北京市北京師范大學(xué)附屬中學(xué)平谷第一分校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 拋物線的準(zhǔn)線方程是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】由拋物線的方程直接求解準(zhǔn)線方程即可.
【分析】由拋物線，可知，且焦點(diǎn)在x軸正半軸上，
所以其準(zhǔn)線方程是.
故選：A.
2. 已知P為雙曲線右支上一點(diǎn)，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，等于（）
A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由雙曲線的定義即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)镻為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以.
故選：B.
3. 設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題中正確的是（）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間線線、線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)線面垂直的定義可知，若，，則，A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，若，，則可能平行，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，若，，則可能含于平面，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，若，，則可能含于平面，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：A
4. 已知直線.則下列結(jié)論正確的是（）
A. 點(diǎn)在直線上B. 直線的傾斜角為
C. 直線在軸上的截距為8D. 直線的一個(gè)方向向量為
【答案】B
【解析】
【分析】逐個(gè)分析各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，代入直線方程后得，∴點(diǎn)不在直線l上，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)直線l的傾斜角為，∵，∴，又∵，∴，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，令得：，∴直線l在y軸上的截距為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，∵直線l的一個(gè)方向向量為，∴，這與已知相矛盾，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：B.
5. 在四面體中記，，，若點(diǎn)M、N分別為棱OA、BC的中點(diǎn)，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】由題意得：，
故選：B.
6. 若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先求出漸近線方程，代入點(diǎn)化簡(jiǎn)求解.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，點(diǎn)在一條漸近線上即
故選：D
7. 若直線與直線互相平行，則的值是（）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】利用兩直線平行可得出關(guān)于的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相平行，
則，解得.
故選：A.
8. 已知，，且，則（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量平行的充要條件列出關(guān)于x、y的方程組，解之即可求得x、y的值.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
由，可得，解之得
故選：B
9. 已知直線和圓：，則直線與圓的位置關(guān)系為（）
A. 相交B. 相切C. 相離D. 不能確定
【答案】A
【解析】
【分析】
求出直線過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)，確定定點(diǎn)在圓內(nèi)，則可判斷．
【詳解】直線方程整理為，即直線過(guò)定點(diǎn)，
而，在圓內(nèi)，
∴直線與圓相交．
故選：A．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系．關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是確定動(dòng)直線所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，二是確定點(diǎn)到圓的位置關(guān)系：圓的一般方程為，點(diǎn)，則點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，
點(diǎn)在圓外．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
10. 已知直線和直線互相垂直，則的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直線垂直列方程，由此求得的值.
【詳解】由于兩條直線垂直，
所以.
故答案為：
11. 圓心為且和軸相切的圓的方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)樵搱A與軸相切，
所以該圓的半徑為，
因此圓的方程為，
故答案為：
12. 若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，則__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的方程得出其左焦點(diǎn)為，根據(jù)拋物線的方程得出其準(zhǔn)線為，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)殡p曲線的左焦點(diǎn)為，又拋物線的準(zhǔn)線為，
所以，得到，
故答案為：.
13. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，于．若，，則拋物線的方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，然后在直角三角形中利用可得，從而可得答案．
【詳解】根據(jù)拋物線的定義可得，
又，所以，得，
所以拋物線的方程為．
故答案為：．
14. 關(guān)于曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)；
②曲線圍成的面積是；
③曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離者不大于；
④曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為1.
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.
【答案】①②③④
【解析】
【分析】畫(huà)出曲線的圖象，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性、面積、圖象等知識(shí)確定正確答案.
詳解】曲線，
則時(shí)，，
時(shí)，，
時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由此畫(huà)出曲線的圖象如下圖所示，
由圖可知：
曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)，①正確.
曲線圍成的面積是，②正確.
曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離者不大于，③正確
曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為1，即，
所以④正確.
故答案為：①②③④
三、解答題：本大題共4小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
15. 已知圓，圓，直線.
（1）求圓心到直線的距離；
（2）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)；
（3）判斷圓與圓的位置關(guān)系.
【答案】（1）
（2）
（3）外切
【解析】
【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案.
（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得正確答案.
（3）根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系.
【小問(wèn)1詳解】
圓的圓心為，半徑.
圓的方程可化為，
所以圓心為，半徑.
所以圓心到直線的距離為.
【小問(wèn)2詳解】
.
【小問(wèn)3詳解】
，所以?xún)蓤A外切.
16. 如圖所示，在多面體中，梯形與正方形所在平面互相垂直，，，.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）若點(diǎn)在線段上，且，求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析（3）
【解析】
【分析】（1）首先根據(jù)面面平行的判定證明平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得到答案.
（2）首先取的中點(diǎn)，連接，易證，，再利用線面垂直的判定即可證明平面.
（3）首先以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槠矫?；平面；?br>所以平面.
因?yàn)槠矫妫黄矫?；?br>所以平面.
又因?yàn)槠矫妫矫?，?br>所以平面平面；
又因?yàn)槠矫?，所以平?
【小問(wèn)2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：
因?yàn)樗倪呅螢樘菪危?，?br>所以四邊形為正方形，，.
所以，，
即，.
又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫?，?br>所以平面.
又因?yàn)槠矫妫?
因?yàn)椋?，，平面?br>所以平面.
【小問(wèn)3詳解】
以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，
，，
設(shè)異面直線與所成角為，則.
所以異面直線與所成角的余弦值為.
17. 已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于A，兩點(diǎn).
（1）求橢圓方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由a、b、c關(guān)系及點(diǎn)在橢圓上建立方程組即可解得參數(shù)；
（2），聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可求.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，則，則，
所以橢圓為，代入點(diǎn)得，，解得.
所以橢圓方程為.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，則直線為，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為.
設(shè)，由得，
所以，
，.
∴.
∴.
18. 已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，、、、分別是、、、的中點(diǎn).再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知.條件①：平面；條件②：；條件③：平面平面.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的大??；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
（3）答案見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）選條件①：平面，利用面面垂直的判定定理得到平面平面，再由，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；選條件②：，由，得到，又，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理得到平面平面，再由，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；選條件③：平面平面，由，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；
（2）由（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面EFG的一個(gè)法向量為，易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，由求解；
（3）設(shè)，，得到，由（2）知平面EFG一個(gè)法向量為，由求解.
【小問(wèn)1詳解】
證明：選條件①：平面，
又平面ABCD，
所以平面平面，
因?yàn)槭钦切危?且是的中點(diǎn)，
所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD
所以平面；
選條件②：；
因?yàn)?，所以?br>則，又，且，
所以平面，
又平面ABCD，
所以平面平面，
因?yàn)槭钦切危?且是的中點(diǎn)，
所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD
所以平面；
選條件③：平面平面.
因?yàn)槭钦切危?且是的中點(diǎn)，
所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD
所以平面；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則，
，
所以，
設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，則，所以，
易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，
所以，
所以平面與平面所成銳二面角為；
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)，，
則，
由（2）知平面EFG的一個(gè)法向量為：，
所以直線與平面所成角的正弦值為，
即，整理得，
因?yàn)椋苑匠虩o(wú)解，即不存在滿足條件的點(diǎn)M.

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