例函數(shù)的表達式為y2＝，
由，
解得或，
∴B點的坐標為（﹣8，﹣2）；
（2）如圖：
∵A（4，4），
∴點A關(guān)于原點的對稱點為A'的坐標為（﹣4，﹣4），
∵B（﹣8，﹣2），
∴△AA′B的面積＝（4+8+8﹣4）×（4+4）﹣×（8+4）××4×2＝24；
（3）如圖，過點A作AE⊥y軸于E，BD⊥y軸于D，
∴∠AEP＝∠BDP＝90°，
設(shè)點A（a，a+2），（a＞0），
∴AE＝a，k＝a（a+2），
聯(lián)立方程可得：x+2＝，
∴x1＝a，x2＝﹣a﹣4，
∴點B（﹣a﹣4，﹣a），
∴BD＝a+4，DO＝a，
∵△ABP為等腰直角三角形，
∴BP＝AP，∠APB＝90°＝∠AEP＝∠BDP，
∴∠APE+∠BPD＝90°＝∠APE+∠PAE，
∴∠BPD＝∠PAE，
∴△BPD≌△PAE（AAS），
∴BD＝PE＝a+4，AE＝PD＝a，
∵OE＝a，
∴PO＝4，
∴點P（0，﹣4），
∵OP＝OD+PD，
∴4＝a+a，
∴a＝，
∴k＝（×+2）＝．
一、填空題（共5小題，每小題4分）
19．（4分）已知x2+3x+1＝0，則代數(shù)式的值為 1 ．
【解答】解：÷
＝?
＝（x+1）（x+2）
＝x2+3x+2，
∵x2+3x+1＝0，
∴x2+3x＝﹣1，
∴原式＝﹣1+2＝1，
故答案為：1．
20．（4分）如圖，平面直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A，B，C，點A在y軸上，點B的坐標為（4，4），則該圓弧AC的長為 π ．
【解答】解：如圖，借助網(wǎng)格作AB的中垂線MN，BC的中垂線PQ，直線PQ，MN相交于點D，即弧AC所在的圓心為D，
連接AD、CD，
∵OD＝EC＝2，OA＝DE＝4，∠AOD＝∠DEC，
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠ADO＝∠ECD，
∵∠ECD+∠CDE＝90°，
∴∠ADO+∠CDE＝90°，
又∵∠ADO+∠CDE+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣90°＝90°，
在Rt△AOD中，OA＝4，OD＝2，
∴AD＝＝2，
∴弧AC的長為＝π．
故答案為：π．
21．（4分）有五張正面分別寫有數(shù)字﹣4，﹣3，0，2，3的卡片，五張卡片除了數(shù)字不同外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張，記卡片上的數(shù)字為n，則抽取的n既能使關(guān)于x的方程x2﹣2（n+1）x+n（n﹣3）＝0有實數(shù)根，又能使以x為自變量的二次函數(shù)y＝﹣x2+2nx+1，當(dāng)x＞2時，y隨x增大而減小的概率為 ．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2（n+1）x+n（n﹣3）＝0有實數(shù)根，
∴Δ＝[﹣2（n+1）]2﹣4n（n﹣3）＝20n+4≥0，
解得n≥﹣，
∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2nx+1，當(dāng)x＞2時，y隨x增大而減小，
∴n≤2，
∴滿足條件的n有0，2，
∴當(dāng)x＞2時，y隨x增大而減小的概率為2÷5＝．
故答案為：．
22．（4分）在平面直角坐標系中，以P（t，0）為圓心，單位長1為半徑的圓與直線y＝kx﹣3相切于點M，直線y＝kx﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點N，當(dāng)MN取得最小值時，點A的坐標為 或 ．
【解答】解：對于y＝kx﹣3，當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，
∴直線y＝kx﹣3與y軸交于點N的坐標為（0，﹣3），
∵點P（t，0），
∴，
∵MN為⊙P的切線，M為且點，⊙P的半徑為1，
∴PM⊥MN，PM＝1，
在Rt△PMN中，，PM＝1，
由勾股定理得：MN＝＝，
∵，
∴當(dāng)t＝0時，為最小，最小值為，
此時點P的坐標為（0，0），如圖所示：

設(shè)直線y＝kx﹣3與x軸交于點A的坐標為（a，0），
則PA＝|a|，，
由三角形的面積公式得：S△PAN＝PA?PN＝AN?PM，
即PA?PN＝AN?PM，
∴，
解得：，
∴點A的坐標為或．
故答案為：或．
23．（4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為，點C在函數(shù)的圖象上，若點A繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°，所得對應(yīng)點B剛好落在y軸的正半軸上，則線段AB的長為 ．
【解答】解：如圖，
過點C作CD⊥x軸于點D，作CE⊥y軸于點E，將△CBE繞C點順時針旋轉(zhuǎn)120°，得△CAF，延長CF交x軸于點H，則∠DCF＝30°，
設(shè)，
則：CF＝CE＝c，，
∴，，
∴，
∵點，
∴，
∵∠AHF＝90°﹣∠DCH＝60°，
∴AH＝2FH，
∴，
∴，
∴OE＝CD＝5，，
∴，
∴BC2＝AC2＝CD2+AD2＝28，
∴，
∴OB＝OE+BE＝5+1＝6，
∴．
二、解答題
24．（8分）晚飯后，小萌和媽媽出門散步，兩人同時從家門口出發(fā)，小萌騎上新學(xué)會的平衡車，騎行3分鐘后，他發(fā)現(xiàn)媽媽沒有跟上，于是立刻掉頭，以1.5倍的速度回去接媽媽．媽媽步行的速度是60m/min，小萌與媽媽的距離y（m）與騎行的時間x（min）之間的關(guān)系如圖所示．
（1）求出AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）小萌掉頭后多久接到媽媽？
【解答】解：（1）由題意得，點M的坐標為（3，480），
小萌開始騎行的速度為：480÷3+60＝220（m/min），
∴小萌后來的速度為：220×1.5＝330（m/min），
∴點A的橫坐標為：3+480÷（330+60）＝3+＝，
設(shè)AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，
則，
解得，
∴AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣390x+1650；
（2）480÷（330+60）＝（min），
即小萌掉頭后min接到媽媽．
25．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx﹣2與拋物線y＝﹣x2+2相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．若拋物線y＝﹣x2+2的頂點為C，直線y＝kx﹣2與y軸交于點D．
（1）當(dāng)k＝3時，求A，B兩點的坐標；
（2）當(dāng)△ACD與△BCD的面積比為3：2時，k的值為多少；
（3）將拋物線位于直線AB上方部分沿AB翻折，頂點C的對應(yīng)點為E，△DEC的面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒有，請說明理由．
【解答】解：（1）當(dāng)k＝3時，y＝3x﹣2，
聯(lián)立，
解得或，
∴A（﹣4，﹣14），B（1，1）；
（2）過A作AK⊥y軸于K，過B作BT⊥y軸于T，如圖：
聯(lián)立可得x2+kx﹣4＝0，
∴xA＝，xB＝，
∵△ACD與△BCD的面積比為3：2，
∴＝，
∴＝，即＝，
∴＝，
解得k＝或k＝﹣（舍去），
∴k的值為；
（3）△DEC的面積有最大值，理由如下：
過E作EH⊥y軸于H，如圖：
拋物線y＝﹣x2+2的頂點C坐標為（0，2），
在y＝kx﹣2中令x＝0得y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴CD＝2﹣（﹣2）＝4，
∴S△DEC＝CD?EH＝2EH，
∴當(dāng)EH最大時，△DEC的面積最大，
∵將拋物線位于直線AB上方部分沿AB翻折，頂點C的對應(yīng)點為E，
∴C，E關(guān)于直線AB對稱，
∴DE＝CD＝4，
由垂線段最短可得，HE≤4，即HE的最大值為4，
∴△DEC的面積最大為2EH＝2×4＝8．
26．（12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，以A為中心，將線段AB順時針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜90°）得到線段AE，連接DE，BE．
（1）求∠DEB的度數(shù)．
（2）過點B作BF⊥DE于點F，連接CF，猜想線段DE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）設(shè)正方形的邊長為m，點G是DE的中點，當(dāng)CG⊥AE時，求BE的長．（用含m的代數(shù)式表示）
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
由旋轉(zhuǎn)得：AE＝AB，∠BAE＝α，
∴∠DAE＝90°+α，
∴∠AEB＝，∠AED＝＝，
∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝﹣＝45°．
（2）猜想：DE＝CF，理由如下：
如圖，過C作CH⊥CF交FD延長線于H，
∵BF⊥DE，
∴∠BFC+∠CFD＝90°，
∵CH⊥CF，
∴∠CFD+∠H＝90°，
∴∠BFC＝∠H，
∵∠BCD＝∠FCH＝90°，
∴∠BCF＝∠DCH，
∵BC＝CD，
∴△BCF≌△DCH（AAS），
∴BF＝DH，CF＝CH，
∴△FCH是等腰直角三角形，
∴FH＝CF，
由（1）知，∠DEB＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝EF，
∴EF＝DH，
∴EF+DF＝DH+DF，
即DE＝FH，
∴DE＝CF．
（3）如圖，延長CG交AE于H，過點B作BL⊥AG于L，BT⊥DE于T，過點C作CK⊥DE于K，設(shè)DE交AB于S，
則∠EHG＝∠CKD＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵AE＝AD，點G是DE的中點，
∴∠AGE＝∠AGD＝90°，
∴∠CKD＝∠AGD，
∵∠ADG+∠DAG＝∠ADG+∠CDK＝90°，
∴∠DAG＝∠CDK，
在△ADG和△DCK中，
，
∴△ADG≌△DCK（AAS），
∴AG＝DK，DG＝CK，
由（1）知∠AED＝∠ADE＝，
∴∠CGD＝∠EGH＝90°﹣＝，
∵∠CDG＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣＝，
∴∠CGD＝∠CDG，
∴CG＝CD＝m，
∵CK⊥DG，
∴DK＝GK＝DG，
∵∠AGD＝∠DAS，∠ADG＝∠SDA，
∴△ADS∽△GDA，
∴＝＝，
∴＝，
∴AS＝BS，
在△ASG和△BST中，
，
∴△ASG≌△BST（AAS），
∴BT＝AG，
由（2）知△BET是等腰直角三角形，
∴BE＝BT＝AG，
在Rt△ADG中，AG2+DG2＝AD2，
即AG2+（2AG）2＝m2，
∴AG＝m，
∴BE＝AG＝×m＝m．

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