考試時長：120 分鐘
班級: 姓名:
一. 選擇題(本大題共 10 小題，每小題4分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1. ，則（ ）
A B. 2C. D. 6
2. 已知橢圓的一個焦點的坐標是，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
3. 已知雙曲線的焦點分別為，，，雙曲線上一點滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. 2D. 3
4. 拋物線的準線方程為( )
A. B. C. D.
5. 已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A. B. eC. D.
7. 若函數(shù) 既有極大值也有極小值，則下列說法正確的個數(shù)為（ ）
① ② ③ ④
A. 0B. 1
C. 2D. 3
8. 已知函數(shù)，那么“”是“在上為增函數(shù)”的
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
9. 如圖所示，已知直線與曲線相切于兩點，函數(shù)，則對函數(shù)描述正確的是（ ）
A. 有極小值點，沒有極大值點B. 有極大值點，沒有極小值點
C. 至少有兩個極小值點和一個極大值點D. 至少有一個極小值點和兩個極大值點
10. 已知函數(shù)， 現(xiàn)給出如下命題:
① 當時，；
②在區(qū)間上單調(diào)遞增；
③在區(qū)間上有極大值；
④ 存在，使得對任意，都有.
其中真命題的序號是（ ）
A. ①②B. ②③
C. ②④D. ③④
二. 填空題(本大題共5 小題，每小題5 分)
11. 函數(shù)導(dǎo)數(shù)為________．
12. 已知函數(shù)，過點作曲線的切線，則其切線方程為______.
13. 已知奇函數(shù)的定義域為R，且，則的單調(diào)遞減區(qū)間為__________；滿足以上條件的一個函數(shù)是__________．
14. 設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為_______；a的最大值為________．
15. “S”型函數(shù)是統(tǒng)計分析?生態(tài)學(xué)?人工智能等領(lǐng)域常見函數(shù)模型，其圖象形似英文字母“S”，所以其圖象也被稱為“S”型曲線.某校生物興趣小組在0.5毫升培養(yǎng)液中放入5個大草履蟲，每隔一段時間統(tǒng)計一次大草履蟲的數(shù)量，經(jīng)過反復(fù)試驗得到大草履蟲的數(shù)量(單位：個)與時間(單位：小時)的關(guān)系近似為一個“S”型函數(shù).已知函數(shù).的部分圖象如圖所示，為的導(dǎo)函數(shù).
給出下列四個結(jié)論：
①對任意，存在，使得；
②對任意，存，使得；
③對任意，存在，使得；
④對任意，存在，使得.
其中所有正確結(jié)論的序號是___________.
三. 解答題(本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
16. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求證： 當時，.
17. 設(shè)函數(shù)，.
（1）當時， 試求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）試求在上的最大值.
18. 已知函數(shù)，.
（1）當時，試判斷函數(shù)是否存在零點，并說明理由；
（2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.
19. 已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點的直線（不與坐標軸垂直）與橢圓交于、兩點，設(shè)點關(guān)于軸對稱點為. 直線與軸的交點是否為定點？請說明理由.
20. 已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）當時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值.
21. 已知為有窮數(shù)列．若對任意的,都有（規(guī)定）,則稱具有性質(zhì)．設(shè)．
（1）判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？若具有性質(zhì),寫出對應(yīng)的集合;
（2）若具有性質(zhì),證明:;
（3）給定正整數(shù),對所有具有性質(zhì)的數(shù)列,求中元素個數(shù)的最小值．
考查目標
知識： 圓錐曲線的方程、一元一次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
能力： 空間想象能力， 抽象概括能力， 推理論證能力， 運算求解能力， 數(shù)據(jù)處理能力， 分析問題和解決問題的能力

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